2015高考數(shù)學復習：高中數(shù)學函數(shù)重要知識點總結
一次函數(shù)
[L]一、定義與定義式：[/L]
[L] 自變量x和因變量y有如下關系：[/L]
[L] y=kx+b[/L]
[L] 則此時稱y是x的一次函數(shù)。[/L]
[L]特別地，當b=0時，y是x的正比例函數(shù)。[/L]
[L] 即：y=kx （k為常數(shù)，k≠0）[/L]
[L]二、一次函數(shù)的性質：[/L]
[L] 1.y的變化值與對應的x的變化值成正比例，比值為k[/L]
[L] 即：y=kx+b （k為任意不為零的實數(shù) b取任何實數(shù)）[/L]
[L] 2.當x=0時，b為函數(shù)在y軸上的截距。[/L]
[L]三、一次函數(shù)的圖像及性質：[/L]
[L] 1．作法與圖形：通過如下3個步驟[/L]
[L]（1）列表；[/L]
[L]（2）描點；[/L]
[L]（3）連線，可以作出一次函數(shù)的圖像——一條直線。因此，作一次函數(shù)的圖像只需知道2點，并連成直線即可。（通常找函數(shù)圖像與x軸和y軸的交點）[/L]
[L] 2．性質：（1）在一次函數(shù)上的任意一點P（x，y），都滿足等式：y=kx+b。
（2）一次函數(shù)與y軸交點的坐標總是（0，b)，與x軸總是交于（-b/k，0）正比例函數(shù)的圖像總是過原點。[/L]
[L] 3．k，b與函數(shù)圖像所在象限：[/L]
[L] 當k＞0時，直線必通過一、三象限，y隨x的增大而增大；[/L]
[L] 當k＜0時，直線必通過二、四象限，y隨x的增大而減小。[/L]
[L] 當b＞0時，直線必通過一、二象限；[/L]
[L] 當b=0時，直線通過原點[/L]
[L] 當b＜0時，直線必通過三、四象限。[/L]
[L] 特別地，當b=O時，直線通過原點O（0，0）表示的是正比例函數(shù)的圖像。[/L]
[L] 這時，當k＞0時，直線只通過一、三象限；當k＜0時，直線只通過二、四象限。[/L]
[L]四、確定一次函數(shù)的表達式：[/L]
[L] 已知點A（x1，y1）；B（x2，y2），請確定過點A、B的一次函數(shù)的表達式。[/L]
[L] （1）設一次函數(shù)的表達式（也叫解析式）為y=kx+b。[/L]
[L] （2）因為在一次函數(shù)上的任意一點P（x，y），都滿足等式y(tǒng)=kx+b。所以可以列出2個方程：y1=kx1+b …… ① 和 y2=kx2+b …… ②[/L]
[L] （3）解這個二元一次方程，得到k，b的值。[/L]
[L] （4）最后得到一次函數(shù)的表達式。[/L]
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[L]五、一次函數(shù)在生活中的應用：[/L]
[L] 1.當時間t一定，距離s是速度v的一次函數(shù)。s=vt。[/L]
[L] 2.當水池抽水速度f一定，水池中水量g是抽水時間t的一次函數(shù)。設水池中原有水量S。g=S-ft。[/L]
[L]六、常用公式：（不全，希望有人補充）[/L]
[L] 1.求函數(shù)圖像的k值：（y1-y2)/(x1-x2)[/L]
[L] 2.求與x軸平行線段的中點：|x1-x2|/2[/L]
[L] 3.求與y軸平行線段的中點：|y1-y2|/2[/L]
[L] 4.求任意線段的長：√(x1-x2)^2+(y1-y2)^2 （注：根號下（x1-x2)與（y1-y2)的平方和）[/L]
[L]
[/L]
[L][/L]
二次函數(shù)
[L]I.定義與定義表達式[/L]
[L]一般地，自變量x和因變量y之間存在如下關系：[/L]
[L]y=ax^2+bx+c[/L]
[L]（a，b，c為常數(shù)，a≠0，且a決定函數(shù)的開口方向，a>0時，開口方向向上，a<0時，開口方向向下,IaI還可以決定開口大小,IaI越大開口就越小,IaI越小開口就越大.）[/L]
[L]則稱y為x的二次函數(shù)。[/L]
[L]二次函數(shù)表達式的右邊通常為二次三項式。[/L]
[L]II.二次函數(shù)的三種表達式[/L]
[L]一般式：y=ax^2+bx+c（a，b，c為常數(shù)，a≠0）[/L]
[L]頂點式：y=a(x-h)^2+k [拋物線的頂點P（h，k）][/L]
[L]交點式：y=a(x-x)(x-x ) [僅限于與x軸有交點A（x ，0）和 B（x，0）的拋物線][/L]
[L]注：在3種形式的互相轉化中，有如下關系:[/L]
[L]h=-b/2a k=(4ac-b^2)/4a x,x=(-b±√b^2-4ac)/2a[/L]
[L]III.二次函數(shù)的圖像[/L]
[L]在平面直角坐標系中作出二次函數(shù)y=x^2的圖像，[/L]
[L]可以看出，二次函數(shù)的圖像是一條拋物線。[/L]
[L]IV.拋物線的性質[/L]
[L]1.拋物線是軸對稱圖形。對稱軸為直線[/L]
[L]x = -b/2a。[/L]
[L]對稱軸與拋物線唯一的交點為拋物線的頂點P。[/L]
[L]特別地，當b=0時，拋物線的對稱軸是y軸（即直線x=0）[/L]
[L]2.拋物線有一個頂點P，坐標為[/L]
[L]P ( -b/2a ，(4ac-b^2)/4a )[/L]
[L]當-b/2a=0時，P在y軸上；當Δ= b^2-4ac=0時，P在x軸上。[/L]
[L]3.二次項系數(shù)a決定拋物線的開口方向和大小。[/L]
[L]當a＞0時，拋物線向上開口；當a＜0時，拋物線向下開口。[/L]
[L]|a|越大，則拋物線的開口越小。[/L]
[L]4.一次項系數(shù)b和二次項系數(shù)a共同決定對稱軸的位置。[/L]
[L]當a與b同號時（即ab＞0），對稱軸在y軸左；[/L]
[L]當a與b異號時（即ab＜0），對稱軸在y軸右。[/L]
[L]5.常數(shù)項c決定拋物線與y軸交點。[/L]
[L]拋物線與y軸交于（0，c）[/L]
[L]6.拋物線與x軸交點個數(shù)[/L]
[L]Δ= b^2-4ac＞0時，拋物線與x軸有2個交點。[/L]
[L]Δ= b^2-4ac=0時，拋物線與x軸有1個交點。[/L]
[L] Δ= b^2-4ac＜0時，拋物線與x軸沒有交點。X的取值是虛數(shù)（x= -b±√b^2－4ac 的值的相反數(shù)，乘上虛數(shù)i，整個式子除以2a）[/L]
[L]V.二次函數(shù)與一元二次方程[/L]
[L]特別地，二次函數(shù)（以下稱函數(shù)）y=ax^2+bx+c，[/L]
[L]當y=0時，二次函數(shù)為關于x的一元二次方程（以下稱方程），[/L]
[L]即ax^2+bx+c=0[/L]
[L]此時，函數(shù)圖像與x軸有無交點即方程有無實數(shù)根。[/L]
[L]函數(shù)與x軸交點的橫坐標即為方程的根。[/L]
[L]1．二次函數(shù)y=ax^2，y=a(x-h)^2，y=a(x-h)^2 +k，y=ax^2+bx+c(各式中，a≠0)的圖象形狀相同，只是位置不同，它們的頂點坐標及對稱軸如下表：[/L]
解析式
頂點坐標
對 稱 軸
y=ax^2
(0，0)
x=0
y=a(x-h)^2
(h，0)
x=h
y=a(x-h)^2+k
(h，k)
x=h
y=ax^2+bx+c
(-b/2a，[4ac-b^2]/4a)
x=-b/2a
[L] 當h>0時，y=a(x-h)^2的圖象可由拋物線y=ax^2向右平行移動h個單位得到，[/L]
[L] 當h<0時，則向左平行移動|h|個單位得到．[/L]
[L] 當h>0,k>0時，將拋物線y=ax^2向右平行移動h個單位，再向上移動k個單位，就可以得到y(tǒng)=a(x-h)^2 +k的圖象；[/L]
[L] 當h>0,k<0時，將拋物線y=ax^2向右平行移動h個單位，再向下移動|k|個單位可得到y(tǒng)=a(x-h)^2+k的圖象；[/L]
[L] 當h<0,k>0時，將拋物線向左平行移動|h|個單位，再向上移動k個單位可得到y(tǒng)=a(x-h)^2+k的圖象；[/L]
[L] 當h<0,k<0時，將拋物線向左平行移動|h|個單位，再向下移動|k|個單位可得到y(tǒng)=a(x-h)^2+k的圖象；[/L]
[L] 因此，研究拋物線 y=ax^2+bx+c(a≠0)的圖象，通過配方，將一般式化為y=a(x-h)^2+k的形式，可確定其頂點坐標、對稱軸，拋物線的大體位置就很清楚了．這給畫圖象提供了方便．[/L]
[L] 2．拋物線y=ax^2+bx+c(a≠0)的圖象：當a>0時，開口向上，當a<0時開口向下，對稱軸是直線x=-b/2a，頂點坐標是(-b/2a，[4ac-b^2]/4a)．[/L]
[L] 3．拋物線y=ax^2+bx+c(a≠0)，若a>0，當x ≤ -b/2a時，y隨x的增大而減??；當x ≥ -b/2a時，y隨x的增大而增大．若a<0，當x ≤ -b/2a時，y隨x的增大而增大；當x ≥ -b/2a時，y隨x的增大而減?。?/font>[/L]
[L]
[/L]
[L][/L]
4．拋物線y=ax^2+bx+c的圖象與坐標軸的交點：
[L] (1)圖象與y軸一定相交，交點坐標為(0，c)；[/L]
[L] (2)當△=b^2-4ac>0，圖象與x軸交于兩點A(x，0)和B(x，0)，其中的x1,x2是一元二次方程ax^2+bx+c=0[/L]
[L](a≠0)的兩根．這兩點間的距離AB=|x-x|[/L]
[L] 當△=0．圖象與x軸只有一個交點；[/L]
[L] 當△<0．圖象與x軸沒有交點．當a>0時，圖象落在x軸的上方，x為任何實數(shù)時，都有y>0；當a<0時，圖象落在x軸的下方，x為任何實數(shù)時，都有y<0．[/L]
[L]5．拋物線y=ax^2+bx+c的最值：如果a>0(a<0)，則當x= -b/2a時，y最小(大)值=(4ac-b^2)/4a．[/L]
[L] 頂點的橫坐標，是取得最值時的自變量值，頂點的縱坐標，是最值的取值．[/L]
[L]6．用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式[/L]
[L] (1)當題給條件為已知圖象經(jīng)過三個已知點或已知x、y的三對對應值時，可設解析式為一般形式：[/L]
[L]y=ax^2+bx+c(a≠0)．[/L]
[L] (2)當題給條件為已知圖象的頂點坐標或對稱軸時，可設解析式為頂點式：y=a(x-h)^2+k(a≠0)．[/L]
[L] (3)當題給條件為已知圖象與x軸的兩個交點坐標時，可設解析式為兩根式：y=a(x-x)(x-x)(a≠0)．[/L]
[L]7．二次函數(shù)知識很容易與其它知識綜合應用，而形成較為復雜的綜合題目。因此，以二次函數(shù)知識為主的綜合性題目是中考的熱點考題，往往以大題形式出現(xiàn)．[/L]
[L]反比例函數(shù) [/L]
[L]形如 y＝k／x(k為常數(shù)且k≠0) 的函數(shù)，叫做反比例函數(shù)。[/L]
[L]自變量x的取值范圍是不等于0的一切實數(shù)。[/L]
[L]反比例函數(shù)圖像性質：[/L]
[L]反比例函數(shù)的圖像為雙曲線。[/L]
[L]由于反比例函數(shù)屬于奇函數(shù)，有f(-x)=-f(x),圖像關于原點對稱。[/L]
[L]另外，從反比例函數(shù)的解析式可以得出，在反比例函數(shù)的圖像上任取一點，向兩個坐標軸作垂線，這點、兩個垂足及原點所圍成的矩形面積是定值，為∣k∣。[/L]
[L]如圖，上面給出了k分別為正和負（2和-2）時的函數(shù)圖像。[/L]
[L]當K＞0時，反比例函數(shù)圖像經(jīng)過一，三象限，是減函數(shù)[/L]
[L]當K＜0時，反比例函數(shù)圖像經(jīng)過二，四象限，是增函數(shù)[/L]
[L]反比例函數(shù)圖像只能無限趨向于坐標軸，無法和坐標軸相交。[/L]
[L]知識點：[/L]
[L]1.過反比例函數(shù)圖象上任意一點作兩坐標軸的垂線段，這兩條垂線段與坐標軸圍成的矩形的面積為| k |。[/L]
[L]2.對于雙曲線y＝k／x ，若在分母上加減任意一個實數(shù) (即 y＝k／（x±m(xù)）m為常數(shù))，就相當于將雙曲線圖象向左或右平移一個單位。（加一個數(shù)時向左平移，減一個數(shù)時向右平移）[/L]
[L]對數(shù)函數(shù)[/L]
[L]對數(shù)函數(shù)的一般形式為 ，它實際上就是指數(shù)函數(shù) 的反函數(shù)。因此指數(shù)函數(shù)里對于a的規(guī)定，同樣適用于對數(shù)函數(shù)。[/L]
[L]右圖給出對于不同大小a所表示的函數(shù)圖形：[/L]
[L]可以看到對數(shù)函數(shù)的圖形只不過的指數(shù)函數(shù)的圖形的關于直線y=x的對稱圖形，因為它們互為反函數(shù)。[/L]
[L]（1）對數(shù)函數(shù)的定義域為大于0的實數(shù)集合。[/L]
[L]（2）對數(shù)函數(shù)的值域為全部實數(shù)集合。[/L]
[L]（3）函數(shù)總是通過（1，0）這點。[/L]
[L]（4）a大于1時，為單調(diào)遞增函數(shù)，并且上凸；a小于1大于0時，函數(shù)為單調(diào)遞減函數(shù)，并且下凹。[/L]
[L]（5）顯然對數(shù)函數(shù)無界。[/L]
[L]
[/L]
[L][/L]
指數(shù)函數(shù)的一般形式為 ，從上面我們對于冪函數(shù)的討論就可以知道，要想使得x能夠取整個實數(shù)集合為定義域，則只有使得
[L]如圖所示為a的不同大小影響函數(shù)圖形的情況。[/L]
[L]可以看到：[/L]
[L]（1） 指數(shù)函數(shù)的定義域為所有實數(shù)的集合，這里的前提是a大于0，對于a不大于0的情況，則必然使得函數(shù)的定義域不存在連續(xù)的區(qū)間，因此我們不予考慮。[/L]
[L]（2） 指數(shù)函數(shù)的值域為大于0的實數(shù)集合。[/L]
[L]（3） 函數(shù)圖形都是下凹的。[/L]
[L]（4） a大于1，則指數(shù)函數(shù)單調(diào)遞增；a小于1大于0，則為單調(diào)遞減的。[/L]
[L]（5） 可以看到一個顯然的規(guī)律，就是當a從0趨向于無窮大的過程中（當然不能等于0），函數(shù)的曲線從分別接近于Y軸與X軸的正半軸的單調(diào)遞減函數(shù)的位置，趨向分別接近于Y軸的正半軸與X軸的負半軸的單調(diào)遞增函數(shù)的位置。其中水平直線y=1是從遞減到遞增的一個過渡位置。[/L]
[L]（6） 函數(shù)總是在某一個方向上無限趨向于X軸,永不相交。[/L]
[L]（7） 函數(shù)總是通過（0，1）這點。[/L]
[L]（8） 顯然指數(shù)函數(shù)無界。 [/L]
[L]奇偶性[/L]
[L]注圖：（1）為奇函數(shù)（2）為偶函數(shù)[/L]
[L]1．定義[/L]
[L] 一般地，對于函數(shù)f(x)[/L]
[L] （1）如果對于函數(shù)定義域內(nèi)的任意一個x，都有f(-x)=－f(x)，那么函數(shù)f(x)就叫做奇函數(shù)。[/L]
[L] （2）如果對于函數(shù)定義域內(nèi)的任意一個x，都有f(-x)=f(x)，那么函數(shù)f(x)就叫做偶函數(shù)。[/L]
[L] （3）如果對于函數(shù)定義域內(nèi)的任意一個x，f(-x)=-f(x)與f(-x)=f(x)同時成立，那么函數(shù)f(x)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)，稱為既奇又偶函數(shù)。[/L]
[L] （4）如果對于函數(shù)定義域內(nèi)的任意一個x，f(-x)=-f(x)與f(-x)=f(x)都不能成立，那么函數(shù)f(x)既不是奇函數(shù)又不是偶函數(shù)，稱為非奇非偶函數(shù)。[/L]
[L] 說明：①奇、偶性是函數(shù)的整體性質，對整個定義域而言[/L]
[L] ②奇、偶函數(shù)的定義域一定關于原點對稱，如果一個函數(shù)的定義域不關于原點對稱，則這個函數(shù)一定不是奇（或偶）函數(shù)。[/L]
[L] （分析：判斷函數(shù)的奇偶性，首先是檢驗其定義域是否關于原點對稱，然后再嚴格按照奇、偶性的定義經(jīng)過化簡、整理、再與f(x)比較得出結論）[/L]
[L] ③判斷或證明函數(shù)是否具有奇偶性的根據(jù)是定義[/L]
[L]2．奇偶函數(shù)圖像的特征：[/L]
[L] 定理 奇函數(shù)的圖像關于原點成中心對稱圖表，偶函數(shù)的圖象關于y軸或軸對稱圖形。[/L]
[L] f(x)為奇函數(shù)《＝＝》f(x)的圖像關于原點對稱[/L]
[L] 點（x,y）→（-x,-y）[/L]
[L] 奇函數(shù)在某一區(qū)間上單調(diào)遞增，則在它的對稱區(qū)間上也是單調(diào)遞增。[/L]
[L] 偶函數(shù) 在某一區(qū)間上單調(diào)遞增，則在它的對稱區(qū)間上單調(diào)遞減。 [/L]
[L]3. 奇偶函數(shù)運算[/L]
[L](1) . 兩個偶函數(shù)相加所得的和為偶函數(shù).[/L]
[L](2) . 兩個奇函數(shù)相加所得的和為奇函數(shù).[/L]
[L](3) . 一個偶函數(shù)與一個奇函數(shù)相加所得的和為非奇函數(shù)與非偶函數(shù).[/L]
[L](4) . 兩個偶函數(shù)相乘所得的積為偶函數(shù).[/L]
[L](5) . 兩個奇函數(shù)相乘所得的積為偶函數(shù).[/L]
[L](6) . 一個偶函數(shù)與一個奇函數(shù)相乘所得的積為奇函數(shù).[/L]
[L]定義域[/L]
[L]（高中函數(shù)定義）設A,B是兩個非空的數(shù)集，如果按某個確定的對應關系f,使對于集合A中的任意一個數(shù)x，在集合B中都有唯一確定的數(shù)f(x)和它對應，那么就稱f:A--B為集合A到集合B的一個函數(shù)，記作y=f(x),x屬于集合A。其中，x叫作自變量，x的取值范圍A叫作函數(shù)的定義域；[/L]
[L]值域[/L]
[L]名稱定義[/L]
[L]函數(shù)中，應變量的取值范圍叫做這個函數(shù)的值域函數(shù)的值域,在數(shù)學中是函數(shù)在定義域中應變量所有值的集合[/L]
[L]常用的求值域的方法[/L]
[L]（1）化歸法；（2）圖象法（數(shù)形結合），[/L]
[L]（3）函數(shù)單調(diào)性法，[/L]
[L]（4）配方法，（5）換元法，（6）反函數(shù)法（逆求法），（7）判別式法，（8）復合函數(shù)法，（9）三角代換法，（10）基本不等式法等
[/L]
[L]關于函數(shù)值域誤區(qū)[/L]
[L]定義域、對應法則、值域是函數(shù)構造的三個基本“元件”。平時數(shù)學中，實行“定義域優(yōu)先”的原則，無可置疑。然而事物均具有二重性，在強化定義域問題的同時，往往就削弱或談化了，對值域問題的探究，造成了一手“硬”一手“軟”，使學生對函數(shù)的掌握時好時壞，事實上，定義域與值域二者的位置是相當?shù)?，絕不能厚此薄皮，何況它們二者隨時處于互相轉化之中（典型的例子是互為反函數(shù)定義域與值域的相互轉化）。如果函數(shù)的值域是無限集的話，那么求函數(shù)值域不總是容易的，反靠不等式的運算性質有時并不能奏效，還必須聯(lián)系函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性、有界性、周期性來考慮函數(shù)的取值情況。才能獲得正確答案，從這個角度來講，求值域的問題有時比求定義域問題難，實踐證明，如果加強了對值域求法的研究和討論，有利于對定義域內(nèi)函的理解，從而深化對函數(shù)本質的認識。[/L]
[L]“范圍”與“值域”相同嗎？[/L]
[L]“范圍”與“值域”是我們在學習中經(jīng)常遇到的兩個概念，許多同學常常將它們混為一談，實際上這是兩個不同的概念?！爸涤颉笔撬泻瘮?shù)值的集合（即集合中每一個元素都是這個函數(shù)的取值），而“范圍”則只是滿足某個條件的一些值所在的集合（即集合中的元素不一定都滿足這個條件）。也就是說:“值域”是一個“范圍”，而“范圍”卻不一定是“值域”。
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