第一章 數(shù)的整除知識(shí)點(diǎn)的整理
1.1 整數(shù)和整除的意義
（1）零和正整數(shù)統(tǒng)稱(chēng)為自然數(shù).
正整數(shù)、零、負(fù)整數(shù)統(tǒng)稱(chēng)為整數(shù).
最小的自然數(shù)是0. 最小的正整數(shù)是1.
例如：12，0，—7都是整數(shù). 1.5，不是整數(shù).
（2）整數(shù)除以整數(shù),如果除得的商是整數(shù)且余數(shù)為零,我們就說(shuō) 能被整除;或者說(shuō)能整除.
例如 24÷2=12 我們說(shuō)：24能被2整除，2能整除24.
注意：“3個(gè)字換,4個(gè)字不換”.
（3）數(shù)除以數(shù),如果商是整數(shù)或有限小數(shù),我們就說(shuō)能被除
盡;或者說(shuō)能除盡.如果商是無(wú)限循環(huán)小數(shù),我們就說(shuō)不
能被除盡;或者說(shuō)除不盡.
例題1 下列哪一個(gè)算式的被除數(shù)能被除數(shù)整除？
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10÷3 48÷8 6÷4
解：∵10÷3=3.3
∴10不能被3除盡，或3除不盡10.
∵48÷8=6
∴48能被8整除，或8能整除48.
∵6÷4=1.5
∴6能被4除盡，或4能除盡6.
整除的條件: 1. 被除數(shù)、除數(shù)都是整數(shù).
2. 商是整數(shù)而且余數(shù)為零.
1.2 因數(shù)和倍數(shù)
（1）整數(shù)能被整數(shù)整除,叫做的倍數(shù),叫做的因數(shù)(也稱(chēng)為約數(shù)).
例如 12÷2=6 我們說(shuō)：12是2的倍數(shù)，2是12的因數(shù).
一般情況下，大數(shù)是小數(shù)的倍數(shù)，小數(shù)是大數(shù)的因數(shù).
例題2 分別寫(xiě)出16和13的因數(shù).
解：16的因數(shù)有1，2，4，8，16.
13的因數(shù)有1，13.
☆求因數(shù)的方法:用除法,從1開(kāi)始試到這個(gè)數(shù)本身.
☆一個(gè)整數(shù)的因數(shù)有有限個(gè),其中最小的因數(shù)是1,最大的因數(shù)是它本身.
例題3 寫(xiě)出2和5的倍數(shù).
解：2的倍數(shù)有2，4，6，8，10，…
5的倍數(shù)與5，10，15，20，25，…
☆求倍數(shù)的方法:用乘法,從這個(gè)數(shù)本身開(kāi)始,找它的2倍,3倍,…
☆一個(gè)整數(shù)的倍數(shù)有無(wú)數(shù)個(gè),最小的倍數(shù)是它本身,最大的倍數(shù)是沒(méi)有.
1.3 能被2，5，3整除的數(shù)
（1）能被2整除的數(shù)個(gè)位上是0,2,4,6,8.
能被2整除的整數(shù)叫做偶數(shù)，不能被2整除的整數(shù)叫做奇數(shù).
奇數(shù)的個(gè)位上是1,3,5,7,9.
偶數(shù)的個(gè)位上是0,2,4,6,8.
注意：0，—2，—4也是偶數(shù)，—1，—3也是奇數(shù).
（2）能被5整除的數(shù)個(gè)位上是0或5.
既能被2整除又能被5整除的數(shù)個(gè)位上是0.
（3）能被3整除的數(shù)的各位數(shù)字之和能被3整除.
1.4 素?cái)?shù)、合數(shù)與分解素因數(shù)
（1）一個(gè)正整數(shù),如果只有1和它本身兩個(gè)因數(shù),這樣的數(shù)叫做素?cái)?shù)(或質(zhì)數(shù)). 如果除了1和它本身以外還有別的因數(shù),這樣的數(shù)叫做合數(shù).
素?cái)?shù): 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19,…
合數(shù): 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15,…
☆2是最小的素?cái)?shù),唯一的偶素?cái)?shù). 4是最小的合數(shù).
9是最小的奇合數(shù).
☆1既不是素?cái)?shù),也不是合數(shù).這樣正整數(shù)又可以分成1、素?cái)?shù)和合數(shù)三類(lèi).
☆100以?xún)?nèi)的素?cái)?shù)有2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，31，37，41，43，47，53，59，61，67，71，73，79，83，89，97. 共25個(gè).
2~100的正整數(shù)中,除2,3,5,7以外,不是2,3,5,7的倍數(shù)的數(shù)都是
素?cái)?shù).
例題4 判斷18，27，29，35，37，91是素?cái)?shù)還是合數(shù).
解：29，37是素?cái)?shù).（它們不是2，3，5，7的倍數(shù)）
18，27，35，91是合數(shù).（它們分別是2，3，5，7的倍數(shù)）
（2）每個(gè)合數(shù)都可以寫(xiě)成幾個(gè)素?cái)?shù)相乘的形式,其中每個(gè)素?cái)?shù)都是這個(gè)合數(shù)的因數(shù),叫做這個(gè)合數(shù)的素因數(shù).把一個(gè)合數(shù)用素因數(shù)相乘的形式表示出來(lái)，叫做分解素因數(shù).
☆素因數(shù)既是素?cái)?shù),也是合數(shù)的因數(shù).
例題5 把60分解素因數(shù).
解：
注意：60的素因數(shù)有2，2，3，5. 共4個(gè).
☆用短除法分解素因數(shù)
(1)用2,3,5,7,…作為除數(shù)去試商. (2)直到商為素?cái)?shù).
(3)將除數(shù)和商一起從小到大寫(xiě)成連乘的形式.
1.5 公因數(shù)與最大公因數(shù)
（1）幾個(gè)數(shù)公有的因數(shù),叫做這幾個(gè)數(shù)的公因數(shù);其中最大的一個(gè)叫做這幾個(gè)數(shù)的最大公因數(shù).
例如:24和32的公因數(shù)有1,2,4,8. 最大公因數(shù)是8.
（2）如果兩個(gè)整數(shù)只有公因數(shù)1,那么稱(chēng)這兩個(gè)數(shù)互素.
注意：(1)兩個(gè)不同的素?cái)?shù)一定互素.例如:3和7.
(2)連續(xù)的正整數(shù)一定互素.例如:14和15.
(3)1與任意正整數(shù)互素.例如:1和8.
(4)一個(gè)是素?cái)?shù),另一個(gè)是合數(shù),但合數(shù)不是素?cái)?shù)的倍數(shù),
這兩個(gè)數(shù)互素.例如:16和23.
(5)最大公因數(shù)為1的兩個(gè)合數(shù)互素.例如:4和9.
例題6 求18和30的最大公因數(shù).（分解素因數(shù)法）
解：
∴18和30的最大公因數(shù)為.
☆最大公因數(shù)=公有素因數(shù)的乘積
例題7 求48和60的最大公因數(shù).（短除法）
解：
∴48和60的最大公因數(shù)為.
☆用公有素因數(shù)作為除數(shù),連續(xù)去除直到商互素.最大公因數(shù)=所有除數(shù)的乘積.
（3）兩個(gè)整數(shù)中,如果兩個(gè)數(shù)有倍數(shù)關(guān)系,那么最大公因數(shù)為它們的較小數(shù).如果兩個(gè)數(shù)互素,那么最大公因數(shù)為1.
例如：3和15的最大公因數(shù)為3.
6和7的最大公因數(shù)為1.
1.6 公倍數(shù)與最小公倍數(shù)
（1）幾個(gè)整數(shù)公有的倍數(shù)叫做它們的公倍數(shù),其中最小的一個(gè)叫做的它們的最小公倍數(shù).
例如:3和4的公倍數(shù)有12,24,… 最小公倍數(shù)是12.
例題8 求18和30的最小公倍數(shù).（分解素因數(shù)法）
解：
∴18和30的最小公倍數(shù)為.
☆最小公倍數(shù)=公有素因數(shù)和剩余素因數(shù)連乘的積.
例題9 求36和48的最小公倍數(shù).（短除法）
解：
∴36和48的最小公倍數(shù)為.
☆用公有素因數(shù)作為除數(shù),連續(xù)去除直到商互素.最小公倍數(shù)=所有除數(shù)和商的乘積.
（2）兩個(gè)整數(shù)中，如果兩個(gè)數(shù)有倍數(shù)關(guān)系,那么最小公倍數(shù)為它們的較大數(shù). 如果兩個(gè)數(shù)互素,那么最小公倍數(shù)為它們的乘積.
例如：3和15的最小公倍數(shù)為15.
6和7的最小公倍數(shù)為6×7=42.
拓展 求三個(gè)整數(shù)的最小公倍數(shù)
例題 求8，12和30的最小公倍數(shù).
8，12和30的最小公倍數(shù)為2×2×3×2×1×5=120.
☆先用三個(gè)數(shù)的公因數(shù)2；再用兩個(gè)數(shù)的公因數(shù)2,3；直到任意兩
個(gè)商都互素，把所有的除數(shù)和商都相乘.
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