第三講 創(chuàng)造的基石——觀察、歸納與猜想
當代著名科學家波普爾說過：我們的科學知識，是通過未經(jīng)證明的和不可證明的預言，通過猜測，通過對問題的嘗試性解決，通過猜想而進步的．
從某種意義上說，一部數(shù)學史就是猜想與驗證猜想的歷史．20世紀數(shù)學發(fā)展中巨大成果是，1995年英國數(shù)學家維爾斯證明了困擾數(shù)學界長達350多年的“費爾馬大猜想”，而著名的哥德巴赫猜想，已經(jīng)歷經(jīng)了兩個半世紀的探索，尚未被人證實猜想的正確性．
當一個問題涉及相當多的乃至無窮多的情形時，我們可以從問題的簡單情形或特殊情況人手，通過對簡單情形或特殊情況的試驗，從中發(fā)現(xiàn)一般規(guī)律或作出某種猜想，從而找到解決問題的途徑或方法，這種研究問題的方法叫歸納猜想法，是創(chuàng)造發(fā)明的基石．
例題
【例1】 (1)用●表示實圓，用○表示空心圓，現(xiàn)有若干實圓與空心圓按一定規(guī)律排列如下：
●○●●○●●●○●○●●○●●●○●○●●○●●●○……
問：前2001個圓中，有 個空心圓．
(江蘇省泰州市中考題)
(2)古希臘數(shù)學家把數(shù)1，3，6，10，15，
(舟山市中考題)
思路點撥 (1)仔細觀察，從第一個圓開始，若干個圓中的實圓數(shù)循環(huán)出現(xiàn)，而空心圓的個數(shù)不變；
（2）每個三角形數(shù)可用若干個數(shù)表示．
【例2】觀察下列圖形，并閱讀圖形下面的相關文字：
像這樣，10條直線相交，最多交點的個數(shù)是( )．
A．40個 B．45個 C．50個 D．55個
(湖北省荊門市中考題)
思路點撥 隨著直線數(shù)的增加，最多交點也隨著增加，從給定的圖形中，探討每增加一條直線，最多交點的增加數(shù)與原有直線數(shù)的關系．是解本例的關鍵．
【例3】化簡
思路點撥 先考察
【例4】古人用天干和地支記次序，其中天干有10個：甲乙丙丁戊己庚辛壬癸；地支有12個：子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥，將天干的10個漢字和地支的12個漢字分別循環(huán)排列成如下兩行； ．
甲乙丙丁戊己庚辛壬癸甲乙丙丁戊己庚辛壬癸……
子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥……
從左向右數(shù)，第l列是甲子，第3列是丙寅…，問當?shù)诙渭缀妥釉谕涣袝r，
該列的序號是多少? ( “希望杯”邀請賽試題)
思路點撥 把“甲”、“子”在第一行、第二行出現(xiàn)的位置分別用相應的代數(shù)式表示，將實際問題轉化為數(shù)學問題求解．
注： 觀察是解決問題的先導，發(fā)現(xiàn)往往走從觀察開始的，歸納與猜想是建立在細致而深刻的觀察基礎上的，解題中的觀察活動主要有三條途徑：
(1)數(shù)與式的特征觀察；(2)圖形的結構觀察；(3)通過對簡單、特殊情況的觀察，再推廣到一般情況．
歸納總是與遞推聯(lián)系在一起的，所謂遞推，就是在歸納的基礎上，發(fā)現(xiàn)每一步與前一步或前幾步之間的聯(lián)系，更容易發(fā)現(xiàn)規(guī)律嘎證明通過歸蚋所猜測的規(guī)律的正確性．
【例5】 圖(a)、(b)、(c)、(d)都稱作平面圖．
圖 | 頂點數(shù) | 邊數(shù) | 區(qū)域數(shù) |
(a) | 4 | 6 | 3 |
(b) | |||
(c) | |||
(d) |
(1)數(shù)一數(shù)每個圖各有多少個頂點，多少條邊，這些邊圍出了多少區(qū)域，將結果填人表中(其中(a)已填好)．
(2)觀察表，推斷一個平面圖的頂點數(shù)、邊數(shù)、區(qū)域數(shù)之間有什么關系?
(3)現(xiàn)已知某一平面圖有999個頂點和999個區(qū)域，試根據(jù)(2)中推斷出的關系，確定這個圖有多少條邊?
( “華杯賽”決賽試題)
思路點撥 從特殊情況人手，仔細觀察、分析、試驗和歸納，從而發(fā)現(xiàn)其中的共同規(guī)律，這是解本例的關鍵．
學力訓練
1．(1)如右圖的三角形數(shù)組是我國古代數(shù)學家楊輝發(fā)現(xiàn)的，稱為楊輝三角形，根據(jù)圖中的數(shù)構成的規(guī)律，
1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
(第1題)
(2)觀察—列數(shù)：3，8，13，18，23，28，…依此規(guī)律，在此數(shù)列中比2000大的最小整數(shù)是 ．(2003年金華市中考題)
2．如圖是2002年6月份的日歷．現(xiàn)用一矩形在日歷中任意框出4個數(shù)
(安徽省中考題)
3．下面由火柴棒拼出的一列圖形中，第
通過觀察可以發(fā)現(xiàn)；
(1)第4個圖形中火柴棒的根數(shù)是 ；
(2)第
4．小王利用計算機設計了一個計算程序，輸入和輸出的數(shù)據(jù)如下表，那么當輸入數(shù)據(jù)是8時，輸出的數(shù)據(jù)是( )．
輸入 | … | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | … |
輸出 | … | … |
A．
5，在以下兩個數(shù)串中：
1，3，5，7，…，1991，1993，1995，1997，1999和1，4，7，10，…，1990，1993，1996．1990同時出現(xiàn)在這兩個數(shù)串中的數(shù)的個數(shù)共有( )個．
A．333 B．
(“希望杯”邀請賽試題)
6．圖①是一個水平擺放的小正方體木塊，圖②、③是由這樣的小正方體木塊疊放而成，按照這樣的規(guī)律繼續(xù)疊放下去，至第七個疊放的圖形中，小正方體木塊總數(shù)應是( )．
A．25 B．
7．一串數(shù)排成一行，它們的規(guī)律是這樣的：頭兩個數(shù)都是l，從第三個數(shù)開始，每一個數(shù)都是前兩個數(shù)的和，也就是1，1，2，3，5，8，13，21，34，55…，問：這串數(shù)的前100個數(shù)中(包括第100個數(shù))，有多少個偶數(shù)? (“華杯”賽試題)
8．自然數(shù)按下表的規(guī)律排列
(1)求上起第10行，左起第13列的數(shù)；
(2)數(shù)127應在上起第幾行、左起第幾列? (北京市“迎春杯”競賽題)
9．(1)觀察下列各式，你會發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律?
3×5＝15， 而15=42一1，
5×7＝35， 而35＝62一l，
… …
將你猜想到的規(guī)律用只含一個字母的式子表示出來 ．
(2000年濟南市中考題)
（2）將l，
從表中可以看到第4行中，自左向右第3個數(shù)是
(希望杯”邀請賽試題)
10．有一列數(shù)
……
則第
11．一個正方體，它的每一個面上寫有一個字，組成“數(shù)學奧林匹克”．有三個同學從不同的角度看到的結果依次如圖所示，那么，“學”字對面的字為 ． (重慶市競賽題)
12．用盆栽菊花擺在如圖所示的大小相同的7個正方形花壇的邊緣，正方形每邊都等距離地擺n(n≥3)盆花．那么所需菊花的總盆數(shù)s與n的關系可以表示為 ．
( “希望杯”邀請賽試題)
13．如果一個序列{
9900 B．
14．將正偶數(shù)按下表排成5列
第1列 第2列 第3列 第4列 第5列
第1行 2 4 6 8
第2行 16 14 12 10
第3行 18 20 22 24
．．．．．． ．．．．．． 28 26
根據(jù)上面排列規(guī)律，則2000應在( )．
A．第125行，第1列 B．第125行，第2列
C．第250行，第1列 D．第250行，第2列
(2001年湖北省荊州市中考題)
15．(1)設n為自然數(shù)，具有下列形式
(2)化簡
16．(1)圖①是正方體木塊，把它切去一塊，可能得到形如圖②、③、④、⑤的木塊．
我們知道，圖①的正方體木塊有8個頂點，12條棱，6個面，請你將圖②、③、④、
圖 | 頂點數(shù) | 棱數(shù) | 面數(shù) |
① | 8 | 6 | 3 |
② | |||
③ | |||
④ | |||
⑤ |
⑤中木塊的頂點數(shù)、棱數(shù)、面數(shù)填人下表：
{2}觀察此表，請你歸納上述各種木塊的頂點數(shù)、棱數(shù)、面數(shù)之間的數(shù)雖關系是： ．
(3)圖⑥是用虛線畫出的正方體木塊，請你想象一種與圖②~⑤不同的切法，把切去一塊后得到的那一塊的每條棱都改畫成實線，則該木塊的頂點數(shù)為 ，棱數(shù)為 ，面數(shù)為 ．
17．怎樣的兩個數(shù)，它們的和等于它們的積?你大概馬上就會想到2+2＝2×2．其實這樣的兩個數(shù)還有很多，例如：
(1)你能再寫出一些這樣的兩個數(shù)嗎?你能從中發(fā)現(xiàn)一些規(guī)律嗎?
(2)你能否提出一些類似的問題?在你提出的問題中選擇一個問題進行研究．
18．觀察按下列規(guī)則排成的一列數(shù)：
(1)在（※）中，從左起第
(2)在（※）中，未經(jīng)約分且分母為2的數(shù)記為
(湖北省競賽題)
參考答案
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