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       數(shù)學(xué)奧數(shù)基礎(chǔ)教程(小學(xué)五年級)目30講全

小學(xué)奧數(shù)基礎(chǔ)教程(五年級)

第1講數(shù)字迷（一）

第2講 數(shù)字謎(二)

第3講 定義新運(yùn)算(一)

第4講 定義新運(yùn)算(二)

第5講 數(shù)的整除性(一)

第6講 數(shù)的整除性(二)

第7講 奇偶性（一）

第8講 奇偶性（二）

第9講 奇偶性（三）

第10講 質(zhì)數(shù)與合數(shù)

第11講 分解質(zhì)因數(shù)

第12講 最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)（一）

第13講最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)（二）

第14講 余數(shù)問題

第15講 孫子問題與逐步約束法

第16講 巧算24

第17講 位置原則

第18講 最大最小

第19講 圖形的分割與拼接

第20講 多邊形的面積

第21講 用等量代換求面積

第22 用割補(bǔ)法求面積

第23講 列方程解應(yīng)用題

第24講 行程問題（一）

第25講 行程問題（二）

第26講 行程問題（三）

第27講 邏輯問題（一）

第28講 邏輯問題（二）

第29講 抽屜原理(一)

第30講 抽屜原理(二)

第1講 數(shù)字謎（一）

數(shù)字謎的內(nèi)容在三年級和四年級都講過，同學(xué)們已經(jīng)掌握了不少方法。例如用猜想、拼湊、排除、枚舉等方法解題。數(shù)字謎涉及的知識多，思考性強(qiáng)，所以很能鍛煉我們的思維。   這兩講除了復(fù)習(xí)鞏固學(xué)過的知識外，還要講述數(shù)字謎的代數(shù)解法及小數(shù)的除法豎式問題。

例1 把 ，-，×，÷四個運(yùn)算符號，分別填入下面等式的○內(nèi)，使等

小學(xué)奧數(shù)基礎(chǔ)教程（五年級） 式成立（每個運(yùn)算符號只準(zhǔn)使用一次）：（5○13○7）○（17○9）=12。   分析與解：因?yàn)檫\(yùn)算結(jié)果是整數(shù)，在四則運(yùn)算中只有除法運(yùn)算可能出現(xiàn)分?jǐn)?shù)，所以應(yīng)首先確定“÷”的位置。   當(dāng)“÷”在第一個○內(nèi)時，因?yàn)槌龜?shù)是13，要想得到整數(shù)，只有第二個括號內(nèi)是13的倍數(shù)，此時只有下面一種填法，不合題意。   （5÷13-7）×（17 9）。   當(dāng)“÷”在第二或第四個○內(nèi)時，運(yùn)算結(jié)果不可能是整數(shù)。

當(dāng)“÷”在第三個○內(nèi)時，可得下面的填法：（5 13×7）÷（17-9）=12。

例2 將1～9這九個數(shù)字分別填入下式中的□中，使等式成立：□□□×□□=□□×□□=5568。   解：將5568質(zhì)因數(shù)分解為5568=26×3×29。由此容易知道，將 5568分解為兩個兩位數(shù)的乘積有兩種：58×96和64×87，分解為一個兩位數(shù)與一個三位數(shù)的乘積有六種：

12×464，16×348， 24×232，   29×192， 32×174， 48×116。   顯然，符合題意的只有下面一種填法：174×32=58×96=5568。   例3 在443后面添上一個三位數(shù)，使得到的六位數(shù)能被573整除。   分析與解：先用443000除以573，通過所得的余數(shù)，可以求出應(yīng)添的三位數(shù)。由

443000÷573=773??71  推知， 443000 （573-71）=443502一定能被573整除，所以應(yīng)添502。   例4 已知六位數(shù)33□□44是89的倍數(shù)，求這個六位數(shù)。

分析與解：因?yàn)槲粗臄?shù)碼在中間，所以我們采用兩邊做除法的方法求解。

先從右邊做除法。由被除數(shù)的個位是4，推知商的個位是6；由左下式知，十位相減后的差是1，所以商的十位是9。這時，雖然89×96=8544，但不能認(rèn)為六位數(shù)中間的兩個□內(nèi)是85，因?yàn)檫€沒有考慮前面兩位數(shù)。

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再從左邊做除法。如右上式所示，a可能是6或7，所以b只可能是7或8。

由左、右兩邊做除法的商，得到商是3796或3896。由3796×89=337844， 3896×89=346744   知，商是3796，所求六位數(shù)是337844。

例5 在左下方的加法豎式中，不同的字母代表不同的數(shù)字，相同的字母代表相同的數(shù)字，請你用適當(dāng)?shù)臄?shù)字代替字母，使加法豎式成立。

分析與解：先看豎式的個位。由Y N N=Y或Y  10，推知N要么是0，要么是5。如果N=5，那么要向上進(jìn)位，由豎式的十位加法有T E E 1=T或T 10，等號兩邊的奇偶性不同，所以N≠5，N=0。

此時，由豎式的十位加法T E E=T或T 10， E不是0就是5，但是N=0，所以E=5。

豎式千位、萬位的字母與加數(shù)的千位、萬位上的字母不同，說明百位、千位加法都要向上進(jìn)位。因?yàn)?span lang="EN-US">N=0，所以I≠0，推知I=1，O=9，說明百位加法向千位進(jìn)2。

再看豎式的百位加法。因?yàn)槭患臃ㄏ虬傥贿M(jìn)1，百位加法向千位進(jìn)2，且X≠0或1，所以R T T 1≥22，再由R，T都不等于9知，T只能是7或8。

若T=7，則R=8，X=3，這時只剩下數(shù)字2，4，6沒有用過，而S只比F大1，S，F不可能是2，4，6中的數(shù)，矛盾。

若T=8，則R只能取6或7。R=6時，X=3，這時只剩下2，4，7，同上理由，出現(xiàn)矛盾；R=7時，X=4，剩下數(shù)字2，3，6，可取F=2，S=3，Y=6。   所求豎式見上頁右式。

解這類題目，往往要找準(zhǔn)突破口，還要整體綜合研究，不能想一步填一個數(shù)。這個題目是美國數(shù)學(xué)月刊上刊登的趣題，豎式中從上到下的四個詞分別是 40， 10， 10， 60，而 40 10 10正好是60，真是巧極了！   例6 在左下方的減法算式中，每個字母代表一個數(shù)字，不同的字母代表不同的數(shù)字。請你填上適當(dāng)?shù)臄?shù)字，使豎式成立。

分析與解：按減法豎式分析，看來比較難。同學(xué)們都知道，加、減法互為逆運(yùn)算，是否可以把減法變成加法來研究呢（見右上式）？不妨試試看。

因?yàn)榘傥患臃ㄖ荒芟蚯贿M(jìn)1，所以E=9，A=1，B=0。

如果個位加法不向上進(jìn)位，那么由十位加法1 F=10，得F=9，與E=9矛盾，所以個位加法向上進(jìn)1，由1 F 1=10，得到F=8，這時C=7。余下的數(shù)字有2，3，4，5，6，由個位加法知，G比D大2，所以G，D分別可取4，2或5，3或6，4。   所求豎式是

解這道題啟發(fā)我們，如果做題時遇到麻煩，不妨根據(jù)數(shù)學(xué)的有關(guān)概念、法則、定律把原題加以變換，將不熟悉的問題變?yōu)槭煜さ膯栴}。另外，做題時要考慮解的情況，是否有多個解。  練習(xí)1

1.在一個四位數(shù)的末尾添零后，把所得的數(shù)減去原有的四位數(shù)，差是621819，求原來的四位數(shù)。   2.在下列豎式中，不同的字母代表不同的數(shù)字，相同的字母代表相同的數(shù)字。請你用適當(dāng)?shù)臄?shù)字代替字母，使豎式成立：

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3.在下面的算式中填上括號，使  求豎式。

得計(jì)算結(jié)果最大：1÷2÷3÷4÷5÷6  例3 左下方的除法豎式中只有一÷7÷8÷9。

個8，請?jiān)凇鮾?nèi)填入適當(dāng)?shù)臄?shù)字，使除  4.在下面的算式中填上若干個法豎式成立。

（ ），使得等式成立：1÷2÷3÷4÷

5÷6÷7÷8÷9=2.8。

5.將1～9分別填入下式的□中，使等式成立：□□×□□=□□×□□□=3634。

6.六位數(shù)391□□□是789的倍數(shù)，求這個六位數(shù)。

7.已知六位數(shù)7□□888是83的  解：豎式中除數(shù)與8的積是三位倍數(shù)，求這個六位數(shù)。

數(shù)，而與商的百位和個位的積都是四 第2講 數(shù)字謎（二）

位

這一講主要講數(shù)字謎的代數(shù)解法

及小數(shù)的除法豎式問題。

例1 在下面的算式中，不同的字母代表不同的數(shù)字，相同的字母代表相

數(shù)，所以x=112，被除數(shù)為989×

分析與解：這道題可以從個位開始，112=110768。右上式為所求豎式。比較等式兩邊的數(shù)，逐個確定各個

代數(shù)解法雖然簡潔，但只適用于

一些特殊情況，大多數(shù)情況還要用傳統(tǒng)的方法。

例4 在□內(nèi)填入適當(dāng)數(shù)字，使下頁左上方的小數(shù)除法豎式成立。   分析與解：先將小數(shù)除法豎式化 為我們較熟悉的整數(shù)除法豎式（見下

（100000 x）×3=10x 1， 頁右上方豎式）。可以看出，除數(shù)與    300000 3x=10x 1， 商的后三位數(shù)的乘積是1000=23×53的        7x=299999， 倍數(shù)，即除數(shù)和商的后三位數(shù)一個是        x=42857。23=8的倍數(shù)，另一個是53=125的奇數(shù)  這種代數(shù)方法干凈利落，比用傳倍，因?yàn)槌龜?shù)是兩位數(shù)，所以除數(shù)是8統(tǒng)方法解簡潔。我們再看幾個例子。的倍數(shù)。又由豎式特點(diǎn)知a=9，從而除  例2 在□內(nèi)填入適當(dāng)?shù)臄?shù)字，使數(shù)應(yīng)是

96

左下方的乘法豎式成立。

的兩位數(shù)的約數(shù)，可能的取值有96，48，32，24和16。因?yàn)椋?span lang="EN-US">c=5，5與除數(shù)的乘積仍是兩位數(shù)，所以除數(shù)

只能是16，進(jìn)而推知b=6。因?yàn)樯痰暮笕粩?shù)是125的奇數(shù)倍，只能是125，375，625和875之一，經(jīng)試驗(yàn)只能取375。至此，已求出除數(shù)為16，商為6.375，故被除數(shù)為6.375×16=102。右式即為所求豎式。

求解此類小數(shù)除法豎式題，應(yīng)先將其化為整數(shù)除法豎式，如果被除數(shù)的末尾出現(xiàn)n個0，則在除數(shù)和商中，一個含有因子2n（不含因子5），另一個含有因子5n（不含因子2），以此為突破口即可求解。

例5 一個五位數(shù)被一個一位數(shù)除得到下頁的豎式（1），這個五位數(shù)被另一個一位數(shù)除得到下頁的豎式（2），求這個五位數(shù)。

分析與解：由豎式（1）可以看出被除數(shù)為10**0（見豎式（1）'），豎式（1）的除數(shù)為3或9。在豎式（2）中，被除數(shù)的前兩位數(shù)10不能被整數(shù)整除，故除數(shù)不是2或5，而被除數(shù)的后兩位數(shù)*0能被除數(shù)整除，所以除數(shù)是4，6或8。

當(dāng)豎式（1）的除數(shù)為3時，由豎式（1）'知， a=1或2，所以被除數(shù)為100*0或101*0，再由豎式（2）中被除數(shù)的前三位數(shù)和后兩位數(shù)分別能被除數(shù)整除，可得豎式（2）的除數(shù)為4，被除數(shù)為10020；

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當(dāng)豎式（1）的除數(shù)為9時，由能被9整除的數(shù)的特征，被除數(shù)的百位與十位數(shù)字之和應(yīng)為8。因?yàn)樨Q式（2）的除數(shù)只能是4，6，8，由豎式（2）知被除數(shù)的百位數(shù)為偶數(shù)，故被除數(shù)只有10080，10260，10440和10620四種可能，最后由豎式（2）中被除數(shù)的前三位數(shù)和后兩位數(shù)分別能被除數(shù)整除，且十位數(shù)不能被除數(shù)整除，可得豎式（2）的除數(shù)為8，被除數(shù)為10440。

所以這個五位數(shù)是10020或

10440。   練習(xí)2

1.下面各算式中，相同的字母代表相同的數(shù)字，不同的字母代表不同的

2.用代數(shù)方法求解下列豎式：

3.在□內(nèi)填入適當(dāng)?shù)臄?shù)字，使下列小數(shù)除法豎式成立：

第3講 定義新運(yùn)算（一）   我們已經(jīng)學(xué)習(xí)過加、減、乘、除

運(yùn)算，這些運(yùn)算，即四則運(yùn)算是數(shù)學(xué)中最基本的運(yùn)算，它們的意義、符號及運(yùn)算律已被同學(xué)們熟知。除此之外，還會有什么別的運(yùn)算嗎？這兩講我們就來研究這個問題。這些新的運(yùn)算及其符號，在中、小學(xué)課本中沒有統(tǒng)一的定義及運(yùn)算符號，但學(xué)習(xí)討論這些

- 3 -

新運(yùn)算，對于開拓思路及今后的學(xué)習(xí)都大有益處。

例1 對于任意數(shù)a，b，定義運(yùn)算“*”： a*b=a×b-a-b。  求12*4的值。

分析與解：根據(jù)題目定義的運(yùn)算要求，直接代入后用四則運(yùn)算即可。 12*4=12×4-12-4=48-12-4=32。

根據(jù)以上的規(guī)定，求10△6 的值。

3，x>=2，求x的值。

分析與解：按照定義的運(yùn)算，   =2，

x=6。

由上面三例看出，定義新運(yùn)算通常是用某些特殊符號表示特定的運(yùn)算意義。新運(yùn)算使用的符號應(yīng)避免使用課本上明確定義或已經(jīng)約定俗成的符號，如，-，×，÷，＜，＞等，以防止發(fā)生混淆，而表示新運(yùn)算的運(yùn)算意義部分，應(yīng)使用通常的四則運(yùn)算符

號。如例1中，a*b=a×b-a-b，新運(yùn)算符號使用“*”，而等號右邊新運(yùn)算的意義則用四則運(yùn)算來表示。

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分析與解：按新運(yùn)算的定義，符  分析與解：1！=1， 號“⊙”表示求兩個數(shù)的平均數(shù)。

2！=1×2=2，

3！=1×2×3=6，   4！=1×2×3×4=24，

5！=1×2×3×4×5=120，   6！=1×2×3×4×5×6=720，

四則運(yùn)算中的意義相同，即先進(jìn)  ??

行小括號中的運(yùn)算，再進(jìn)行小括號外  由此可推知，從5！開始，以后6！，面的運(yùn)算。

7！，8！，?，100！的末位數(shù)字都是

0。

所以，要求1！ 2！ 3！ ? 100！的個位數(shù)字，只要把1！至4！的個位數(shù)字相加便可求得：1 26 4=13。所

求的個位數(shù)字是3。

例7 如果m，n表示兩個數(shù)，那么

規(guī)定：m¤n=4n-（m n）÷2。   求3¤（4¤6）¤12的值。

按通常的規(guī)則從左至右進(jìn)行運(yùn)算。

解：3¤（4¤6）¤12

=3¤[4×6-（4 6）÷2]¤12  =3¤19¤12

=[4×19-（319）÷2]¤12   =65¤12

=4×12-（6512）÷2    =9.5。 練習(xí)3

1.對于任意的兩個數(shù)a和b，規(guī)定 a*b=3×a-b÷3。求8*9的值。 2.已知a

b表示a除以3的余數(shù)再

乘以b，求134的值。

3.已知a

b表示（a-b）÷（a b），

分析與解：從已知的三式來看，試計(jì)算：（5

3）

（10

6）。

運(yùn)算“

”表示幾個數(shù)相加，每個加

4.規(guī)定a◎b表示a與b的積與a除以

數(shù)各數(shù)位上的數(shù)都是符號前面的那個b所得的商的和，求8◎2的值。 數(shù)，而符號后面的數(shù)是幾，就表示幾  5.假定m◇n表示m的3倍減去n個數(shù)之和，其中第1個數(shù)是1位數(shù)，的2倍，即 m◇n=3m-2n。

第2個數(shù)是2位數(shù)，第3個數(shù)是3位

數(shù)??按此規(guī)定，得 3

5=3 33 333 3333 33333=37035。

（2）已知x◇（4◇1）=7，求x的值。

從例5知，有時新運(yùn)算的規(guī)定不是很明顯，需要先找規(guī)律，然后才能

進(jìn)行運(yùn)算。

例6 對于任意自然數(shù)，定義：n！

=1×2×? ×n。

例如 4！=1×2×3×4。那么1！

 2！ 3！ ? 100！的個位數(shù)字是幾？

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7.對于任意的兩個數(shù)P， Q，規(guī)定 P☆Q=（P×Q）÷4。例如：2☆8=（2×8）÷4。已知x☆（8☆5）=10，求x的值。

8.定義： a△b=ab-3b，ab=4a-b/a。計(jì)算：（4△3）△（2b）。

9.已知： 23=2×3×4，

4

5=4×5×6×7×8，??

求（44）÷（3

3）的值。

第4講 定義新運(yùn)算（二）

例1 已知a※b=（a b）-（a-b），求9※2的值。

分析與解：這是一道很簡單的題，把a=9，b=2代入新運(yùn)算式，即可算出結(jié)果。但是，根據(jù)四則運(yùn)算的法則，我們可以先把新運(yùn)算“※”化簡，再求結(jié)果。

a※b=（ab）-（a-b）   =a b-a b=2b。   所以，9※2=2×2=4。   由例1可知，如果定義的新運(yùn)算是用四則混合運(yùn)算表示，那么在符合四則混合運(yùn)算的性質(zhì)、法則的前提下，不妨先化簡表示式。這樣，可以既減少運(yùn)算量，又提高運(yùn)算的準(zhǔn)確度。   例2 定義運(yùn)算：a⊙b=3a 5ab kb，  其中a，b為任意兩個數(shù)，k為常數(shù)。比如：2⊙7=3×2 5×2×7 7k。   （1）已知5⊙2=73。問：8⊙5與5⊙8的值相等嗎？

（2）當(dāng)k取什么值時，對于任何不同的數(shù)a，b，都有a⊙b=b⊙a，   即新運(yùn)算“⊙”符合交換律？   分析與解：（1）首先應(yīng)當(dāng)確定新運(yùn)算中的常數(shù)k。因?yàn)?span lang="EN-US">5⊙2=3×5 5×5×2 k×2    =65 2k，

所以由已知 5⊙2=73，得65 2k=73，求得k=（73-65）÷2=4。定義的新運(yùn)算是：a⊙b=3a 5ab 4b。   8⊙5=3×8 5×8×5 4×5=244，  5⊙8=3×5 5×5×8 4×8=247。   因?yàn)?span lang="EN-US">244≠247，所以8⊙5≠5⊙8。

（2）要使a⊙b=b⊙a，由新運(yùn)算的定義，有

3a 5ab kb=3b 5ab ka，  3a kb-3b-ka=0，   3×(a-b)-k(a-b)=0，   (3-k)(a-b)=0。

對于兩個任意數(shù)a，b，要使上式成立，必有3-k=0，即k=3。   當(dāng)新運(yùn)算是a⊙b=3a5ab 3b時，具有交換律，即 a⊙b=b⊙a。   例3 對兩個自然數(shù)a和b，它們的最小公倍數(shù)與最大公約數(shù)的差，定義為a☆b，即a☆b=[a，b]-（a，b）。   比如，10和14的最小公倍數(shù)是70，最大公約數(shù)是2，那么10☆14=70-2=68。

（1）求12☆21的值；

（2）已知6☆x=27，求x的值。  分析與解：（1）12☆21=[12，21]-（12，21）=84-3=81；

（2）因?yàn)槎x的新運(yùn)算“☆”沒有四則運(yùn)算表達(dá)式，所以不能直接把數(shù)代入表達(dá)式求x，只能用推理的方法。

因?yàn)?span lang="EN-US">6☆x=[6，x]-（6，x）=27，而6與x的最大公約數(shù)（6，x）只能是1，2，3，6。所以6與x的最小公倍數(shù)[6，x]只能是28， 29， 30， 33。這四個數(shù)中只有 30是 6的倍數(shù)，所以 6與x的最小公倍數(shù)和最大公約數(shù)分別是30和3。因?yàn)?span lang="EN-US">a×b=[a，b]×（a，b），

所以6×x=30×3，由此求得x=15。轉(zhuǎn)90°，b表示順時針旋轉(zhuǎn)180°，c表示逆時針旋轉(zhuǎn)90°，d表示不轉(zhuǎn)。定義運(yùn)算“◎”表示“接著做”。求：a◎b；b◎c；c◎a。

分析與解： a◎b表示先順時針轉(zhuǎn)90°，再順時針轉(zhuǎn)180°，等于順時針轉(zhuǎn)270°，也等于逆時針轉(zhuǎn)90°，所以a◎b=c。

b◎c表示先順時針轉(zhuǎn)180°，再逆時針轉(zhuǎn)90°，等于順時針轉(zhuǎn)90°，所以b◎c=a。

c◎a表示先逆時針轉(zhuǎn)90°，再順時針轉(zhuǎn)90°，等于沒轉(zhuǎn)動，所以c◎a=d。

小學(xué)奧數(shù)基礎(chǔ)教程（五年級）

對于a，b，c，d四種運(yùn)動，可以做一個關(guān)于“◎”的運(yùn)算表（見下表）。比如c◎b，由c所在的行和b所在的列，交叉處a就是c◎b的結(jié)果。因?yàn)檫\(yùn)算◎符合交換律，所以由c所在的列和b所在的行也可得到相同的結(jié)果。

例5 對任意的數(shù)a，b，定義：f（a）=2a 1， g（b）=b×b。   （1）求f（5）-g（3）的值；   （2）求f（g（2）） g（f（2））的值；

（3）已知f（x 1）=21，求x的值。

解：（1）f（5）-g（3）=（2×5 1）-（3×3）=2；

（2）f（g（2）） g（f（2））   =f（2×2）g（2×2 1）    =f（4） g（5）=（2×4 1） （5×5）=34；

（3）f（x 1）=2×（x 1） 1=2x 3，   由f（x 1）=21，知2x 3=21，解得x=9。  練習(xí)4

2.定義兩種運(yùn)算“※”和“△”如下：  a※b表示a，b兩數(shù)中較小的數(shù)的3倍，

a△b表示a，b兩數(shù)中較大的數(shù)的2.5倍。

比如：4※5=4×3=12，4△5=5×2.5=12.5。

計(jì)算：[(0.6※0.5) (0.3△0.8)]÷[(1.2※0.7)-(0.64△0.2)]。

- 5 -

4.設(shè)m，n是任意的自然數(shù)，A是常數(shù)，定義運(yùn)算m⊙n=（A×m-n）÷4，   并且2⊙3=0.75。試確定常數(shù)A，并計(jì)算：（5⊙7）×（2⊙2）÷（3⊙2）。

5.用a，b，c表示一個等邊三角形圍繞它的中心在同一平面內(nèi)所作的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動：

a表示順時針旋轉(zhuǎn)240°，   b表示順時針旋轉(zhuǎn)120°，   c表示不旋轉(zhuǎn)。

運(yùn)算“∨”表示“接著做”。試以a，b，c為運(yùn)算對象做運(yùn)算表。  6.對任意兩個不同的自然數(shù)a和b，較大的數(shù)除以較小的數(shù)，余數(shù)記為ab。比如73=1，5

29=4，

4

20=0。

（1）計(jì)算：19982000，（5

19）

19，5

（1

95）；

（2）已知

11x=4，x小于20，

求x的值。

7.對于任意的自然數(shù)a，b，定義：f（a）=a×a-1，g（b）=b÷2 1。 （1）求f（g（6））-g（f（3））的值；

（2）已知f（g（x））=8，求x的值。

第5講 數(shù)的整除性（一）

三、四年級已經(jīng)學(xué)習(xí)了能被2，3，5和4，8，9，6以及11整除的數(shù)的特征，也學(xué)習(xí)了一些整除的性質(zhì)。這兩講我們系統(tǒng)地復(fù)習(xí)一下數(shù)的整除性質(zhì)，并利用這些性質(zhì)解答一些問題。   數(shù)的整除性質(zhì)主要有：   （1）如果甲數(shù)能被乙數(shù)整除，乙數(shù)能被丙數(shù)整除，那么甲數(shù)能被丙數(shù)整除。

（2）如果兩個數(shù)都能被一個自然數(shù)整除，那么這兩個數(shù)的和與差都能被這個自然數(shù)整除。

（3）如果一個數(shù)能分別被幾個兩兩互質(zhì)的自然數(shù)整除，那么這個數(shù)能

被這幾個兩兩互質(zhì)的自然數(shù)的乘積整除。

（4）如果一個質(zhì)數(shù)能整除兩個自然數(shù)的乘積，那么這個質(zhì)數(shù)至少能整除這兩個自然數(shù)中的一個。   （5）幾個數(shù)相乘，如果其中一個因數(shù)能被某數(shù)整除，那么乘積也能被這個數(shù)整除。

靈活運(yùn)用以上整除性質(zhì)，能解決許多有關(guān)整除的問題。

例1 在□里填上適當(dāng)?shù)臄?shù)字，使得七位數(shù)□7358□□能分別被9，25和8整除。

分析與解：分別由能被9，25和8整除的數(shù)的特征，很難推斷出這個七位數(shù)。因?yàn)?span lang="EN-US">9，25，8兩兩互質(zhì)，由整除的性質(zhì)（3）知，七位數(shù)能被 9×25×8=1800整除，所以七位數(shù)的個位，十位都是0；再由能被9整除的數(shù)的特征，推知首位數(shù)應(yīng)填4。這個七位數(shù)是4735800。

例2 由2000個1組成的數(shù)111?11能否被41和271這兩個質(zhì)數(shù)整除？   分析與解：因?yàn)?span lang="EN-US">41×271=11111，所以由每5個1組成的數(shù)11111能被41和271整除。按“11111”把2000個1每五位分成一節(jié)， 2000÷5=400，就有400節(jié)，

因?yàn)?span lang="EN-US">2000個1組成的數(shù)11?11能被11111整除，而11111能被41和271整除，所以根據(jù)整除的性質(zhì)（1）可知，由2000個1組成的數(shù)111?11能被41和271整除。

例3 現(xiàn)有四個數(shù)：76550，76551，76552，76554。能不能從中找出兩個數(shù)，使它們的乘積能被12整除？   分析與解：根據(jù)有關(guān)整除的性質(zhì)，先把12分成兩數(shù)之積：12=12×1=6×2=3×4。

要從已知的四個數(shù)中找出兩個，使其積能被12整除，有以下三種情況：   （1）找出一個數(shù)能被12整除，這個數(shù)與其它三個數(shù)中的任何一個的乘積都能被12整除；

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（2）找出一個數(shù)能被6整除，另一個數(shù)能被2整除，那么它們的積就能被12整除；

（3）找出一個數(shù)能被4整除，另一個數(shù)能被3整除，那么它們的積能被12整除。

容易判斷，這四個數(shù)都不能被12整除，所以第（1）種情況不存在。   對于第（2）種情況，四個數(shù)中能被6整除的只有76554，而76550，76552是偶數(shù)，所以可以選76554和76550，76554和76552。

對于第（3）種情況，四個數(shù)中只有76552能被4整除，76551和76554都能被3整除，所以可以選76552和76551，76552和76554。

綜合以上分析，去掉相同的，可知兩個數(shù)的乘積能被12整除的有以下三組數(shù)：76550和76554， 76552和76554， 76551和 76552。

例4 在所有五位數(shù)中，各位數(shù)字之和等于43且能夠被11整除的數(shù)有哪些？

分析與解：從題設(shè)的條件分析，對所求五位數(shù)有兩個要求：

①各數(shù)位上的數(shù)字之和等于43；   ②能被11整除。

因?yàn)槟鼙?span lang="EN-US">11整除的五位數(shù)很多，而各數(shù)位上的數(shù)字之和等于43的五位數(shù)較少，所以應(yīng)選擇①為突破口。有兩種情況：

（1）五位數(shù)由一個7和四個9組成；  （2）五位數(shù)由兩個8和三個9組成。   上面兩種情況中的五位數(shù)能不能被11整除？9，8，7如何擺放呢？根據(jù)被11整除的數(shù)的特征，如果奇數(shù)位數(shù)字之和是27，偶數(shù)位數(shù)字之和是16，那么差是11，就能被11整除。滿足這些要求的五位數(shù)是： 97999，99979， 98989。

例5 能不能將從1到10的各數(shù)排成一行，使得任意相鄰的兩個數(shù)之和都能被3整除？

分析與解：10個數(shù)排成一行的方法很多，逐一試驗(yàn)顯然行不通。我們采用反證法。

假設(shè)題目的要求能實(shí)現(xiàn)。那么由題意，從前到后每兩個數(shù)一組共有5

- 6 -

組，每組的兩數(shù)之和都能被3整除，推知1～10的和也應(yīng)能被3整除。實(shí)際上，1～10的和等于55，不能被3整除。這個矛盾說明假設(shè)不成立，所以題目的要求不能實(shí)現(xiàn)。   練習(xí)5

1.已知4205和2813都是29的倍數(shù)，1392和7018是不是29的倍數(shù)？  2.如果兩個數(shù)的和是64，這兩個數(shù)的積可以整除4875，那么這兩個數(shù)的差是多少？

3.173□是個四位數(shù)。數(shù)學(xué)老師說：“我在這個□中先后填入3個數(shù)字，所得到的 3個四位數(shù)，依次可以被9，11，6整除。”問：數(shù)學(xué)老師先后填入的3

個數(shù)字之和是多少？

班

有多少名學(xué)生？

6.能不能將從1到9的各數(shù)排成一行，使得任意相鄰的兩個數(shù)之和都能被3整除？

第6講 數(shù)的整除性（二）   我們先看一個特殊的數(shù)——1001。因?yàn)?span lang="EN-US">1001=7×11×13，所以凡是1001的整數(shù)倍的數(shù)都能被7，11和13整除。

能被7，11和13整除的數(shù)的特征：   如果數(shù)A的末三位數(shù)字所表示的數(shù)與末三位數(shù)以前的數(shù)字所表示的數(shù)

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之差（大數(shù)減小數(shù)）能被7或11或

13整除，那么數(shù)A能被7或11或13整除。否則，數(shù)A就不能被7或11或13整除。

例2 判斷306371能否被7整除？能否被13整除？

解：因?yàn)?span lang="EN-US">371-306=65，65是13  因?yàn)樯鲜街械忍栕筮叺臄?shù)與等號的倍數(shù)，不是7的倍數(shù)，所以306371右邊第一個數(shù)都能被7整除，所以等能被13整除，不能被7整除。號右邊第二個數(shù)也能被7整除，推知  例3 已知10□8971能被13整除，55□99能被7整除。根據(jù)能被7整除求□中的數(shù)。

的數(shù)的特征，□99-55=□44也應(yīng)能被  解：10□8-971=1008-971 □7整除。由□44能被7整除，易知□0=37 □0。

內(nèi)應(yīng)是6。

上式的個位數(shù)是7，若是13的倍  下面再告訴大家兩個判斷整除性數(shù)，則必是13的9倍，由13×9-37=80，的小竅門。

推知□中的數(shù)是8。

判斷一個數(shù)能否被27或37整除的方法：

對于任何一個自然數(shù)，從個位開始，每三位為一節(jié)將其分成若干節(jié)，然后將每一節(jié)上的數(shù)連加，如果所得

的和能被27（或37）整除，那么這個數(shù)一定能被27（或37）整除；否則，2位數(shù)進(jìn)行改寫。根據(jù)十進(jìn)制數(shù)的意

這個數(shù)就不能被27（或37）整除。 義，有

例6 判斷下列各數(shù)能否被27或 37整除：

（1）2673135；（2）8990615496。

因?yàn)?span lang="EN-US">100010001各數(shù)位上數(shù)字之  解：（1）2673135=2，673，135，和是3，能夠被3整除，所以這個122 673135=810。

位數(shù)能被3整除。

因?yàn)?span lang="EN-US">810能被27整除，不能被37  根據(jù)能被7（或13）整除的數(shù)的整除，所以2673135能被27整除，不特征，100010001與（100010-1=）能被37整除。

100009要么都能被7（或13）整除，  （2）8990615496=8，990，615，要么都不能被7（或13）整除。 496，8 990 615 496=2，109。  同理， 100009與（ 100-9=）91  2，109大于三位數(shù)，可以再對2，要么都能被7（或13）整除，要么都109的各節(jié)求和，2 109=111。 不能被7（或13）整除。

因?yàn)?span lang="EN-US">111能被37整除，不能被27  因?yàn)?span lang="EN-US">91=7×13，所以100010001整除，所以2109能被37整除，不能能被7和13整除，推知這個12位數(shù)被27整除，進(jìn)一步推知8990615496能被7和13整除。 能被37整除，不能被27整除。

由上例看出，若各節(jié)的數(shù)之和大于三位數(shù)，則可以再連續(xù)對和的各節(jié)求和。

判斷一個數(shù)能否被個位是9的數(shù)

整除的方法：

為了敘述方便，將個位是9的數(shù)

分析與解：根據(jù)能被7整除的數(shù)記為 k9（= 10k 9），其中k為自然的特征，555555與999999都能被

7

數(shù)。

- 7 -

對于任意一個自然數(shù)，去掉這個數(shù)的個位數(shù)后，再加上個位數(shù)的（k1）倍。連續(xù)進(jìn)行這一變換。如果最終所得的結(jié)果等于k9，那么這個數(shù)能被k9整除；否則，這個數(shù)就不能被k9整除。  例7 （1）判斷18937能否被29整除；

（2）判斷296416與37289能否被59整除。

解：（1）上述變換可以表示為：

由此可知，296416能被59整除，37289不能被59整除

。一般地，每進(jìn)行一次變換，被判斷的數(shù)的位數(shù)就將減少一位。當(dāng)被判斷的數(shù)變換到小于除數(shù)時，即可停止變換，得出不能整除的結(jié)論。      練習(xí)6

1.下列各數(shù)哪些能被7整除？哪些能被13整除？

88205， 167128， 250894， 396500，

675696， 796842， 805532， 75778885。

2.六位數(shù)175□62是13的倍數(shù)。□中的數(shù)字是幾？

7.九位數(shù)8765□4321能被21整除，求中間□中的數(shù)。

8.在下列各數(shù)中，哪些能被27整除？哪些能被37整除？

1861026， 1884924， 2175683， 2560437，

11159126，131313555，266117778。

9.在下列各數(shù)中，哪些能被19整除？哪些能被79整除？

55119， 55537， 62899， 71258，  186637，872231，5381717。

第7講 奇偶性（一）

整數(shù)按照能不能被2整除，可以分為兩類：

（1）能被2整除的自然數(shù)叫偶數(shù)，例如

0， 2，4， 6， 8， 10， 12， 14， 16，?

（2）不能被2整除的自然數(shù)叫奇數(shù)，例如

1，3，5，7，9，11，13，15，17，? 整數(shù)由小到大排列，奇、偶數(shù)是交替出現(xiàn)的。相鄰兩個整數(shù)大小相差1，所以肯定是一奇一偶。因?yàn)榕紨?shù)能被2整除，所以偶數(shù)可以表示為2n的形式，其中n為整數(shù)；因?yàn)槠鏀?shù)不能被2整除，所以奇數(shù)可以表示為2n 1的形式，其中n為整數(shù)。

每一個整數(shù)不是奇數(shù)就是偶數(shù)，這個屬性叫做這個數(shù)的奇偶性。奇偶數(shù)有如下一些重要性質(zhì)：

（1）兩個奇偶性相同的數(shù)的和（或差）一定是偶數(shù)；兩個奇偶性不同的數(shù)的和（或差）一定是奇數(shù)。反過來，兩個數(shù)的和（或差）是偶數(shù)，這兩個數(shù)奇偶性相同；兩個數(shù)的和（或差）是奇數(shù)，這兩個數(shù)肯定是一奇一偶。  （2）奇數(shù)個奇數(shù)的和（或差）是奇數(shù)；偶數(shù)個奇數(shù)的和（或差）是偶數(shù)。任意多個偶數(shù)的和（或差）是偶數(shù)。  （3）兩個奇數(shù)的乘積是奇數(shù)，一個奇數(shù)與一個偶數(shù)的乘積一定是偶數(shù)。   （4）若干個數(shù)相乘，如果其中有一個因數(shù)是偶數(shù)，那么積必是偶數(shù)；如果所有因數(shù)都是奇數(shù)，那么積就是奇數(shù)。反過來，如果若干個數(shù)的積是偶數(shù)，那么因數(shù)中至少有一個是偶數(shù)；如果若干個數(shù)的積是奇數(shù)，那么所有的因數(shù)都是奇數(shù)。

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（5）在能整除的情況下，偶數(shù)除以奇數(shù)得偶數(shù)；偶數(shù)除以偶數(shù)可能得偶數(shù)，也可能得奇數(shù)。奇數(shù)肯定不能被偶數(shù)整除。

（6）偶數(shù)的平方能被4整除；奇數(shù)的平方除以4的余數(shù)是1。

因?yàn)椋?span lang="EN-US">2n）2

=4n2=4×n2，所以（2n）2

能被4整除；

因?yàn)椋?span lang="EN-US">2n 1）2=4n2 4n 1=4×（n2 n）

 1，所以（2n 1）2除以4余1。   （7）相鄰兩個自然數(shù)的乘積必是偶數(shù)，其和必是奇數(shù)。

（8）如果一個整數(shù)有奇數(shù)個約數(shù)（包括1和這個數(shù)本身），那么這個數(shù)一定是平方數(shù)；如果一個整數(shù)有偶數(shù)個約數(shù)，那么這個數(shù)一定不是平方數(shù)。

整數(shù)的奇偶性能解決許多與奇偶性有關(guān)的問題。有些問題表面看來似乎與奇偶性一點(diǎn)關(guān)系也沒有，例如染色問題、覆蓋問題、棋類問題等，但只要想辦法編上號碼，成為整數(shù)問題，便可利用整數(shù)的奇偶性加以解決。   例1下式的和是奇數(shù)還是偶數(shù)？   1 2 3 4 ? 1997 1998。  分析與解：本題當(dāng)然可以先求出算式的和，再來判斷這個和的奇偶性。但如果能不計(jì)算，直接分析判斷出和的奇偶性，那么解法將更加簡潔。根據(jù)奇偶數(shù)的性質(zhì)（2），和的奇偶性只與加數(shù)中奇數(shù)的個數(shù)有關(guān)，與加數(shù)中的偶數(shù)無關(guān)。1～1998中共有999個奇數(shù)，999是奇數(shù)，奇數(shù)個奇數(shù)之和是奇數(shù)。所以，本題要求的和是奇數(shù)。   例2 能否在下式的□中填上“ ”或“-”，使得等式成立？

1□2□3□4□5□6□7□8□9=66。   分析與解：等號左端共有9個數(shù)參加加、減運(yùn)算，其中有5個奇數(shù)，4個偶數(shù)。5個奇數(shù)的和或差仍是奇數(shù)，4個偶數(shù)的和或差仍是偶數(shù)，因?yàn)椤捌鏀?shù) 偶數(shù)=奇數(shù)”，所以題目的要求做不到。

例3 任意給出一個五位數(shù)，將組成這個五位數(shù)的5個數(shù)碼的順序任意改變，得到一個新的五位數(shù)。那么，這兩個五位數(shù)的和能不能等于99999？

- 8 -

分析與解：假設(shè)這兩個五位數(shù)的和等于99999，則有下式：

其中組成兩個加數(shù)的5個數(shù)碼完全相同。因?yàn)閮蓚€個位數(shù)相加，和不會大于 9 9=18，豎式中和的個位數(shù)是9，所以個位相加沒有向上進(jìn)位，即兩個個位數(shù)之和等于9。同理，十位、百位、千位、萬位數(shù)字的和也都等于9。所以組成兩個加數(shù)的10個數(shù)碼之和等于 9 9 9 9 9=45，是奇數(shù)。   另一方面，因?yàn)榻M成兩個加數(shù)的5個數(shù)碼完全相同，所以組成兩個加數(shù)的10個數(shù)碼之和，等于組成第一個加數(shù)的5個數(shù)碼之和的2倍，是偶數(shù)。   奇數(shù)≠偶數(shù)，矛盾的產(chǎn)生在于假設(shè)這兩個五位數(shù)的和等于99999，所以假設(shè)不成立，即這兩個數(shù)的和不能等于99999。

例4 在一次校友聚會上，久別重逢的老同學(xué)互相頻頻握手。請問：握過奇數(shù)次手的人數(shù)是奇數(shù)還是偶數(shù)？請說明理由。

分析與解：通常握手是兩人的事。甲、乙兩人握手，對于甲是握手1次，對于乙也是握手1次，兩人握手次數(shù)的和是2。所以一群人握手，不論人數(shù)是奇數(shù)還是偶數(shù)，握手的總次數(shù)一定是偶數(shù)。

把聚會的人分成兩類：A類是握手次數(shù)是偶數(shù)的人，B類是握手次數(shù)是奇數(shù)的人。

A類中每人握手的次數(shù)都是偶數(shù)，所以A類人握手的總次數(shù)也是偶數(shù)。又因?yàn)樗腥宋帐值目偞螖?shù)也是偶數(shù)，偶數(shù)-偶數(shù)=偶數(shù)，所以B類人握手的總次數(shù)也是偶數(shù)。

握奇數(shù)次手的那部分人即B類人的人數(shù)是奇數(shù)還是偶數(shù)呢？如果是奇數(shù)，那么因?yàn)椤捌鏀?shù)個奇數(shù)之和是奇數(shù)”，所以得到B類人握手的總次數(shù)是奇數(shù)，與前面得到的結(jié)論矛盾，所以B類人即握過奇數(shù)次手的人數(shù)是偶數(shù)。

例5 五（2）班部分學(xué)生參加鎮(zhèn)里舉辦的數(shù)學(xué)競賽，每張?jiān)嚲碛?span lang="EN-US">50道試題。評分標(biāo)準(zhǔn)是：答對一道給3分，不答的題，每道給1分，答錯一道扣1分。試問：這部分學(xué)生得分的總和能不能確定是奇數(shù)還是偶數(shù)？   分析與解：本題要求出這部分學(xué)生的總成績是不可能的，所以應(yīng)從每個人得分的情況入手分析。因?yàn)槊康李}無論答對、不答或答錯，得分或扣分都是奇數(shù)，共有50道題，50個奇數(shù)相加減，結(jié)果是偶數(shù)，所以每個人的得分都是偶數(shù)。因?yàn)槿我鈧€偶數(shù)之和是偶數(shù)，所以這部分學(xué)生的總分必是偶數(shù)。    練習(xí)7

1.能否從四個3、三個5、兩個7中選出5個數(shù)，使這5個數(shù)的和等于22？

2.任意交換一個三位數(shù)的數(shù)字，得一個新的三位數(shù)，一位同學(xué)將原三位數(shù)與新的三位數(shù)相加，和是999。這位同學(xué)的計(jì)算有沒有錯？

3.甲、乙兩人做游戲。任意指定七個整數(shù)（允許有相同數(shù)），甲將這七個整數(shù)以任意的順序填在下圖第一行的方格內(nèi)，乙將這七個整數(shù)以任意的順序填在圖中的第二行方格里，然后計(jì)算出所有同一列的兩個數(shù)的差（大數(shù)減小數(shù)），再將這七個差相乘。游戲規(guī)則是：若積是偶數(shù)，則甲勝；若積是奇數(shù)，則乙勝。請說明誰將獲勝。

4.某班學(xué)生畢業(yè)后相約彼此通信，每兩人間的通信量相等，即甲給乙寫幾封信，乙也要給甲寫幾封信。問：寫了奇數(shù)封信的畢業(yè)生人數(shù)是奇數(shù)還是偶數(shù)？

5.A市舉辦五年級小學(xué)生“春暉杯”數(shù)學(xué)競賽，競賽題30道，記分方法是：底分15分，每答對一道加5分，不答的題，每道加1分，答錯一道扣1分。如果有333名學(xué)生參賽，那么他們的總得分是奇數(shù)還是偶數(shù)？  6.把下圖中的圓圈任意涂上紅色或藍(lán)色。是否有可能使得在同一條直線上的紅圈數(shù)都是奇數(shù)？試講出理由。

小學(xué)奧數(shù)基礎(chǔ)教程（五年級）

7.紅星影院有1999個座位，上、下午各放映一場電影。有兩所學(xué)校各有1999名學(xué)生包場看這兩場電影，那么一定有這樣的座位，上、下午在這個座位上坐的是兩所不同學(xué)校的學(xué)生，為什么？

第8講 奇偶性（二）

例1用0～9這十個數(shù)碼組成五個兩位數(shù)，每個數(shù)字只用一次，要求它們的和是奇數(shù)，那么這五個兩位數(shù)的和最大是多少？

分析與解：有時題目的要求比較多，可先考慮滿足部分要求，然后再調(diào)整，使最后結(jié)果達(dá)到全部要求。   這道題的幾個要求中，滿足“和最大”是最容易的。暫時不考慮這五個數(shù)的和是奇數(shù)的要求。   要使組成的五個兩位數(shù)的和最大，應(yīng)該把十個數(shù)碼中最大的五個分別放在十位上，即十位上放5，6，7，8，9，而個位上放0，1，2，3，4。根據(jù)奇數(shù)的定義，這樣組成的五個兩位數(shù)中，有兩個是奇數(shù)，即個位是1和3的兩個兩位數(shù)。

要滿足這五個兩位數(shù)的和是奇數(shù)，根據(jù)奇、偶數(shù)相加減的運(yùn)算規(guī)律，這五個數(shù)中應(yīng)有奇數(shù)個奇數(shù)。現(xiàn)有兩個奇數(shù)，即個位數(shù)是1，3的兩位數(shù)。所以五個數(shù)的和是偶數(shù)，不合要求，

必須調(diào)整。調(diào)整的方法是交換十位與個位上的數(shù)字。要使五個數(shù)有奇數(shù)個奇數(shù)，并且五個數(shù)的和盡可能最大，只要將個位和十位上的一個奇數(shù)與一個偶數(shù)交換，并且交換的兩個的數(shù)碼之差盡可能小，由此得到交換5與4的位置。滿足題設(shè)要求的五個兩位數(shù)的十位上的數(shù)碼是4，6，7，8，9，個位上的數(shù)碼是0，1，2，3，5，所求這五個數(shù)的和是（4 6 7 8 9）×10 （0 1 2 3 5）=351。

例2 7只杯子全部杯口朝上放在桌子上，每次翻轉(zhuǎn)其中的2只杯子。

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能否經(jīng)過若干次翻轉(zhuǎn)，使得7只杯子全部杯口朝下？

分析與解：盲目的試驗(yàn)，可能總也找不到要領(lǐng)。如果我們分析一下每次翻轉(zhuǎn)后杯口朝上的杯子數(shù)的奇偶性，就會發(fā)現(xiàn)問題所在。一開始杯口朝上的杯子有7只，是奇數(shù)；第一次翻轉(zhuǎn)后，杯口朝上的變?yōu)?span lang="EN-US">5只，仍是奇數(shù)；再繼續(xù)翻轉(zhuǎn)，因?yàn)橹荒芊D(zhuǎn)兩只杯子，即只有兩只杯子改變了上、下方向，所以杯口朝上的杯子數(shù)仍是奇數(shù)。類似的分析可以得到，無論翻轉(zhuǎn)多少次，杯口朝上的杯子數(shù)永遠(yuǎn)是奇數(shù)，不可能是偶數(shù)0。也就是說，不可能使7只杯子全部杯口朝下。   例3 有m（m≥2）只杯子全部口朝下放在桌子上，每次翻轉(zhuǎn)其中的（m-1）只杯子。經(jīng)過若干次翻轉(zhuǎn)，能使杯口全部朝上嗎？

分析與解：當(dāng)m是奇數(shù)時，（m-1）是偶數(shù)。由例2的分析知，如果每次翻轉(zhuǎn)偶數(shù)只杯子，那么無論經(jīng)過多少次翻轉(zhuǎn)，杯口朝上（下）的杯子數(shù)的奇偶性不會改變。一開始m只杯子全部杯口朝下，即杯口朝下的杯子數(shù)是奇數(shù)，每次翻轉(zhuǎn)（m-1）即偶數(shù)只杯子。無論翻轉(zhuǎn)多少次，杯口朝下的杯子數(shù)永遠(yuǎn)是奇數(shù)，不可能全部朝上。   當(dāng)m是偶數(shù)時，（m-1）是奇數(shù)。為了直觀，我們先從m= 4的情形入手觀察，在下表中用∪表示杯口朝上，∩表示杯口朝下，每次翻轉(zhuǎn)3只杯子，保持不動的杯子用*號標(biāo)記。翻轉(zhuǎn)情況如下：

由上表看出，只要翻轉(zhuǎn)4次，并且依次保持第1，2，3，4只杯子不動，就可達(dá)到要求。一般來說，對于一只杯子，要改變它的初始狀態(tài)，需要翻奇數(shù)次。對于m只杯子，當(dāng)m是偶數(shù)時，因?yàn)椋?span lang="EN-US">m-1）是奇數(shù)，所以每只杯子翻轉(zhuǎn)（m-1）次，就可使全部杯子改變狀態(tài)。要做到這一點(diǎn)，只需要翻轉(zhuǎn)m

次，并且依次保持第1，2，?，m只杯子不動，這樣在m次翻轉(zhuǎn)中，每只杯子都有一次沒有翻轉(zhuǎn)，即都翻轉(zhuǎn)了（m-1）次。

綜上所述：m只杯子放在桌子上，每次翻轉(zhuǎn)（m-1）只。當(dāng)m是奇數(shù)時，無論翻轉(zhuǎn)多少次，m只杯子不可能全部改變初始狀態(tài)；當(dāng)m是偶數(shù)時，翻轉(zhuǎn)m次，可以使m只杯子全部改變初始狀態(tài)。  例4 一本論文集編入15篇文章，這些文章排版后的頁數(shù)分別是1，2，3，?，15頁。如果將這些文章按某種次序裝訂成冊，并統(tǒng)一編上頁碼，那么每篇文章的第一面是奇數(shù)頁碼的最多有幾篇？

分析與解：可以先研究排版一本書，各篇文章頁數(shù)是奇數(shù)或偶數(shù)時的規(guī)律。一篇有奇數(shù)頁的文章，它的第一面和最后一面所在的頁碼的奇偶性是相同的，即排版奇數(shù)頁的文章，第一面是奇數(shù)頁碼，最后一面也是奇數(shù)頁碼，而接下去的另一篇文章的第一面是排在偶數(shù)頁碼上。一篇有偶數(shù)頁的文章，它的第一面和最后一面所在的頁碼的奇偶性是相異的，即排版偶數(shù)頁的文章，第一面是奇（偶）數(shù)頁碼，最后一面應(yīng)是偶（奇）數(shù)頁碼，而緊接的另一篇文章的第一面又是排在奇（偶）數(shù)頁碼上。

以上說明本題的解答主要是根據(jù)奇偶特點(diǎn)來處理。

題目要求第一面排在奇數(shù)頁碼的文章盡量多。首先考慮有偶數(shù)頁的文章，只要這樣的第一篇文章的第一面排在奇數(shù)頁碼上（如第1頁），那么接著每一篇有偶數(shù)頁的文章都會是第一面排在奇數(shù)頁碼上，共有7篇這樣的文章。然后考慮有奇數(shù)頁的文章，第一篇的第一面排在奇數(shù)頁碼上，第二篇的第一面就會排在偶數(shù)頁碼上，第三篇的第一面排在奇數(shù)頁碼上，如此等等。在8篇奇數(shù)頁的文章中，有4篇的第一面排在奇數(shù)頁碼上。因此最多有7 4=11（篇）文章的第一面排在奇數(shù)頁碼上。

例5 有大、小兩個盒子，其中大盒內(nèi)裝1001枚白棋子和1000枚同樣大小的黑棋子，小盒內(nèi)裝有足夠多的

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黑棋子。阿花每次從大盒內(nèi)隨意摸出兩枚棋子，若摸出的兩枚棋子同色，則從小盒內(nèi)取一枚黑棋子放入大盒內(nèi)；若摸出的兩枚棋子異色，則把其中白棋子放回大盒內(nèi)。問：從大盒內(nèi)摸了1999次棋子后，大盒內(nèi)還剩幾枚棋子？它們都是什么顏色？   分析與解：大盒內(nèi)裝有黑、白棋子共1001 1000=2001（枚）。   因?yàn)槊看味际敲?span lang="EN-US">2枚棋子放回1枚棋子，所以每摸一次少1枚棋子，摸了1999次后，還剩2001-1999=2（枚）棋子。

從大盒內(nèi)每次摸2枚棋子有以下兩種情況：

（1）所摸到的兩枚棋子是同顏色的。此時從小盒內(nèi)取一枚黑棋子放入大盒內(nèi)。當(dāng)所摸兩枚棋子同是黑色，這時大盒內(nèi)少了一枚黑棋子；當(dāng)所摸兩枚棋子同是白色，這時大盒內(nèi)多了一枚黑棋子。

（2）所摸到的兩枚棋子是不同顏色的，即一黑一白。這時要把拿出的白棋子放回到大盒，大盒內(nèi)少了一枚黑棋子。

綜合（1）（2），每摸一次，大盒內(nèi)的黑棋子總數(shù)不是少一枚就是多一枚，即改變了黑棋子數(shù)的奇偶性。原來大盒內(nèi)有1000枚即偶數(shù)枚黑棋子，摸了1999次，即改變了1999次奇偶性后，還剩奇數(shù)枚黑棋子。因?yàn)榇蠛袃?nèi)只剩下2枚棋子，所以最后剩下的兩枚棋子是一黑一白。

例6 一串?dāng)?shù)排成一行：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，?   到這串?dāng)?shù)的第1000個數(shù)為止，共有多少個偶數(shù)？

分析與解：首先分析這串?dāng)?shù)的組成規(guī)律和奇偶數(shù)情況。

1 1=2，2 3=5，3 5=8， 5 8=13，?  這串?dāng)?shù)的規(guī)律是，從第三項(xiàng)起，每一個數(shù)等于前兩個數(shù)的和。根據(jù)奇偶數(shù)的加法性質(zhì)，可以得出這串?dāng)?shù)的奇偶性：

奇，奇，偶，奇，奇，偶，奇，奇，偶，??

容易看出，這串?dāng)?shù)是按“奇，奇，偶”每三個數(shù)為一組周期變化的。

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1000÷3=333??1，這串?dāng)?shù)的前1000個數(shù)有333組又1個數(shù)，每組的三個數(shù)中有1個偶數(shù)，并且是第3個數(shù)，所以這串?dāng)?shù)到第1000個數(shù)時，共有333個偶數(shù)。    練習(xí)8

1.在11，111，1111，11111，?這些數(shù)中，任何一個數(shù)都不會是某一個自然數(shù)的平方。這樣說對嗎？   2.一本書由17個故事組成，各個故事的篇幅分別是1，2，3，?，17頁。這17個故事有各種編排法，但無論怎樣編排，故事正文都從第1頁開始，以后每一個故事都從新一頁碼開始。如果要求安排在奇數(shù)頁碼開始的故事盡量少，那么最少有多少個故事是從奇數(shù)頁碼開始的？

3.桌子上放著6只杯子，其中3只杯口朝上，3只杯口朝下。如果每次翻轉(zhuǎn)5只杯子，那么至少翻轉(zhuǎn)多少次，才能使6只杯子都杯口朝上？   4.70個數(shù)排成一行，除了兩頭的兩個數(shù)以外，每個數(shù)的3倍都恰好等于它兩邊的兩個數(shù)的和，這一行數(shù)的最左邊的幾個數(shù)是這樣的：0，1，3，8，21，?問：最右邊的一個數(shù)是奇數(shù)還是偶數(shù)？

5.學(xué)校組織運(yùn)動會，小明領(lǐng)回自己的運(yùn)動員號碼后，小玲問他：“今天發(fā)放的運(yùn)動員號碼加起來是奇數(shù)還是偶數(shù)？”小明說：“除開我的號碼，把今天發(fā)的其它號碼加起來，再減去我的號碼，恰好是100?！苯裉彀l(fā)放的運(yùn)動員號碼加起來，到底是奇數(shù)還是偶數(shù)？

6.在黑板上寫出三個整數(shù)，然后擦去一個換成所剩兩數(shù)之和，這樣繼續(xù)操作下去，最后得到88，66，99。問：原來寫的三個整數(shù)能否是1，3，5？   7.將888件禮品分給若干個小朋友。問：分到奇數(shù)件禮品的小朋友是奇數(shù)還是偶數(shù)？  第9講 奇偶性（三）

利用奇、偶數(shù)的性質(zhì)，上兩講已經(jīng)解決了許多有關(guān)奇偶性的問題。本講將繼續(xù)利用奇偶性研究一些表面上似乎與奇偶性無關(guān)的問題。

例1 在7×7的正方形的方格表中，以左上角與右下角所連對角線為軸對稱地放置棋子，要求每個方格中放http://www.wendangxiazai.com/b-20da938fbceb19e8b8f6ba13.html不多于1枚棋子，且每行正好放3枚棋子，則在這條對角線上的格子里至少放有一枚棋子，這是為什么？   分析與解：題目說在指定的這條對角線上的格子里必定至少放有一枚棋子，假設(shè)這個說法不對，即對角線上沒放棋子。如下圖所示，因?yàn)轭}目要求擺放的棋子以MN為對稱軸，所以對于MN左下方的任意一格A，總有MN右上方的一格A＇，A與A＇關(guān)于MN對稱，所以A與A＇要么都放有棋子，要么都沒放棋子。由此推知方格表中放置棋子的總枚數(shù)應(yīng)是偶數(shù)。而題設(shè)每行放3枚棋子，7行共放棋子 3×7=21（枚），21是奇數(shù)，與上面的推論矛盾。所以假設(shè)不成立，即在指定的對角線上的格子中必定至少有一枚棋子。

例2 對于左下表，每次使其中的任意兩個數(shù)減去或加上同一個數(shù)，能否經(jīng)過若干次后（各次減去或加上的數(shù)可以不同），

變?yōu)橛蚁卤恚繛槭裁矗?/span>

分析與解：因?yàn)槊看斡袃蓚€數(shù)同時被加上或減去同一個數(shù)，所以表中九個數(shù)碼的總和經(jīng)過變化后，等于原來的總和加上或減去那個數(shù)的2倍，因此總和的奇偶性沒有改變。原來九個數(shù)的總和為1 2 ? 9=45，是奇數(shù)，經(jīng)過若干次變化后，總和仍應(yīng)是奇數(shù)，與右上表九個數(shù)的總和是4矛盾。所以不可能變成右上表。

例3 左下圖是一套房子的平面圖，圖中的方格代表房間，每個房間都有通向任何一個鄰室的門。有人想從某個房間開始，依次不重復(fù)地走遍每一個房間，他的想法能實(shí)現(xiàn)嗎？

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例6 下頁上圖是半張中國象棋盤，棋盤上已放有一只馬。眾所周知，馬是走“日”字的。請問：這只馬能否不重復(fù)地走遍這半張棋盤上的每一

個點(diǎn)，然后回到出發(fā)點(diǎn)？

分析與解：如右上圖所示，將相

鄰的房間黑、白相間染色。無論從哪個房間開始走，因?yàn)榭偸呛诎紫嚅g地走過各房間，所以走過的黑、白房間數(shù)最多相差1。而右上圖有7黑5白，所以不可能不重復(fù)地走遍每一個房  分析與解：馬走“日”字，在中間。

國象棋盤上走有什么規(guī)律呢？   例4 左下圖是由14個大小相同 為方便研究規(guī)律，如下圖所示，的方格組成的圖形。試問能不能剪裁先在棋盤各交點(diǎn)處相間標(biāo)上○和●，成7個由相鄰兩方格組成的長方形？

圖中共有22個○和23個●。因?yàn)轳R

走“日”字，每步只能從○跳到●，或由●跳到○，所以馬從某點(diǎn)跳到同色的點(diǎn)（指○或●），要跳偶數(shù)步；跳到不同色的點(diǎn)，要跳奇數(shù)步?，F(xiàn)在  分析與解：將這14個小方格黑白馬在○點(diǎn)，要跳回這一點(diǎn)，應(yīng)跳偶數(shù)相間染色（見右上圖），有8個黑格，步，可是棋盤上共有23 22=45（個）6個白格。相鄰兩個方格必然是一黑一點(diǎn)，不可能做到不重復(fù)地走遍所有的白，如果能剪裁成7個小長方形，那點(diǎn)后回到出發(fā)點(diǎn)。

么14個格應(yīng)當(dāng)是黑、白各7個，與實(shí)

際情況不符，所以不能剪裁成7個由相鄰兩個方格組成的長方形。

例5 在右圖的每個○中填入一個自然數(shù)（可以相同），使得任意兩個相鄰的○中的數(shù)字之差（大數(shù)減小數(shù)）  討論：如果馬的出發(fā)點(diǎn)不是在○恰好等于它們之間所標(biāo)的數(shù)字。能否點(diǎn)上而是在●點(diǎn)上，那么這只馬能不辦到？為什么？

能不重復(fù)地走遍這半張棋盤上的每個

點(diǎn)，最后回到出發(fā)點(diǎn)上呢？按照上面的分析，顯然也是不可能的。但是如果放棄“回到出發(fā)點(diǎn)”的要求，那么

情況就不一樣了。從某點(diǎn)出發(fā)，跳遍  分析與解：假定圖中5與1之間半張棋盤上除起點(diǎn)以外的其它44點(diǎn)，的○中的數(shù)是奇數(shù)，按順時針加上或要跳44步，44是偶數(shù)，所以起點(diǎn)和終減去標(biāo)出的數(shù)字，依次得到各個○中點(diǎn)應(yīng)是同色的點(diǎn)（指○或●）。因?yàn)榈臄?shù)的奇偶性如下：

44步跳過的點(diǎn)○與點(diǎn)●各22個，所以 起點(diǎn)必是●，終點(diǎn)也是●。也就說是，當(dāng)不要求回到出發(fā)點(diǎn)時，只要從●出  因?yàn)樯蠄D兩端是同一個○中的發(fā)，就可以不重復(fù)地走遍半張棋盤上數(shù)，不可能既是奇數(shù)又是偶數(shù)，所以5的所有點(diǎn)。 與1之間的○中的數(shù)不是奇數(shù)。    練習(xí)9

同理，假定5與1之間的○中的  1.教室里有5排椅子，每排5張，數(shù)是偶數(shù)，也將推出矛盾。 每張椅子上坐一個學(xué)生。一周后，每  所以，題目的要求辦不到。個學(xué)生都必須和他相鄰（前、后、左、

右）的某一同學(xué)交換座位。問：能不能換成？為什么？

2.房間里有5盞燈，全部關(guān)著。每次拉兩盞燈的開關(guān)，這樣做若干次后，有沒有可能使5盞燈全部是亮的？   3.左下圖是由40個小正方形組成的圖形，能否將它剪裁成20個相同的長方形？

4.一個正方形果園里種有48棵果樹，加上右下角的一間小屋，整齊地排列成七行七列（見右上圖）。守園人從小屋出發(fā)經(jīng)過每一棵樹，不重復(fù)也不遺漏（不許斜走），最后又回到小屋?？梢宰龅絾?？

5.紅光小學(xué)五年級一次乒乓球賽，共有男女學(xué)生17人報名參加。為節(jié)省時間不打循環(huán)賽，而采取以下方式：每人只打5場比賽，每兩人之間用抽簽的方法決定只打一場或不賽。然后根據(jù)每人得分決定出前5名。這種比賽方式是否可行？

6.如下圖所示，將1～12順次排成一圈。如果報出一個數(shù)a（在1～12之間），那么就從數(shù)a的位置順時針走a個數(shù)的位置。例如a=3，就從3的位置順時針走3個數(shù)的位置到達(dá)6的位置；a=11，就從11的位置順時針走11個數(shù)的位置到達(dá)10的位置。問：a是多少時，可以走到7的位置？

第10講 質(zhì)數(shù)與合數(shù)

自然數(shù)按照能被多少個不同的自然數(shù)整除可以分為三類：

第一類：只能被一個自然數(shù)整除的自然數(shù)，這類數(shù)只有一個，就是1。   第二類：只能被兩個不同的自然數(shù)整除的自然數(shù)。因?yàn)槿魏巫匀粩?shù)都能被1和它本身整除，所以這類自然數(shù)的特征是大于1，且只能被1和它本

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身整除。這類自然數(shù)叫質(zhì)數(shù)（或素?cái)?shù)）。例如，2，3，5，7，?

第三類：能被兩個以上的自然數(shù)整除的自然數(shù)。這類自然數(shù)的特征是大于1，除了能被1和它本身整除外，還能被其它一些自然數(shù)整除。這類自然數(shù)叫合數(shù)。例如，4，6，8，9，15，?   上面的分類方法將自然數(shù)分為質(zhì)數(shù)、合數(shù)和1，1既不是質(zhì)數(shù)也不是合數(shù)。

例1 1～100這100個自然數(shù)中有哪些是質(zhì)數(shù)？

分析與解：先把前100個自然數(shù)

寫出來，得下表：

1既不是質(zhì)數(shù)也不是合數(shù)。   2是質(zhì)數(shù)，留下來，后面凡能被2整除的數(shù)都是合數(shù)，都劃去；   3是質(zhì)數(shù)，留下來，后面凡能被3整除的數(shù)都是合數(shù)，都劃去；   類似地，把5留下來，后面凡是5的倍數(shù)的數(shù)都劃去；

把7留下來，后面凡是7的倍數(shù)的數(shù)都劃去。

經(jīng)過以上的篩選，劃去的都是合數(shù)，余下26個數(shù)，除1外，剩下的25個都是質(zhì)數(shù)。這樣，我們便得到了100以內(nèi)的質(zhì)數(shù)表：

2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，31，37，41，

43，47，53，59，61，67，71，

73，79，83，89，97。

這些質(zhì)數(shù)同學(xué)們應(yīng)當(dāng)熟記！   細(xì)心的同學(xué)可能會注意到，以上只劃到7的倍數(shù)，為什么不繼續(xù)劃去11，13，?的倍數(shù)呢？事實(shí)上，這些倍數(shù)已包含在已劃去的倍數(shù)中。例如，100以內(nèi)11的倍數(shù)應(yīng)該是

11×A≤100（其中A為整數(shù)），

- 12 -

顯然，A只能取2，3，4，5，6，7，8，9。因?yàn)?span lang="EN-US">4=22，6=2×3，8=23，9=32

，所以A必是2，3，5，7之一的倍數(shù)。由此推知，11的倍數(shù)已全部包含在2，3，5，7的倍數(shù)中，已在前面劃去了。

要判斷一個數(shù)N是質(zhì)數(shù)還是合數(shù)，根據(jù)合數(shù)的定義，只要用從小到大的自然數(shù)2，3，4，5，6，7，8，?，N-1去除N，其中只要有一個自然數(shù)能整除N，N就是合數(shù)，否則就是質(zhì)數(shù)。但這樣太麻煩，因?yàn)槌龜?shù)太多。能不能使試除的數(shù)少一點(diǎn)呢？由例1知，只要用從小到大的質(zhì)數(shù)去除N就可以了。例2給出的判別方法，可以使試除的數(shù)進(jìn)一步減少。

例2 判斷269，437兩個數(shù)是合數(shù)還是質(zhì)數(shù)。

分析與解：對于一個不太大的數(shù)N，要判斷它是質(zhì)數(shù)還是合數(shù)，可以先找出一個大于N且最接近N的平方數(shù)K2，再寫出K以內(nèi)的所有質(zhì)數(shù)。如果這些質(zhì)數(shù)都不能整除N，那么N是質(zhì)數(shù)；如果這些質(zhì)數(shù)中有一個能整除N，那么N是合數(shù)。

因?yàn)?span lang="EN-US">269＜172=289。17以內(nèi)質(zhì)數(shù)有2，3，5，7，11，13。根據(jù)能被某些數(shù)整除的數(shù)的特征，個位數(shù)是9，所以269不能被2，5整除；2 6 9=17，所以269不能被3整除。經(jīng)逐一判斷或試除知，這6個質(zhì)數(shù)都不能整除269，所以269是質(zhì)數(shù)。

因?yàn)?span lang="EN-US">437＜212=441。21以內(nèi)的質(zhì)數(shù)有2，3，5，7，11，13，17，19。容易判斷437不能被2，3，5，7，11整除，用13，17，19試除437，得到437÷19=23，所以437是合數(shù)。  對比一下幾種判別質(zhì)數(shù)與合數(shù)的方法，可以看出例2的方法的優(yōu)越性。判別269，用2～268中所有的數(shù)試除，要除267個數(shù)；用2～268中的質(zhì)數(shù)試除，要除41個數(shù)；而用例2的方法，只要除6個數(shù)。

例3 判斷數(shù)1111112111111是質(zhì)數(shù)還是合數(shù)？

分析與解：按照例2的方法判別這個13位數(shù)是質(zhì)數(shù)還是合數(shù)，當(dāng)然是很麻煩的事，能不能想出別的辦法呢？根據(jù)合數(shù)的意義，如果一個數(shù)能夠?qū)懗蓛蓚€大于1的整數(shù)的乘積，那么這個數(shù)是合數(shù)。

根據(jù)整數(shù)的意義，這個13位數(shù)可以寫成：

1111112111111

=1111111000000 1111111  =1111111×（1000000 1）   =1111111×1000001。

由上式知，111111和1000001都能整除1111112111111，所以1111112111111是合數(shù)。

這道例題又給我們提供了一種判別一個數(shù)是質(zhì)數(shù)還是合數(shù)的方法。  例4 判定298 1和298 3是質(zhì)數(shù)還是合數(shù)？

分析與解：這道題要判別的數(shù)很大，不能直接用例1、例2的方法。我們在四年級學(xué)過an的個位數(shù)的變化規(guī)律，以及an

除以某自然數(shù)的余數(shù)的變化規(guī)律。2n的個位數(shù)隨著n的從小到大，按照2，4，8，6每4個一組循環(huán)出現(xiàn)，98÷4=24??2，所以298的個位數(shù)是4，（298 1）的個位數(shù)是5，能被5整除，說明（298 1）是合數(shù)。（2983）是奇數(shù)，不能被2整除； 298

不能被3整除，所以（298

 3）也不能被3整除；（298 1）能被5整除，（298

 3）比（298

 1）大2，所以（298

 3）不能被5整除。再判斷（298 3）能否被7整除。首先看看2n÷7的余數(shù)的變化規(guī)律：

因?yàn)?span lang="EN-US">98÷3的余數(shù)是2，從上表可知298除以7的余數(shù)是4，（298 3）除以7的余數(shù)是4 3=7，7能被7整除，即（298 3）能被7整除，所以（298 3）是合數(shù)。

例5 已知A是質(zhì)數(shù)，（A 10）和（A 14）也是質(zhì)數(shù)，求質(zhì)數(shù)A。   分析與解：從最小的質(zhì)數(shù)開始試算。

小學(xué)奧數(shù)基礎(chǔ)教程（五年級）

A=2時，A 10=12，12是合數(shù)不是質(zhì)數(shù)，所以A≠2。

A=3時，A 10=13，是質(zhì)數(shù)；A 14=17也是質(zhì)數(shù)，所以A等于3是所求的質(zhì)數(shù)。

A除了等于3外，還可以是別的質(zhì)數(shù)嗎？因?yàn)橘|(zhì)數(shù)有無窮多個，所以不可能一一去試，必須采用其它方法。   A，（A 1），（A 2）除以3的余數(shù)各不相同，而（A 1）與（A 10）除以3的余數(shù)相同，（A 2）與（A 14）除以3的余數(shù)相同，所以A，（A 10），（A 14）除以3的余數(shù)各不相同。因?yàn)槿魏巫匀粩?shù)除以3只有整除、余1、余2三種情況，所以在A，（A 10），（A 14）中必有一個能被3整除。能被3整除的質(zhì)數(shù)只有3，因?yàn)椋?span lang="EN-US">A 10），（A 14）都大于3，所以A=3。也就是說，本題唯一的解是A=3。   練習(xí)10

1.現(xiàn)有1，3，5，7四個數(shù)字。 （1）用它們可以組成哪些兩位數(shù)的質(zhì)數(shù)（數(shù)字可以重復(fù)使用）？（2）用它們可以組成哪些各位數(shù)字不相同的三位質(zhì)數(shù)？

2.a，b，c都是質(zhì)數(shù)，a＞b＞c，且a×b c=88，求a，b，c。

3.A是一個質(zhì)數(shù)，而且A 6，A 8，A 12，A 14都是質(zhì)數(shù)。試求出所有滿足要求的質(zhì)數(shù)A。

5.試說明：兩個以上的連續(xù)自然數(shù)之和必是合數(shù)。

6.判斷266 388是不是質(zhì)數(shù)。   7.把一個一位數(shù)的質(zhì)數(shù)a寫在另

一個兩位數(shù)的質(zhì)數(shù)b后邊，得到一個三位數(shù)，這個三位數(shù)是a的87倍，求a和b。

第11講 分解質(zhì)因數(shù)

自然數(shù)中任何一個合數(shù)都可以表示成若干個質(zhì)因數(shù)乘積的形式，如果不考慮因數(shù)的順序，那么這個表示形式是唯一的。把合數(shù)表示為質(zhì)因數(shù)乘積的形式叫做分解質(zhì)因數(shù)。

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例如，60=22×3×5， 1998=2×33×37。

例1 一個正方體的體積是13824厘米3，它的表面積是多少？  分析與解：正方體的體積是“棱長×棱長×棱長”，現(xiàn)在已知正方體的體積是13824厘米3，若能把13824寫成三個相同的數(shù)相乘，則可求出棱長。為此，我們先將13824分解質(zhì)因數(shù)：

把這些因數(shù)分成三組，使每組因數(shù)之積相等，得13824=（23×3）×（23×3）×（23×3），

于是，得到棱長是23×3=24（厘米）。所求表面積是24×24×6=3456（厘米2

）。

例2 學(xué)區(qū)舉行團(tuán)體操表演，有1430名學(xué)生參加，分成人數(shù)相等的若干隊(duì)，要求每隊(duì)人數(shù)在100至200之間，共有幾種分法？

分析與解：按題意，每隊(duì)人數(shù)×隊(duì)數(shù)=1430，每隊(duì)人數(shù)在100至200之間，所以問題相當(dāng)于求1430有多少個在100至200之間的約數(shù)。為此，先把1430分解質(zhì)因數(shù)，得1430＝2×5×11×13。

從這四個質(zhì)數(shù)中選若干個，使其乘積在100到200之間，這是每隊(duì)人數(shù)，其余的質(zhì)因數(shù)之積便是隊(duì)數(shù)。   2×5×11=110，13；   2×5×13=130，11；   11×13=143，2×5=10。   所以共有三種分法，即分成13隊(duì)，每隊(duì)110人；分成11隊(duì)，每隊(duì)130人；分成10隊(duì)，每隊(duì)143人。   例3 1×2×3×?×40能否被90909整除？

分析與解：首先將90909分解質(zhì)因數(shù)，得 90909=33×7×13×37。    因?yàn)?span lang="EN-US">33（=27），7，13，37都在1～40中，所以1×2×3×?×40能被90909整除。

例4 求72有多少個不同的約數(shù)。

分析與解：將72分解質(zhì)因數(shù)得到72=23

×32

。根據(jù)72的約數(shù)含有2和3的個數(shù)，可將72的約數(shù)列表如下：

上表中，第三、四行的數(shù)字分別是第二行對應(yīng)數(shù)字乘以3和32，第三、四、五列的數(shù)字分別是第二列對應(yīng)數(shù)字乘以2，22和23。對比72=23×32，72的任何一個約數(shù)至多有兩個不同質(zhì)因數(shù)：2和3。因?yàn)?span lang="EN-US">72有3個質(zhì)因數(shù)2，所以在某一個約數(shù)的質(zhì)因數(shù)中，2可能不出現(xiàn)或出現(xiàn)1次、出現(xiàn)2次、出現(xiàn)3次，這就有4種情況；同理，因?yàn)?span lang="EN-US">72有兩個質(zhì)因數(shù)3，所以3可能不出現(xiàn)或出現(xiàn)1次、出現(xiàn)2次，共有3種情況。  根據(jù)乘法原理，72的不同約數(shù)共有4×3=12（個）。

從例4可以歸納出求自然數(shù)N的所有不同約數(shù)的個數(shù)的方法：一個大于1的自然數(shù)N的約數(shù)個數(shù)，等于它的質(zhì)因數(shù)分解式中每個質(zhì)因數(shù)的個數(shù)加1的連乘積。

例如，2352=24×3×72，因?yàn)?span lang="EN-US">2352的質(zhì)因數(shù)分解式中有4個2，1個3，2個7，所以2352的不同約數(shù)有   （4 1）×（1 1）×（2 1）=30（個）；

又如，9450=2×33

×52×7，所以9450的不同的約數(shù)有

（1 1）×（3 1）×（2 1）×（1 1）=48（個）。

例5 試求不大于50的所有約數(shù)個數(shù)為6的自然數(shù)。

分析與解：這是求一個數(shù)的約數(shù)個數(shù)的逆問題，因此解題方法正好與例4相反。

因?yàn)檫@個數(shù)有六個約數(shù)，6=5 1=（2 1）×（1 1），所以，當(dāng)這個數(shù)只有一個質(zhì)因數(shù)a時，這個數(shù)是a5；當(dāng)這個數(shù)有兩個質(zhì)因數(shù)a和b時，這個數(shù)是a2×b。因?yàn)檫@個數(shù)不大于50，所以對于a5，只有a=2，即25=32；對于a2×b，經(jīng)試算得到，22×3=12，22

小學(xué)奧數(shù)基礎(chǔ)教程（五年級）

×5=20，22×7=28，22×11=44，32×2=18，32

×5=45，52

×2=50。   所以滿足題意的數(shù)有八個：32，12，20，28，44，18，45，50。 練習(xí)11

1.一個長方體，它的正面和上面的面積之和是209分米2，如果它的長、寬、高都是質(zhì)數(shù)，那么這個長方體的

體積是多少立方分米？

2.爺孫兩人今年的年齡的乘積是693，4年前他們的年齡都是質(zhì)數(shù)。爺孫兩人今年的年齡各是多少歲？   3.某車間有216個零件，如果平均分成若干份，分的份數(shù)在5至20之間，那么有多少種分法？

4.小英參加小學(xué)數(shù)學(xué)競賽，她說：“我得的成績和我的歲數(shù)以及我得的名次乘起來是3916，滿分是100分?！蹦芊裰佬∮⒌哪挲g、考試成績及名次？

5.舉例回答下面各問題：（1）兩個質(zhì)數(shù)的和仍是質(zhì)數(shù)嗎？（2）兩個質(zhì)數(shù)的積能是質(zhì)數(shù)嗎？ （3）兩個合數(shù)的和仍是合數(shù)嗎？（4）兩個合數(shù)的差（大數(shù)減小數(shù)）仍是合數(shù)嗎？

（5）一個質(zhì)數(shù)與一個合數(shù)的和是質(zhì)數(shù)還是合數(shù)？

6.求不大于100的約數(shù)最多的自然數(shù)。

7.同學(xué)們?nèi)ド浼?，?guī)定每射一箭得到的環(huán)數(shù)或者是“0”（脫靶）或者是不超過10的自然數(shù)。甲、乙兩同學(xué)各射5箭，每人得到的總環(huán)數(shù)之積剛好都是1764，但是甲的總環(huán)數(shù)比乙少4環(huán)。求甲、乙各自的總環(huán)數(shù)。

第12講 最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)

（一）

如果一個自然數(shù)a能被自然數(shù)b整除，那么稱a為b的倍數(shù)，b為a的約數(shù)。

如果一個自然數(shù)同時是若干個自然數(shù)的約數(shù)，那么稱這個自然數(shù)是這若干個自然數(shù)的公約數(shù)。在所有公約數(shù)中最大的一個公約數(shù)，稱為這若干個自然數(shù)的最大公約數(shù)。自然數(shù)a1，a2，?，an的最大公約數(shù)通常用符號

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（a1，a2，?，an）表示，例如，（8，12）=4，（6，9，15）=3。   如果一個自然數(shù)同時是若干個自然數(shù)的倍數(shù)，那么稱這個自然數(shù)是這若干個自然數(shù)的公倍數(shù)。在所有公倍數(shù)中最小的一個公倍數(shù)，稱為這若干個自然數(shù)的最小公倍數(shù)。自然數(shù)a1，a2，?，an的最小公倍數(shù)通常用符號[a1，a2，?，an]表示，例如[8，12]=24，[6，9，15]=90。

常用的求最大公約數(shù)和最小公倍數(shù)的方法是分解質(zhì)因數(shù)法和短除法。   例1 用60元錢可以買一級茶葉144克，或買二級茶葉180克，或買三級茶葉240克?，F(xiàn)將這三種茶葉分別按整克數(shù)裝袋，要求每袋的價格都相等，那么每袋的價格最低是多少元錢？

分析與解：因?yàn)?span lang="EN-US">144克一級茶葉、180克二級茶葉、240克三級茶葉都是60元，分裝后每袋的價格相等，所以144克一級茶葉、180克二級茶葉、240克三級茶葉，分裝的袋數(shù)應(yīng)相同，即分裝的袋數(shù)應(yīng)是144，180，240的公約數(shù)。題目要求每袋的價格盡量低，所以分裝的袋數(shù)應(yīng)盡量多，應(yīng)是144，180，240的最大公約數(shù)。

所以（144，180，240）=2×2×3=12，即每60元的茶葉分裝成12袋，每袋的價格最低是60÷12=5（元）。   為節(jié)約篇幅，除必要時外，在求最大公約數(shù)和最小公倍數(shù)時，將不再寫出短除式。

例2 用自然數(shù)a去除498，450，414，得到相同的余數(shù)，a最大是多少？  分析與解：因?yàn)?span lang="EN-US">498，450，414除以a所得的余數(shù)相同，所以它們兩兩之差的公約數(shù)應(yīng)能被a整除。   498-450=48，450-414=36，498-414=84。

所求數(shù)是（48，36，84）=12。   例3 現(xiàn)有三個自然數(shù)，它們的和是1111，這樣的三個自然數(shù)的公約數(shù)中，最大的可以是多少？

分析與解：只知道三個自然數(shù)的和，不知道三個自然數(shù)具體是幾，似乎無法求最大公約數(shù)。只能從唯一的條件“它們的和是1111”入手分析。三個數(shù)的和是1111，它們的公約數(shù)一定是1111的約數(shù)。因?yàn)?span lang="EN-US">1111=101×11，它的約數(shù)只能是1，11，101和1111，由于三個自然數(shù)的和是1111，所以三個自然數(shù)都小于1111，1111不可能是三個自然數(shù)的公約數(shù)，而101是可能的，比如取三個數(shù)為101，101和909。所以所求數(shù)是101。  例4 在一個30×24的方格紙上畫一條對角線（見下頁上圖），這條對角線除兩個端點(diǎn)外，共經(jīng)過多少個格點(diǎn)（橫線與豎線的交叉點(diǎn)）？

分析與解：（30，24）=6，說明如果將方格紙橫、豎都分成6份，即分成6×6個相同的矩形，那么每個矩形是由（30÷6）×（24÷6）=5×4（個）   小方格組成。在6×6的簡化圖中，對角線也是它所經(jīng)過的每一個矩形的對角線，所以經(jīng)過5個格點(diǎn)（見左下圖）。在對角線所經(jīng)過的每一個矩形的5×4個小方格中，對角線不經(jīng)過任何格點(diǎn)（見右下圖）。

所以，對角線共經(jīng)過格點(diǎn)（30，24）-1=5（個）。

例5 甲、乙、丙三人繞操場競走，他們走一圈分別需要1分、1分15秒和1分30秒。三人同時從起點(diǎn)出發(fā)，最少需多長時間才能再次在起點(diǎn)相會？

分析與解：甲、乙、丙走一圈分別需60秒、75秒和90秒，因?yàn)橐谄瘘c(diǎn)相會，即三人都要走整圈數(shù)，所

小學(xué)奧數(shù)基礎(chǔ)教程（五年級）

以需要的時間應(yīng)是60，75，90的公倍數(shù)。所求時間為[60，75，90]=900（秒）=15（分）。

例6 爺爺對小明說：“我現(xiàn)在的年齡是你的7倍，過幾年是你的6倍，再過若干年就分別是你的5倍、4倍、3倍、2倍?！蹦阒罓敔敽托∶鳜F(xiàn)在的年齡嗎？

分析與解：爺爺和小明的年齡隨著時間的推移都在變化，但他們的年齡差是保持不變的。爺爺?shù)哪挲g現(xiàn)在是小明的7倍，說明他們的年齡差是6的倍數(shù)；同理，他們的年齡差也是5，4，3，2，1的倍數(shù)。由此推知，他們的年齡差是6，5，4，3，2的公倍數(shù)。   [6，5，4，3，2]=60， 爺爺和小明的年齡差是60的整數(shù)倍?？紤]到年齡的實(shí)際情況，爺爺與小明的年齡差應(yīng)是60歲。所以現(xiàn)在 小明的年齡=60÷（7-1）=10（歲），  爺爺?shù)哪挲g=10×7=70（歲）。      練習(xí)12

1.有三根鋼管，分別長200厘米、240厘米、360厘米?，F(xiàn)要把這三根鋼管截成盡可能長而且相等的小段，一共能截成多少段？

2.兩個小于150的數(shù)的積是2028，它們的最大公約數(shù)是13，求這兩個數(shù)。

3.用1～9這九個數(shù)碼可以組成362880個沒有重復(fù)數(shù)字的九位數(shù)，求這些數(shù)的最大公約數(shù)？

4.大雪后的一天，亮亮和爸爸從同一點(diǎn)出發(fā)沿同一方向分別步測一個圓形花圃的周長。亮亮每步長54厘米，爸爸每步長72厘米，由于兩個人的腳印有重合，所以雪地上只留下60個腳

印。問：這個花圃的周長是多少米？  5.有一堆桔子，按每4個一堆分少1個，按每5個一堆分也少1個，按每6個一堆分還是少1個。這堆桔子至少有多少個？

6.某公共汽車站有三條線路的公共汽車。第一條線路每隔5分鐘發(fā)車一次，第二、三條線路每隔6分鐘和8分鐘發(fā)車一次。9點(diǎn)時三條線路同時發(fā)車，下一次同時發(fā)車是什么時間？

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7.四個連續(xù)奇數(shù)的最小公倍數(shù)是6435，求這四個數(shù)。

第13講 最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)（二）

這一講主要講最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)的關(guān)系，并對最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)的概念加以推廣。   在求18與12的最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)時，由短除法

可知，（18，12）=2×3=6，[18，12]=2×3×3×2=36。如果把18與12的最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)相乘，那么

（18，12）×[18，12]   =（2×3）×（2×3×3×2）   =（2×3×3）×（2×3×2）   =18×12。

也就是說，18與12的最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)的乘積，等于18與12的乘積。當(dāng)把18，12換成其它自然數(shù)時，依然有類似的結(jié)論。從而得出一個重要結(jié)論：

兩個自然數(shù)的最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)的乘積，等于這兩個自然數(shù)的乘積。即，

（a，b）×[a，b]=a×b。   例1 兩個自然數(shù)的最大公約數(shù)是6，最小公倍數(shù)是72。已知其中一個自然數(shù)是18，求另一個自然數(shù)。   解：由上面的結(jié)論，另一個自然數(shù)是（6×72）÷18=24。

例2 兩個自然數(shù)的最大公約數(shù)是7，最小公倍數(shù)是210。這兩個自然數(shù)的和是77，求這兩個自然數(shù)。   分析與解：如果將兩個自然數(shù)都除以7，則原題變?yōu)椋骸皟蓚€自然數(shù)的最大公約數(shù)是1，最小公倍數(shù)是30。這兩個自然數(shù)的和是11，求這兩個自然數(shù)?！?/span>

改變以后的兩個數(shù)的乘積是1×30=30，和是11。

30=1×30=2×15=3×10=5×6，   由上式知，兩個因數(shù)的和是11的只有5×6，且5與6互質(zhì)。因此改變

后的兩個數(shù)是5和6，故原來的兩個自然數(shù)是

7×5=35和7×6=42。

例3 已知a與b，a與c的最大公約數(shù)分別是12和15，a，b，c的最小公倍數(shù)是120，求a，b，c。   分析與解：因?yàn)?span lang="EN-US">12，15都是a的約數(shù)，所以a應(yīng)當(dāng)是12與15的公倍數(shù)，即是[12，15]=60的倍數(shù)。再由[a，b，c]=120知， a只能是60或120。[a，c]=15，說明c沒有質(zhì)因數(shù)2，又因?yàn)?span lang="EN-US">[a，b，c]=120=23×3×5，所以c=15。

因?yàn)?span lang="EN-US">a是c的倍數(shù)，所以求a，b的問題可以簡化為：“a是60或120，（a，b）=12，[a，b]=120，求a，b?！?span lang="EN-US">   當(dāng)a=60時，

b=（a，b）×[a，b]÷a   =12×120÷60=24；   當(dāng)a=120時，

b=（a，b）×[a，b]÷a   =12×120÷120=12。

所以a，b，c為60，24，15或120，12，15。

在例4中，出現(xiàn)了與整數(shù)的最大公約數(shù)類似的分?jǐn)?shù)問題。為此，我們將最大公約數(shù)的概念推廣到分?jǐn)?shù)中。   如果若干個分?jǐn)?shù)（含整數(shù)）都是某個分?jǐn)?shù)的整數(shù)倍，那么稱這個分?jǐn)?shù)是這若干個分?jǐn)?shù)的公約數(shù)。在所有公約數(shù)中最大的一個公約數(shù)，稱為這若干個分?jǐn)?shù)的最大公約數(shù)。

由例4的解答，得到求一組分?jǐn)?shù)的最大公約數(shù)的方法：

（1）先將各個分?jǐn)?shù)化為假分?jǐn)?shù)；   （2）求出各個分?jǐn)?shù)的分母的最小公倍數(shù)a；

（3）求出各個分?jǐn)?shù)的分子的最大公約數(shù)b；

一個陷井。它們之中誰先掉進(jìn)陷井？它掉進(jìn)陷井時另一個跳了多遠(yuǎn)？

同理，黃鼠狼掉進(jìn)陷井時與起點(diǎn)的距離為

所以黃鼠狼掉進(jìn)陷井時跳了31 1/2÷6 3/10=5（次）。

黃鼠狼先掉進(jìn)陷井，它掉進(jìn)陷井

類似地，我們也可以將最小公倍 數(shù)的概念推廣到分?jǐn)?shù)中。

如果某個分?jǐn)?shù)（或整數(shù)）同時是

時，狐貍跳了

要將它們?nèi)糠謩e裝入小瓶中，每個小瓶裝入液體的重量相同。問：每瓶最多裝多少千克？

分析與解：如果三種溶液的重量都是整數(shù)，那么每瓶裝的重量就是三種溶液重量的最大公約數(shù)?，F(xiàn)在的問題是三種溶液的重量不是整數(shù)。要解決這個問題，可以將重量分別乘以某個數(shù)，將分?jǐn)?shù)化為整數(shù)，求出數(shù)值后，再除以這個數(shù)。為此，先求幾個分母的最小公倍數(shù)，[6，4，9]=36，三種溶液的重量都乘以36后，變?yōu)?span lang="EN-US">150，135和80，

（150，135，80）=5。   上式說明，若三種溶液分別重150，135，80千克，則每瓶最多裝5千克?？蓪?shí)際重量是150，135，80的1/36，所以每瓶最多裝

若干個分?jǐn)?shù)（含整數(shù)）的整數(shù)倍，那么稱這個分?jǐn)?shù)是這若干個分?jǐn)?shù)的公倍數(shù)。在所有公倍數(shù)中最小的一個公倍數(shù)，稱為這若干個分?jǐn)?shù)的最小公倍數(shù)。   求一組分?jǐn)?shù)的最小公倍數(shù)的方法：

（1）先將各個分?jǐn)?shù)化為假分?jǐn)?shù)； （2）求出各個分?jǐn)?shù)的分子的最小公倍數(shù)a；

（3）求出各個分?jǐn)?shù)的分母的最大公約數(shù)b；

練習(xí)13

1.將72和120的乘積寫成它們的最大公約數(shù)和最最小公倍數(shù)的乘積的形式。

2.兩個自然數(shù)的最大公約數(shù)是12，最小公倍數(shù)是72。滿足條件的自然數(shù)有哪幾組？

3.求下列各組分?jǐn)?shù)的最大公約數(shù)：

4.求下列各組分?jǐn)?shù)的最小公倍數(shù)：

（5）a與b的乘積除以c的余數(shù)，等于a，b分別除以c的余數(shù)之積（或這個積除以c的余數(shù)）。例如，23，16除以5的余數(shù)分別是3和1，所以（23×16）除以5的余數(shù)等于3×1=3。注意：當(dāng)余數(shù)之積大于除數(shù)時，所求 余數(shù)等于余數(shù)之積再除以c的余數(shù)。

部分別裝入小瓶中，每個小瓶裝入液例如，23，19除以5的余數(shù)分別是3體的重量相同。問：最少要裝多少瓶？

和4，所以（23×19）除以5的余數(shù)等

于（3×4）除以5的余數(shù)。   性質(zhì)（4）（5）都可以推廣到多個自然數(shù)的情形。

例1 5122除以一個兩位數(shù)得到的余數(shù)是66，求這個兩位數(shù)。   分析與解：由性質(zhì)（2）知，除數(shù)×商=被除數(shù)-余數(shù)。   5122-66=5056，

5056應(yīng)是除數(shù)的整數(shù)倍。將5056分解質(zhì)因數(shù)，得到   5056=26×79。

于同一處只有一次，求圓形綠地的周  由性質(zhì)（1）知，除數(shù)應(yīng)大于66，長。

再由除數(shù)是兩位數(shù)，得到除數(shù)在67～  第14講 余數(shù)問題

99之間，符合題意的5056的約數(shù)只有  在整數(shù)的除法中，只有能整除與79，所以這個兩位數(shù)是79。 不能整除兩種情況。當(dāng)不能整除時，  例2 被除數(shù)、除數(shù)、商與余數(shù)之就產(chǎn)生余數(shù)，所以余數(shù)問題在小學(xué)數(shù)和是2143，已知商是33，余數(shù)是52，學(xué)中非常重要。

求被除數(shù)和除數(shù)。

余數(shù)有如下一些重要性質(zhì)（a，b，  解：因?yàn)楸怀龜?shù)=除數(shù)×商余數(shù) c均為自然數(shù)）：   =除數(shù)×33 52，

（1）余數(shù)小于除數(shù)。

被除數(shù)=2143-除數(shù)-商-余數(shù)   （2）被除數(shù)=除數(shù)×商 余數(shù)；  =2143-除數(shù)-33-52   除數(shù)=（被除數(shù)-余數(shù)）÷商；   =2058-除數(shù)，

商=（被除數(shù)-余數(shù)）÷除數(shù)。   所以 除數(shù)×33 52=2058-除數(shù)，   （3）如果a，b除以c的余數(shù)相  所以 除數(shù)=（2058-52）÷34=59， 同，那么a與b的差能被c整除。例  被除數(shù)=2058-59=1999。 如，17與11除以3的余數(shù)都是2，所  答：被除數(shù)是1999，除數(shù)是59。 以17-11能被3整除。

例3 甲、乙兩數(shù)的和是1088，甲  （4）a與b的和除以c的余數(shù)，數(shù)除以乙數(shù)商11余32，求甲、乙兩數(shù)。 等于a，b分別除以c的余數(shù)之和（或  解：因?yàn)榧?span lang="EN-US">=乙×11 32， 這個和除以c的余數(shù)）。例如，23，  所以甲 乙=乙×11 32 乙=乙×16除以5的余數(shù)分別是3和1，所以12 32=1088，

（23 16）除以5的余數(shù)等于3 1=4。  所以乙=（1088-32）÷12=88，注意：當(dāng)余數(shù)之和大于除數(shù)時，所求   甲=1088-乙=1000。

余數(shù)等于余數(shù)之和再除以c的余數(shù)。  答：甲數(shù)是1000，乙數(shù)是88。例如，23，19除以5的余數(shù)分別是3  例4 有一個整數(shù)，用它去除70，和4，所以（23 19）除以5的余數(shù)等110，160得到的三個余數(shù)之和是50。于（3 4）除以5的余數(shù)。

求這個數(shù)。

分析與解：先由題目條件，求出這個數(shù)的大致范圍。因?yàn)?span lang="EN-US">50÷

3=16??2，所以三個余數(shù)中至少有一個大于16，推知除數(shù)大于16。由三個余數(shù)之和是50知，除數(shù)不應(yīng)大于70，所以除數(shù)在17～70之間。

由題意知（7 110 160）-50=290應(yīng)能被這個數(shù)整除。將290分解質(zhì)因數(shù)，得到290=2×5×29，290在17～70之間的約數(shù)有29和58。   因?yàn)?span lang="EN-US">110÷58=1??52＞50，所以58不合題意。所求整數(shù)是29。  例5 求478×296×351除以17的余數(shù)。

分析與解：先求出乘積再求余數(shù)，計(jì)算量較大。根據(jù)性質(zhì)（5），可先分別計(jì)算出各因數(shù)除以17的余數(shù)，再求余數(shù)之積除以17的余數(shù)。

478，296，351除以17的余數(shù)分別為2，7和11，（2×7×11）÷17=9??1。  所求余數(shù)是1。

例6 甲、乙兩個代表團(tuán)乘車去參觀，每輛車可乘36人。兩代表團(tuán)坐滿若干輛車后，甲代表團(tuán)余下的11人與乙代表團(tuán)余下的成員正好又坐滿一輛車。參觀完，甲代表團(tuán)的每個成員與乙代表團(tuán)的每個成員兩兩合拍一張照片留念。如果每個膠卷可拍36張照片，那么拍完最后一張照片后，相機(jī)里的膠卷還可拍幾張照片？

分析與解：甲代表團(tuán)坐滿若干輛車后余11人，說明甲代表團(tuán)的人數(shù)（簡稱甲數(shù)）除以36余11；兩代表團(tuán)余下的人正好坐滿一輛車，說明乙代表團(tuán)余36-11=25（人），即乙代表團(tuán)的人數(shù)（簡稱乙數(shù)）除以36余25；甲代表團(tuán)的每個成員與乙代表團(tuán)的每個成員兩兩合拍一張照片，共要拍“甲數(shù)×乙數(shù)”張照片，因?yàn)槊總€膠卷拍36張，所以最后一個膠卷拍的張數(shù)，等于“甲數(shù)×乙數(shù)”除以36的余數(shù)。   因?yàn)榧讛?shù)除以36余11，乙數(shù)除以36余25，所以“甲數(shù)×乙數(shù)”除以36的余數(shù)等于11×25除以36的余數(shù)。   （11×25）÷36=7??23，  即最后一個膠卷拍了23張，還可拍36-23=13（張）。

由例6看出，將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為我們熟悉的數(shù)學(xué)問題，有助于我們思考解題。練習(xí)14

1.今天是星期六，再過1000天是星期幾？

2.已知兩個自然數(shù)a和b（a＞b），已知a和b除以13的余數(shù)分別是5和9，求a b，a-b，a×b，a2-b2各自除以13的余數(shù)。

3.2100除以一個兩位數(shù)得到的余數(shù)是56，求這個兩位數(shù)。

4.被除數(shù)、除數(shù)、商與余數(shù)之和是903，已知除數(shù)是35，余數(shù)是2，求被除數(shù)。

5.用一個整數(shù)去除345和543所得的余數(shù)相同，且商相差9，求這個數(shù)。   6.有一個整數(shù)，用它去除312，231，123得到的三個余數(shù)之和是41，求這個數(shù)。

7.2000年五月有5個星期三、4個星期四，這個月的一日是星期幾？ 第15講 孫子問題與逐步約束法   在古書《孫子算經(jīng)》中有一道題：“今有物不知其數(shù)，三三數(shù)之剩二，五五數(shù)之剩三，七七數(shù)之剩二，問物幾何？”意思是：有一堆物品，三個三個數(shù)剩兩個，五個五個數(shù)剩三個，七個七個數(shù)剩兩個。求這堆物品的個數(shù)。

我們稱這類問題為孫子問題。   例1 一個數(shù)除以3余2，除以5余3，除以7余2。求滿足條件的最小自然數(shù)。

分析與解：這道例題就是《孫子算經(jīng)》中的問題。這個問題有三個條件，一下子不好解答。那么，我們能不能通過先求出滿足其中一個條件的數(shù)，然后再逐步增加條件，達(dá)到最終解決問題的目的呢？我們試試看。   滿足“除以3余2”的數(shù)，有2，5，8，11，14，17，?

在上面的數(shù)中再找滿足“除以5余3”的數(shù)，可以找到8，8是同時滿足“除以3余2”、“除以5余3”兩個條件的數(shù)，容易知道，8再加上3與5的公倍數(shù)，仍然滿足這兩個條件，所以滿足這兩個條件的數(shù)有

小學(xué)奧數(shù)基礎(chǔ)教程（五年級）

8，23，38，53，68，?

在上面的數(shù)中再找滿足“除以7余2”的數(shù)，可以找到23，23是同時滿足“除以3余2”、“除以5余3”、“除以7余2”三個條件的數(shù)。23再加上或減去3，5，7的公倍數(shù)，仍然滿足這三個條件，[3，5，7]=105，因?yàn)?span lang="EN-US">23＜105，所以滿足這三個條件的最小自然數(shù)是23。

在例1中，若找到的數(shù)大于[3，5，7]，則應(yīng)當(dāng)用找到的數(shù)減去[3，5，7]的倍數(shù)，使得差小于[3，5，7]，這個差即為所求的最小自然數(shù)。   例2 求滿足除以5余1，除以7余3，除以8余5的最小的自然數(shù)。   分析與解：與例1類似，先求出滿足“除以5余1”的數(shù)，有6，11，16，21，26，31，36，?

在上面的數(shù)中，再找滿足“除以7余3”的數(shù)，可以找到31。同時滿足“除以5余1”、“除以7余3”的數(shù)，彼此之間相差5×7=35的倍數(shù)，有  31，66，101，136，171，206，?   在上面的數(shù)中，再找滿足“除以8余5”的數(shù)，可以找到101。因?yàn)?span lang="EN-US">101＜[5，7，8]=280，所以所求的最小自然數(shù)是101。

在例1、例2中，各有三個約束條件，我們先解除兩個約束條件，求只滿足一個約束條件的數(shù)，然后再逐步加上第二個、第三個約束條件，最終求出了滿足全部三個約束條件的數(shù)。這種先放寬條件，再逐步增加條件的解題方法，叫做逐步約束法。   例3 在10000以內(nèi)，除以3余2，除以7余3，除以11余4的數(shù)有幾個？   解：滿足“除以3余2”的數(shù)有5，8，11，14，17，20，23，?   再滿足“除以7余3”的數(shù)有17，38，59，80，101，?

再滿足“除以11余4”的數(shù)有59。  因?yàn)殛?span lang="EN-US">[3，7，11]=231，所以符合題意的數(shù)是以59為首項(xiàng)，公差是231的等差數(shù)列。（10000-59）÷231=43??8，所以在10000以內(nèi)符合題意的數(shù)共有44個。

例4 求滿足除以6余3，除以8余5，除以9余6的最小自然數(shù)。

- 18 -

分析與解：如果給所求的自然數(shù)加3，所得數(shù)能同時被6，8，9整除，所以這個自然數(shù)是

[6，8，9]-3=72-3=69。   例5學(xué)校要安排66名新生住宿，小房間可以住4人，大房間可以住7人，需要多少間大、小房間，才能正好將66名新生安排下？

分析與解：設(shè)需要大房間x間，小房間y間，則有7x 4y=66。  這個方程有兩個未知數(shù)，我們沒有學(xué)過它的解法，但由4y和66都是偶數(shù)，推知7x也是偶數(shù)，從而x是偶數(shù)。

當(dāng)x=2時，由7×2 4y=66解得y=13，所以x=2，y=13是一個解。  因?yàn)楫?dāng)x增大4，y減小7時，7x增大28，4y減小28，所以對于方程的一個解x=2，y=13，當(dāng)x增大4，y減小7時，仍然是方程的解，即x=2 4=6，y=13-7=6也是一個解。

所以本題安排2個大房間、13個小房間或6個大房間、6個小房間都可以。

就是說，方程7x 4y=66有無數(shù)個解。由于這類方程的解的不確定性，所以稱這類方程為不定方程。

根據(jù)實(shí)際問題列出的不定方程，往往需要求整數(shù)解或自然數(shù)解，這時的解有時有無限個，有時有有限個，有時可能是唯一的，甚至無解。例如：   x-y=1有無限個解，因?yàn)橹灰?span lang="EN-US">x比y大1就是解；

3x 2y=5只有x=1，y=1一個解；   3x 2y=1沒有解。

例6 求不定方程5x 3y=68的所有整數(shù)解。

解：容易看出，當(dāng)y=1時，x=（68-3×1）÷5=13，即x=13，y=1是一個解。   因?yàn)?span lang="EN-US">x=13，y=1是一個解，當(dāng)x減小3，y增大5時，5x減少15，3y增大15，方程仍然成立，所以對于x=13，y=1，x每減小3，y每增大5，仍然是解。方程的所有整數(shù)解有5個：

的點(diǎn)數(shù)代表一個自然數(shù)，其中J，Q，K成。下面，我們借助“乘法分配律”

由例5、例6看出，只要找到不定方程的一個解，其余解可通過對這個解的加、減一定數(shù)值得到。限于我們學(xué)到的知識，尋找第一個解的方法更多的要依賴“拼湊”。     練習(xí)15

1.一個數(shù)除以5余4，除以8余3，除以11余2，求滿足條件的最小自然數(shù)。

2.有一堆蘋果，3個3個數(shù)余1個，5個5個數(shù)余2個，6個6個數(shù)余4個。這堆蘋果至少有多少個？  3.在小于1000的自然數(shù)中，除以4余3，除以5余2，除以7余4的最大的自然數(shù)是幾？

4.在5000以內(nèi)，除以3余1，除以5余2，除以7余3的自然數(shù)有多少個？

5.有一個兩位數(shù)，除以2與除以3都余1，除以4與除以5都余3，求這個數(shù)。

6.用100元錢去買3元一個和7元一個的兩種商品，錢正好用完，共有幾種買法？

7.五年級一班的43名同學(xué)去劃船，大船可坐7人，小船可坐5人，需租大、小船各多少條？   第16講 巧算24

同學(xué)們可能都玩過“數(shù)學(xué)24”的游戲，它把枯燥的基本數(shù)字計(jì)算變得趣味盎然，能大大提高計(jì)算能力和速度，使得思維靈活敏捷，是一種寓教于樂的智力競賽游戲。

游戲規(guī)則：給定四個自然數(shù)，通過 ，-，×，÷四則運(yùn)算，可以交換數(shù)的位置，可以隨意地添括號，但規(guī)定每個數(shù)恰好使用一次，連起來組成一個混合運(yùn)算的算式，使最后得數(shù)是24。   “數(shù)學(xué)24”游戲通常是用撲克牌進(jìn)行的，此時，給定的四個自然數(shù)就被限定在1～13范圍內(nèi)了。“數(shù)學(xué)24”游戲可以1個人玩，也可以多個人玩，比如四個人玩，把撲克牌中的大、小王拿掉，剩下的52張牌洗好后，每人分13張，然后每人出一張牌，每張牌

分別代表11，12和13，四張牌表示四個自然數(shù)。誰最先按游戲規(guī)則算出24，

就把這四張牌贏走。然后繼續(xù)進(jìn)行。最后誰的牌最多誰獲勝。

要想算得又快又準(zhǔn)，這就要靠平時的基本功了。最重要的有兩條：一是熟悉加法口訣和乘法口訣，二是利用括號。括號既能改變運(yùn)算順序，也可以改變運(yùn)算符號。

請用下面例題中給出的四個數(shù)，按規(guī)則算出24。   例1 3，3，5，6。

解一：根據(jù)3×8=24，3已有，將另三個數(shù)湊成8，得3×（5 6-3）=24。   解二：根據(jù)6×4=24，6已有，將另三個數(shù)湊成4，得6×（5-3÷3）=24或6×（3×3-5）=24。

解三：還是根據(jù)3×8=24，把3和8各分成兩數(shù)，得（6-3）×（3 5）=24。

解四：先把其中兩數(shù)相乘，積不足24的用另兩數(shù)補(bǔ)足，得3×5 3 6=24。

解五：先把其中兩數(shù)相乘，積超過24的用另兩數(shù)割去，得5×6-3-3=24。

例2 2，2，4，8。

解一：根據(jù)8×3=24，得8×[（2 4）÷2]=24或8×（4-2÷2）=24。   解二：根據(jù)4×6=24，得4×（2 8÷2）=24。

解三：根據(jù)2×12=24，得2×（2×8-4）=24。

解四：根據(jù)8 16=24，8已有，將另三個數(shù)湊成16，得8 2×2×4=24或8 （2 2）×4=24。

解五：根據(jù)8 16=24，把8和16各分成兩數(shù)，得2×4 2×8=24。  解六：根據(jù)4 20=24，4已有，將另三個數(shù)湊成20，得4 2×（2 8）=24。   具體玩法很多，在這里特別要注意的是：2×12，3×8，4×6是三個最基本的算式，在玩的過程中，你可以先固定某數(shù)為一個因數(shù)，看另三個數(shù)能否湊成相應(yīng)的另一個因數(shù)。你也可以把每一個因數(shù)分別看成由兩個數(shù)湊

來玩“數(shù)學(xué)24”游戲。   例3 1，4，4，5。

分析：很明顯，我們看到4×（1 5）=24，三個數(shù)已經(jīng)能夠算出24了，可惜的是還有一個4沒有用過。根據(jù)規(guī)則，必須把這個4也用進(jìn)去，怎么辦？怎樣把這個多余的4用到算式里面而又不影響得數(shù)呢？

解：利用“乘法分配律”：4×（1 5）=4×1 4×5=24。   例46，8，8，9。

解：8×（9-6）=8×9-8×6=24。   例5 5，7，12，12。

解：12×（7-5）=12×7-12×5=24。   在例3～例5中，我們利用了：   a×（b c）=a×b a×c，   a×（b-c）=a×b-a×c。   例6 2，2，6，9。

分析：很明顯，我們看到2×9 6=24，三個數(shù)已經(jīng)能夠算出24了，可惜的是還有一個2沒有用過。根據(jù)規(guī)則，必須把這個2也用進(jìn)去，怎樣把這個多余的2用到算式里面而又不影響得數(shù)呢？

解：利用“乘法分配律”：24=2×9 6=2×9 6÷2×2=2×（9 6÷2）。   例7 2，6，9，9。

解： 24=2×9 6=2×9 6÷9×9       =9×（26÷9）   例8 2，4，10，10。

解： 24=2×10 4=2×10 4÷10×10

=10×（2 4÷10）。   在例6～例8中，我們利用了   a×b c＝a×（b c÷a），   a×b-c＝a×（b-c÷a）。   我們知道，符合“數(shù)學(xué)24”游戲規(guī)則的每個具體算式中，一定要出現(xiàn)四個數(shù)和三個運(yùn)算符號。也就是說，一定要進(jìn)行三次運(yùn)算，出現(xiàn)三個運(yùn)算結(jié)果。其中前兩次結(jié)果是運(yùn)算過程中的中間結(jié)果，第三次即最后一次的運(yùn)算結(jié)果必須是24。

當(dāng)我們還是小學(xué)低年級的學(xué)生時，由于知識水平所限，解題總是圍繞運(yùn)算結(jié)果是整數(shù)展開討論。當(dāng)我們升入小學(xué)高年級，接觸到分?jǐn)?shù)以后，

我們的眼界變得開闊了，就可以打破整數(shù)這個框框，允許前兩次的運(yùn)算結(jié)果出現(xiàn)分?jǐn)?shù)，這樣，我們將會找到更多的、更好的思考辦法。   例9 1，5，5，5。

至此，應(yīng)用乘法玩“數(shù)學(xué)24”游戲的過程才是完整的。

下面，我們再來看看用分?jǐn)?shù)除法來玩“數(shù)學(xué)24”游戲。   例10 3，3，8，8。

成。這是基本的思考辦法。

一般地，應(yīng)用分?jǐn)?shù)除法玩“數(shù)學(xué)24”游戲的思考過程為：

固定的一個自然數(shù)只能是被除數(shù)，除數(shù)恰好由另外個自然數(shù)湊成。  另外，我們還是要強(qiáng)調(diào)一下分?jǐn)?shù)除法與分?jǐn)?shù)乘法的相同處與不同處。學(xué)了分?jǐn)?shù)以后，除法運(yùn)算可以轉(zhuǎn)化成乘法運(yùn)算。因此，在玩“數(shù)學(xué)24”游戲的過程中，很多除法算式可以轉(zhuǎn)化到乘法算式中去。但是它們之間還是

有區(qū)別

8

÷（3-8÷3）=24。

握用分?jǐn)?shù)除法這種工具來玩“數(shù)學(xué)24”游戲是必不可少的。        練習(xí) 16

用給出的四個數(shù)，按規(guī)則算出24。   1.（1）1，3，3，7； （2）2，2，

有效的思考辦法。

5，7；

（3）1，4，4，7； （4）1，2，8，8；

例11 1，4，5，6。

由上面的算式可以看出，我們以前接觸的僅僅是其中的2×12，3×8，4×6三個整數(shù)乘法基本算式?，F(xiàn)在我們學(xué)了分?jǐn)?shù)以后，乘法基本算式就增加了許多：

在解題過程中，我們先想到基本 算式

（5）1，5，6，6； （6）5，8，8，8。   2.（1） 2，7，7，10； （2）3，5，5，9；

（3）5，5，7，11； （4）2，6， 6，12；

（5）4，4，5，5； （6）2，5，5，10；

（7）4，9，9，12； （8）3，7，9，13。

3.（1）1，3，4，6； （2）2，8，9，13；

（3）1，6，6，8； （4）2，3，5，12；

（5）3，4，6，13； （6）1，8，

在這些分?jǐn)?shù)乘法基本算式中，固定的一個因數(shù)只能是5，7，9，10，

12，12；

（7）3，4，8，13； （8）2，7，12，13。

第17講 位值原則

同一個數(shù)字，由于它在所寫的數(shù)里的位置不同，所表示的數(shù)也不同。也就是說，每一個數(shù)字除了本身的值以外，還有一個“位置值”。例如“5”，寫在個位上，就表示5個一；寫在十位上，就表示5個十；寫在百位上，就表示5個百；等等。這種把數(shù)字和數(shù)位結(jié)合起來表示數(shù)的原則，稱為寫數(shù)的位值原則。

我們通常使用的是十進(jìn)制計(jì)數(shù)法，其特點(diǎn)是“滿十進(jìn)一”。就是說，每10個某一單位就組成和它相鄰的較高的一個單位，即10個一，叫做“十”，10個十叫做“百”，10個百叫做“千”，等等。寫數(shù)時，從右端起，第一位是個位，第二位是十位，第三位是百位，第四位是千位，等等（見下圖）。

用阿拉伯?dāng)?shù)字和位值原則，可以表示出一切整數(shù)。例如，926表示9個百，2個十，6個一，即926=9×100 2×10 6。根據(jù)問題的需要，有時我們也用字母代替阿拉伯?dāng)?shù)字表示數(shù)，

如：

其中a可以是1～9中的數(shù)碼，但不能是0，b和c是0～9

中的數(shù)碼。

下面，我們利用位值原則解決一些整數(shù)問題。

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這六個數(shù)的和等于將六個數(shù)的百位、 十位、個位分別相加，得到  所以，六個數(shù)的和是（a b c）的個數(shù)之差必然能被9整除。例如，222倍。

（97531-13579）必是9的倍數(shù)。   例4用2，8，7三張數(shù)字卡片可  例2有一個兩位數(shù)，把數(shù)碼1加以組成若干個不同的三位數(shù)，所有這在它的前面可以得到一個三位數(shù)，加些三位數(shù)的平均值是多少？在它的后面也可以得到一個三位數(shù)，  解：由例3知，可以組成的六個這兩個三位數(shù)相差666。求原來的兩位三位數(shù)之和是（2 8 7）×222， 數(shù)。

所以平均值是（2 8 7）×222÷  分析與解：由位值原則知道，把6=629。

數(shù)碼1加在一個兩位數(shù)前面，等于加  例5一個兩位數(shù)，各位數(shù)字的和了100；把數(shù)碼1加在一個兩位數(shù)后的5倍比原數(shù)大6，求這個兩位數(shù)。

面，等于這個兩位數(shù)乘以10后再加1。   設(shè)這個兩位數(shù)為x。由題意得到   （10x 1）-（100 x）=666，

（a b）×5-（10a b）=6，   10x 1-100-x=666，   5a5b-10a-b=6，   10x-x=666-1 100，    4b-5a=6。

9x=765，   當(dāng)b=4，a=2或b=9，a=6時，  x=85。

4b-5a=6成立，所以這個兩位數(shù)是24  原來的兩位數(shù)是85。

或69。

例3 a，b，c是1～9中的三個不  例6將一個三位數(shù)的數(shù)字重新排同的數(shù)碼，用它們組成的六個沒有重列，在所得到的三位數(shù)中，用最大的復(fù)數(shù)字的三位數(shù)之和是（a b c）的多減去最小的，正好等于原來的三位數(shù)，少倍？

求原來的三位數(shù)。

分析與解：用a，b，c組成的六

分析與解：設(shè)原來的三位數(shù)的三個不同數(shù)字是

個數(shù)字分別是a，b，c。若

由上式知，所求三位數(shù)是99的倍

數(shù)，可能值為198，297，396，495，594，693，792，891。經(jīng)驗(yàn)證，只有

495符合題意，即原來的三位數(shù)是495。    練習(xí)17

1.有一個兩位數(shù)，把數(shù)碼1加在它的前面可以得到一個三位數(shù)，加在它的后面也可以得到一個三位數(shù)，這

兩個三位數(shù)之和是970。求原來的兩位數(shù)。

2.有一個三位數(shù)，將數(shù)碼1加在它的前面可以得到一個四位數(shù)，將數(shù)碼3加在它的后面也可以得到一個四位數(shù)，這兩個四位數(shù)之差是2351，求原來的三位數(shù)。

5.從1～9中取出三個數(shù)碼，用這三個數(shù)碼組成的六個不同的三位數(shù)之和是3330。這六個三位數(shù)中最小的能是幾？最大的能是幾？

6.一個兩位數(shù)，各位數(shù)字的和的6倍比原數(shù)小9，求這個兩位數(shù)。   7.一個三位數(shù)，抹去它的首位數(shù)之后剩下的兩位數(shù)的4倍比原三位數(shù)大1，求這個三位數(shù)。 第18講 最大最小

同學(xué)們在學(xué)習(xí)中經(jīng)常能碰到求最大最小或最多最少的問題，這一講就來講解這個問題。

例1兩個自然數(shù)的和是15，要使兩個整數(shù)的乘積最大，這兩個整數(shù)各是多少？

分析與解：將兩個自然數(shù)的和為15的所有情況都列出來，考慮到加法與乘法都符合交換律，有下面7種情況：

15=1 14，1×14=14；   15=2 13，2×13=26；  15=3 12，3×12=36；   15=4 11，4×11=44；   15=5 10，5×10=50；  15=6 9，6×9=54；   15=7 8，7×8=56。

由此可知把15分成7與8之和，這兩數(shù)的乘積最大。

結(jié)論1如果兩個整數(shù)的和一定，那么這兩個整數(shù)的差越小，他們的乘積越大。特別地，當(dāng)這兩個數(shù)相等時，他們的乘積最大。

例2比較下面兩個乘積的大?。?span lang="EN-US">   a=57128463×87596512，

小學(xué)奧數(shù)基礎(chǔ)教程（五年級）

b=57128460×87596515。   分析與解：對于a，b兩個積，它們都是8位數(shù)乘以8位數(shù)，盡管兩組對應(yīng)因數(shù)很相似，但并不完全相同。直接計(jì)算出這兩個8位數(shù)的乘積是很繁的。仔細(xì)觀察兩組對應(yīng)因數(shù)的大小發(fā)現(xiàn)，因?yàn)?span lang="EN-US">57128463比57128460多3，87596512比87596515少3，所以它們的兩因數(shù)之和相等，即

57128463 87596512=57128460 87596515。

因?yàn)?span lang="EN-US">a的兩個因數(shù)之差小于b的兩個因數(shù)之差，根據(jù)結(jié)論1可得a＞b。   例3用長36米的竹籬笆圍成一個長方形菜園，圍成菜園的最大面積是多少？

分析與解：已知這個長方形的周長是36米，即四邊之和是定數(shù)。長方形的面積等于長乘以寬。因?yàn)殚L 寬=36÷2=18（米），

由結(jié)論知，圍成長方形的最大的面積是9×9=81（米2）。

例3說明，周長一定的長方形中，正方形的面積最大。

例4兩個自然數(shù)的積是48，這兩個自然數(shù)是什么值時，它們的和最??？

分析與解：48的約數(shù)從小到大依次是1，2，3，4，6，8，12，16，24，48。   所以，兩個自然數(shù)的乘積是48，共有以下5種情況：  48=1×48，1 48=49；   48=2×24，2 24=26；   48=3×16，3 16=19；  48=4×12，4 12=16；   48=6×8，68=14。

兩個因數(shù)之和最小的是6 8=14。   結(jié)論2兩個自然數(shù)的乘積一定時，兩個自然數(shù)的差越小，這兩個自然數(shù)的和也越小。

例5要砌一個面積為72米2

的長方形豬圈，長方形的邊長以米為單位都是自然數(shù)，這個豬圈的圍墻最少長多少米？

解：將72分解成兩個自然數(shù)的乘積，這兩個自然數(shù)的差最小的是9-8=1。由結(jié)論2，豬圈圍墻長9米、

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寬8米時，圍墻總長最少，為（8 9）×2=34（米）。

答：圍墻最少長34米。   例6把17分成幾個自然數(shù)的和，怎樣分才能使它們的乘積最大？   分析與解：假設(shè)分成的自然數(shù)中有1，a是分成的另一個自然數(shù)，因?yàn)?span lang="EN-US">1×a＜1 a，也就是說，將1 a作為分成的一個自然數(shù)要比分成1和a兩個自然數(shù)好，所以分成的自然數(shù)中不應(yīng)該有1。

如果分成的自然數(shù)中有大于4的數(shù)，那么將這個數(shù)分成兩個最接近的整數(shù)，這兩個數(shù)的乘積大于原來的自然數(shù)。例如，5=2 3＜2×3，8=3 5＜3×5。也就是說，只要有大于4的數(shù)，這個數(shù)就可以再分，所以分成的自然數(shù)中不應(yīng)該有大于4的數(shù)。   如果分成的自然數(shù)中有4，因?yàn)?span lang="EN-US">4=2 2=2×2，所以可以將4分成兩個2。

由上面的分析得到，分成的自然數(shù)中只有2和3兩種。因?yàn)?span lang="EN-US">2 2 2=6，2×2×2=8，3 3=6，3×3=9，說明雖然三個2與兩個3的和都是6，但兩個3的乘積大于三個2的乘積，所以分成的自然數(shù)中最多有兩個2，其余都是3。由此得到，將17分為五個3與一個2時乘積最大，為3×3×3×3×3×2=486。

由例6的分析得到：

結(jié)論3把一個數(shù)拆分成若干個自然數(shù)之和，如果要使這若干個自然數(shù)的乘積最大，那么這些自然數(shù)應(yīng)全是2或3，且2最多不超過兩個。   例7把49分拆成幾個自然數(shù)的和，這幾個自然數(shù)的連乘積最大是多少？

解：根據(jù)結(jié)論3，由49=3×15 2 2，所以最大的積是

練習(xí)18

1.試求和是91，乘積最大的兩個自然數(shù)。最大的積是多少？

之和的最小值是多少？   3.比較下面兩個乘積的大?。?span lang="EN-US">   123456789×987654321，   123456788×987654322。   4.現(xiàn)計(jì)劃用圍墻圍起一塊面積為5544米2

的長方形地面，為節(jié)省材料，要求圍墻最短，那么這塊長方形地的圍墻有多少米長？

5.把19分成幾個自然數(shù)的和，怎樣分才能使它們的積最大？   6.1～8這八個數(shù)字各用一次，分別寫成兩個四位數(shù)，使這兩個數(shù)相乘的乘積最大。那么這兩個四位數(shù)各是多少？

7.在數(shù)123456789101112?9899100中劃去100個數(shù)字，剩下的數(shù)字組成一個新數(shù)，這個新數(shù)最大是多少？最小是多少？

第19講 圖形的分割與拼接   怎樣把一個圖形按照要求分割成若干部分？怎樣把一個圖形分割成若干部分后，再按要求拼接成另一個圖形？這就是本講要解決的問題。   例1請將一個任意三角形分成四個面積相等的三角形。

分析與解：本題要求分成面積相等的三角形，因此可以利用“同底等高的三角形面積相等”這一性質(zhì)來分割。

方法一：將某一邊等分成四份，連結(jié)各分點(diǎn)與頂點(diǎn)（見左下圖）。

方法二：畫出某一邊的中線，然后將中線二等分，連結(jié)分點(diǎn)與另兩個頂點(diǎn)（見右上圖）。

方法三：找出三條邊上的中點(diǎn)，然后如左下圖所示連結(jié)。

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方法四：將三條邊上的中點(diǎn)兩兩連結(jié)（見右上圖）。  前三種方法可以看成先將三角形分割成面積相的兩部分，然后分別

將每部分再分割成面積相等的兩部分。本題還有更多的分割方法。  例2將右圖分割成五個大小相等的圖形。

分析與解：因?yàn)閳D中共有15個小正方形，所以分割成的圖形的面積應(yīng)該等于15÷5=3（個）小正方形的面積。3個小正方形有

和

兩

種形式，于是可得到很多種分割方法，下圖是其中的三種。

例3右圖是一個4×4的方格紙，請?jiān)诒３置總€小方格完整的情況下，將它分割成大小、形狀完全相同的兩部分。

分析與解：因?yàn)榉指畛赏耆嗤膬蓧K，所以每塊有8個小方格，并且這兩塊關(guān)于中心點(diǎn)對稱。下面是六種分割方法。

例4將下圖分割成兩塊，然后拼成一個正方形。

分析與解：圖形的面積等于16個小方格，如果以每個小方格的邊長為- 23 -

1，那么拼成的正方形的邊長應(yīng)是4。因?yàn)轭}圖是缺角長方形，長為6寬為3，所以分割成兩塊后，右邊的一塊應(yīng)向上平移1（原來寬為3，向上平移1使寬為4），向左平移2（原來長為6，向左平移2使長為4）。考慮到缺角這一特點(diǎn)，可做下圖所示的分割和拼接。

例5有一塊長4.8米、寬3米的長方形地毯，現(xiàn)在把它鋪到長4米、寬3.6米的房間中。請將它剪成形狀相同、面積相等的兩塊，使其正好鋪滿房間。

分析與解：首先驗(yàn)證地毯的面積與房間的面積是否相等，然后考慮如何

以可將原來的長分為4份，寬分為3份（見下頁左上圖），現(xiàn)在的長與寬如下頁右上圖。

容易得到下圖所示的分割與拼接

的方法。

例6用四塊相同的不等腰的直角三角板，拼成一個外面是正方形，里面有正方形孔的圖形。

分析與解：右圖所示的三角板，∠A是直角，∠B ∠C=90°。因?yàn)橐吹膱D形有內(nèi)外兩個正方形，所以有將∠A作為外正方形的角（左下圖）和拼內(nèi)正方形的角（下中圖）兩種情況。若三角板可以重疊放置，還有右下圖所示的拼法。

練習(xí)19

1.試將一個等邊三角形分割成8個全等的直角三角形。

2.用四種方法將左下圖分割成完全相同的兩部分，但要保持每個小方格的完整。

3.將右上圖分成四個大小相等、形狀相同的圖形。

4.將下圖分成兩塊，然后拼成一個正方形。

5.將一塊30×20的方格紙分成大小、形狀都相同的兩塊，然后拼成一個24×25的長方形。

6.將一個正方形分成相等的4塊，然后用這4塊分別拼成三角形、平行四邊形和梯形。  第20講 多邊形的面積

我們已經(jīng)學(xué)習(xí)過三角形、正方形、長方形、平行四邊形、梯形以及圓、扇形等基本圖形的面積計(jì)算，圖形及計(jì)算公式如下：

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