初中數(shù)學解題技巧(史上最全)
目錄
一 選擇填空題解題技巧（一）
二 選擇填空題解題技巧（二）
三 初中數(shù)學常用十大解題技巧舉例
四 數(shù)學思想在初中數(shù)學解題中的應用
選擇題與填空題解題技巧（一）
選擇題和填空題是中考中必考的題目，主要考查對概念、基礎知識的理解、掌握及其應用．填空題所占的比例較大，是學生得分的重要來源．近幾年，隨著中考命題的創(chuàng)新、改革，相繼推出了一些題意新穎、構(gòu)思精巧、具有一定難度的新題型．這就要求同學切實抓好基礎知識的掌握，強化訓練，提高解題的能力，才能在中考中減少失誤，有的放矢，從容應對．
解題規(guī)律：要想迅速、正確地解選擇題、填空題，除了具有準確計算能力、嚴密的推理能力外，還要有解選擇題、填空題的方法與技巧．常用方法有以下幾種：
(1)直接推演法：直接從命題給出的條件出發(fā)，運用概念，公式、定理等進行推理或運算，得出結(jié)論，選擇正確答案，這就是傳統(tǒng)的解題方法，這種解法叫直接推演法．
(2)驗證法：由題設找出合適的驗證條件，再通過驗證，找出正確答案，亦可將供選擇的答案代人條件中去驗證，找出正確答案．此法稱為驗證法(也稱代入法)．當遇到定量命題時，常用此法．
(3)特值法：用合適的特殊元素(如數(shù)或圖形)代人題設條件或結(jié)論中去，從而獲得解答．這種方法叫特殊元素法．
(4)排除、篩選法；對于正確答案有且只有一個的選擇題，根據(jù)數(shù)學知識或推理、演算，把不正確的結(jié)論排除，余下的結(jié)論再經(jīng)篩選，從而作出正確的結(jié)論的解法叫排除、篩選法．
(5)圖解法：借助于符合題設條件的圖形或圖像的性質(zhì)、特點來判斷，作出正確的選擇稱為圖解法．圖解法是解選擇題常用方法之一．
(6)分析法：直接通過對選擇題的條件和結(jié)論，作詳盡地分析、歸納和判斷，從而選出正確的結(jié)果，稱為分析法．
(7)整體代入法：把某一代數(shù)式進行化簡，然后并不求出某個字母的取值，而是直接把化簡的結(jié)果作為一個整體代入。
【典例剖析】
1.（直接推演法）下列命題中，真命題的個數(shù)為（ ）
①對角線互相垂直平分且相等的四邊形是正方形，②如果四邊形的兩條對角線互相垂直，那么它的面積等于兩條對角線長的積的一半，③在一個圓中，如果弦相等，那么所對的圓周角相等，④已知兩圓半徑分別為5，3，圓心距為2，那么兩圓內(nèi)切（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．（整體代入法）已知拋物線
與
軸的一個交點為
，則代數(shù)式
的值為（ ） A．2006 B．2007 C．2008 D．2009
3．（圖解法）已知二次函數(shù)
的圖象過點A（1，2），B（3，2），C（5，7）．若點M（-2，y1），N（-1，y2），K（8，y3）也在二次函數(shù)
的圖象上，則下列結(jié)論正確的是 （ ）
A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y1＜y3 C．y3＜y1＜y2 D．y1＜y3＜y2
4．（特值法）如圖所示是二次函數(shù)
的圖象在
軸上方的一部分，對于這段圖象與
軸所圍成的陰影部分的面積，你認為與其最接近的值是（ ）
A．4 B．
C．
D．
5．（排除、篩選法）已知：二次函數(shù)
的圖像為下列圖像之一，則
的值為（ ）
A.－1 B ．1 C. －3 D. －4
6.（圖解法）如圖，在直角梯形ABCD中，DC∥AB，∠A=90°，AB=28cm，DC=24cm，AD=4cm，點M從點D出發(fā)，以1cm/s的速度向點C運動，點N從點B同時出發(fā)，以2cm/s的速度向點A運動，當其中一個動點到達端點停止運動時，另一個動點也隨之停止運動.則四邊形AMND的面積y（cm2）與兩動點運動的時間t（s）的函數(shù)圖象大致是（ ）
7.（分析法）已知α為銳角，則m=sinα+cosα的值（ ）
A．m＞1 B．m=1 C．m＜1 D．m≥1
8.（驗證法：）下列命題：①若
，則
；②若
，則一元二次方程
有兩個不相等的實數(shù)根；③若
，則一元二次方程
有兩個不相等的實數(shù)根；④若
，則二次函數(shù)的圖像與坐標軸的公共點的個數(shù)是2或3.其中正確的是（ ?。?div style="height:15px;">
Ａ.只有①②③ Ｂ．只有①③④ Ｃ．只有①④ Ｄ． 只有②③④．
9．（直接推理法）如圖，菱形
（圖1）與菱形
（圖2）的形狀、大小完全相同．ww（1）請從下列序號中選擇正確選項的序號填寫；
①點
；②點
；③點
；④點
．
圖1
如果圖1經(jīng)過一次平移后得到圖2，那么點
對應點分別是 ；
如果圖1經(jīng)過一次軸對稱后得到圖2，那么點
對應點分別是 ；
如果圖1經(jīng)過一次旋轉(zhuǎn)后得到圖2，那么點
對應點分別是 ；
（2）①圖1，圖2關(guān)于點
成中心對稱，請畫出對稱中心（保留畫圖痕跡，不寫畫法）；
②寫出兩個圖形成中心對稱的一條性質(zhì)： ．（可以結(jié)合所畫圖形敘述）
10．（圖象信息法）紹興黃酒是中國名酒之一．某黃酒廠的瓶酒車間先將散裝黃酒灌裝成瓶裝黃酒，再將瓶裝黃酒裝箱出車間，該車間有灌裝、裝箱生產(chǎn)線共26條, 每條灌裝、裝箱生產(chǎn)線的生產(chǎn)流量分別如圖1、2所示． 某日8:00～11:00，車間內(nèi)的生產(chǎn)線全部投入生產(chǎn)，圖3表示該時段內(nèi)未裝箱的瓶裝黃酒存量變化情況，則灌裝生產(chǎn)線有 條．
11. ( 直接計算法) 如圖, 大圓
的半徑
是小圓
的直徑, 且有
垂直于圓
的直徑
. 圓
的切線
交
的延長線于點
, 切點為
. 已知圓
的半徑為
,則
_______ ;
________
12．（分析法）如圖所示，直線
，垂足為點O，A、B是直線
上的兩點，且OB=2，AB=
．直線
繞點O按逆時針方向旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角度為
（
）。
（1）當
=60°時，在直線
上找點P，使得△BPA是以∠B為頂角的等腰三角形，此時OP=___ ___。
（2）當
在什么范圍內(nèi)變化時，直線
上存在點P，使得△BPA是以∠B
為頂角的等腰三角形，請用不等式表示
的取值范圍：___ ___。
13．（分類討論法）已知，如圖：在平面直角坐標系中，O為坐標原點，
四邊形OABC是矩形，點A、C的坐標分別為A（10，0）、C（0，4），
點D是OA的中點，點P在BC邊上運動，當△ODP是腰長為5的等腰三角形時，點P的坐標為 。
【強化訓練】
1．現(xiàn)有一扇形紙片，圓心角∠AOB為120°，弦AB的長為2
cm，用它圍成一個圓錐的側(cè)面（接縫忽略不計），則該圓錐底面圓的半徑為（ ）新課標第一網(wǎng)
A．
cm B．
cm C．
cm D．
cm
2．如圖，在Ｒt△ＡＢＣ中，∠Ｃ＝90°,∠Ａ＝30°,Ｅ為ＡＢ上一點且ＡＥ：ＥＢ＝4：1 ，ＥＦ⊥ＡＣ于Ｆ，連結(jié)ＦＢ，則tan∠CFB的值等于（ ?。?div style="height:15px;">
3. 下列命題是假命題的是（ ）
A. 若
，則x+2008<y+2008 B. 單項式
的系數(shù)是-4
C. 若
則
D. 平移不改變圖形的形狀和大小
4. 二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖象如圖所示，反比例函數(shù)y＝ 與正比例函數(shù)
y＝（b＋c）x在同一坐標系中的大致圖象可能是（ ）
5．李老師給出了一個函數(shù)，甲、乙、丙三位學生分別指出這個函數(shù)的一個特征．甲：它的圖像經(jīng)過第一象限；乙：它的圖像也經(jīng)過第二象限；丙：在第一象限內(nèi)函數(shù)值y隨x增大而增大．在你學過的函數(shù)中，寫出一個滿足上述特征的函數(shù)解析式 ?。?div style="height:15px;">
6.如圖為二次函數(shù)y=ax2＋bx＋c的圖象，在下列說法中：①ac＜0；
②方程ax2＋bx＋c=0的根是x1= －1, x2= 3 ③a＋b＋c＞0
④當x＞1時，y隨x的增大而增大。正確的說法有_____________。(填序號)
7.將半徑為4cm的半圓圍成一個圓錐，在圓錐內(nèi)接一個圓柱（如右圖），
當圓柱的側(cè)面的面積最大時，圓柱的底面半徑是___________cm.
8.已知一圓錐的底面半徑是1，母線長是4，它的側(cè)面積是 ______
9.若O為△ABC的外心，且∠BOC＝60°，則∠BAC= °
10．已知下列命題：①若a>0,b>0,則ab>0; ②平行四邊形的對角線互相垂直平分; ③ 若∣x∣=2,則x＝２ ;?、軋A的切線垂直于經(jīng)過切點的直徑，其中真命題是 （填序號）
11．下列命題：①正多邊形都是軸對稱圖形；②通過對足球迷健康狀況的調(diào)查可以了解我國公民的健康狀況；③方程
的解是
；④如果一個角的兩邊與另一個角的兩邊分別平行，那么這兩個角相等地。其中真命題的有 （填序號）
12．在平面直角坐標系中，將A( 1，0)、B( 0，2)、C( 2，3)、D(3，1)??用線段依次連接起來形成一個圖案（圖案①）。
（1）直接寫出圖案①的面積： ；
（2）請按要求對圖案作如下變換：
a．將圖案①繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到圖案②；
b．以點O為位似中心，位似比為2∶1將圖案①
在位似中心的異側(cè)進行放大得到圖案③；
（3）若圖案①上某點P（在第一象限內(nèi)）的坐標為（a，b），圖案②中與之對應的點
為點Q，圖案③中與之對應的點為R。則S△PQR＝ ．
初中數(shù)學選擇題、填空題解題技巧（二）
選擇題目在初中數(shù)學試題中所占的比重不是很大，但是又不能失去這些分數(shù)，還要保證這些分數(shù)全部得到。因此，要特別掌握初中數(shù)學選擇題的答題技巧，幫助我們更好的答題，選擇填空題與大題有所不同，只求正確結(jié)論，不用遵循步驟。我們從日常的做題過程中得出以下答題技巧，跟同學們分享一下。
1.排除選項法：
選擇題因其答案是四選一,必然只有一個正確答案那么我們就可以采用排除法從四個選項中排除掉易于判斷是錯誤的答案那么留下的一個自然就是正確的答案。
例1 一次函數(shù)y=-3x+2的大致圖象為（ ）
A B C D
解析：因為k=-3＜0，所以y隨著x的增大而減小，故排除C、D。又因為
b=2＞0，所以圖象交于y軸正半軸，故排除A，因此符合條件的為B。
對于正確答案有且只有一個的選擇題，利用題設的條件，運用數(shù)學知識推理、演算，把不正確的選項排除，最后剩下一個選項必是正確的。在排查過程中要抓住問題的本質(zhì)特征
2.賦予特殊值法：
即根據(jù)題目中的條件，選取某個符合條件的特殊值或作出特殊圖形進行計算、推理的方法。用特殊值法解題要注意所選取的值要符合條件，且易于計算。
例2.如果m<n<0,那么下列表達式中錯誤的是（ ）
A.m-9<n-9 B.-m>-n C. < D. >1
有些問題從理論上論證它的正確性比較困難，但是代入一些滿足題意的特殊值，驗證它是錯誤的比較容易，此時，我們就可以用這種方法來解決問題。
例3 已知
中，
，
，
的平分線交于點
，則
的度數(shù)為 ．
分析：此題已知條件中就是
中，
說明只要滿足此條件的三角形都一定能夠成立。故不妨令
為等邊三角形，馬上得出
=
。
例4、填空題：已知a<0，那么，點P(-a2-2，2-a)關(guān)于x軸的對稱點是在第_______象限.
解：設a=-1，則P{-3，3}關(guān)于x軸的對稱點是 {-3，-3}在第三象限，所以點P(-a^2-2，2-a)關(guān)于x軸的對稱點是在第三象限.
3.觀察猜想法：
這類方法在近年來的初中題中常被運用于探索規(guī)律性的問題，此類題的主要解法是運用不完全歸納法，通過試驗、猜想、試誤驗證、總結(jié)、歸納等過程使問題得解。
例5 用同樣大小的黑色棋子按圖所示的方式擺圖形，按照這樣的規(guī)律擺下去，則第n個圖形需棋子 枚（用含n的代數(shù)式表示）.
分析：從第1個圖中有4枚棋子4=3×1+1，從第2個圖中有7枚棋子7=3×2+1, 從第3個圖中有10枚棋子10=3×3+1,從而猜想：第n個圖中有棋子3n+1枚.
例6 一組按規(guī)律排列的式子：
，
，
，
，…（
），其中第7個式子是 ，第
個式子是 （
為正整數(shù)）．
分析：觀察題干及選擇支特點，區(qū)別各選擇支差異及相互關(guān)系作出選擇。
通過觀察已有的四個式子，發(fā)現(xiàn)這些式子前面的符號一負一正連續(xù)出現(xiàn)，也就是序號為奇數(shù)時負，序號為偶數(shù)時正。同時式子中的分母a的指數(shù)都是連續(xù)的正整數(shù)，分子中的b的指數(shù)為同個式子中a的指數(shù)的3倍小1，通過觀察得出第7個式子是
，第
個式子是
。
4、直接求解法：
有些選擇題本身就是由一些填空題、判斷題解答題改編而來的因此往往可采用直接法直接由從題目的條件出發(fā)通過正確的運算或推理直接求得結(jié)論再與選擇項對照來確定選擇項。我們在做解答題時大部分都是采用這種方法。
例7 如圖，點C在線段AB的延長線上，
，
，則
的度數(shù)是_____________
分析：由題設知
，利用三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和知識，通過計算可得出
=
．
5、數(shù)形結(jié)合法：
"數(shù)缺形時少直觀，形缺數(shù)時難入微。"數(shù)學中大量數(shù)的問題后面都隱含著形的信息，圖形的特征上也體現(xiàn)著數(shù)的關(guān)系。我們要將抽象、復雜的數(shù)量關(guān)系，通過形的形象、直觀揭示出來，以達到"形幫數(shù)"的目的;同時我們又要運用數(shù)的規(guī)律、數(shù)值的計算，來尋找處理形的方法，來達到"數(shù)促形"的目的。對于一些含有幾何背景的填空題，若能數(shù)中思形，以形助數(shù)，則往往可以簡捷地解決問題，得出正確的結(jié)果。
例8、 在直線l上依次擺放著七個正方形(如圖所示)。已知斜放置的三個正方形的面積分別是1、2、3，正放置的四個正方形的面積依次是S1、S2、S3、S4，，則S1+S2+S3+S4=_______。
解：四個正方形的面積依次是S1、S2、S3、S4，可設它們的邊長分別為a、b、c、d，由直角三角形全等可得
解得a^2+b^2+c^2+d^2=4，則S1+S2+S3+S4=4.
6、代入驗證法
與直接法的思考方向相反，它將選擇支中給出的答案逐一代入已知條件中進行驗證，與已知相矛盾的為錯誤選項，符合條件的為正確選項。
例9 方程（x+1）
=9的根是（ ）
A．x=2 B.x=-4 C .x
=2 x
=-4 D.x
=4 x
=-2
解析： 把x=2、-2、4、-4分別代入方程（x+1）
=9中
發(fā)現(xiàn)只有x=2和x=-4能使方程左右兩邊相等，所以選擇答案C
7、枚舉法：
列舉所有可能的情況，然后作出正確的判斷。
例10:，把一張面值10元的人民幣換成零錢，現(xiàn)有足夠面值為2元，1元的人民幣，換法有( )
(A)5種(B)6種(C)8種(D)10種。
分析：如果設面值2元的人民幣x張，1元的人民幣y元，不難列出方程，此方程的非負整數(shù)解有6對，故選B.
8、待定系數(shù)法：
要求某個函數(shù)關(guān)系式，可先假設待定系數(shù)，然后根據(jù)題意列出方程(組)，通過解方程(組)，求得待定系數(shù)，從而確定函數(shù)關(guān)系式，這種方法叫待定系數(shù)法。
例11:如圖，直線AB對應的函數(shù)表達式是( )
A.y=-x+3 B.y=x+3 C.y=-x+3 D.y=x+3
解析:把點A（0，3），B（2，0）代入直線AB的方程，用待定系數(shù)法求出函數(shù)關(guān)系式，從而得出結(jié)果．
解：設直線AB對應的函數(shù)表達式是y=kx+b，
把A（0，3），B（2，0）代入，
得，
故直線AB對應的函數(shù)表達式是y=-x+3．故選A．
9、整體法
例12. 如果x+y=-4，x-y=8，那么代數(shù)式x2－y2的值是 c
分析：若直接由x+y=-4，x-y=8解得x，y的值，再代入求值，則過程稍顯復雜，且易出錯，而采用整體代換法，則過程簡潔，妙不可言．
分析：x2－y2=（x+y）（x-y）=-4×8=-32
10.實踐操作法
例13.如圖所示，將正方形紙片三次對折，并剪出一個等腰直角三角形后鋪平，得到的圖形是（ ）
T T
A B C D
以上是我們給同學們介紹的初中數(shù)學選擇題的答題技巧，希望同學們認真掌握，選擇題的分數(shù)一定要拿下。初中數(shù)學答題技巧有以上十種，能全部掌握的最好;不能的話，建議同學們選擇集中適合自己的初中數(shù)學選擇題做題方法。
初中數(shù)學十大解題方法詳解
1、配方法
所謂配方，就是把一個解析式利用恒等變形的方法，把其中的某些項配成一個或幾個多項式正整數(shù)次冪的和形式。通過配方解決數(shù)學問題的方法叫配方法。其中，用的最多的是配成完全平方式。配方法是數(shù)學中一種重要的恒等變形的方法，它的應用十分非常廣泛，在因式分解、化簡根式、解方程、證明等式和不等式、求函數(shù)的極值和解析式等方面都經(jīng)常用到它。
例題：
用配方法解方程x2+4x+1=0，經(jīng)過配方，得到( )
A．(x+2) 2=5 B．(x－2) 2=5 C．(x－2) 2=3 D．(x+2)2=3
【分析】配方法：若二次項系數(shù)為1，則常數(shù)項是一次項系數(shù)的一半的平方，若二次項系數(shù)不為1，則可先提取二次項系數(shù)，將其化為1后再計算。
【解】將方程x2+4x+1=0，
移向得：x2+4x=－1，
配方得：x2+4x+4=－1+4，
即(x+2) 2=3；
因此選D。
2、因式分解法
因式分解，就是把一個多項式化成幾個整式乘積的形式。因式分解是恒等變形的基礎，它作為數(shù)學的一個有力工具、一種數(shù)學方法在代數(shù)、幾何、三角等的解題中起著重要的作用。因式分解的方法有許多，除中學課本上介紹的提取公因式法、公式法、分組分解法、十字相乘法等外，還有如利用拆項添項、求根分解、換元、待定系數(shù)等等。
例題：
若多項式x2+mx-3因式分解的結(jié)果為（x-1）（x+3），則m的值為（ ?。?div style="height:15px;">
A．-2 B．2 C．0 D．1
