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例：已知D為△ABC內(nèi)任一點(diǎn)，求證：∠BDC＞∠BAC

證明：

（一）：延長(zhǎng)BD交AC于E，

∵∠BDC是△EDC

的外角，

∴∠BDC＞∠DEC

同理：∠DEC＞∠BAC

∴∠BDC＞∠BAC

證法（二）：連結(jié)AD，并延長(zhǎng)交BC于F

∵∠BDF是△ABD的外角，

∴∠BDF＞∠BAD

同理∠CDF＞∠CAD

∴∠BDF＋∠CDF＞∠BAD＋∠CAD

即：∠BDC＞∠BAC

例：已知，如圖，AD為△ABC的中線且∠1 = ∠2，∠3 = ∠4，

求證：BE＋CF＞EF

證明：

在DA上截取DN = DB，連結(jié)NE、NF，

則DN= DC

在△BDE和△NDE中，

DN = DB

∠1 = ∠2

ED = ED

∴△BDE≌△NDE

∴BE = NE

同理可證：CF = NF

在△EFN中，EN＋FN＞EF

∴BE＋CF＞EF

例：已知，如圖，AD為△ABC的中線，且∠1 = ∠2，∠3 = ∠4，求證：BE＋CF＞EF

證明：

延長(zhǎng)ED到M，使DM = DE，連結(jié)CM、FM

△BDE和△CDM中，

BD = CD

∠1 = ∠5

ED = MD

∴△BDE≌△CDM

∴CM = BE

又∵∠1 = ∠2，∠3 = ∠4

∠1＋∠2＋∠3 ＋ ∠4 = 180°

∴∠3 ＋∠2 = 90°

即∠EDF = 90°

∴∠FDM = ∠EDF = 90°

△EDF和△MDF中

ED = MD

∠FDM = ∠EDF

DF = DF

∴△EDF≌△MDF

∴EF = MF

∵在△CMF中，CF＋CM ＞MF

BE＋CF＞EF

（此題也可加倍FD，證法同上）

例：已知，如圖，AD為△ABC的中線，求證：AB＋AC＞2AD

證明：

延長(zhǎng)AD至E，使DE = AD，連結(jié)BE

∵AD為△ABC的中線

∴BD = CD

在△ACD和△EBD中

BD = CD

∠1 = ∠2

AD = ED

∴△ACD≌△EBD

∵△ABE中有AB＋BE＞AE

∴AB＋AC＞2AD

截長(zhǎng)法：在較長(zhǎng)的線段上截取一條線段等于較短線段；

補(bǔ)短法：延長(zhǎng)較短線段和較長(zhǎng)線段相等.

這兩種方法統(tǒng)稱(chēng)截長(zhǎng)補(bǔ)短法.

當(dāng)已知或求證中涉及到線段a、b、c、d有下列情況之一時(shí)用此種方法：

①a＞b

②a±b = c

③a±b = c±d

例：已知，如圖，在△ABC中，AB＞AC，∠1 = ∠2，P為AD上任一點(diǎn)，

求證：AB－AC＞PB－PC

證明：

⑴截長(zhǎng)法：在AB上截取AN = AC，連結(jié)PN

在△APN和△APC中，

AN = AC

∠1 = ∠2

AP = AP

∴△APN≌△APC

∴PC = PN

∵△BPN中有PB－PC＜BN

∴PB－PC＜AB－AC

⑵補(bǔ)短法：延長(zhǎng)AC至M，使AM = AB，連結(jié)PM

在△ABP和△AMP中

AB = AM

∠1 = ∠2

AP = AP

∴△ABP≌△AMP

∴PB = PM

又∵在△PCM中有CM ＞PM－PC

∴AB－AC＞PB－PC

練習(xí)：

1.已知，在△ABC中，∠B = 60°,AD、CE是△ABC的角平分線,并且它們交于點(diǎn)O

求證：AC = AE＋CD

2.已知，如圖，AB∥CD，∠1 = ∠2 ,∠3 = ∠4.

求證：BC = AB＋CD

①觀察要證線段在哪兩個(gè)可能全等的三角形中，然后證這兩個(gè)三角形全等。

②若圖中沒(méi)有全等三角形，可以把求證線段用和它相等的線段代換，再證它們所在的三角形全等.

③如果沒(méi)有相等的線段代換，可設(shè)法作輔助線構(gòu)造全等三角形.

例:如圖，已知，BE、CD相交于F，∠B = ∠C，∠1 = ∠2，求證：DF = EF

證明：∵∠ADF =∠B＋∠3

∠AEF = ∠C＋∠4

又∵∠3 = ∠4

∠B = ∠C

∴∠ADF = ∠AEF

在△ADF和△AEF中

∠ADF = ∠AEF

∠1 = ∠2

AF = AF

∴△ADF≌△AEF

∴DF = EF

例：已知，如圖Rt△ABC中，AB = AC，∠BAC = 90°，過(guò)A作任一條直線AN，作BD⊥AN于D，CE⊥AN于E，求證：DE = BD－CE

證明：

∴∠1＋∠2 = 90o ∠1＋∠3 = 90°

∴∠2 = ∠3

∵BD⊥AN CE⊥AN

∴∠BDA =∠AEC = 90°

在△ABD和△CAE中，

∠BDA =∠AEC

∠2 = ∠3

AB = AC

∴△ABD≌△CAE

∴BD = AE且AD = CE

∴AE－AD = BD－CE

∴DE = BD－CE

例：AD為△ABC的中線，且CF⊥AD于F，BE⊥AD的延長(zhǎng)線于E

求證：BE = CF

證明：（略）

例：已知AC = BD，AD⊥AC于A，BCBD于B

求證：AD = BC

證明：分別延長(zhǎng)DA、CB交于點(diǎn)E

∵AD⊥AC BC⊥BD

∴∠CAE = ∠DBE = 90°

在△DBE和△CAE中

∠DBE =∠CAE

BD = AC

∠E =∠E

∴△DBE≌△CAE

∴ED = EC，EB = EA

∴ED－EA = EC－ EB

∴AD = BC

例：已知，如圖，AB∥CD，AD∥BC

求證：AB = CD

證明：

∵AB∥CD，AD∥BC

∴∠1 = ∠2

在△ABC和△CDA中，

∠1 = ∠2

AC = CA

∠3 = ∠4

∴△ABC≌△CDA

∴AB = CD

練習(xí)：

已知，如圖，AB = DC，AD = BC，DE = BF，

求證：BE = DF

例：已知，如圖，在Rt△ABC中，AB = AC，∠BAC = 90°，∠1 = ∠2 ，CE⊥BD的延長(zhǎng)線于E

求證：BD = 2CE

證明：

分別

延長(zhǎng)BA、CE交于F

∵BE⊥CF

∴∠BEF =∠BEC = 90°

在△BEF和△BEC中

∠1 = ∠2

BE = BE

∠BEF =∠BEC

∴△BEF≌△BEC

∴CE = FE =1/2CF

∵∠BAC = 90° , BE⊥CF

∴∠BAC = ∠CAF = 90°

∠1＋∠BDA = 90°

∠1＋∠BFC = 90°

∠BDA = ∠BFC

在△ABD和△ACF中

∠BAC = ∠CAF

∠BDA = ∠BFC

AB = AC

∴△ABD≌△ACF

∴BD = CF

∴BD = 2CE

練習(xí)：

已知，如圖，∠ACB = 3∠B，∠1 =∠2,CD⊥AD于D，

求證：AB－AC = 2CD

例：已知，如圖，AC、BD相交于O，且AB = DC，AC = BD，

求證：∠A = ∠D

證明：（連結(jié)BC，過(guò)程略）

例：已知，如圖，AB = DC，∠A = ∠D

求證：∠ABC = ∠DCB

證明：分別取AD、BC中點(diǎn)N、M，

連結(jié)NB、NM、NC（過(guò)程略）

例：已知，如圖，∠1 = ∠2 ，P為BN上一點(diǎn)，且PD⊥BC于D，AB＋BC = 2BD，

求證：∠BAP＋∠BCP = 180°

證明：過(guò)P作PE⊥BA于E

∵PD⊥BC，∠1 = ∠2

∴PE = PD

在Rt△BPE和Rt△BPD中

BP = BP

PE = PD

∴Rt△BPE≌Rt△BPD

∴BE = BD

∵AB＋BC = 2BD，BC = CD＋BD，AB = BE－AE

∴AE = CD

∵PE⊥BE，PD⊥BC

∠PEB =∠PDC = 90°

在△PEA和△PDC中

PE = PD

∠PEB =∠PDC

AE =CD

∴△PEA≌△PDC

∴∠PCB = ∠EAP

∵∠BAP＋∠EAP = 180°

∴∠BAP＋∠BCP = 180°

練習(xí)：

1.已知，如圖，PA、PC分別是△ABC外角∠MAC與∠NCA的平分線，它們交于P，PD⊥BM于M，PF⊥BN于F，求證：BP為∠MBN的平分線

2. 已知，如圖，在△ABC中，∠ABC =100o，∠ACB = 20°，CE是∠ACB的平分線，D是AC上一點(diǎn)，若∠CBD = 20°，求∠CED的度數(shù)。

⑴作頂角的平分線，底邊中線，底邊高線

例：已知，如圖，AB = AC，BD⊥AC于D，

求證：∠BAC = 2∠DBC

證明：

（方法一）作∠BAC的平分線AE，交BC于E，則∠1 = ∠2 = 1/2∠BAC

又∵AB = AC

∴AE⊥BC

∴∠2＋∠ACB = 90°

∵BD⊥AC

∴∠DBC＋∠ACB = 90°

∴∠2 = ∠DBC

∴∠BAC = 2∠DBC

（方法二）過(guò)A作AE⊥BC于E（過(guò)程略）

（方法三）取BC中點(diǎn)E，連結(jié)AE（過(guò)程略）

⑵有底邊中點(diǎn)時(shí)，常作底邊中線

例：已知，如圖，△ABC中，AB = AC，D為BC中點(diǎn)，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，

求證：DE = DF

證明：連結(jié)AD.

∵D為BC中點(diǎn)，

∴BD = CD

又∵AB =AC

∴AD平分∠BAC

∵DE⊥AB，DF⊥AC

∴DE = DF

⑶將腰延長(zhǎng)一倍，構(gòu)造直角三角形解題

例：已知，如圖，△ABC中，AB = AC，在BA延長(zhǎng)線和AC上各取一點(diǎn)E、F，使AE = AF，求證：EF⊥BC

證明：延長(zhǎng)BE到N，使AN = AB,連結(jié)CN,則AB = AN = AC

∴∠B = ∠ACB, ∠ACN = ∠ANC

∵∠B＋∠ACB＋∠ACN＋∠ANC = 180°

∴2∠BCA＋2∠ACN = 180°

∴∠BCA＋∠ACN = 90°

即∠BCN = 90°

∴NC⊥BC

∵AE = AF

∴∠AEF = ∠AFE

又∵∠BAC = ∠AEF ＋∠AFE

∠BAC = ∠ACN ＋∠ANC

∴∠BAC =2∠AEF = 2∠ANC

∴∠AEF = ∠ANC

∴EF∥NC

∴EF⊥BC

⑷常過(guò)一腰上的某一已知點(diǎn)做另一腰的平行線

例：已知，如圖，在△ABC中，AB = AC，D在AB上，E在AC延長(zhǎng)線上，且BD = CE，連結(jié)DE交BC于F

求證：DF = EF

證明：（證法一）

過(guò)D作DN∥AE，交BC于N，則∠DNB = ∠ACB，∠NDE = ∠E，

∵AB = AC，

∴∠B = ∠ACB

∴∠B =∠DNB

∴BD = DN

又∵BD = CE

∴DN = EC

在△DNF和△ECF中

∠1 = ∠2

∠NDF =∠E

DN = EC

∴△DNF≌△ECF

∴DF = EF

（證法二）

⑸常過(guò)一腰上的某一已知點(diǎn)做底的平行線

例：已知，如圖，△ABC中，AB =AC，E在AC上，D在BA延長(zhǎng)線上，且AD = AE，連結(jié)DE

求證：DE⊥BC

證明：（證法一）過(guò)點(diǎn)E作EF∥BC交AB于F，則

∠AFE =∠B

∠AEF =∠C

∵AB = AC

∴∠B =∠C

∴∠AFE =∠AEF

∵AD = AE

∴∠AED =∠ADE

又∵∠AFE＋∠AEF＋∠AED＋∠ADE = 180o

∴2∠AEF＋2∠AED = 90o

即∠FED = 90o

∴DE⊥FE

又∵EF∥BC

∴DE⊥BC

（證法二）過(guò)點(diǎn)D作DN∥BC交CA的延長(zhǎng)線于N，（過(guò)程略）

（證法三）過(guò)點(diǎn)A作AM∥BC交DE于M，（過(guò)程略）

⑹常將等腰三角形轉(zhuǎn)化成特殊的等腰三角形------等邊三角形

例：已知，如圖，△ABC中，AB = AC，∠BAC = 80o ,P為形內(nèi)一點(diǎn)，若∠PBC = 10o ∠PCB = 30o 求∠PAB的度數(shù).

解法一：以AB為一邊作等邊三角形，連結(jié)CE

則∠BAE =∠ABE = 60o

AE = AB = BE

∵AB = AC

∴AE = AC ∠ABC =∠ACB

∴∠AEC =∠ACE

∵∠EAC =∠BAC－∠BAE

= 80°－60° = 20°

∴∠ACE = 1/2(180°－∠EAC)= 80°

∵∠ACB= 1/2(180°－∠BAC)= 50°

∴∠BCE =∠ACE－∠ACB

= 80°－50° = 30°

∵∠PCB = 30°

∴∠PCB = ∠BCE

∵∠ABC =∠ACB = 50°, ∠ABE = 60°

∴∠EBC =∠ABE－∠ABC = 60°－50° =10°

∵∠PBC = 10°

∴∠PBC = ∠EBC

在△PBC和△EBC中

∠PBC = ∠EBC

BC = BC

∠PCB = ∠BCE

∴△PBC≌△EBC

∴BP = BE

∵AB = BE

∴AB = BP

∴∠BAP =∠BPA

∵∠ABP =∠ABC－∠PBC = 50°－10° = 40°

∴∠PAB = 1/2(180°－∠ABP)= 70°

解法二：

以AC為一邊作等邊三角形，證法同一。

解法三：

以BC為一邊作等邊三角形△BCE，連結(jié)AE,則

EB = EC = BC，∠BEC =∠EBC = 60o

∵EB = EC

∴E在BC的中垂線上

同理A在BC的中垂線上

∴EA所在的直線是BC的中垂線

∴EA⊥BC

∠AEB = 1/2∠BEC = 30° =∠PCB

由解法一知：∠ABC = 50°

∴∠ABE = ∠EBC－∠ABC = 10°=∠PBC

∵∠ABE =∠PBC,BE = BC,∠AEB =∠PCB

∴△ABE≌△PBC

∴AB = BP

∴∠BAP =∠BPA

∵∠ABP =∠ABC－∠PBC = 50°－10°= 40°

∴∠PAB = 1/2(180o－∠ABP) = 1/2(180°－40°)= 70°

⑴構(gòu)造等腰三角形使二倍角是等腰三角形的頂角的外角

例：

已知，如圖，在△ABC中，∠1 = ∠2，∠ABC = 2∠C，

求證：AB＋BD = AC

證明：延長(zhǎng)AB到E，使BE = BD，連結(jié)DE

則∠BED = ∠BDE

∵∠ABD =∠E＋∠BDE

∴∠ABC =2∠E

∵∠ABC = 2∠C

∴∠E = ∠C

在△AED和△ACD中

∠E = ∠C

∠1 = ∠2

AD = AD

∴△AED≌△ACD

∴AC = AE

∵AE = AB＋BE

∴AC = AB＋BE

即AB＋BD = AC

⑵平分二倍角

例：已知，如圖，在△ABC中，BD⊥AC于D，∠BAC = 2∠DBC

求證：∠ABC = ∠ACB

證明：作∠BAC的平分線AE交BC于E，則∠BAE = ∠CAE = ∠DBC

∵BD⊥AC

∴∠CBD ＋∠C = 90o

∴∠CAE＋∠C= 90o

∵∠AEC= 180o－∠CAE－∠C= 90o

∴AE⊥BC

∴∠ABC＋∠BAE = 90o

∵∠CAE＋∠C= 90o

∠BAE = ∠CAE

∴∠ABC = ∠ACB

⑶加倍小角

例：已知，如圖，在△ABC中，BD⊥AC于D，∠BAC = 2∠DBC

求證：∠ABC = ∠ACB

證明：作∠FBD =∠DBC,BF交AC于F（過(guò)程略）

例：已知，如圖，△ABC中，AB = AC，∠BAC = 120o，EF為AB的垂直平分線，EF交BC于F，交AB于E

求證：BF =1/2FC

證明：連結(jié)AF，則AF = BF

∴∠B =∠FAB

∵AB = AC

∴∠B =∠C

∵∠BAC = 120o

∴∠B =∠C∠BAC =1/2(180°－∠BAC) = 30°

∴∠FAB = 30°

∴∠FAC =∠BAC－∠FAB = 120°－30° =90°

又∵∠C = 30°

∴AF = 1/2FC

∴BF =1/2FC

練習(xí)：

已知，如圖，在△ABC中，∠CAB的平分線AD與BC的垂直平分線DE交于點(diǎn)D，DM⊥AB于M，DN⊥AC延長(zhǎng)線于N

求證：BM = CN

例：已知，如圖，在△ABC中，∠B =2∠C，AD⊥BC于D

求證：CD = AB＋BD

證明：

（一）在CD上截取DE = DB，連結(jié)AE，則AB = AE

∴∠B =∠AEB

∵∠B = 2∠C

∴∠AEB = 2∠C

又∵∠AEB = ∠C＋∠EAC

∴∠C =∠EAC

∴AE = CE

又∵CD = DE＋CE

∴CD = BD＋AB

（二）延長(zhǎng)CB到F，使DF = DC，連結(jié)AF則AF =AC（過(guò)程略）

例：已知，如圖，在△ABC中，BC = 2AB, ∠ABC = 2∠C,BD = CD

求證：△ABC為直角三角形

證明：過(guò)D作DE⊥BC，交AC于E，連結(jié)BE，則BE = CE，

∴∠C =∠EBC

∵∠ABC = 2∠C

∴∠ABE =∠EBC

∵BC = 2AB，BD = CD

∴BD = AB

在△ABE和△DBE中

AB = BD

∠ABE =∠EBC

BE = BE

∴△ABE≌△DBE

∴∠BAE = ∠BDE

∵∠BDE = 90°

∴∠BAE = 90°

即△ABC為直角三角形

例：已知，如圖，在△ABC中，∠A = 90°，DE為BC的垂直平分線

求證：BE2－AE2 = AC2

證明：連結(jié)CE，則BE = CE

∵∠A = 90°

∴AE2＋AC2 = EC2

∴AE2＋AC2= BE2

∴BE2－AE2 = AC2

練習(xí)：

已知，如圖，在△ABC中，∠BAC = 90°，AB = AC，P為BC上一點(diǎn)

求證：PB2＋PC2= 2PA2

例：已知，如圖，在△ABC中，∠B = 45°，∠C = 30°，AB =根號(hào)2，求AC的長(zhǎng).

解：過(guò)A作AD⊥BC于D

∴∠B＋∠BAD = 90°，

∵∠B = 45o，∠B = ∠BAD = 45°，

∴AD = BD

∵AB2 = AD2＋BD2，AB =根號(hào)2

∴AD = 1

∵∠C = 30°，AD⊥BC

∴AC = 2AD = 2