函數(shù)、一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)知識(shí)復(fù)習(xí)指導(dǎo)
一、課標(biāo)要求
⑴ 會(huì)從具體問(wèn)題中尋找數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律.
⑵ 了解常量、變量的意義，了解函數(shù)的概念和三種表示方法，能舉出函數(shù)及函數(shù)應(yīng)用的實(shí)際例子.
⑶ 能確定簡(jiǎn)單的整式、分式和簡(jiǎn)單實(shí)際問(wèn)題中的函數(shù)的自變量取值范圍，并會(huì)求出函數(shù)值.
⑷ 理解平面直角坐標(biāo)系的有關(guān)概念，知道各象限及坐標(biāo)軸上的點(diǎn)的坐標(biāo)特征；會(huì)求某點(diǎn)關(guān)于x軸或y軸、原點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的坐標(biāo).
⑸ 結(jié)合具體情境理解一次函數(shù)(包括正比例函數(shù))、反比例函數(shù)、二次函數(shù)的概念.
⑹ 理解一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)的圖像及性質(zhì)并會(huì)應(yīng)用.
⑺ 能根據(jù)實(shí)際問(wèn)題確定一次函數(shù)(包括正比例函數(shù))、反比例函數(shù)、二次函數(shù)的解析式.
⑻ 會(huì)用圖像法求二元一次方程組的近似解和一元二次方程的近似解.
⑼ 結(jié)合對(duì)函數(shù)圖像的分析，嘗試對(duì)變量的變化規(guī)律進(jìn)行初步預(yù)測(cè)，并能解決實(shí)際問(wèn)題．
二、備考要點(diǎn)
1. 平面直角坐標(biāo)系
(1) 平面內(nèi)兩條有公共原點(diǎn)且互相垂直的數(shù)軸構(gòu)成的圖形叫做平面直角坐標(biāo)系.
(2) 坐標(biāo)平面內(nèi)一點(diǎn)對(duì)應(yīng)的有序?qū)崝?shù)對(duì)叫做這點(diǎn)的坐標(biāo).在平面內(nèi)建立了直角坐標(biāo)系，就可以把“形”（平面內(nèi)的點(diǎn)）和“數(shù)”（有序?qū)崝?shù)對(duì)）緊密結(jié)合起來(lái).
(3) 第一、二、三、四象限點(diǎn)的坐標(biāo)特征分別是(+,+)、(-,+)、(-,-)、(+,-).
(4) 如果點(diǎn)(a,b)在橫軸上，則b=0；如果點(diǎn)(a,b)在縱軸上, 則a=0.
(5) 點(diǎn)P(a,b)到原點(diǎn)O的距離等于
，到x軸距離是|b|，到y(tǒng)軸距離是|a|.
(6) 點(diǎn)(a,b)關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)是(a,-b)；關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)是(-a, b)；關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)是(-a,-b)；
2. 函數(shù)的概念
(1) 設(shè)在某個(gè)變化過(guò)程中有兩個(gè)變量x、y,如果對(duì)于x在某一范圍內(nèi)的每一個(gè)確定的值，y都有唯一確定的值與它相對(duì)應(yīng)，那么就說(shuō)y是x的函數(shù)，x叫做自變量.
(2) 函數(shù)有三種表示法，分別是圖象法、列表法、解析式法.
(3) 在某一變化過(guò)程中，保持不變的量叫常量，可以取不同數(shù)值的量叫變量.
(4) 函數(shù)自變量的取值范圍,對(duì)于實(shí)際問(wèn)題，自變量取值必須使實(shí)際問(wèn)題有意義.對(duì)于純數(shù)學(xué)問(wèn)題，自變量取值應(yīng)保證數(shù)學(xué)式子有意義.(關(guān)鍵是要識(shí)別函數(shù)解析式的類(lèi)型,正確地運(yùn)用分類(lèi)討論的思想求函數(shù)自變量的取值范圍)
3. 一次函數(shù)及性質(zhì)
(1) 形如 y=kx(k是常數(shù)，k≠0)，y叫做x的正比例函數(shù).
(2) 正比例函數(shù)y=kx的圖象是過(guò)（0，0），（1，K）兩點(diǎn)的一條直線(xiàn);當(dāng)k>0時(shí)直線(xiàn)過(guò)第一、三象限，當(dāng)k<0時(shí)直線(xiàn)過(guò)第二、四象限.
(3) 正比例函數(shù)y=kx的性質(zhì)
①當(dāng)k>0時(shí)，y隨x的增大而增大.
②當(dāng)k<0時(shí)，y隨x的增大而減小.
(4) 如果y=kx+b,k,b是常數(shù),k值不為0,那么y叫做x的一次函數(shù). 正比例函數(shù)是當(dāng)b=0時(shí)特殊的一次函數(shù) .
(5) 一次函數(shù)y=kx+b (k≠0) 的圖象是過(guò)(0,b),(
,0)兩點(diǎn)的一條直線(xiàn); 當(dāng)k>0是直線(xiàn)過(guò)第一、三象限，當(dāng)k<0時(shí)直線(xiàn)過(guò)第二、四象限；b 決定直線(xiàn)與y軸交點(diǎn)的位置，b>0直線(xiàn)交y軸于正半軸，b<0直線(xiàn)交y軸于負(fù)半軸.即
當(dāng)k>0，b>0時(shí)，直線(xiàn)y=kx+b過(guò)一、二、三象限；
當(dāng)k>0，b<0時(shí)，直線(xiàn)y=kx+b過(guò)一、三、四象限；
當(dāng)k<0，b>0時(shí)，直線(xiàn)y=kx+b過(guò)一、二、四象限；
當(dāng)k<0，b<0時(shí)，直線(xiàn)y=kx+b過(guò)二、三、四象限.
(6) 一次函數(shù)函數(shù) 的性質(zhì)
①當(dāng)k>0時(shí)，y隨x的增大而增大.
②當(dāng)k<0時(shí)，y隨x的增大而減小.
（7） 一次函數(shù)：y=kx+b (k≠0)的圖象是平行于y=kx (k≠0)的一條直線(xiàn)。與x軸的交點(diǎn)為( ,0),與y軸的交點(diǎn)為(0,b); ｜k｜=tanα, α為直線(xiàn)與x軸的夾角(銳角); ｜k｜越大, α越大.
（8） 在y1=k1x+b1;y2=k2x+b2 (k1k2≠0) 中：
當(dāng)y1‖y2時(shí)，k1=k2；當(dāng)y1⊥y2時(shí)，k1k2= -1；當(dāng)y1與y2不平行時(shí)，k1≠k2；
當(dāng)這兩直線(xiàn)不平行時(shí)，它們的交點(diǎn)坐標(biāo)是兩解析式聯(lián)合方程組的解。
｜k｜=tanα,α為直線(xiàn)與x軸的夾角；
｜k｜越大，夾角就越大；｜k｜越小，夾角就越小。
（9） 一次函數(shù)圖象的平移：上下平移外加減；左右平移內(nèi)加減（即上加下減，左加右減）。y=k(x+0)+ b
例如：把y=-2x+5的圖象向左平移3個(gè)單位的直線(xiàn)為：y=-2(x+3)+ 5,即y=-2x-1; 把y=-2x+5的圖象向下平移3個(gè)單位的直線(xiàn)為：y=-2(x+0)+ 5-3,即y=-2x+2; 把y=-2x+5的圖象向右平移3個(gè)單位再向上平移4個(gè)單位為：y=-2(x-3)+ 5+4； 即y=-2x+15.
（10） 函數(shù)解析式的確定： 正比例函數(shù)y=kx (k≠0)中因?yàn)橛幸粋€(gè)常量k，所以確定其解析式只要一個(gè)條件即可。 一次函數(shù)y=kx+b (k≠0)中因?yàn)橛袃蓚€(gè)常量k,b所以確定其解析式要兩個(gè)條件。
（11） 一次函數(shù)y=kx+b (k≠0) 的對(duì)稱(chēng)性：一次函數(shù)y=kx+b (k≠0)關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)的直線(xiàn)為：y'=-kx-b ；一次函數(shù)y=kx+b (k≠0)關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)的直線(xiàn)為：y'=-kx+b ；一次函數(shù)y=kx+b (k≠0)關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的直線(xiàn)為：y'=kx-b ；
4.反比例函數(shù)及性質(zhì) (1) 形如y=( k是常數(shù)，k≠0)的函數(shù)，y就稱(chēng)y為x的反比例函數(shù)．反比例函數(shù)的三種不同表達(dá)形式：① y=② y=kx-1； ③ xy=k。
(2) 反比例函數(shù) y=（k≠0）的圖象是由兩支曲線(xiàn)組成的，這兩支曲線(xiàn)常稱(chēng)為“雙曲線(xiàn)”．
說(shuō)明：①雙曲線(xiàn)的兩個(gè)分支不能夠連接起來(lái)；
②兩個(gè)分支無(wú)限靠近x軸和y軸，但是永遠(yuǎn)與它們不相交；
③圖象既是軸對(duì)稱(chēng)圖形，也是中心對(duì)稱(chēng)圖形；
④畫(huà)反比例函數(shù)圖象時(shí)通常先畫(huà)出一個(gè)分支，然后根據(jù)對(duì)稱(chēng)性畫(huà)出另一個(gè)分支．
(3) 反比例函數(shù)的性質(zhì)：
①當(dāng)k>0時(shí)，在每個(gè)象限內(nèi)y隨x的增大而減小；
②當(dāng)k<0時(shí)，在每個(gè)象限內(nèi)y隨x的增大而增大．
（4）過(guò)反比例函數(shù) y=（k≠0）的圖象上任意一點(diǎn)P（x，y）作x軸和y軸的垂線(xiàn)PA和PB，垂足為A、B，則四邊形PAOB的面積S為定值｜k｜.
5、二次函數(shù)及其性質(zhì)
形如y=ax2+bx+c (a≠0) 的函數(shù),就稱(chēng)y為x的二次函數(shù).
(1) a確定拋物線(xiàn)的開(kāi)口方向，｜a｜確定拋物線(xiàn)的形狀
當(dāng)a>0時(shí)，開(kāi)口向上；當(dāng)a<0時(shí)，開(kāi)口向下。
當(dāng)｜a｜越大時(shí)，開(kāi)口越小；當(dāng)｜a｜越 小時(shí)，開(kāi)口越大。
(2)
b確定拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸的位置
當(dāng)對(duì)稱(chēng)軸在y軸的左側(cè)時(shí)， <0 ; 此時(shí)ab>0，（a,b同號(hào)）；
當(dāng)對(duì)稱(chēng)軸在y軸的右側(cè)時(shí)， >0 ; 此時(shí)ab<0，（a,b異號(hào)）;
當(dāng)對(duì)稱(chēng)軸是y軸時(shí)， =0 ；此時(shí)ab=0.（b=0）.
(3)
c確定拋物線(xiàn)在y軸上的截距
當(dāng)拋物線(xiàn)與y軸的正半軸相交時(shí)，c>0，
當(dāng)拋物線(xiàn)過(guò)原點(diǎn)時(shí)，c=0，
當(dāng)拋物線(xiàn)與y軸的負(fù)半軸相交時(shí)，c<0，
c叫做拋物線(xiàn)在y軸上的截距（c可以為正數(shù)、負(fù)數(shù)、也可以為0）.
(4) 二次函數(shù)的圖像
在平面直角坐標(biāo)系中作出二次函數(shù)y=x2的圖像，
可以看出，二次函數(shù)y=x2的圖像是一條拋物線(xiàn)。
(5) 拋物線(xiàn)的性質(zhì)
拋物線(xiàn)是軸對(duì)稱(chēng)圖形。對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn) x = 。
對(duì)稱(chēng)軸與拋物線(xiàn)唯一的交點(diǎn)為拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)P( , )。
特別地，當(dāng)b=0時(shí)，拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸是y軸（即直線(xiàn)x=0）
(6) 設(shè)拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)為P( , ):
當(dāng)b=0時(shí)，P在y軸上；
當(dāng)Δ=0時(shí)，P在x軸上。
(7) 當(dāng)Δ＞0時(shí)，拋物線(xiàn)與x軸有2個(gè)交點(diǎn)。
當(dāng)Δ=0時(shí)，拋物線(xiàn)與x軸有1個(gè)交點(diǎn)。
當(dāng)Δ＜0時(shí)，拋物線(xiàn)與x軸沒(méi)有交點(diǎn)。
(8) 二次函數(shù)與一元二次方程
特別地，二次函數(shù)（以下稱(chēng)函數(shù)）y=ax2+bx+c，
當(dāng)y=0時(shí)，二次函數(shù)為關(guān)于x的一元二次方程（以下稱(chēng)方程），
即ax2+bx+c=0
此時(shí)，函數(shù)圖像與x軸有無(wú)交點(diǎn)即方程有無(wú)實(shí)數(shù)根。
函數(shù)圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)即為方程的根。
(9) 畫(huà)拋物線(xiàn)y＝ax2時(shí)，應(yīng)先列表，再描點(diǎn)，最后連線(xiàn)。列表選取自變量x值時(shí)常以0為中心，選取便于計(jì)算、描點(diǎn)的整數(shù)值，描點(diǎn)連線(xiàn)時(shí)一定要用光滑曲線(xiàn)連接，并注意變化趨勢(shì)。
(10) 二次函數(shù)解析式的幾種形式
一般式：y＝ax2+bx+c (a,b,c為常數(shù)，a≠0).
頂點(diǎn)式：y＝a(x-h)2+k(a,h,k為常數(shù)，a≠0).
兩根式：y＝a(x-x1)(x-x2)，其中x1 ,x2是拋物線(xiàn)與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，即一元二次方程ax2+bx+c＝0的兩個(gè)根，(a≠0).
說(shuō)明：(1)任何一個(gè)二次函數(shù)通過(guò)配方都可以化為頂點(diǎn)式y(tǒng)＝a(x-h)2+k，拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)坐標(biāo)是(h,k)，h＝0時(shí)，拋物線(xiàn)y＝ax2+k的頂點(diǎn)在y軸上；當(dāng)k＝0時(shí)，拋物線(xiàn)y=a(x-h)2的頂點(diǎn)在x軸上；當(dāng)h＝0且k＝0時(shí)，拋物線(xiàn)y＝ax2的頂點(diǎn)在原點(diǎn) .
如果圖像經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，并且對(duì)稱(chēng)軸是y軸，則設(shè)y=ax2；如果對(duì)稱(chēng)軸是y軸，但不過(guò)原點(diǎn)，則設(shè)y=ax2+k
三、備考建議
1.平面直角坐標(biāo)系是中考的高熱考點(diǎn)，是每卷必考的基礎(chǔ)內(nèi)容，主要考查數(shù)形結(jié)合、運(yùn)動(dòng)變化的思想方法.一般以填空題和選擇題形式出現(xiàn)，近幾年部分省市將這部分內(nèi)容同概率、方程和圓等知識(shí)相聯(lián)系,設(shè)計(jì)成新穎的壓軸題.復(fù)習(xí)時(shí)要明確坐標(biāo)平面內(nèi)一點(diǎn)與有序?qū)崝?shù)對(duì)的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系;理解坐標(biāo)平面內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)特征;能根據(jù)函數(shù)式的結(jié)構(gòu)特征確定函數(shù)的自變量取值范圍，并求出函數(shù)值; 能準(zhǔn)確分析函數(shù)關(guān)系，預(yù)測(cè)變量的變化規(guī)律.
2.一次函數(shù)與反比例函數(shù)在實(shí)際生活中的應(yīng)用非常廣泛，運(yùn)用一次函數(shù)與反比例函數(shù)來(lái)解應(yīng)用題成了近年來(lái)的中考命題亮點(diǎn),許多省市中考試卷中的函數(shù)圖象信息題，設(shè)計(jì)新穎、貼近生活、反映時(shí)代特征，全面考查考生的數(shù)學(xué)素質(zhì).因此，在復(fù)習(xí)本節(jié)內(nèi)容時(shí)要熟練掌握一次函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象及其性質(zhì);能結(jié)合具體情境體會(huì)一次函數(shù)、反比例函數(shù)的意義；能運(yùn)用一次函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象信息，解決實(shí)際問(wèn)題.復(fù)習(xí)時(shí)設(shè)計(jì)一些有關(guān)一次函數(shù)、一次方程、一次不等式和一次方程組相互滲透，相互聯(lián)系的訓(xùn)練題,強(qiáng)化訓(xùn)練，以達(dá)到熟練掌握函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)，認(rèn)識(shí)其規(guī)律，提高綜合能力.
3.二次函數(shù)在中考題中占有十分重要的地位.常常與動(dòng)點(diǎn)、幾何圖形、幾何圖形的面積等知識(shí)點(diǎn)結(jié)合在一起，形成動(dòng)態(tài)型、探究型、存在型等問(wèn)題形式，多數(shù)情況下要用到分類(lèi)討論的思想和方法和數(shù)形結(jié)合的思想方法，并且同時(shí)融入了其他知識(shí)點(diǎn)，形成綜合性較強(qiáng)的壓軸題目。解決這一類(lèi)型的題目，一定要做到認(rèn)真、仔細(xì)，從審題開(kāi)始就要注意各知識(shí)點(diǎn)之間的聯(lián)系，先解決較簡(jiǎn)單的問(wèn)題，步步為營(yíng)，各個(gè)突破，力爭(zhēng)把握題目的得分點(diǎn)。在平時(shí)的復(fù)習(xí)過(guò)程中，要熟悉各知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用類(lèi)型，要養(yǎng)成多畫(huà)圖，多動(dòng)筆的好習(xí)慣，克服“會(huì)而不對(duì)，對(duì)而不全”的壞習(xí)慣。
