在前一段熱映的電影《動物世界》中有這么一個情節(jié)：鄭開司被朋友坑欠上了高利貸，不得不上了一條賊船開始了石頭剪刀布的賭博游戲。在游戲途中，鄭開司向莊家借款，按分鐘復(fù)利計(jì)算。片中角色多次提到：利息將是一個天文數(shù)字。

我們在儲蓄時，經(jīng)常聽說“單利”和“復(fù)利”兩個詞，簡單來說，單利就是在計(jì)算利息時只考慮初期借款額，而復(fù)利俗稱利滾利，就是每隔一段時間，將本金和利息算作新的本金，計(jì)算下一期利息。那么，復(fù)利真的有這么厲害嘛？復(fù)利的多少到底和什么因素有關(guān)呢？

為了了解這個問題，我們首先來研究一個簡單的模型：如果一個人從別人處借款100元，年利率12%，借款1年，1年后一次性付清本息，那么最后到底有多少利息？

單利和復(fù)利

如果利息是單利，那么情況非常簡單：每年的利息是100元×12%=12元，到期時一共還款112元。

如果利息是復(fù)利，那么這個12%就是名義年利率。我們除了要知道名義年利率，還要知道復(fù)利的分期——即多長時間計(jì)算一次復(fù)利。

比如：每半年計(jì)算一次復(fù)利，那么半年的名義利率就是12%÷2=6%。于是：

六個月末，將100元記作本金，計(jì)算半年利息，本息一共

一年末，將106元作為新的本金，計(jì)算半年利息，期末本息共

相比于單利，復(fù)利多了0.36元，看起來并沒有太夸張。這是因?yàn)?，我們?jì)算的每期復(fù)利時間比較長，復(fù)利期數(shù)較少。如果我們縮短計(jì)算復(fù)利間隔，情況又是如何呢？

如果每個月計(jì)算一次復(fù)利，那么每個月的名義利率就是12%÷12=1%，同時我們要計(jì)算12次本息，因此每個月的本息和是：

十二個月后，本息一共是

相比于半年復(fù)利的112.36元，月復(fù)利的本息和又多了0.32元。

我們不妨來總結(jié)一個公式：假設(shè)復(fù)利的名義年利率是r，借款1年，分期數(shù)為n，那么每一期的名義利率就是r/n。如果初期借款是P，那么到期還款的本息F一共：

期數(shù)n越多，每一期的期限就越短，每一期的名義利率r/n就會越低，但是由于總期數(shù)多了，總體的利息會變得越高。如果按天復(fù)利、按分鐘復(fù)利甚至按秒鐘復(fù)利，計(jì)算結(jié)果就會更大。

那么問題來了：如果我們把期數(shù)n取做無窮大，每一期的計(jì)算復(fù)利時間無限短，就稱之為連續(xù)復(fù)利，連續(xù)復(fù)利到期的本息F到底是多少呢？利息會變成無窮大嗎？

為了計(jì)算這個問題，我們需要了解一個非常重要的常數(shù)：e

歐拉數(shù)e

e是一個無理數(shù)，稱為自然對數(shù)的底，人們最早研究e的目的是為了求解某些乘方和開方問題。后來，數(shù)學(xué)家歐拉對其進(jìn)行了深刻的研究，并用字母e來表示它，恰巧歐拉的名字首字母也是E（Euler），所以人們也稱之為歐拉常數(shù)。

歐拉計(jì)算了這樣一個問題：

令

當(dāng)n=1時，x=2

當(dāng)n=2時，x=2.25

當(dāng)n=3時，x=2.37037…

我們按照這個方法計(jì)算下去，可以得到一張圖

從這張圖我們會發(fā)現(xiàn)，當(dāng)n增大時，x會趨近于一個固定值。歐拉從數(shù)學(xué)上嚴(yán)格證明了當(dāng)n趨向于無窮大時，x會有一個極限值，并將這個值稱為e。

現(xiàn)在我們計(jì)算e一般是通過泰勒展開的方式，e可以展開為

其中n！稱為n的階乘，n！=1×2×3×... ×(n-1) ×n，并且0！=1.

e是一個無理數(shù)，它的前幾位是2.718281828459045…，其實(shí)很好記，大家看，首先是2.71828，然后1828重復(fù)一次，再往后是等腰直角三角形的三個內(nèi)角45、90、45。這個常數(shù)在工程計(jì)算上的作用一點(diǎn)不比圓周率π小，大家都知道π≈3.1415926，那也應(yīng)該知道e≈2.71828。

連續(xù)復(fù)利

現(xiàn)在我們可以利用歐拉數(shù)e計(jì)算連續(xù)復(fù)利了?；氐阶畛醯膯栴}：初期借款為P，名義年利率r，借款1年，分期n期，那么最終本息一共

如果n趨向于無窮大，我們可以將這個式子變形：

我們會發(fā)現(xiàn)：當(dāng)n趨向于無窮大時，n/r也趨向于無窮大，因此

所以，我們得到最終的本息一共

這就是年利率為r的連續(xù)復(fù)利一年后本息的計(jì)算公式。

從公式我們可以看出：即便把復(fù)利分期時間取得無限短，復(fù)利依然是有上限的。我們代入P=100元，r=12%，可以得到連續(xù)復(fù)利時一年后本息一共

看起來也不比單利多多少嘛。

復(fù)利為什么厲害？

復(fù)利會受到兩個因素的限制，其一是名義利率，其二是期限。名義利率越高，期限越長，復(fù)利的威力也會越大。我們剛剛計(jì)算的是借款1年，如果名義年利率為r，借款年限為k年，每過一年，還款額都要乘以e的r次冪。按照連續(xù)復(fù)利，最終的還款額為

假如借款100元，名義年利率12%，借款30年連續(xù)復(fù)利，30年后本息一共是3660元，是本金的36倍多。但是如果是單利，則只需要還款460元，兩者相差太多了。

在高利率、長時間借款的情況下，復(fù)利的確比單利威力大得多。股神巴菲特的公司每年財富的增長率為24%，看起來并不高，但是他連續(xù)保持了40年這樣的增長率，這也使得巴菲特的資產(chǎn)從100美元變成了160億美元。

在電影《動物世界》中，船上借款按分鐘復(fù)利，這已經(jīng)與連續(xù)復(fù)利相差無幾。電影中并沒有說明具體利率是多少，但是由于在船上的時間很短，下船時利息并不會有多少。只要他們下船能盡快把錢還上，就不會積累成天文數(shù)字了。

小胖說這句話，原因不是不懂?dāng)?shù)學(xué)，就是故意說假話，騙李軍不去救鄭開思。聽說這部劇還有第二部，不知道第二部里會不會告訴我們這個利率具體是多少呢？