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“如果把18世紀(jì)的數(shù)學(xué)家想象為一座座高山峻嶺，那么最后一座令人肅然起敬的巔峰就是高斯；如果把19世紀(jì)的數(shù)學(xué)家想象為一條條江河，那么其源頭就是高斯?！?/p>
18世紀(jì)，被稱為是歐拉的世紀(jì)。如果說，在18世紀(jì)的數(shù)學(xué)家當(dāng)中還有誰真正有資格與歐拉相提并論的話，這個(gè)人一定是高斯。盡管高斯一生發(fā)表論文的數(shù)量遠(yuǎn)比不上歐拉，但他對(duì)數(shù)學(xué)的影響卻不遜于歐拉。你幾乎可以在科學(xué)的任何領(lǐng)域中看到高斯的名字。大家都將高斯稱為“數(shù)學(xué)王子”。
高斯
高斯于1777年4月30日出生在不倫瑞克。不倫瑞克公國(guó)當(dāng)時(shí)是在神圣羅馬帝國(guó)的統(tǒng)治之下，現(xiàn)在則是德國(guó)西北部的一個(gè)城市。被稱為“王子”的高斯并不是貴族，他出生在一個(gè)平凡的家庭里。高斯的父親是工地里的工頭，母親則是一位石匠的女兒。那時(shí)候，神圣羅馬帝國(guó)正處于從七年戰(zhàn)爭(zhēng)結(jié)束至拿破侖戰(zhàn)爭(zhēng)爆發(fā)之間的平穩(wěn)時(shí)期?？梢哉f，暫時(shí)的安穩(wěn)為高斯的快速成長(zhǎng)提供了一定的保障。
高斯3歲時(shí)就已經(jīng)可以在父親給工人計(jì)算工資的賬簿里發(fā)現(xiàn)一些計(jì)算錯(cuò)誤了。據(jù)說，在高斯10歲的時(shí)候，他的小學(xué)老師給孩子們出了一個(gè)計(jì)算題：算出前100個(gè)正整數(shù)的和。當(dāng)老師布置完題目剛坐下，高斯便把自己的答案交給了老師。老師看了下他的答案：5050，這是正確的答案！老師很驚訝地看著高斯，問：“為什么你可以這么快就計(jì)算出來？”高斯說：“先把1和100加起來，是101；再把2和99加起來，也是101；把3和98加起來，還是101；一直加下去，我們會(huì)得到50個(gè)101，所以答案就是50×101=5050.”高斯的這個(gè)求和方法在今天被稱為“對(duì)偶原理”，是一種非常有效的計(jì)算方法。
在他讀中學(xué)的時(shí)候，由于家境不太好，他的學(xué)費(fèi)成了一個(gè)大難題。因?yàn)楦咚乖趯W(xué)校里的表現(xiàn)極度出眾，他的老師布呂特內(nèi)爾很重視這個(gè)學(xué)生。同時(shí)，高斯過人的天賦也受到了當(dāng)時(shí)的不倫瑞克的斐迪南公爵的關(guān)注，公爵慷慨地向高斯提供了資助。15歲時(shí)，高斯進(jìn)入了當(dāng)?shù)赜忻目_琳學(xué)院（現(xiàn)在名叫不倫瑞克學(xué)院）。三年后，公爵繼續(xù)資助高斯進(jìn)入漢諾威公國(guó)的哥廷根大學(xué)學(xué)習(xí)。
哥廷根大學(xué)
在高斯18歲的時(shí)候，他提出了曲線擬合的最小二乘法。這個(gè)方法實(shí)際上就是求出這樣一條曲線，它與樣本數(shù)據(jù)的誤差的平方和最小。在1809年，高斯用最小二乘法精確地計(jì)算出谷神星的軌道并預(yù)測(cè)了它的位置。高斯在1829年證明了最小二乘法在曲線擬合方面比其他任何方法都更有效。高斯還非常系統(tǒng)地研究了正態(tài)分布的性質(zhì)，因此正態(tài)分布也被稱為高斯分布。
高斯分布
高斯從19歲時(shí)開始有了寫日記的習(xí)慣，他經(jīng)常把他思考數(shù)學(xué)的一些發(fā)現(xiàn)記錄下來。他的數(shù)學(xué)日記從1796年一直記錄到了1814年。這本日記在1903年由F.克萊因出版，而日記的原本則被存放在哥廷根大學(xué)的圖書館里，成為了哥廷根大學(xué)圖書館里最珍貴的藏品之一。
在大學(xué)里，高斯的老師每周都會(huì)給高斯布置一些習(xí)題。1796年的3月29日，老師在給高斯的習(xí)題紙中不小心夾了一個(gè)他已經(jīng)研究了很久但一直沒能解決的問題——正17邊形的尺規(guī)作圖問題。其實(shí)這個(gè)問題也是當(dāng)時(shí)數(shù)學(xué)界的一個(gè)懸而未決的難題，多年來一直沒人能提供一種合理的作圖方法。從來沒有接觸過這個(gè)問題的高斯在看到這個(gè)問題以后還以為這是老師給他布置的習(xí)題，心想：“怎么這次的題目這么難？”顯然高斯不會(huì)被難題嚇倒，他開始想辦法去解決這道困難的“習(xí)題”。經(jīng)過了一個(gè)晚上的苦戰(zhàn)，高斯終于在第二天的清晨得到了他的解答。直到高斯把他的作圖方案交給他的老師時(shí)，老師臉上驚奇的表情才讓高斯明白到這不是一道普通的練習(xí)題。這個(gè)時(shí)候，高斯只有19歲。
高斯在自己的日記中記錄了他的解決過程。詳細(xì)的作畫過程十分復(fù)雜，但是我們可以看看他是怎么分析這個(gè)問題的。我們現(xiàn)在就講一下他大概的分析思路。事實(shí)上，用尺規(guī)畫正17邊形就相當(dāng)于求出方程x17-1=0的全部17個(gè)根（包括虛根）。首先，這個(gè)方程顯然有一個(gè)根1。這是最簡(jiǎn)單的解。為了求出剩下的16個(gè)根，高斯把這些根分解成了兩組，每組8個(gè)根。通過解一個(gè)二次方程，高斯得到了這兩組根分別的和。需要說明的是，某組根的和是指把這組根全部加起來得到的和。接下來，高斯再把這兩組根分別分解為兩組，每組4個(gè)根。在解出兩個(gè)二次方程以后，高斯求出了這四組根分別的和。高斯再對(duì)這四組根各自進(jìn)行分解，得到八組根，每組兩個(gè)根。然后再解4個(gè)二次方程就可以計(jì)算出這八組根的和。最后，只要再解八個(gè)二次方程就可以把全部16個(gè)根求出來了?？梢哉J(rèn)為，高斯的解法中其實(shí)已經(jīng)蘊(yùn)含了在19世紀(jì)才被法國(guó)數(shù)學(xué)家伽羅瓦提出來的群的思想，只是他可能沒有意識(shí)到這種結(jié)構(gòu)是多么普遍。
正17邊形作圖問題的解決讓高斯一舉成名，但他沒有因此而自滿。就在同一年的4月8日，他又解決了另外一個(gè)著名的問題——二次互反律的證明。高斯的證明是二次互反律自提出以來的第一個(gè)嚴(yán)格的證明，其主要思路就是我們現(xiàn)在高中的“數(shù)學(xué)歸納法”。高斯一生中對(duì)二次互反律給出了八種不同的證明，而他自己對(duì)第五種證明感到最滿意。高斯還把二次互反律稱為數(shù)論中的“黃金律”。現(xiàn)在，二次互反律已經(jīng)有兩百多個(gè)不同的證明了。
1797年，高斯完成了他的著作《算術(shù)研究》的初稿。這本書最終在1801年成功出版，并成為了數(shù)學(xué)七大名著之一。他在這本書里系統(tǒng)地整理了他關(guān)于數(shù)論的諸多重要的發(fā)現(xiàn)，包括對(duì)歐拉證明的費(fèi)馬大定理在n=3時(shí)的情形給出了更嚴(yán)密的證明，也提出了很多極具發(fā)展價(jià)值的概念。高斯在書中還衷心地感謝了不倫瑞克公爵一直以來慷慨的資金援助。
高斯在1798年完成在哥廷根大學(xué)的學(xué)業(yè)，在公爵的安排下回到了不倫瑞克公國(guó)，并在當(dāng)?shù)氐暮跔柲匪固┨卮髮W(xué)繼續(xù)深造。一年后，高斯從黑爾姆斯泰特大學(xué)拿到了博士學(xué)位，他的博士導(dǎo)師是當(dāng)時(shí)很有名的約翰·普法夫。他的博士論文是代數(shù)基本定理的嚴(yán)格證明，這是代數(shù)基本定理的第一個(gè)公認(rèn)的嚴(yán)格證明。代數(shù)基本定理指出，非零的一元n次多項(xiàng)式方程有且僅有n個(gè)根（包括虛根）。這樣一個(gè)看上去很簡(jiǎn)單的定理，證明起來卻非常困難。之后，高斯又對(duì)代數(shù)基本定理給出了另外三種證明。
1805年，高斯與他的第一任妻子約翰娜結(jié)婚。直到這時(shí)，高斯人生的四季依然是春天。
一年后，一直在背后給予高斯經(jīng)濟(jì)支持的不倫瑞克公爵在與拿破侖軍隊(duì)交戰(zhàn)時(shí)不幸戰(zhàn)死。同年，在拿破侖的威脅之下，神圣羅馬帝國(guó)滅亡。1808年，高斯的父親去世了。在1809年，高斯的妻子也離開了人世。他們?cè)诨楹笥腥齻€(gè)孩子，其中二兒子路易斯在母親去世后不久也夭折了。在多重的打擊之下，高斯的人生可以說是從春天一下子落到了冬天。
遭受挫折的高斯開始變得保守。公爵的戰(zhàn)死讓高斯對(duì)法國(guó)人有一種厭惡感，這也許能解釋為什么后來舍瓦利耶把朋友伽羅瓦的研究成果寄給高斯之后卻沒有得到高斯的答復(fù)。1807年，高斯受邀擔(dān)任哥廷根大學(xué)的數(shù)學(xué)與物理學(xué)教授以及哥廷根天文臺(tái)的臺(tái)長(zhǎng)。在高斯的前妻去世一年后，高斯迎娶了他的第二任妻子?；楹笏麄冇稚巳齻€(gè)孩子。
1818年到1826年，高斯開始為漢諾威公國(guó)負(fù)責(zé)大地測(cè)量的領(lǐng)導(dǎo)工作。也許是這個(gè)工作引起了高斯對(duì)曲面尤其是球面上的幾何的關(guān)注。高斯在1827年發(fā)表了論文《關(guān)于曲面的一般研究》，這篇論文可謂內(nèi)蘊(yùn)幾何學(xué)的奠基之作。高斯認(rèn)為，我們不應(yīng)該只把曲面放在一個(gè)空間里面去研究，這個(gè)曲面本身其實(shí)就是一個(gè)空間。這是一個(gè)多么美妙的想法??！后來，正是這個(gè)想法啟發(fā)了高斯的學(xué)生黎曼創(chuàng)立黎曼幾何，為愛因斯坦的廣義相對(duì)論提供最核心的幾何基礎(chǔ)。
在1828年，高斯在一次學(xué)術(shù)會(huì)議上結(jié)識(shí)了物理學(xué)家威廉·韋伯。之后，高斯的興趣轉(zhuǎn)移到了電磁學(xué)。他跟韋伯一起進(jìn)行電磁學(xué)的研究，得到了很多重要的成果，為電磁學(xué)的發(fā)展做出了諸多的貢獻(xiàn)。他們合作搭建了世界上第一臺(tái)電磁電報(bào)機(jī)。
漢諾威的國(guó)王奧古斯特在1837年上任后，提出要廢除過去的民主憲法。這一舉措引起了眾多知識(shí)分子的不滿。哥廷根大學(xué)里包括韋伯以及童話作家格林兄弟在內(nèi)的七位教授對(duì)此提出了抗議，最終他們都被予以撤職處分。這個(gè)事件被稱為“哥廷根七君子”事件。保守的高斯不希望自己身陷政治漩渦，他在整個(gè)事件中都保持沉默。基于與韋伯的交情，高斯私下為韋伯求情。終于在1849年，韋伯被允許返回哥廷根大學(xué)。
高斯的門下有很多出色的學(xué)生，比如黎曼、戴德金、狄利克雷、莫比烏斯等。但高斯其實(shí)并不是一個(gè)好的老師。由于高斯的名氣太大了，很多人都將自己的研究成果寄給高斯希望博得其青睞。對(duì)待這些來信，高斯只有兩種答復(fù)，就是“你錯(cuò)了”和“我已經(jīng)發(fā)現(xiàn)過了”。這些無情的回應(yīng)無疑打擊了很多人才，包括后來作為非歐幾何創(chuàng)始人之一的匈牙利數(shù)學(xué)家鮑耶·雅諾什。高斯自己在鮑耶之前就已經(jīng)發(fā)現(xiàn)了非歐幾何，但是他擔(dān)心受到非議而并沒有將其發(fā)表。鮑耶的父親把自己兒子關(guān)于非歐幾何的成果寄給高斯，結(jié)果高斯只是冷漠地回復(fù)道：“我不能稱贊他，因?yàn)榉Q贊他就等于稱贊我自己?！?/p>
1855年的2月23日，這位孤傲的天才在睡夢(mèng)中去世了。
高斯一生發(fā)現(xiàn)了很多的成果，但追求完美的他總是把這些結(jié)果藏起來。他認(rèn)為自己發(fā)表出來的成果必須是成熟的沒有瑕疵的。同時(shí)他也很善于在自己的證明中隱藏直覺的痕跡，不希望別人從中看穿自己的想法。縱然如此，高斯發(fā)表出來的成果依然很多，也很精致。高斯的天才是無法被隱藏的，他從出生開始就注定要成為一顆耀眼的科學(xué)明星。高斯的成就使他成為了與阿基米德、牛頓、歐拉齊名的數(shù)學(xué)家，并稱“數(shù)學(xué)四杰”。
高斯把自己的一生奉獻(xiàn)給了科學(xué)，數(shù)學(xué)對(duì)于他來說永遠(yuǎn)是放在第一位的。在他的日記里有這樣一句話：“……我有了這個(gè)奇妙的發(fā)現(xiàn)。順帶一提，我兒子今天出生了。”
據(jù)說高斯生前曾經(jīng)提出希望在自己的墓碑上刻上一個(gè)正17邊形。不過工匠覺得這個(gè)工作太困難了，而且即使刻上去了，看上去也跟一個(gè)圓差不多，最后便放棄了。
高斯與家人的關(guān)系并不是很好。他不希望自己的孩子從事數(shù)學(xué)，以免“玷污他的名聲”。他的兒子歐根在與高斯?fàn)巿?zhí)多番后于1832年搬到了美國(guó)，并在那里成為了一位成功的企業(yè)家。
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