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高中數(shù)學(xué)  選修4--5知識點(diǎn)

1、不等式的基本性質(zhì)

①（對稱性）

②（傳遞性）

③（可加性）

（同向可加性）

（異向可減性）

④（可積性）

⑤（同向正數(shù)可乘性）

（異向正數(shù)可除性）

⑥（平方法則）

⑦（開方法則）

⑧（倒數(shù)法則）

2、幾個重要不等式

① ,（當(dāng)且僅當(dāng) 時取 號）.   變形公式：

②（基本不等式）    ,（當(dāng)且僅當(dāng) 時取到等號）.

變形公式：     

用基本不等式求最值時（積定和最小，和定積最大），要注意滿足三個條件“一正、二定、三相等”.

③（三個正數(shù)的算術(shù)—幾何平均不等式） （當(dāng)且僅當(dāng) 時取到等號）.

④

（當(dāng)且僅當(dāng) 時取到等號）.

⑤

（當(dāng)且僅當(dāng) 時取到等號）.

⑥ （當(dāng)僅當(dāng)a=b時取等號）

（當(dāng)僅當(dāng)a=b時取等號）

⑦ ，（其中

規(guī)律：小于1同加則變大，大于1同加則變小.

⑧

⑨絕對值三角不等式

3、幾個著名不等式

①平均不等式： ， ，當(dāng)且僅當(dāng) 時取 號）.

（即調(diào)和平均 幾何平均 算術(shù)平均 平方平均）.

  變形公式：

②冪平均不等式：

③二維形式的三角不等式：

④二維形式的柯西不等式：     

  當(dāng)且僅當(dāng) 時，等號成立.

⑤三維形式的柯西不等式：

⑥一般形式的柯西不等式：

⑦向量形式的柯西不等式：

設(shè) 是兩個向量，則 當(dāng)且僅當(dāng) 是零向量，或存在實(shí)數(shù) ，使 時，等號成立.

⑧排序不等式（排序原理）：

設(shè) 為兩組實(shí)數(shù). 是 的任一排列，則 （反序和 亂序和 順序和），當(dāng)且僅當(dāng) 或 時，反序和等于順序和.

⑨琴生不等式:（特例:凸函數(shù)、凹函數(shù)）

若定義在某區(qū)間上的函數(shù) ,對于定義域中任意兩點(diǎn) 有

則稱f(x)為凸（或凹）函數(shù).

4、不等式證明的幾種常用方法

 常用方法有：比較法（作差，作商法）、綜合法、分析法；

其它方法有：換元法、反證法、放縮法、構(gòu)造法，函數(shù)單調(diào)性法，數(shù)學(xué)歸納法等.

常見不等式的放縮方法：

①舍去或加上一些項(xiàng)，如

②將分子或分母放大（縮?。?，

如       

等.

5、一元二次不等式的解法

求一元二次不等式

解集的步驟：

一化：化二次項(xiàng)前的系數(shù)為正數(shù).

二判：判斷對應(yīng)方程的根.

三求：求對應(yīng)方程的根.

四畫：畫出對應(yīng)函數(shù)的圖象.

五解集：根據(jù)圖象寫出不等式的解集.

規(guī)律：當(dāng)二次項(xiàng)系數(shù)為正時，小于取中間，大于取兩邊.

6、高次不等式的解法：穿根法.

分解因式，把根標(biāo)在數(shù)軸上，從右上方依次往下穿（奇穿偶切），結(jié)合原式不等號的方向，寫出不等式的解集.

7、分式不等式的解法：先移項(xiàng)通分標(biāo)準(zhǔn)化，則

  （ 時同理）

規(guī)律：把分式不等式等價轉(zhuǎn)化為整式不等式求解.

8、無理不等式的解法：轉(zhuǎn)化為有理不等式求解

⑴

⑵

⑶

⑷

⑸

規(guī)律：把無理不等式等價轉(zhuǎn)化為有理不等式，訣竅在于從“小”的一邊分析求解.

9、指數(shù)不等式的解法：

⑴當(dāng) 時,

⑵當(dāng) 時,

規(guī)律：根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)轉(zhuǎn)化.

10、對數(shù)不等式的解法

⑴當(dāng) 時,

⑵當(dāng) 時,

規(guī)律：根據(jù)對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)轉(zhuǎn)化.

11、含絕對值不等式的解法：

⑴定義法：

⑵平方法：

⑶同解變形法，其同解定理有：

①

②

③

④

規(guī)律：關(guān)鍵是去掉絕對值的符號.

12、含有兩個（或兩個以上）絕對值的不等式的解法：

規(guī)律：找零點(diǎn)、劃區(qū)間、分段討論去絕對值、每段中取交集，最后取各段的并集.

13、含參數(shù)的不等式的解法

解形如 且含參數(shù)的不等式時，要對參數(shù)進(jìn)行分類討論，分類討論的標(biāo)準(zhǔn)有：

⑴討論 與0的大??；

⑵討論 與0的大??；

⑶討論兩根的大小.

14、恒成立問題

⑴不等式 的解集是全體實(shí)數(shù)（或恒成立）的條件是：

①當(dāng) 時

②當(dāng) 時

⑵不等式 的解集是全體實(shí)數(shù)（或恒成立）的條件是：

①當(dāng) 時

②當(dāng) 時

⑶ 恒成立

恒成立

⑷ 恒成立

恒成立

15、線性規(guī)劃問題

⑴二元一次不等式所表示的平面區(qū)域的判斷：

    法一：取點(diǎn)定域法：

由于直線 的同一側(cè)的所有點(diǎn)的坐標(biāo)代入 后所得的實(shí)數(shù)的符號相同.所以，在實(shí)際判斷時，往往只需在直線某一側(cè)任取一特殊點(diǎn) （如原點(diǎn)），由 的正負(fù)即可判斷出 或 表示直線哪一側(cè)的平面區(qū)域.

即：直線定邊界，分清虛實(shí)；選點(diǎn)定區(qū)域，常選原點(diǎn).

法二：根據(jù) 或 ，觀察 的符號與不等式開口的符號，若同號， 或 表示直線上方的區(qū)域；若異號，則表示直線上方的區(qū)域.

即：同號上方，異號下方.

⑵二元一次不等式組所表示的平面區(qū)域：

   不等式組表示的平面區(qū)域是各個不等式所表示的平面區(qū)域的公共部分.

⑶利用線性規(guī)劃求目標(biāo)函數(shù) 為常數(shù)）的最值：

   法一：角點(diǎn)法：

如果目標(biāo)函數(shù)  （ 即為公共區(qū)域中點(diǎn)的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)）的最值存在，則這些最值都在該公共區(qū)域的邊界角點(diǎn)處取得，將這些角點(diǎn)的坐標(biāo)代入目標(biāo)函數(shù)，得到一組對應(yīng) 值，最大的那個數(shù)為目標(biāo)函數(shù) 的最大值，最小的那個數(shù)為目標(biāo)函數(shù) 的最小值

法二：畫——移——定——求：

第一步，在平面直角坐標(biāo)系中畫出可行域；第二步，作直線  ，平移直線 （據(jù)可行域，將直線 平行移動）確定最優(yōu)解；第三步，求出最優(yōu)解 ；第四步，將最優(yōu)解 代入目標(biāo)函數(shù) 即可求出最大值或最小值 .

第二步中最優(yōu)解的確定方法：

利用 的幾何意義： , 為直線的縱截距.

①若 則使目標(biāo)函數(shù) 所表示直線的縱截距最大的角點(diǎn)處， 取得最大值，使直線的縱截距最小的角點(diǎn)處， 取得最小值；

②若 則使目標(biāo)函數(shù) 所表示直線的縱截距最大的角點(diǎn)處， 取得最小值，使直線的縱截距最小的角點(diǎn)處， 取得最大值.

⑷常見的目標(biāo)函數(shù)的類型：

①“截距”型：

②“斜率”型： 或

③“距離”型： 或

或

在求該“三型”的目標(biāo)函數(shù)的最值時，可結(jié)合線性規(guī)劃與代數(shù)式的幾何意義求解，從而使問題簡單化.