多邊形內(nèi)角和
定理
多邊形內(nèi)角和定理n邊形的內(nèi)角的和等于： （n － 2）×180°
則正多邊形各內(nèi)角度數(shù)為： （n － 2）×180°÷n
已知正多邊形內(nèi)角度數(shù)則其邊數(shù)為： 360÷（180－內(nèi)角度數(shù)）
推論 任意多邊形的外角和=360
正多邊形任意兩個相鄰角的連線所構成的三角形是等腰三角形
多邊形的內(nèi)角和
教學目標
1．理解多邊形及有關概念，掌握多邊形內(nèi)角和定理及推論，理解其推導過程，并能較熟練地使用它們進行有關計算。
2．在多邊形內(nèi)角和定理的推導過程中，培養(yǎng)學生類比、轉(zhuǎn)化、歸納的科學思想方法；在定理及推論的應用過程中培養(yǎng)建立方程的思想。
教學重點和難點
重點是多邊形內(nèi)角和定理及推論的應用。
難點是多邊形內(nèi)角和定理的推導及運用方程的思想來解決多邊形內(nèi)、外角的計算。
教學過程設計
一、多邊形及有關要領的教學
1．復習四邊形、凸多邊形及有關概念。 F
2．通過實例引入多邊形、凸多邊形及明關概念。 A
?。?）舉出生活中多邊形的實例；
（2）類比定義多邊形式、凸多邊形的概念，并指出如果 B E
沒有特別說明，多邊形一般指凸多邊形；
?。?） 將四邊形的有關概念逐項擴展到多邊形情況，如頂 C D
點、邊、內(nèi)角、對角線表示方法等； 圖 4-10
（4）簡單練習，鞏固多邊形的表示方法及有關元素的辨認。
?。ㄍ队埃┚毩? 填空：如圖4-10，此多邊形應記作
邊形 ，AB邊的鄰邊有 、 ，頂點F處的內(nèi)角為 ，畫出頂點D處的兩個外角，過頂點A畫出這個多邊形的對角線，共有 條，它們把多邊形分在了 個三角形，這個多邊形共有
條對角線。
二、探索凸多邊形的內(nèi)角和的性質(zhì)并進行推導
1．提出問題。
由三角形內(nèi)角和為180°，四邊形內(nèi)角和為360° ，猜想多邊形的內(nèi)角和度數(shù)與邊數(shù)有關。具體是什么關系？
2．啟發(fā)學生猜想證明的思路。
?。?）復習四邊形內(nèi)角和定理的證明過程，強調(diào)把四邊形分割成三角形，從而“把四邊形內(nèi)角和轉(zhuǎn)化為三角形內(nèi)角和來研究”這種化歸的思想。
?。?）引導學生類比聯(lián)想，用化歸的思想和從特殊到一般的方法研究五邊形、六邊形、七邊形……的情況。
?、俳處煈獛椭鷮W生分析出解決問題的關鍵是多邊形分割轉(zhuǎn)化成有公共頂點的三角形的方法，以及割成三角形的個數(shù)與多邊數(shù)的關系；
?、谝龑W生認識分割方法的多樣性（見設計說明），選擇其中較為簡單并順慶大部分學生認識過程的分割方法，推導五邊形、六邊形……的情況，歸納出n邊形內(nèi)角和的結論。
3．得到定理：n這形的內(nèi)角和等于（n-2）?180°。
說明：（1）多邊形的內(nèi)角和僅與邊數(shù)有關，與多邊形的大小、形狀無關；
?。?）強調(diào)凸多邊形的內(nèi)角a的范圍：0°＜α＜180°。
三、凸多邊形外角和性質(zhì)的猜想和推導
1．復習多邊形外角和的含義及三角形、四邊形外角和的性質(zhì)，猜想凸多邊形的外角和的結論。
2．以六邊形為例，推導外角和性質(zhì)。
3．將推導方法推廣到一般情況，得出結論：任意多邊形的外角和等于360°。
4．教師強調(diào)“任意”兩字，說明書凸多邊形的外角和與邊數(shù)無磁，因此，比內(nèi)角和定理使用起來更為方便。
四、應用舉例、變式練習
例1（1）22邊形的內(nèi)角和是多少度？若它的每一個內(nèi)角都相等，那么它的
每個外角度數(shù)是多少？
?。?） 幾邊形的內(nèi)角和是八邊形內(nèi)角和的2倍？
?。?）已知一個多邊形，它的內(nèi)角和等于外角和的2倍，求邊數(shù)。
分析：
①引導學生利用方程的思想，根據(jù)多邊形的內(nèi)角和、外角和的性質(zhì)及題目中提供的等量關系得出關于未知數(shù)的方程去求解；
②對于利用多邊形內(nèi)角和公式反求國數(shù)的題目，需注意：只有求出的邊數(shù)n是大于2的正整數(shù)時，問題才有解；
③靈活運用“多邊形的我角和與邊數(shù)無關的性質(zhì)”簡化計算。
例2 （1）已知多邊形的每個內(nèi)角都是135°，求這個多邊形的邊數(shù)；
?。?）每個外角都相等的多邊形，如果它的一個內(nèi)角等于一個外角的9倍，求這個多邊形的邊數(shù)。
分析：
?、倜總€內(nèi)角或外角都相等的多邊形，它的每個內(nèi)角為（n-2）?180°/n，從而利用360°/n，利用這兩點就可以列出關于邊數(shù)n的方程，其中第二種方法較為簡單。
②對于第（1）題，可將“每個角都是135°”轉(zhuǎn)達化為“每個外角都為45°”，從而利用360°/n=45°，得出n的值為8。
③若設邊數(shù)為n，則方程為（n-2）?180°/n=9×360°/n得出n=20。
?。ㄟx用）例3 （1）某多邊形除一個內(nèi)角a外，其余內(nèi)角的和是2 750°。求這個多邊形的邊數(shù)。
?。?）已知n邊形恰有四個內(nèi)角是鈍角。這種多邊形共有多少個？其中邊數(shù)最少的是幾邊形？邊數(shù)最多的是幾邊形？
分析：利用多邊形每個內(nèi)角a的范圍，0°＜α＜180°，以及題目所提供的角度關系列不等式解決問題。
解：（1）由題意得（n-2）?180°=α+2 750°，∴α=（n-2）?180°-2 750°。
又∵0°＜α＜180°，∴0°＜（n-2）?180°-2 750°＜180°，
∴17 5/18＜n＜18 5/18。
因此這個多邊形為18邊形。
?。?）設四個鈍角分別為α，β，γ，δ。則
∵360°＜α+β+γ+δ＜720°。
而另外n-4個內(nèi)角都是直角或銳角，
∴（n-4）×0°＜其余（n-4）個內(nèi)角的和≤（n-4）×90°，
∴360°＜（n-2）?180°＜720°+（n-4）×90°，
即360°＜（n-2）?180°＜720°+（n-4）×90°，∴4＜n＜8。
∵4＜n＜8的整數(shù)n有5，6，7三個，
∴這樣的多邊形共有三個，其邊數(shù)最小的是五邊形，邊數(shù)最多的七邊形。
補充練習：
1．幾邊形的內(nèi)角和與外角和之比是7∶2？（答：9）
2．已知一個多邊形的每個內(nèi)角都是鈍角，這樣的多邊形有多少個？每個內(nèi)角都是銳角的多邊形有多少個？是幾邊形？每個內(nèi)角都是直角的多邊形有幾個？是幾邊形？（答：無數(shù)個；一個，三角形；一個，四邊形）
3．多邊形最多有幾個外角是鈍角？最多有幾個內(nèi)角是銳角？（答：3個；3個）
多邊形的內(nèi)角和
[教學目標]
1、 認知目標：理解多邊形有關概念；
理解多邊形內(nèi)角和公式的推導過程；
掌握多邊形內(nèi)角和的計算。
2、 能力目標：掌握類比歸納、轉(zhuǎn)化的學習方法；
培養(yǎng)學生思考、解決問題的能力。
[教具、學具]
投影片、表格紙、n邊形若干（分組每人準備一種三張，n=4，5，6，7）
量角器、剪刀
[教學過程]
教學步驟 教師活動 學生活動 設計意圖
一、多邊形概念 1、了解概念 ⑴請同學們回憶一下怎樣的圖形是三角形？ ⑵那么怎樣的圖形叫做四邊形？ ⑶出示 分別叫什么？ ⑷四邊形、五邊形、六邊形都是多邊形，同學們再想一想，
你能舉出多邊形的例子嗎？ 悄悄說，后個別回答⑵同學舉手指名答⑶齊答 ⑷兩兩互說 學生利用三角形、
四邊形的定義進行知識遷移，獲得多邊形的概念。
2、 理解概念的特征 ⑴投影顯示多邊形，n邊形的概念，老師強調(diào)一遍。 ⑵投影顯示：下列哪些圖形是多
邊形？是多邊形的請說明是幾邊形？ ⑶下面進一步學習一些概念：多邊形的對角線，在（b）（c）上畫出
并口述概念， 同學們請在準備的一張圖形上畫出至少一條對角線。 ⑷觀察（b）（c）對角線位置有何不同？ ⑸進而提出凸多邊形概念，今后如果不說明，我們講的多邊形都是凸多邊形。 ⑵齊答 個別答 ⑶先獨立
畫后同桌交流 ⑷四人組討論一分鐘，組長回答 利用圖示幫助學生理解概念及對n的認識，通過比較辨析強
化凸多邊形的特征。
二、公式推導1、提出問題 ⑴我們知道三角形內(nèi)角和是多少？ ⑵那么四邊形、五邊形、常見的六邊形螺帽
的內(nèi)角和是多少呢？多邊形的內(nèi)角和有沒有計算方法呢？這就是我們這節(jié)課研究的課題。板書課題：多邊形
的內(nèi)角和 ⑴齊答 ⑵引發(fā)學生思考 創(chuàng)設情景，激發(fā)學生興趣，并揭示課題。
2、動手操作實踐，自己探索 ⑴請同學們利用數(shù)學工具，先把你們手上的多邊形的內(nèi)角和計算出來，并完成
表格（同桌多邊形邊數(shù)不一樣）老師巡視、指導可能有的方法：⑴用量角器量角 ⑵用剪刀剪成三角形或四
邊形 ⑶畫對角線分割多邊形為三角形 逐步啟發(fā)得到最佳方法： 通過對角線劃分成三角形，轉(zhuǎn)化為利用
三角形內(nèi)角和求出。 ⑴自己動手、動腦 學生利用學具進行操作、思考、解決問題的多種方法，提供學生
主動探索的時間、空間。
3、觀察、尋找規(guī)律 ⑴請問同學們求出的內(nèi)角和是多少？⑵你是用什么方法求出來的呢？有幾種方法？哪種
方法最好呢？ ⑶交流表格。 ⑷四、五、六、七邊形內(nèi)角和之間有何規(guī)律？ ⑴對不同邊數(shù)多邊形分別請同
學回答 ⑵舉手請同學上講臺講⑶交流 ⑷四人小組討論，組長發(fā)言 體現(xiàn)“有方法、方法多、方法好”的教
學層次，通過填表便于學生尋找規(guī)律，發(fā)現(xiàn)內(nèi)在聯(lián)系，進一步可做出猜想。
4、猜想 那么對于n邊形猜想一下內(nèi)角和計算公式是什么？（老師參與討論） 小組之間討論，組長發(fā)言
鼓勵學生大膽猜想、大膽發(fā)現(xiàn)。
5、驗證 ⑴就我們已求出的特殊多邊形的內(nèi)角和，通過公式再求一次是否相符 ⑵請同學們自己舉一個例子
驗證一下對不對？有沒有反例？ ⑴獨立舉例檢驗⑵兩兩交流
6、小結歸納 通過動手操作，我們找到了解決問題的幾種方法，知道利用多邊形的對角線將多邊形劃分成三
角形轉(zhuǎn)化為利用三角形內(nèi)角和來求多邊形內(nèi)角和的方法最好。又通過尋找規(guī)律，猜想發(fā)現(xiàn)多邊形內(nèi)角和計算
方法，并加以驗證，接著就可以從特殊到一般歸納出計算公式是什么？ 自己說 通過類比歸納，完成從特
殊到一般的認識、體現(xiàn)數(shù)學認識的一般過程。
7、鞏固練習 ⑴求12邊形的內(nèi)角和度數(shù) ⑵如果12邊形的每一個內(nèi)角相等，那么每個內(nèi)角是多少度 ⑶已知多
邊形的內(nèi)角和為 1800°，這個多邊形是幾邊形？老師巡視、指導。 集體做，三個學生上黑板做并請請其他
同學講評 加深對公式的理解
三、總結 本節(jié)課我們學習了多邊形的內(nèi)角和公式，重點是它的推導過程，我們采取的方法是通過對角線劃
分，把多邊形分成若干個三角形，利用熟悉的三角形內(nèi)角和來做，從特殊的多邊形歸納出n多邊形的內(nèi)角和公
式是（n－2）·180°這種學習方法我們在今后的學習過程中要學用、會用。 學生和老師一起總結 再次強調(diào)
推導公式方法
四、延伸，提高練習（時間不夠放在課外） ⑴投影：在n邊形一邊上任取一點P，連結點P與多邊形的每一個
頂點，查得幾個三角形，圖中取n=6的情形，你能否根據(jù)這樣的劃分多邊形的方法來說明n邊形的內(nèi)角和等于
（n－2）·180°（教師參與討論）⑵想一想是否還有其它的劃分方法？ ⑴全班交流、匯報⑵小組討論、匯
報 掌握轉(zhuǎn)化思想
教學反思：如何營造良好的學習氛圍，發(fā)揮學生的學習積極性與創(chuàng)造性？。
老師要放下威嚴的架子，從教學壟斷者轉(zhuǎn)變?yōu)榻M織引導者，這也正是課程改革新形勢下的教師必須做到的一
點，只有這樣，才能建立平等的民主的師生關系，從而使老師在學生中產(chǎn)生強烈的感召力，使教學不再是冷
冰冰的理智活動，而是學生全身心投入的、充滿激情的學習活動。本課通過從多邊形的一個頂點引出的對角
線把多邊形分成n-2個三角形，得出：n邊形的內(nèi)角和為(n－2)X180°。得出結論后，老師并沒有到此就結束，
而是鼓勵學生進行探究。讓學生試著在多邊形內(nèi)任取一點，由這點向各頂點連線，是否也能推導出內(nèi)角和公
式呢?學生們一下子來了興趣，紛紛在練習本上畫圖、研究，有的學生相互之間還進行了討論，進行新的探討。
不多時，學生甲興奮地站了起來，說出了他的推導方法：有幾條邊就能分成幾個三角形，這些三角形所有內(nèi)
角和為nX180°。由于以點p為頂點的周角不屬于多邊形的內(nèi)角，應從中減去，從而就得出n邊形的內(nèi)角和是(
n－2)X180°。接著老師對他進行了鼓勵，和全班同學為他鼓掌祝賀，這個同學的高興勁就甭提了。同時全班
學生也對此問題產(chǎn)生了極大的興趣。這時，學生乙(是個女生)也站了起來，“老師，我還有第三種方法”。
她很自信地說出了她推導的道理，并要求到黑板前畫圖講解，老師又對她進行了鼓勵，“好，你來當老師，
我做學生”。只見她在黑板上畫了圖，又在其中一邊上取一點p，然后向各頂點連線，也得到了多個三角形，
分割成的三角形的個數(shù)比邊數(shù)少1，所以這些三角形所有的內(nèi)角和為(n－1)X180°，由于所有三角形的其中一
個頂點都在點p上，組成一個平角，不屬于多邊形的內(nèi)角，應減去，因此，多邊形的內(nèi)角和為(n－1)X180°－
180°，即為(n－2)X180°。這時，全班學生禁不住鼓起掌，老師也為這個學生高興地鼓掌?？吹綄W生研究問
題的興趣很濃，老師順水推舟，激勵學生們繼續(xù)探究，既然已有了三種方法，那么有沒有第四種方法呢?學生
們這時的興致更濃了，開始討論、探究。過了不久，學生丙站起來，鄭重地向全班學生說：“第四種方法有
了!”其他學生迫不及待地想知道他的想法，就連老師當時也沒想到他能找到第四種方法。他高興地走到黑板
前，拿起粉筆在黑板上畫了個多邊形，在多邊形的外邊取了個點p，然后從點p向和它不相鄰的頂點連線，這
樣，把多邊形分成了2個三角形和(n—3)個四邊形，這2個三角形的內(nèi)角和為180°X2，(n－3)個四邊形的內(nèi)角
和為(n－3)X 360°，總和為180°X2+(n－3)X 360°，在這個總和里，連了幾條線，就多了幾個平角，應減
去。n邊形能連(n－2)條，所以減(n－2)個平角，即180°X2+(n－3)X 360°－(n－2)X180°等于(n－2)X180
°。這時，整個教室里又爆發(fā)出更熱烈更長久的掌聲?？上攵藭r同學們的心情是多么激動啊，在他們
心目中，數(shù)學已經(jīng)不再是那么枯燥無味了?；蛟S，他們感覺到數(shù)學離他們那么近，那么有趣，又那么奇妙。
掌聲之后，老師鼓勵同學們，數(shù)學的奧秘很深，永無止境，你不研究它，感到枯燥，你研究它，感到趣味無
窮。 多邊形的內(nèi)角和
教學目標
1．理解多邊形及有關概念，掌握多邊形內(nèi)角和定理及推論，理解其推導過程，并能較熟練地使用它們進行有關計算。
2．在多邊形內(nèi)角和定理的推導過程中，培養(yǎng)學生類比、轉(zhuǎn)化、歸納的科學思想方法；在定理及推論的應用過程中培養(yǎng)建立方程的思想。
教學重點和難點
重點是多邊形內(nèi)角和定理及推論的應用。
難點是多邊形內(nèi)角和定理的推導及運用方程的思想來解決多邊形內(nèi)、外角的計算。
教學過程設計
一、多邊形及有關要領的教學
1．復習四邊形、凸多邊形及有關概念。 F
2．通過實例引入多邊形、凸多邊形及明關概念。 A
（1）舉出生活中多邊形的實例；
?。?）類比定義多邊形式、凸多邊形的概念，并指出如果 B E
沒有特別說明，多邊形一般指凸多邊形；
?。?） 將四邊形的有關概念逐項擴展到多邊形情況，如頂 C D
點、邊、內(nèi)角、對角線表示方法等； 圖 4-10
?。?）簡單練習，鞏固多邊形的表示方法及有關元素的辨認。
（投影）練習1 填空：如圖4-10，此多邊形應記作
邊形 ，AB邊的鄰邊有 、 ，頂點F處的內(nèi)角為 ，畫出頂點D處的兩個外角，過頂點A畫出這個多邊形的對角線，共有 條，它們把多邊形分在了 個三角形，這個多邊形共有
條對角線。
二、探索凸多邊形的內(nèi)角和的性質(zhì)并進行推導
1．提出問題。
由三角形內(nèi)角和為180°，四邊形內(nèi)角和為360° ，猜想多邊形的內(nèi)角和度數(shù)與邊數(shù)有關。具體是什么關系？
2．啟發(fā)學生猜想證明的思路。
?。?）復習四邊形內(nèi)角和定理的證明過程，強調(diào)把四邊形分割成三角形，從而“把四邊形內(nèi)角和轉(zhuǎn)化為三角形內(nèi)角和來研究”這種化歸的思想。
?。?）引導學生類比聯(lián)想，用化歸的思想和從特殊到一般的方法研究五邊形、六邊形、七邊形……的情況。
?、俳處煈獛椭鷮W生分析出解決問題的關鍵是多邊形分割轉(zhuǎn)化成有公共頂點的三角形的方法，以及割成三角形的個數(shù)與多邊數(shù)的關系；
?、谝龑W生認識分割方法的多樣性（見設計說明），選擇其中較為簡單并順慶大部分學生認識過程的分割方法，推導五邊形、六邊形……的情況，歸納出n邊形內(nèi)角和的結論。
3．得到定理：n這形的內(nèi)角和等于（n-2）?180°。
說明：（1）多邊形的內(nèi)角和僅與邊數(shù)有關，與多邊形的大小、形狀無關；
?。?）強調(diào)凸多邊形的內(nèi)角a的范圍：0°＜α＜180°。
三、凸多邊形外角和性質(zhì)的猜想和推導
1．復習多邊形外角和的含義及三角形、四邊形外角和的性質(zhì)，猜想凸多邊形的外角和的結論。
2．以六邊形為例，推導外角和性質(zhì)。
3．將推導方法推廣到一般情況，得出結論：任意多邊形的外角和等于360°。
4．教師強調(diào)“任意”兩字，說明書凸多邊形的外角和與邊數(shù)無磁，因此，比內(nèi)角和定理使用起來更為方便。
四、應用舉例、變式練習
例1（1）22邊形的內(nèi)角和是多少度？若它的每一個內(nèi)角都相等，那么它的
每個外角度數(shù)是多少？
?。?） 幾邊形的內(nèi)角和是八邊形內(nèi)角和的2倍？
（4）已知一個多邊形，它的內(nèi)角和等于外角和的2倍，求邊數(shù)。
分析：
?、僖龑W生利用方程的思想，根據(jù)多邊形的內(nèi)角和、外角和的性質(zhì)及題目中提供的等量關系得出關于未知數(shù)的方程去求解；
?、趯τ诶枚噙呅蝺?nèi)角和公式反求國數(shù)的題目，需注意：只有求出的邊數(shù)n是大于2的正整數(shù)時，問題才有解；
?、垤`活運用“多邊形的我角和與邊數(shù)無關的性質(zhì)”簡化計算。
例2 （1）已知多邊形的每個內(nèi)角都是135°，求這個多邊形的邊數(shù)；
?。?）每個外角都相等的多邊形，如果它的一個內(nèi)角等于一個外角的9倍，求這個多邊形的邊數(shù)。
分析：
①每個內(nèi)角或外角都相等的多邊形，它的每個內(nèi)角為（n-2）?180°/n，從而利用360°/n，利用這兩點就可以列出關于邊數(shù)n的方程，其中第二種方法較為簡單。
?、趯τ诘冢?）題，可將“每個角都是135°”轉(zhuǎn)達化為“每個外角都為45°”，從而利用360°/n=45°，得出n的值為8。
?、廴粼O邊數(shù)為n，則方程為（n-2）?180°/n=9×360°/n得出n=20。
?。ㄟx用）例3 （1）某多邊形除一個內(nèi)角a外，其余內(nèi)角的和是2 750°。求這個多邊形的邊數(shù)。
?。?）已知n邊形恰有四個內(nèi)角是鈍角。這種多邊形共有多少個？其中邊數(shù)最少的是幾邊形？邊數(shù)最多的是幾邊形？
分析：利用多邊形每個內(nèi)角a的范圍，0°＜α＜180°，以及題目所提供的角度關系列不等式解決問題。
解：（1）由題意得（n-2）?180°=α+2 750°，∴α=（n-2）?180°-2 750°。
又∵0°＜α＜180°，∴0°＜（n-2）?180°-2 750°＜180°，
∴17 5/18＜n＜18 5/18。
因此這個多邊形為18邊形。
（2）設四個鈍角分別為α，β，γ，δ。則
∵360°＜α+β+γ+δ＜720°。
而另外n-4個內(nèi)角都是直角或銳角，
∴（n-4）×0°＜其余（n-4）個內(nèi)角的和≤（n-4）×90°，
∴360°＜（n-2）?180°＜720°+（n-4）×90°，
即360°＜（n-2）?180°＜720°+（n-4）×90°，∴4＜n＜8。
∵4＜n＜8的整數(shù)n有5，6，7三個，
∴這樣的多邊形共有三個，其邊數(shù)最小的是五邊形，邊數(shù)最多的七邊形。
補充練習：
1．幾邊形的內(nèi)角和與外角和之比是7∶2？（答：9）
2．已知一個多邊形的每個內(nèi)角都是鈍角，這樣的多邊形有多少個？每個內(nèi)角都是銳角的多邊形有多少個？是幾邊形？每個內(nèi)角都是直角的多邊形有幾個？是幾邊形？（答：無數(shù)個；一個，三角形；一個，四邊形）
3．多邊形最多有幾個外角是鈍角？最多有幾個內(nèi)角是銳角？（答：3個；3個）
多邊形的內(nèi)角和
[教學目標]
1、 認知目標：理解多邊形有關概念；
理解多邊形內(nèi)角和公式的推導過程；
掌握多邊形內(nèi)角和的計算。
2、 能力目標：掌握類比歸納、轉(zhuǎn)化的學習方法；
培養(yǎng)學生思考、解決問題的能力。
[教具、學具]
投影片、表格紙、n邊形若干（分組每人準備一種三張，n=4，5，6，7）
量角器、剪刀
[教學過程]
教學步驟 教師活動 學生活動 設計意圖
一、多邊形概念 1、了解概念 ⑴請同學們回憶一下怎樣的圖形是三角形？ ⑵那么怎樣的圖形叫做四邊形？ ⑶出示 分別叫什么？ ⑷四邊形、五邊形、六邊形都是多邊形，同學們再想一想，
你能舉出多邊形的例子嗎？ 悄悄說，后個別回答⑵同學舉手指名答⑶齊答 ⑷兩兩互說 學生利用三角形、
四邊形的定義進行知識遷移，獲得多邊形的概念。
2、 理解概念的特征 ⑴投影顯示多邊形，n邊形的概念，老師強調(diào)一遍。 ⑵投影顯示：下列哪些圖形是多
邊形？是多邊形的請說明是幾邊形？ ⑶下面進一步學習一些概念：多邊形的對角線，在（b）（c）上畫出
并口述概念， 同學們請在準備的一張圖形上畫出至少一條對角線。 ⑷觀察（b）（c）對角線位置有何不同？ ⑸進而提出凸多邊形概念，今后如果不說明，我們講的多邊形都是凸多邊形。 ⑵齊答 個別答 ⑶先獨立
畫后同桌交流 ⑷四人組討論一分鐘，組長回答 利用圖示幫助學生理解概念及對n的認識，通過比較辨析強
化凸多邊形的特征。
二、公式推導1、提出問題 ⑴我們知道三角形內(nèi)角和是多少？ ⑵那么四邊形、五邊形、常見的六邊形螺帽
的內(nèi)角和是多少呢？多邊形的內(nèi)角和有沒有計算方法呢？這就是我們這節(jié)課研究的課題。板書課題：多邊形
的內(nèi)角和 ⑴齊答 ⑵引發(fā)學生思考 創(chuàng)設情景，激發(fā)學生興趣，并揭示課題。
2、動手操作實踐，自己探索 ⑴請同學們利用數(shù)學工具，先把你們手上的多邊形的內(nèi)角和計算出來，并完成
表格（同桌多邊形邊數(shù)不一樣）老師巡視、指導可能有的方法：⑴用量角器量角 ⑵用剪刀剪成三角形或四
邊形 ⑶畫對角線分割多邊形為三角形 逐步啟發(fā)得到最佳方法： 通過對角線劃分成三角形，轉(zhuǎn)化為利用
三角形內(nèi)角和求出。 ⑴自己動手、動腦 學生利用學具進行操作、思考、解決問題的多種方法，提供學生
主動探索的時間、空間。
3、觀察、尋找規(guī)律 ⑴請問同學們求出的內(nèi)角和是多少？⑵你是用什么方法求出來的呢？有幾種方法？哪種
方法最好呢？ ⑶交流表格。 ⑷四、五、六、七邊形內(nèi)角和之間有何規(guī)律？ ⑴對不同邊數(shù)多邊形分別請同
學回答 ⑵舉手請同學上講臺講⑶交流 ⑷四人小組討論，組長發(fā)言 體現(xiàn)“有方法、方法多、方法好”的教
學層次，通過填表便于學生尋找規(guī)律，發(fā)現(xiàn)內(nèi)在聯(lián)系，進一步可做出猜想。
4、猜想 那么對于n邊形猜想一下內(nèi)角和計算公式是什么？（老師參與討論） 小組之間討論，組長發(fā)言
鼓勵學生大膽猜想、大膽發(fā)現(xiàn)。
5、驗證 ⑴就我們已求出的特殊多邊形的內(nèi)角和，通過公式再求一次是否相符 ⑵請同學們自己舉一個例子
驗證一下對不對？有沒有反例？ ⑴獨立舉例檢驗⑵兩兩交流
6、小結歸納 通過動手操作，我們找到了解決問題的幾種方法，知道利用多邊形的對角線將多邊形劃分成三
角形轉(zhuǎn)化為利用三角形內(nèi)角和來求多邊形內(nèi)角和的方法最好。又通過尋找規(guī)律，猜想發(fā)現(xiàn)多邊形內(nèi)角和計算
方法，并加以驗證，接著就可以從特殊到一般歸納出計算公式是什么？ 自己說 通過類比歸納，完成從特
殊到一般的認識、體現(xiàn)數(shù)學認識的一般過程。
7、鞏固練習 ⑴求12邊形的內(nèi)角和度數(shù) ⑵如果12邊形的每一個內(nèi)角相等，那么每個內(nèi)角是多少度 ⑶已知多
邊形的內(nèi)角和為 1800°，這個多邊形是幾邊形？老師巡視、指導。 集體做，三個學生上黑板做并請請其他
同學講評 加深對公式的理解
三、總結 本節(jié)課我們學習了多邊形的內(nèi)角和公式，重點是它的推導過程，我們采取的方法是通過對角線劃
分，把多邊形分成若干個三角形，利用熟悉的三角形內(nèi)角和來做，從特殊的多邊形歸納出n多邊形的內(nèi)角和公
式是（n－2）·180°這種學習方法我們在今后的學習過程中要學用、會用。 學生和老師一起總結 再次強調(diào)
推導公式方法
四、延伸，提高練習（時間不夠放在課外） ⑴投影：在n邊形一邊上任取一點P，連結點P與多邊形的每一個
頂點，查得幾個三角形，圖中取n=6的情形，你能否根據(jù)這樣的劃分多邊形的方法來說明n邊形的內(nèi)角和等于
?。╪－2）·180°（教師參與討論）⑵想一想是否還有其它的劃分方法？ ⑴全班交流、匯報⑵小組討論、匯
報 掌握轉(zhuǎn)化思想
教學反思：如何營造良好的學習氛圍，發(fā)揮學生的學習積極性與創(chuàng)造性？。
老師要放下威嚴的架子，從教學壟斷者轉(zhuǎn)變?yōu)榻M織引導者，這也正是課程改革新形勢下的教師必須做到的一
點，只有這樣，才能建立平等的民主的師生關系，從而使老師在學生中產(chǎn)生強烈的感召力，使教學不再是冷
冰冰的理智活動，而是學生全身心投入的、充滿激情的學習活動。本課通過從多邊形的一個頂點引出的對角
線把多邊形分成n-2個三角形，得出：n邊形的內(nèi)角和為(n－2)X180°。得出結論后，老師并沒有到此就結束，
而是鼓勵學生進行探究。讓學生試著在多邊形內(nèi)任取一點，由這點向各頂點連線，是否也能推導出內(nèi)角和公
式呢?學生們一下子來了興趣，紛紛在練習本上畫圖、研究，有的學生相互之間還進行了討論，進行新的探討。
不多時，學生甲興奮地站了起來，說出了他的推導方法：有幾條邊就能分成幾個三角形，這些三角形所有內(nèi)
角和為nX180°。由于以點p為頂點的周角不屬于多邊形的內(nèi)角，應從中減去，從而就得出n邊形的內(nèi)角和是(
n－2)X180°。接著老師對他進行了鼓勵，和全班同學為他鼓掌祝賀，這個同學的高興勁就甭提了。同時全班
學生也對此問題產(chǎn)生了極大的興趣。這時，學生乙(是個女生)也站了起來，“老師，我還有第三種方法”。
她很自信地說出了她推導的道理，并要求到黑板前畫圖講解，老師又對她進行了鼓勵，“好，你來當老師，
我做學生”。只見她在黑板上畫了圖，又在其中一邊上取一點p，然后向各頂點連線，也得到了多個三角形，
分割成的三角形的個數(shù)比邊數(shù)少1，所以這些三角形所有的內(nèi)角和為(n－1)X180°，由于所有三角形的其中一
個頂點都在點p上，組成一個平角，不屬于多邊形的內(nèi)角，應減去，因此，多邊形的內(nèi)角和為(n－1)X180°－
180°，即為(n－2)X180°。這時，全班學生禁不住鼓起掌，老師也為這個學生高興地鼓掌?？吹綄W生研究問
題的興趣很濃，老師順水推舟，激勵學生們繼續(xù)探究，既然已有了三種方法，那么有沒有第四種方法呢?學生
們這時的興致更濃了，開始討論、探究。過了不久，學生丙站起來，鄭重地向全班學生說：“第四種方法有
了!”其他學生迫不及待地想知道他的想法，就連老師當時也沒想到他能找到第四種方法。他高興地走到黑板
前，拿起粉筆在黑板上畫了個多邊形，在多邊形的外邊取了個點p，然后從點p向和它不相鄰的頂點連線，這
樣，把多邊形分成了2個三角形和(n—3)個四邊形，這2個三角形的內(nèi)角和為180°X2，(n－3)個四邊形的內(nèi)角
和為(n－3)X 360°，總和為180°X2+(n－3)X 360°，在這個總和里，連了幾條線，就多了幾個平角，應減
去。n邊形能連(n－2)條，所以減(n－2)個平角，即180°X2+(n－3)X 360°－(n－2)X180°等于(n－2)X180
°。這時，整個教室里又爆發(fā)出更熱烈更長久的掌聲?？上攵?，此時同學們的心情是多么激動啊，在他們
心目中，數(shù)學已經(jīng)不再是那么枯燥無味了。或許，他們感覺到數(shù)學離他們那么近，那么有趣，又那么奇妙。
掌聲之后，老師鼓勵同學們，數(shù)學的奧秘很深，永無止境，你不研究它，感到枯燥，你研究它，感到趣味無
窮。
