定義
在一個等式中，只含有一個未知數(shù)，且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的整式方程叫做一元二次方程。
一元二次方程有三個特點：(1)只含有一個未知數(shù)；(2)未知數(shù)的最高次數(shù)是2；(3)是整式方程．要判斷一個方程是否為一元二次方程，先看它是否為整式方程，若是，再對它進行整理．如果能整理為 ax^2+bx+c=0(a≠0)的形式，則這個方程就為一元二次方程．
ax^2+bx+c=0（a、b、c是實數(shù)a≠0)
x^2+2x+1=0
1..配方法（可解所有一元二次方程）
2.
公式法（可解所有一元二次方程）
3.因式分解法（可解部分一元二次方程）
4.開方法（可解部分一元二次方程）一元二次方程的解法實在不行(你買個卡西歐的fx-500或991的計算器 有解方程的，不過要一般形式)
一、知識要點：
一元二次方程和一元一次方程都是整式方程，它是初中數(shù)學(xué)的一個重點內(nèi)容，也是今后學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的基
礎(chǔ)，應(yīng)引起同學(xué)們的重視。
一元二次方程的一般形式為：ax2+bx+c=0, (a≠0)，它是只含一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2
的整式方程。
解一元二次方程的基本思想方法是通過“降次”將它化為兩個一元一次方程。一元二次方程有四種解
法：1、直接開平方法；2、配方法；3、公式法；4、因式分解法。
二、方法、例題精講：
1、直接開平方法：
直接開平方法就是用直接開平方求解一元二次方程的方法。用直接開平方法解形如(x-m)2=n (n≥0)的
方程，其解為x=m± .
例1．解方程（1）(3x+1)2=7 （2）9x2-24x+16=11
分析：（1）此方程顯然用直接開平方法好做，（2）方程左邊是完全平方式(3x-4)2，右邊=11>0，所以
此方程也可用直接開平方法解。
?。?）解：(3x+1)2=7
∴(3x+1)2=7
∴3x+1=±√7(注意不要丟解)
∴x= ...
∴原方程的解為x1=...,x2= ...
?。?）解： 9x2-24x+16=11
∴(3x-4)2=11
∴3x-4=±√11
∴x= ...
∴原方程的解為x1=...,x2= ...
2．配方法：用配方法解方程ax2+bx+c=0 (a≠0)
先將固定數(shù)c移到方程右邊：ax2+bx=-c
將二次項系數(shù)化為1：x2+x=-
方程兩邊分別加上一次項系數(shù)的一半的平方：x2+x+( )2=- +( )2
方程左邊成為一個完全平方式：(x+ )2=
當(dāng)b2-4ac≥0時，x+ =±
∴x=...(這就是求根公式)
例2．用配方法解方程 3x2-4x-2=0
解：將常數(shù)項移到方程右邊 3x2-4x=2
將二次項系數(shù)化為1：x2-x=
方程兩邊都加上一次項系數(shù)一半的平方：x2-x+( )2= +( )2
配方：(x-)2=
直接開平方得：x-=±
∴x=
∴原方程的解為x1=,x2= .
3．公式法：把一元二次方程化成ax^2+bx+c的一般形式，然后把各項系數(shù)a, b, c的值代入求根公式就可得到方程的根。
當(dāng)b^2-4ac>0時，求根公式為x1=-b+√(b^2-4ac)/2a,x2==-b-√(b^2-4ac)/2a（兩個不相等的實數(shù)根）
當(dāng)b^2-4ac=0時，求根公式為x1=x2=-b/2a（兩個相等的實數(shù)根）
當(dāng)b^2-4ac<0時，求根公式為x1=-b+√(4ac-b^2)i,x2=-b-√(4ac-b^2)i（兩個共軛的虛數(shù)根）（初中理解為無實數(shù)根）
例3．用公式法解方程 2x2-8x=-5
解：將方程化為一般形式：2x2-8x+5=0
∴a=2, b=-8, c=5
b^2-4ac=(-8)2-4×2×5=64-40=24>0
∴x= = =
∴原方程的解為x1=,x2= .
4．因式分解法：把方程變形為一邊是零，把另一邊的二次三項式分解成兩個一次因式的積的形式，讓
兩個一次因式分別等于零，得到兩個一元一次方程，解這兩個一元一次方程所得到的根，就是原方程的兩個
根。這種解一元二次方程的方法叫做因式分解法。
例4．用因式分解法解下列方程：
(1) (x+3)(x-6)=-8 (2) 2x2+3x=0
(3) 6x2+5x-50=0 (選學(xué)） (4)x2-2( + )x+4=0 （選學(xué)）
(1)解：(x+3)(x-6)=-8 化簡整理得
x2-3x-10=0 (方程左邊為二次三項式，右邊為零)
(x-5)(x+2)=0 (方程左邊分解因式)
∴x-5=0或x+2=0 (轉(zhuǎn)化成兩個一元一次方程)
∴x1=5,x2=-2是原方程的解。
(2)解：2x2+3x=0
x(2x+3)=0 (用提公因式法將方程左邊分解因式)
∴x=0或2x+3=0 (轉(zhuǎn)化成兩個一元一次方程)
∴x1=0，x2=-是原方程的解。
注意：有些同學(xué)做這種題目時容易丟掉x=0這個解，應(yīng)記住一元二次方程有兩個解。
(3)解：6x2+5x-50=0
(2x-5)(3x+10)=0 (十字相乘分解因式時要特別注意符號不要出錯)
∴2x-5=0或3x+10=0
∴x1=, x2=- 是原方程的解。
(4)解：x2-2(+ )x+4 =0 （∵4 可分解為2 ·2 ，∴此題可用因式分解法）
(x-2)(x-2 )=0
∴x1=2 ,x2=2是原方程的解。
小結(jié)：
一般解一元二次方程，最常用的方法還是因式分解法，在應(yīng)用因式分解法時，一般要先將方程寫成一般
形式，同時應(yīng)使二次項系數(shù)化為正數(shù)。
直接開平方法是最基本的方法。
公式法和配方法是最重要的方法。公式法適用于任何一元二次方程（有人稱之為萬能法），在使用公式
法時，一定要把原方程化成一般形式，以便確定系數(shù)，而且在用公式前應(yīng)先計算判別式的值，以便判斷方程
是否有解。
配方法是推導(dǎo)公式的工具，掌握公式法后就可以直接用公式法解一元二次方程了，所以一般不用配方法
解一元二次方程。但是，配方法在學(xué)習(xí)其他數(shù)學(xué)知識時有廣泛的應(yīng)用，是初中要求掌握的三種重要的數(shù)學(xué)方
法之一，一定要掌握好。（三種重要的數(shù)學(xué)方法：換元法，配方法，待定系數(shù)法）。
例5．用適當(dāng)?shù)姆椒ń庀铝蟹匠獭?選學(xué)）
?。?）4(x+2)2-9(x-3)2=0 （2）x2+(2-)x+ -3=0
?。?） x2-2 x=- （4）4x2-4mx-10x+m2+5m+6=0
分析：（1）首先應(yīng)觀察題目有無特點，不要盲目地先做乘法運算。觀察后發(fā)現(xiàn)，方程左邊可用平方差
公式分解因式，化成兩個一次因式的乘積。
?。?）可用十字相乘法將方程左邊因式分解。
（3）化成一般形式后利用公式法解。
?。?）把方程變形為 4x2-2(2m+5)x+(m+2)(m+3)=0，然后可利用十字相乘法因式分解。
（1）解：4(x+2)2-9(x-3)2=0
[2(x+2)+3(x-3)][2(x+2)-3(x-3)]=0
(5x-5)(-x+13)=0
5x-5=0或-x+13=0
∴x1=1,x2=13
?。?）解： x2+(2- )x+ -3=0
[x-(-3)](x-1)=0
x-(-3)=0或x-1=0
∴x1=-3，x2=1
（3）解：x2-2 x=-
x2-2 x+ =0 (先化成一般形式)
△=(-2 )2-4 ×=12-8=4>0
∴x=
∴x1=,x2=
?。?）解：4x2-4mx-10x+m2+5m+6=0
4x2-2(2m+5)x+(m+2)(m+3)=0
[2x-(m+2)][2x-(m+3)]=0
2x-(m+2)=0或2x-(m+3)=0
∴x1= ,x2=
例6．求方程3(x+1)2+5(x+1)(x-4)+2(x-4)2=0的二根。 (選學(xué)）
分析：此方程如果先做乘方，乘法，合并同類項化成一般形式后再做將會比較繁瑣，仔細(xì)觀察題目，我
們發(fā)現(xiàn)如果把x+1和x-4分別看作一個整體，則方程左邊可用十字相乘法分解因式（實際上是運用換元的方
法）
解：[3(x+1)+2(x-4)][(x+1)+(x-4)]=0
即 (5x-5)(2x-3)=0
∴5(x-1)(2x-3)=0
(x-1)(2x-3)=0
∴x-1=0或2x-3=0
∴x1=1,x2=是原方程的解。
例7．用配方法解關(guān)于x的一元二次方程x2+px+q=0
解：x2+px+q=0可變形為
x2+px=-q (常數(shù)項移到方程右邊)
x2+px+( )2=-q+()2 (方程兩邊都加上一次項系數(shù)一半的平方)
(x+)2= (配方)
當(dāng)p2-4q≥0時，≥0（必須對p2-4q進行分類討論）
∴x=- ±=
∴x1= ,x2=
當(dāng)p2-4q<0時，<0此時原方程無實根。
說明：本題是含有字母系數(shù)的方程，題目中對p, q沒有附加條件，因此在解題過程中應(yīng)隨時注意對字母
取值的要求，必要時進行分類討論。
練習(xí)：
（一）用適當(dāng)?shù)姆椒ń庀铝蟹匠蹋?
1. 6x2-x-2=0 2. (x+5)(x-5)=3
3. x2-x=0 4. x2-4x+4=0
5. 3x2+1=2x 6. (2x+3)2+5(2x+3)-6=0
?。ǘ┙庀铝嘘P(guān)于x的方程
1.x2-ax+-b2=0 2. x2-( + )ax+ a2=0
練習(xí)參考答案：
（一）1.x1=- ,x2= 2.x1=2,x2=-2
3.x1=0,x2= 4.x1=x2=2 5.x1=x2=
6.解：（把2x+3看作一個整體，將方程左邊分解因式）
[(2x+3)+6][(2x+3)-1]=0
即 (2x+9)(2x+2)=0
∴2x+9=0或2x+2=0
∴x1=-,x2=-1是原方程的解。
?。ǘ?．解：x2-ax+( +b)( -b)=0 2、解：x2-(+ )ax+ a· a=0
[x-( +b)] [x-( -b)]=0 (x- a)(x-a)=0
∴x-( +b)=0或x-( -b) =0 x- a=0或x-a=0
∴x1= +b，x2= -b是 ∴x1= a，x2=a是
原方程的解。 原方程的解。
測試(有答案在下面)
選擇題
1．方程x(x-5)=5(x-5)的根是（ ）
A、x=5 B、x=-5 C、x1=x2=5 D、x1=x2=-5
2．多項式a2+4a-10的值等于11，則a的值為（ ）。
A、3或7 B、-3或7 C、3或-7 D、-3或-7
3．若一元二次方程ax2+bx+c=0中的二次項系數(shù)，一次項系數(shù)和常數(shù)項之和等于零，那么方程必有一個
根是（ ）。
A、0 B、1 C、-1 D、±1
4． 一元二次方程ax2+bx+c=0有一個根是零的條件為（ ）。
A、b≠0且c=0 B、b=0且c≠0
C、b=0且c=0 D、c=0
5． 方程x2-3x=10的兩個根是（ ）。
A、-2，5 B、2，-5 C、2，5 D、-2，-5
6． 方程x2-3x+3=0的解是（ ）。
A、 B、 C、 D、無實根
7． 方程2x2-0.15=0的解是（ ）。
A、x= B、x=-
C、x1=0.27, x2=-0.27 D、x1=, x2=-
8． 方程x2-x-4=0左邊配成一個完全平方式后，所得的方程是（ ）。
A、(x-)2= B、(x- )2=-
C、(x- )2= D、以上答案都不對
9． 已知一元二次方程x2-2x-m=0，用配方法解該方程配方后的方程是（ ）。
A、(x-1)2=m2+1 B、(x-1)2=m-1 C、(x-1)2=1-m D、(x-1)2=m+1
答案與解析
答案：1.C 2.C 3.B 4.D 5.A 6.D 7.D 8.C 9.D
解析：
1．分析：移項得：(x-5)2=0，則x1=x2=5,
注意：方程兩邊不要輕易除以一個整式，另外一元二次方程有實數(shù)根，一定是兩個。
2．分析：依題意得：a2+4a-10=11, 解得 a=3或a=-7.
3．分析：依題意：有a+b+c=0, 方程左側(cè)為a+b+c, 且具僅有x=1時， ax2+bx+c=a+b+c，意味著當(dāng)x=1
時，方程成立，則必有根為x=1。
4．分析：一元二次方程 ax2+bx+c=0若有一個根為零，
則ax2+bx+c必存在因式x，則有且僅有c=0時，存在公因式x，所以 c=0.
另外，還可以將x=0代入，得c=0，更簡單！
5．分析：原方程變?yōu)?x2-3x-10=0,
則(x-5)(x+2)=0
x-5=0 或x+2=0
x1=5, x2=-2.
6．分析：Δ=9-4×3=-3<0，則原方程無實根。
7．分析：2x2=0.15
x2=
x=±
注意根式的化簡，并注意直接開平方時，不要丟根。
8．分析：兩邊乘以3得：x2-3x-12=0，然后按照一次項系數(shù)配方，x2-3x+(-)2=12+(- )2，
整理為：(x-)2=
方程可以利用等式性質(zhì)變形，并且 x2-bx配方時，配方項為一次項系數(shù)-b的一半的平方。
9．分析：x2-2x=m, 則 x2-2x+1=m+1
則(x-1)2=m+1.
中考解析
考題評析
1．（甘肅省）方程的根是（ ）
?。ˋ） （B） （C） 或 （D） 或
評析：因一元二次方程有兩個根，所以用排除法，排除A、B選項，再用驗證法在C、D選項中選出正確
選項。也可以用因式分解的方法解此方程求出結(jié)果對照選項也可以。選項A、B是只考慮了一方面忘記了一元
二次方程是兩個根，所以是錯誤的，而選項D中x=－1，不能使方程左右相等，所以也是錯誤的。正確選項為
C。
另外常有同學(xué)在方程的兩邊同時除以一個整式，使得方程丟根，這種錯誤要避免。
2．（吉林?。┮辉畏匠痰母莀_________。
評析：思路，根據(jù)方程的特點運用因式分解法，或公式法求解即可。
3．（遼寧省）方程的根為（ ）
?。ˋ）0 （B）–1 （C）0，–1 （D）0，1
評析：思路：因方程為一元二次方程，所以有兩個實根，用排除法和驗證法可選出正確選項為C，而A、
B兩選項只有一個根。D選項一個數(shù)不是方程的根。另外可以用直接求方程根的方法。
4．（河南省）已知x的二次方程的一個根是–2，那么k=__________。
評析：k=4.將x=-2代入到原方程中去，構(gòu)造成關(guān)于k的一元二次方程，然后求解。
5．（西安市）用直接開平方法解方程(x-3)2=8得方程的根為（ ）
?。ˋ）x=3+2 （B）x=3-2
?。–）x1=3+2 ,x2=3-2 （D）x1=3+2,x2=3-2
評析：用解方程的方法直接求解即可，也可不計算，利用一元二次方程有解，則必有兩解及8的平方
根，即可選出答案。
課外拓展
一元二次方程
一元二次方程（quadratic equation of one variable）是指含有一個未知數(shù)且未知數(shù)的最高次項是二
次的整式方程。 一般形式為
ax2+bx+c=0, (a≠0)
在公元前兩千年左右，一元二次方程及其解法已出現(xiàn)于古巴比倫人的泥板文書中：求出一個數(shù)使它與它
的倒數(shù)之和等于 一個已給數(shù)，即求出這樣的x與，使
x=1, x+ =b,
x2-bx+1=0,
他們做出( )2；再做出 ，然后得出解答：+ 及 - ?？梢姲捅葌惾艘阎酪辉?
方程的求根公式。但他們當(dāng)時并不接受 負(fù)數(shù)，所以負(fù)根是略而不提的。
埃及的紙草文書中也涉及到最簡單的二次方程，例如：ax2=b。
在公元前4、5世紀(jì)時，我國已掌握了一元二次方程的求根公式。
希臘的丟番圖（246-330）卻只取二次方程的一個正根，即使遇到兩個都是正根的情況，他亦只取其中
之一。
公元628年，從印度的婆羅摩笈多寫成的《婆羅摩修正體系》中，得到二次方程x2+px+q=0的一個求根公
式。
在阿拉伯阿爾．花拉子米的《代數(shù)學(xué)》中討論到方程的解法，解出了一次、二次方程，其中涉及到六種
不同的形式，令 a、b、c為正數(shù)，如ax2=bx、ax2=c、 ax2+c=bx、ax2+bx=c、ax2=bx+c 等。把二次方程分成
不同形式作討論，是依照丟番圖的做法。阿爾．花拉子米除了給出二次方程的幾種特殊解法外，還第一 次
給出二次方程的一般解法，承認(rèn)方程有兩個根，并有無理根存在，但卻未有虛根的認(rèn)識。十六世紀(jì)意大利的
數(shù)學(xué)家們?yōu)榱私馊畏匠潭_始應(yīng)用復(fù)數(shù)根。
韋達（1540-1603）除已知一元方程在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)恒有解外，還給出根與系數(shù)的關(guān)系。
我國《九章算術(shù)．勾股》章中的第二十題是通過求相當(dāng)于 x2+34x-71000=0的正根而解決的。我國數(shù)學(xué)
家還在方程的研究中應(yīng)用了內(nèi)插法。
一元二次方程的判斷式： b^2-4ac>0 方程有兩個不相等的實數(shù)根．
b^2-4ac＝0 方程有兩個相等的實數(shù)根．
b^2-4ac<0 方程有兩個共軛的虛數(shù)根（初中可理解為無實數(shù)根）．
上述由左邊可推出右邊，反過來也可由右邊推出左邊．
列一元二次方程解題的步驟
(1)分析題意，找到題中未知數(shù)和題給條件的相等關(guān)系；
(2)設(shè)未知數(shù)，并用所設(shè)的未知數(shù)的代數(shù)式表示其余的未知數(shù)；
(3)找出相等關(guān)系，并用它列出方程；
(4)解方程求出題中未知數(shù)的值；
(5)檢驗所求的答案是否符合題意，并做答．
經(jīng)典例題精講
1．對有關(guān)一元二次方程定義的題目，要充分考慮定義的三個特點，不要忽視二次項系數(shù)不為0．
2．解一元二次方程時，根據(jù)方程特點，靈活選擇解題方法，先考慮能否用直接開平方法和因式分解法，再考慮用公式法．
3．一元二次方程 (a≠0)的根的判別式正反都成立．利用其可以(1)不解方程判定方程根的情況；(2)根據(jù)參系數(shù)的性質(zhì)確定根的范圍；(3)解與根有關(guān)的證明題．
4．一元二次方程根與系數(shù)的應(yīng)用很多：(1)已知方程的一根，不解方程求另一根及參數(shù)系數(shù)；(2)已知方程，求含有兩根對稱式的代數(shù)式的值及有關(guān)未知數(shù)系數(shù)；(3)已知方程兩根，求作以方程兩根或其代數(shù)式為根的一元二次方程．
韋達（Vieta's ，F(xiàn)rancois，seigneurdeLa Bigotiere）1540年出生于法國普瓦捷,1603年12月13日卒于巴黎。早年在普法捷學(xué)習(xí)法律，后任律師，1567年成為議會的議員。在對西班牙的戰(zhàn)爭中曾為政府破譯敵軍的密碼，贏得很高聲譽。法國十六世紀(jì)最有影響的數(shù)學(xué)家之一。第一個引進系統(tǒng)的代數(shù)符號，并對方程論做了改進。
他1540年生于法國的普瓦圖。1603年12月13日卒于巴黎。年青時學(xué)習(xí)法律當(dāng)過律師，后從事政治活動，當(dāng)過議會的議員，在對西班牙的戰(zhàn)爭中曾為政府破譯敵軍的密碼。韋達還致力于數(shù)學(xué)研究，第一個有意識地和系統(tǒng)地使用字母來表示已知數(shù)、未知數(shù)及其乘冪，帶來了代數(shù)學(xué)理論研究的重大進步。韋達討論了方程根的各種有理變換，發(fā)現(xiàn)了方程根與系數(shù)之間的關(guān)系（所以人們把敘述一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系的結(jié)論稱為“韋達定理”）。
韋達定理實質(zhì)上就是一元二次方程中的根與系數(shù)關(guān)系
韋達定理(Viete's Theorem）的內(nèi)容
一元二次方程ax^2+bx+c=0 (a≠0 且△=b^2-4ac≥0)中
設(shè)兩個根為X1和X2
則X1+X2= -b/a
X1*X2=c/a
韋達定理的推廣
韋達定理在更高次方程中也是可以使用的。一般的，對一個一元n次方程∑AiX^i=0
它的根記作X1,X2…,Xn
我們有
∑Xi=(-1)^1*A(n-1)/A(n)
∑XiXj=(-1)^2*A(n-2)/A(n)
…
ΠXi=(-1)^n*A(0)/A(n)
其中∑是求和，Π是求積。
如果一元二次方程
在復(fù)數(shù)集中的根是，那么
法國數(shù)學(xué)家韋達最早發(fā)現(xiàn)代數(shù)方程的根與系數(shù)之間有這種關(guān)系，因此，人們把這個關(guān)系稱為韋達定理。歷史是有趣的，韋達的16世紀(jì)就得出這個定理，證明這個定理要依靠代數(shù)基本定理，而代數(shù)基本定理卻是在1799年才由高斯作出第一個實質(zhì)性的論性。
由代數(shù)基本定理可推得：任何一元 n 次方程
在復(fù)數(shù)集中必有根。因此，該方程的左端可以在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)分解成一次因式的乘積：
其中是該方程的個根。兩端比較系數(shù)即得韋達定理。
韋達定理在方程論中有著廣泛的應(yīng)用。
韋達定理的證明
設(shè)x1，x2是一元二次方程ax^2+bx+c=0的兩個解。
有:a(x-x1)(x-x2)=0
所以 ax^2-a(x1+x2)x+ax1x2=0
通過對比系數(shù)可得：
-a(x1+x2)=b ax1x2=c
所以 x1+x2=-b/a x1x2=c/a
韋達定理推廣的證明
設(shè)x1，x2，……，xn是一元n次方程∑AiX^i=0的n個解。
則有：An(x-x1)(x-x2)……(x-xn)=0
所以：An(x-x1)(x-x2)……(x-xn)=∑AiX^i?。ㄔ诖蜷_(x-x1)(x-x2)……(x-xn)時最好用乘法原理）
通過系數(shù)對比可得：
A（n-1）=-An(∑xi)
A（n-2）=An(∑xixj)
…
A0==(-1)^n*An*ΠXi
所以：∑Xi=(-1)^1*A(n-1)/A(n)
∑XiXj=(-1)^2*A(n-2)/A(n)
…
ΠXi=(-1)^n*A(0)/A(n)
其中∑是求和，Π是求積。
