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邊界品位（cut off grade）是礦產(chǎn)勘查、礦山項(xiàng)目可行性研究、礦山設(shè)計(jì)和礦山生產(chǎn)中的一個重要技術(shù)概念。在價格不變的條件下，一個經(jīng)勘查發(fā)現(xiàn)的礦化體是不是礦，有多少礦，平均品位是多少，全憑邊界品位“一錘定音”。有了邊界品位，才有了礦的一切；沒有了邊界品位，就沒有了礦的一切。因此，邊界品位在礦產(chǎn)勘查中“一言九鼎”。對如何確定邊界品位，必須遵循礦業(yè)經(jīng)濟(jì)規(guī)律，彰顯科學(xué)依據(jù)。 

首先，要搞清楚邊界品位是一個什么性質(zhì)的參數(shù)。對此不外有兩種可能：一是資源性質(zhì)的參數(shù)，二是經(jīng)濟(jì)性質(zhì)的參數(shù)。從表面上看，邊界品位確實(shí)是資源性質(zhì)的參數(shù)，因?yàn)樗硎龅膶ο笫琴Y源量和儲量；但從本質(zhì)上看，邊界品位是一個經(jīng)濟(jì)指標(biāo)，礦業(yè)項(xiàng)目是否盈利，盈利多少，全靠對它的調(diào)節(jié)來確定。邊界品位對市場和成本的靈敏度極高，在礦產(chǎn)品價格為5萬元/噸時不盈利，到5.5萬元/噸時就盈利了；在采選冶成本為80元/噸時不盈利，到85元/噸時就盈利了。因此，要從經(jīng)濟(jì)的角度來確定邊界品位的指標(biāo)值。

邊界品位是一個決定礦石和廢石界限的指標(biāo)：邊界品位以上是礦石，以下是廢石。決定這個指標(biāo)有兩個核心因素：成本和價格。當(dāng)價格固定時，成本上升則邊界品位提高，成本下降則邊界品位降低；當(dāng)成本固定時，價格上升則邊界品位降低，價格下降則邊界品位提高。

國際礦業(yè)界對邊界品位的確定已形成了系統(tǒng)的方法體系。盈虧平衡點(diǎn)法是一種簡單易行的方法，它提供了解決邊界品位問題的核心思路，在礦產(chǎn)勘查、可行性研究和礦山生產(chǎn)中獲得了廣泛的應(yīng)用。演進(jìn)法基于現(xiàn)金流利潤最大化原則，考慮了固定資產(chǎn)、折舊等成本因素，對一個礦山項(xiàng)目分生產(chǎn)時段確定邊界品位，這種計(jì)算方法更切合項(xiàng)目的演進(jìn)特點(diǎn)。藍(lán)氏法基于現(xiàn)金流利潤最大化原則，以采選冶成本為依據(jù)，以采選冶產(chǎn)量為約束條件估計(jì)邊界品位，是當(dāng)前廣為采用的主流方法。盈虧平衡點(diǎn)法簡單易行，特別適用于礦產(chǎn)勘查階段；演進(jìn)法和藍(lán)氏法主要用于可行性研究和礦山生產(chǎn)兩個階段。本文重點(diǎn)闡述盈虧平衡點(diǎn)法的應(yīng)用。

盈虧平衡點(diǎn)邊界品位確定法

在市場經(jīng)濟(jì)條件下，通過對成本與價格的聯(lián)動關(guān)系確定工業(yè)指標(biāo)，簡單易行，適合于勘查階段確定邊界品位。 

盈虧平衡點(diǎn)法（break-even method）的思路是用成本和價格兩個參數(shù)估計(jì)邊界品位，SRK給予了一個最簡單的算式： 

以金為例：

因此，盈虧平衡點(diǎn)法的在概念上是很簡單的，只要把總成本（按原礦噸計(jì)）和產(chǎn)品銷售價格（按產(chǎn)品銷售單位計(jì)）搞清楚了，用后者除前者，就完成了邊界品位的估計(jì)。但在實(shí)際操作中，要考慮更多的因素，在成本和價格上都需做更多的處理，于是實(shí)際使用的盈虧平衡點(diǎn)法邊界品位計(jì)算公式化為： 

式中，G為邊界品位；c為選礦成本；m0為開采礦石的成本；mw為開采廢石即損失礦石的成本（廢石被送到排土場,不進(jìn)入選礦程序）；s為單位金屬銷售價；r為單位金屬冶煉成本；y為冶煉回收率。式中所有成本均屬運(yùn)營成本（operating cost, OPEX）,采礦與選礦均以每噸原礦計(jì)，價格與冶煉成本以TC或RC單位計(jì)。TC指的是按噸計(jì)，RC指的是按其他特定的單位計(jì)，如磅、盎司、克等礦業(yè)常用計(jì)量單位。如果邊界品位是TC量度，則公式（2）的計(jì)算結(jié)果就是邊界品位；如果邊界品位是RC量度，則公式（2）的計(jì)算結(jié)果要做量度換算，將其化為噸。礦業(yè)常用的量度換算系數(shù)有：磅 RC=2204.62，盎司 RC=28.349523125。

公式（2）只考慮采礦與選礦成本，是因?yàn)榻饘俚V山以生產(chǎn)精礦為主，產(chǎn)品送到冶煉廠冶煉，因此礦山與冶煉廠是兩個獨(dú)立的核算單位，礦山確定邊界品位時只考慮自身的運(yùn)營成本和精礦產(chǎn)品價格，應(yīng)把分母中的冶煉價格扣減。但如果按采選冶一體化考慮邊界品位，則可把分母中的冶煉成本納入分子項(xiàng)，產(chǎn)品價格就無須扣減了。公式（2）只考慮冶煉回收率，是因?yàn)椴蛇x成本取決于礦石的實(shí)物量而不是儲量，加上采選回收率會夸大運(yùn)營成本。冶煉之所以要加上回收率是因?yàn)橐蹨p未回收部分金屬的價格，而不是要計(jì)算用了多少儲量。

運(yùn)行成本（operating cost）包含的內(nèi)容為：

開采成本：包括鉆探、爆破、裝載、卸載等成本；

選礦成本：包括破碎、磨礦、選礦、堆浸等成本；

服務(wù)成本（G&A）：指礦山采選過程中發(fā)生的管理與服務(wù)成本；

冶煉成本：包括火煉與精煉成本和產(chǎn)品包裝、運(yùn)輸?shù)蠕N售環(huán)節(jié)的成本。

盈虧平衡點(diǎn)法的實(shí)質(zhì)是用企業(yè)投入貨幣的百分比置換礦化巖石中金屬含量的百分比來求取邊界品位。其基本原理是，設(shè)想有一個口袋，其中裝滿100%的東西。從物質(zhì)的角度看，整個口袋裝滿后是一噸含礦巖石，可以計(jì)算礦產(chǎn)金屬占整個口袋容量的百分比。從價值的角度看，整個口袋裝滿后是金屬的銷售價值，可以計(jì)算投入的運(yùn)營貨幣占整個口袋容量的百分比。圖1顯示這種物質(zhì)量與價值量的置換關(guān)系。圖1的下部左側(cè)是物質(zhì)量：巖石口袋中礦產(chǎn)金屬的數(shù)量超過某個百分比就是礦，否則就是巖石；圖1的下部右側(cè)是價值量：價值口袋中投入貨幣的數(shù)量超過某個百分比就是利潤，否則就是成本。圖1的上部是把所有口袋的礦產(chǎn)金屬裝滿成一個口袋，它就是100%的金屬，即儲量（國外的儲量扣除了損失貧化，等同于采出礦石ROM）；而那個相應(yīng)的金錢口袋充滿的就是100%的利潤，是儲量價值化的資產(chǎn)；但這個資產(chǎn)需要由國家與企業(yè)共享，就年度而言，國家拿走的是稅費(fèi)，企業(yè)拿走的是純利潤，完全符合現(xiàn)代租金理論的分配原理。這就是由物質(zhì)量到價值量的轉(zhuǎn)換過程，轉(zhuǎn)換點(diǎn)的物質(zhì)量指標(biāo)是邊界品位，價值量指標(biāo)是邊界成本，邊界成本與邊界品位在百分?jǐn)?shù)上是等量的。

圖1顯示了邊界品位的本質(zhì)特征，即成本-價格-利潤是求解邊界品位的唯一途徑，除此再無他途。下面要介紹的其他更符合礦業(yè)要求、更復(fù)雜的邊界品位確定方法，也是沿著這個途徑發(fā)展起來的。離開了這個途徑，再無其他方法可以科學(xué)地估計(jì)邊界品位。

圖1 盈虧平衡點(diǎn)法確定邊界品位原理

下面舉幾個用盈虧平衡點(diǎn)法嘗試估計(jì)邊界品位的例子。

例1 加拿大LIVENGOOD金礦

這是一個采選冶一體化項(xiàng)目，數(shù)據(jù)取自加拿大BBA礦業(yè)公司 LIVENGOOD金礦2019年預(yù)可行性研究報告。采選成本12.49美元/噸原礦（含復(fù)墾成本），冶煉及銷售等成本為8.05美元/盎司，相當(dāng)于283955美元/噸黃金。預(yù)可行性研究報告設(shè)定的金價為1250美元/盎司，換算為44092450美元/噸。采用公式（2）計(jì)算：

這份預(yù)可行性研究報告設(shè)置的邊界品位是0.3g/t，平均品位為0.65～0.67 g/t。用盈虧平衡點(diǎn)法估計(jì)的數(shù)字與報告提交的邊界品位不謀而合。預(yù)可行性研究報告對采選冶經(jīng)營成本有較大的研究深度，不可能簡單采用盈虧平衡點(diǎn)法。這個例子證明，盈虧平衡點(diǎn)法的使用是有效的。本案例包含了復(fù)墾費(fèi)用，表明復(fù)墾是一種成本，也應(yīng)該是合理的。

例2  剛果金Kamoa-Kakula銅礦 

這是一個世界級的巨大銅礦，包括Kamoa和Kakula兩個礦區(qū)，均屬地下開采，由中國紫金礦業(yè)集團(tuán)與加拿大艾芬豪礦業(yè)公司合資開發(fā)。據(jù)該公司2020年資源量估計(jì)報告，項(xiàng)目產(chǎn)品主要是45%的銅精礦，包含少量精煉銅。采選運(yùn)行成本為61.47美元/噸原礦；冶煉與銷售成本為223.86美元/噸金屬，考慮到45%的精礦品位高出標(biāo)準(zhǔn)銅精礦18個百分點(diǎn)，將銷售收入按此百分?jǐn)?shù)扣減，實(shí)際冶煉成本為0.82×223.86=183.57美元/噸金屬；設(shè)定冶煉回收率為95%，設(shè)定銅價格為3.1美元/磅，合6834.3美元/噸銅。按公式（2）計(jì)算：

2020年報告做了資源量估算，設(shè)定的邊界品位為1%，與盈虧平衡點(diǎn)法計(jì)算結(jié)果相近。按1%的邊界品位，兩個礦區(qū)的控制資源量：礦石量13.87億噸，Cu品位2.74%，Cu金屬量3800萬噸。公司為了取得高利潤，把銅價設(shè)置為3.1美元/磅，要求平均品位3.88%，對應(yīng)的邊界品位為2.0%。按這個邊界品位，可獲得凈現(xiàn)值100.3億美元，內(nèi)部收益率達(dá)到40.9%的高位，但資源量數(shù)據(jù)銳減到8.23億噸。項(xiàng)目要求開采礦石總量5.35億噸，把資源量換算成儲量應(yīng)該夠用了，不過16年后，剩下的礦石的邊界品位可能就要降到1%以下了。

例3 德興銅礦

德興是我國當(dāng)前最大的銅基地，銅產(chǎn)量占全國四分之一。據(jù)葉建平測算，在剝采比1.5t/t條件下，采選運(yùn)行成本為75.78元/噸原礦。江西銅業(yè)貴溪廠的冶煉成本約合2200元/噸銅,期間成本假定為800元/噸銅，共計(jì)3000元/噸銅。在銅價為60000元/噸的市場條件下，按公式（2）計(jì)算：

如果設(shè)銅價為50000元/噸，則按盈虧平衡點(diǎn)法計(jì)算的邊界品位為0.17%。德興銅礦目前采用的邊際品位為 0.25%，顯著高于盈虧平衡點(diǎn)法的計(jì)算結(jié)果。但礦山存有大量低于0.25%的資源量，有專家研究對這部分低品位資源應(yīng)開發(fā)利用，提出了以0.15%作為邊界品位的建議。筆者認(rèn)為，在一定的價格條件將大量低品位礦石投入下，加上伴生組分Au、Ag的價值，取邊界品位0.15%是有可能的，可大量開發(fā)利用礦山積壓的低品位資源。對生產(chǎn)礦山而言，邊界品位并不是一個固定的數(shù)值，應(yīng)根據(jù)價格形勢和成本變化適時調(diào)整。

例4 烏克蘭SHYMANIVSKE 鐵礦 

Black-Iron是一家在多倫多證券交易所上市的鋼鐵企業(yè)，烏克蘭的SHYMANIVSKE 鐵礦是該公司的一個開發(fā)項(xiàng)目。2012年做了初步經(jīng)濟(jì)評價，后完成了可行性研究報告[7]。銷售的鐵礦品位為68%，價格設(shè)定為97.19美元/噸,每噸精礦運(yùn)行成本為32.63美元，入選原礦量/精礦產(chǎn)量為3.04，據(jù)此計(jì)算每噸原礦采選成本為10.73美元，按公式（2）計(jì)算:

可行性報告的邊界品位和平均品位均按磁鐵礦含鐵量計(jì)算，確定的邊界品位是磁鐵礦含F(xiàn)e量10%，因此11.04%也應(yīng)是以礦石中磁鐵礦含鐵量表示的邊界品位，兩者接近。這個礦區(qū)TFe與磁鐵礦含F(xiàn)e量之比為1.6，因此按TFe計(jì)，可行性報告的邊界品位為16%，按盈虧平衡點(diǎn)法估計(jì)的邊界品位為17.7%。

可行性報告估計(jì)出的資源量為：按磁鐵礦含鐵量計(jì)，邊界品位為10%，探明的資源量為3.551億噸，平均品位為19.5%，控制的資源量為2.907億噸，平均品位為17.9%；按TFe計(jì)，邊界品位為16%，探明的資源量為3.551億噸，平均品位為32%，控制的資源量為2.907億噸，平均品位為31.1%。這些資源量支持項(xiàng)目年產(chǎn)原礦2800萬噸，鐵精礦920萬噸，服務(wù)年限16年。在鐵精礦的價格為97.19美元/噸精礦、折現(xiàn)率為8%的條件下，凈現(xiàn)值達(dá)35億美元，內(nèi)部收益率高達(dá)40.5%，還本期2.9年。這無疑是一個貧鐵礦利用的好項(xiàng)目。目前這個項(xiàng)目已完成銀行貸款可行性研究，進(jìn)入籌資建設(shè)階段。

例5 鞍山齊大山鐵礦

齊大山鐵礦是鞍山最大的鐵礦山。2021年齊大山生產(chǎn)原礦1064.49萬噸，生產(chǎn)精礦367.79萬噸。據(jù)礦山數(shù)據(jù)，采選運(yùn)行成本為107.59元/噸原礦。為便于與例4中的烏克蘭鐵礦案例對比，取銷售價為97.19美元/噸精礦，相當(dāng)于612.3元/噸精礦，并取與其相同的精礦品位68%。按這些指標(biāo)用公式（2）計(jì)算的邊界品位為：

齊大山鐵礦使用的邊界品位為26%，有采用現(xiàn)值最大法的研究報告得出了23%的估計(jì)值[8],本文用盈虧平衡點(diǎn)法得到的數(shù)據(jù)是17.57%。齊大山鐵礦的平均品位為30%左右，與邊界品位26%似乎太接近了，兩品位的差距僅為4%。按照品位概率分布，在直方圖左端有大量資源被排除在開發(fā)利用范圍之外。例4中的烏克蘭鐵礦與齊大山鐵礦是同一類型，其平均品與齊大山差不多，但邊界品位與平均品位的差距為15.1%，在同樣價格條件下比齊大山鐵礦多利用了許多低品位資源，獲得40.5%的高內(nèi)部收益率。按照品位的統(tǒng)計(jì)分布規(guī)律， 26%以下的資源量不是一個小數(shù)目。齊大山鐵礦累計(jì)探明資源量達(dá)17億噸，目前已采出約三分之一，剩下的資源量應(yīng)節(jié)約使用，把26%以下的低品位礦石納入開發(fā)利用范圍，以延長礦山壽命。據(jù)悉目前該礦山在低品位礦石的選礦技術(shù)正努力攻關(guān)，相信在不久的將來邊界品位會有積極的變化。

我國鐵礦資源的格局基本查明，1000米以淺可能會有一些局部發(fā)現(xiàn)，但不會改變基本格局，提高國內(nèi)鐵礦資源供給能力的唯一出路是開發(fā)低品位資源。通過國內(nèi)外兩個貧鐵礦邊界品位的對比，希望能有所啟發(fā)。當(dāng)前世界上主要開發(fā)富鐵礦石，邊界品位在38%以上，但仍有許多國家在開采甚至立新項(xiàng)目開發(fā)貧鐵礦床，除烏克蘭外，還有俄羅斯、美國和加拿大，邊界品位多在15%以下，但可獲得盈利。最近一個例子是M3 Metals公司在加拿大紐芬蘭省的格林布什區(qū)和北方區(qū)發(fā)現(xiàn)了72億噸蘇必利型貧鐵礦床，已完成可行性研究，邊界品位磁鐵礦含鐵量12.5%，相當(dāng)于TFe含鐵量20%，平均品位為29.2%。

表1顯示世界上幾個在產(chǎn)貧鐵礦床的品位與儲量。除俄羅斯西西伯利亞的鮞狀赤鐵礦仍處于采選方法探索研究階段外，其他幾個大型沉積變質(zhì)礦床均已在各種價格條件下穩(wěn)定開采了40多年。表1顯示的是平均品位，一般邊界品位為平均品位的二分之一到四分之一；按三分之一計(jì)算，表1的邊界品位當(dāng)在13%到22%之間。這些礦床能在這個邊界品位區(qū)間應(yīng)對市場變化，我國的貧礦資源也應(yīng)當(dāng)能做到。當(dāng)然僅靠企業(yè)努力是不夠的，還應(yīng)有相應(yīng)的稅費(fèi)政策支持。美國所有金屬礦均不征收權(quán)益金，加拿大權(quán)益金從利為3%～10%（在稅前利潤為30%的條件下，從價費(fèi)率為0.9%～3.9%；如果純利下降，就更低了），此外再無其他涉礦稅費(fèi)。在企業(yè)和政府的共同努力下，這些低品位鐵礦具有了很強(qiáng)的抗風(fēng)險能力，北美市場銷售的一直是它們的球團(tuán)礦產(chǎn)品，歷40余年而不變。

以上礦區(qū)均按精礦的成本價格關(guān)系據(jù)公式（2）估計(jì)邊界品位。下面考察一下將采選冶成本均納入成本的情形，為此需將公式（2）分母中的冶煉成本納入分子，銷售價格不再扣減。

西藏是我國銅礦資源最豐富的地區(qū)，也是今后我國最主要的銅生產(chǎn)基地。表2顯示我國西藏四個大型銅礦、新疆土屋銅礦和黑龍江多寶山銅礦，以采選成本和金屬價格估計(jì)的邊界品位對比情況。

筆者基于上述礦區(qū)的實(shí)際運(yùn)行成本數(shù)據(jù)用盈虧平衡點(diǎn)法估計(jì)出的邊界品位，與礦山使用的邊界品位對比。研究這些實(shí)例的目是用已知探索未知，既然用盈虧平衡點(diǎn)法估計(jì)的邊界品位與礦山實(shí)際應(yīng)用的邊界品位符合或接近，就表明這個簡單的方法可以在勘查階段使用，條件是要找到一個估計(jì)三項(xiàng)成本的途徑。

演進(jìn)式邊界品位確定法

演進(jìn)式邊界品位法 (heuristic method of cut off grade deermination) 是由Rendu (2014) 提出的，后續(xù)研究者Dagdelen和Asad完善了計(jì)算公式。這是一個以凈現(xiàn)值最大為目標(biāo)、對項(xiàng)目全周期邊界品位進(jìn)行估計(jì)的方法。其主要思路是，一個礦山項(xiàng)目全周期的成本與利潤關(guān)系是變化的，不能套用一個不變的邊界品位，應(yīng)按采掘順序針對每個階段的成本-利潤特征確定相應(yīng)的邊界品位。其基本公式是：

與前面一樣，式中分子均為每噸原礦的成本數(shù)據(jù)，但已不是簡單的運(yùn)營成本概念，而是擴(kuò)大了分子的內(nèi)涵，從運(yùn)營成本（選礦）、利潤（最低利潤）和投資（固定成本和折舊）的角度求解邊界品位。J. Githiria和 C. Musingwini以加利福尼亞McLaughlin金礦為例用此方法估計(jì)了項(xiàng)目全周期的邊界品位。表3顯示該金礦的品位-噸位數(shù)據(jù)。邊界品位估計(jì)的基本參數(shù)為：選礦成本19美元/噸原礦，最低利潤3美元/噸原礦，固定成本7.95美元/噸原礦，折舊10美元/原礦，金價600美元/盎司，冶煉收費(fèi)10美元/盎司金，冶煉回收率0.9，則項(xiàng)目第1年到第5年的邊界品位為：

第6年到第10年的邊界品位為0.069oz/t=1.96g/t，第11年到第18年的邊界品位為0.05oz/t=1.42g/t。

后期邊界品位之所以降低是由于投資已逐步攤銷，總成本降低。表3顯示項(xiàng)目全周期18年分階段的邊界品位計(jì)算結(jié)果，并給出了每年的折現(xiàn)現(xiàn)金流量。表4為基于演進(jìn)法的金礦品位計(jì)算結(jié)果。

藍(lán)氏邊界品位確定法

K F Lane提出了一種基于利潤最大化的邊界品位計(jì)算方法，姑且稱為“藍(lán)氏法（Lane's Method）”。這是一個全程最優(yōu)的邊界品位估計(jì)方法，需要詳細(xì)的成本數(shù)據(jù)，適用于礦山可行性研究和生產(chǎn)階段。其具體步驟如下。

3.1 設(shè)置目標(biāo)函數(shù)與基本數(shù)據(jù)

藍(lán)氏法的目標(biāo)函數(shù)為:

式中，Pi為項(xiàng)目在第i年獲得的利潤，N為項(xiàng)目總年數(shù)，d為折現(xiàn)率。其實(shí)這也是所有其他現(xiàn)值利潤最大化邊界品位確定法的目標(biāo)函數(shù)。

基本數(shù)據(jù)為：

Qmi為第i年礦石產(chǎn)量（噸原礦/年），M為第i年礦石產(chǎn)能（噸原礦/年）； 

Qci為第i年礦石處理量（噸處理礦石噸/年），C為第i年礦石處理能力（處理能力噸/年）；

Qri為第i年金屬產(chǎn)量（噸金屬/年），R為第i年金屬產(chǎn)能（噸金屬/年）；

M為采礦成本（美元/噸原礦），c為選礦成本（美元/噸 入選礦石）；

R為冶煉成本（美元/噸 金屬），f為固定成本（美元/噸 金屬），si為第i年礦產(chǎn)品價格。

年度利潤為：

Pi = (si-ri) Qri-cQci-mQmi-fi                                   (5)

年度凈現(xiàn)值為：

vi = (si-ri ) Qri-cQci-mQmi-Ti (fi+vid)                     (6)

式中，V是剩余出儲量的凈現(xiàn)值，T為產(chǎn)量產(chǎn)能比。

3.2 品位-噸位列表

根據(jù)礦產(chǎn)勘查數(shù)據(jù)，列出品位-噸位數(shù)據(jù)表（表3）。方法是按照品位由低到高分成若干區(qū)間，列出品位界限值、界限值以上平均品位、界限值以上礦石量三個數(shù)據(jù)，并可將其制成品位-噸位曲線表（圖2）。由圖2可見，界限品位、礦石量和平均品位三者呈聯(lián)動關(guān)系，只要確定了界限品位，就可從圖上讀出平均品位和礦石量的噸數(shù)。

圖2 品位-噸位曲線

3.3 計(jì)算采選冶的單獨(dú)邊界品位

采選冶的成本-利潤關(guān)系是不同的，取決于每個階段的材料、能源、勞動力消耗與產(chǎn)能約束。對每個品位區(qū)間，均進(jìn)行以下指標(biāo)計(jì)算。

首先對每個區(qū)間，按采選冶階段分別計(jì)算利潤：

式中，為平均品位，據(jù)品位-噸位表可查得。利潤是據(jù)平均品位而非邊界品位估計(jì)的，有了品位-噸位曲線，就可輕易地連接這兩種品位了。

各階段相應(yīng)的邊界品位按下式計(jì)算：

gm=c/(y(s-r))                                                       (10)

gc=c+(f+dV)/C/(y(s-r))                                        (11)

gr=c/(y(s-r-(f+dV)/R))                                        (12)

式中，gm為采礦邊界品位，gc為選礦邊界品位，gr為冶煉邊界品位。將所有品位區(qū)間均計(jì)算完畢后，就形成了圖3的采選冶邊界品位-利潤曲線，并標(biāo)記出三個利潤最大點(diǎn)的邊界品位位置。

圖3 采選冶邊界品位-利潤曲線(據(jù)K.F Lane,1988)

3.4 計(jì)算聯(lián)合邊界品位

對所有品位區(qū)間完成采選冶邊界品位計(jì)算后，各階段利潤最高點(diǎn)對應(yīng)的邊界品位就是該階段的利潤最大化邊界品位Pm、Pc、Pr（圖3）。但這只能說是局部最優(yōu)化而非全局最優(yōu)化，而且資源量與儲量估計(jì)要的是一個而非三個邊界品位指標(biāo)，因此需要將其合成為一個單一的指標(biāo)，用作勘查階段圈定礦體的依據(jù)。

令采出的礦石量為qo，廢石量為qw，總采出量為qo+qw，入選礦石占總采出量的比例為mc，冶煉生產(chǎn)的金屬占總采出量的比例為mr，精礦占總采出量的比例為rc，則聯(lián)合邊界品位的計(jì)算公式為：

式中，g(k* )為當(dāng)前品位區(qū)間的界限品位，其下一個區(qū)間的界限品位為g(k*+1)。

3.5 判定聯(lián)合邊界品位

現(xiàn)在有了6個邊界品位（圖4）：三個獨(dú)立邊界品位和三個兩兩聯(lián)合邊界品位，需綜合使用獨(dú)立品位和聯(lián)合品位最終選擇一個接近利益最大化位置的聯(lián)合品位。為此設(shè)置以下判定準(zhǔn)則：

圖4 獨(dú)立邊界品位與聯(lián)合邊界品位(據(jù)K.F Lane,1988)

J GithiriaC.和C Musingwini使用藍(lán)氏法，以加利福尼亞McLaughlin金礦為例，說明藍(lán)氏法的應(yīng)用。項(xiàng)目設(shè)定礦山生產(chǎn)年限10年，品位-噸位見表3。表3中品位和噸位用的是區(qū)間值，這同一般品位-噸位表的品位用全礦平均值、噸位用累計(jì)值有所區(qū)別；采選冶單個階段邊界品位利潤關(guān)系見圖3，單階段邊界品位、聯(lián)合邊界品位與利潤關(guān)系見圖4。前面的圖表完整地顯示了5個步驟的指標(biāo)計(jì)算結(jié)果。到目前為止，已獲得gm、gc、gr和 Gmc、 Gmr、Gcr六個邊界品位，下一步是判定每個兩兩聯(lián)合邊界品位的取值，最后從三個兩兩聯(lián)合邊界品位中判定全程最優(yōu)的邊界品位取值。兩個判定的準(zhǔn)則均是取中位數(shù)。

按照上述判斷規(guī)則，列出兩兩聯(lián)合邊界品位，并取中位數(shù)為其聯(lián)合邊界品位：

第一組：

第二組：

第三組：

最后，從三個聯(lián)合邊界品位中取中位數(shù)0.4、0.16、0.4中再取中位數(shù)，得全局利潤最大的邊界品位為0.4g/t。

藍(lán)氏法邊界品位估計(jì)的最終結(jié)果見表5。標(biāo)簽中列出了每個年度的現(xiàn)值最大邊界品位、平均品位、原礦開采聯(lián)量、礦石入選量、金產(chǎn)量和折現(xiàn)的現(xiàn)金流數(shù)據(jù)。

這個計(jì)算結(jié)果與上述用演進(jìn)法確定的數(shù)據(jù)略有差異，就凈現(xiàn)值而言，藍(lán)氏法獲得414.36百萬美元，演進(jìn)法獲得347.08百萬美元，這種差異應(yīng)在允許誤差范圍內(nèi)，不致影響項(xiàng)目決策。

藍(lán)氏法是諸多邊界品位確定方法中的主流方法，它建立起了計(jì)算邊界品位的基本數(shù)學(xué)框架：以利潤最大化為目標(biāo)，以成本-價格盈虧平衡關(guān)系為依據(jù)，以采選冶產(chǎn)量為約束條件，以邊際品位為求解參數(shù)。其中成本與價格是已知常數(shù)，產(chǎn)能和邊界品位是互動的變動參數(shù)，通過它們的變動找到利潤最大點(diǎn)的位置。圖5顯示藍(lán)氏法求解邊界品位問題的基本思路。

圖5 藍(lán)氏法求解邊界品位基本原理（據(jù)Queen's Unversity）

成本-價格關(guān)系是藍(lán)氏法的核心，它是在盈虧平衡點(diǎn)法的基礎(chǔ)上發(fā)展起來的。由于包含了利潤最大化、產(chǎn)量約束和現(xiàn)金流折現(xiàn)等因素，使得藍(lán)氏法在確定邊界品位上能更科學(xué)、更細(xì)化地把采選冶要求包含進(jìn)來。目前出現(xiàn)了許多確定邊界品位的新方法，如線性規(guī)劃與非線性規(guī)劃方法、人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)方法、遺傳算法與進(jìn)化計(jì)算、隨機(jī)過程方法等，它們的求解原理均基于藍(lán)氏法，但求解算法則各有千秋。

盈虧平衡點(diǎn)法是所有利潤最大化邊界品位計(jì)算方法的原型，它抓住了成本-價格關(guān)系這個核心，但卻忽略了產(chǎn)量約束、利潤優(yōu)化和貨幣的時間價值。即使如此，它在今天仍然被廣泛應(yīng)用，因?yàn)楹唵我仔校曳匣镜慕?jīng)濟(jì)原理。在勘查階段的邊界品位估算方面，盈虧平衡點(diǎn)法應(yīng)該是不二選擇。

勘查階段如何確定邊界品位

在上述三種邊界品位確定方法中，盈虧平衡點(diǎn)法適合在勘查階段使用，其他兩種方法涉及礦山技術(shù)經(jīng)濟(jì)深度研究，因在勘查階段缺乏相關(guān)信息與專業(yè)人員而難以應(yīng)用。盈虧平衡點(diǎn)法的特點(diǎn)是，所需的技術(shù)經(jīng)濟(jì)信息較少，簡單易行，計(jì)算出的邊界品位總體可用，但比較粗略，可能有一定誤差。好在勘查不是估計(jì)儲量的階段，之后還有可行性研究對邊界品位做出滿足礦山利潤最大化要求的最后估計(jì)。盈虧平衡點(diǎn)法也可以用于礦山生產(chǎn)階段，但對成本的計(jì)算要比勘查階段細(xì)致得多。

盈虧平衡點(diǎn)法確定邊界品位只有兩個參數(shù)：一是礦產(chǎn)品價格，這是一個外部參數(shù)，人人都可取得；二是成本，包括每噸原礦的采礦成本、每噸原礦的選礦成本和每噸原礦的冶煉成本。舉個最簡單的例子，假定銅價為60000元/噸，采選冶總成本為400元/噸原礦，則邊界品位為0.67%。除此之外，恐怕再也找不到更簡單且符合礦業(yè)經(jīng)濟(jì)理論的方法了。

在勘查階段用盈虧平衡點(diǎn)法確定邊界品位大致分三種情況。

(1)普查階段。普查階段屬于找礦階段，可以估計(jì)推斷的資源量，但這個階段的目標(biāo)是找礦，資源量估計(jì)不是它的主要任務(wù)，因此對邊界品位的要求不高。在這個階段，可以采用類比法確定邊界品位。所謂類比，不是類比別人的邊界品位，而是類比類似礦山的三類成本?？辈轫?xiàng)目沒有采選冶成本數(shù)據(jù)，但有影響成本的地質(zhì)數(shù)據(jù)。實(shí)際上采選冶成本皆因地質(zhì)因素而起，因此以這些地質(zhì)數(shù)據(jù)為橋梁，可以把生產(chǎn)礦山的成本數(shù)據(jù)牽引過來進(jìn)行類比。這些影響成本的地質(zhì)數(shù)據(jù)是：

·礦床類型：不同類型礦床在成本上可能存在重大差異，如規(guī)模大品位低的斑巖型礦床與規(guī)模較小品位高的矽卡巖型礦床。

·品位：是影響成本的最重要地質(zhì)因素。這里的品位指的不是礦石平均品位，而是全部礦化巖石的品位直方圖，因?yàn)榈V石平均品位需要由邊界品位確定，平均品位與邊界品位的關(guān)系是一個“雞生蛋=蛋生雞”的問題，牽扯不清，全部礦化巖石的品位就沒有這個問題了。國外資源量或儲量報告都要給出礦化巖石直方圖，給出礦化巖石三個品位：平均品位、中位數(shù)、眾數(shù)，取哪個都可以。

·礦石成分特征，影響選冶性能。

·礦體埋深；影響采礦成本。

·礦體產(chǎn)狀：影響采礦成本。

·基礎(chǔ)設(shè)施：影響運(yùn)營成本中包含的運(yùn)輸成本。

類比的前提是找到以上6項(xiàng)與勘查項(xiàng)目類似的生產(chǎn)礦山。如果找到了，就查該礦山的生產(chǎn)運(yùn)行成本。運(yùn)行成本是一個標(biāo)準(zhǔn)會計(jì)項(xiàng)目，每個礦山都有年度數(shù)據(jù)。礦山一般只做到采選，因此運(yùn)行成本只包含采選兩項(xiàng)。冶煉通常會承包出去，冶煉成本可根據(jù)就近的冶煉廠報價確定。

因此，類比法的關(guān)鍵是用好地質(zhì)數(shù)據(jù)去套取生產(chǎn)礦山的成本數(shù)據(jù)；只要以上6個地質(zhì)數(shù)據(jù)類比好了，剩下的就是查一個生產(chǎn)礦山的數(shù)據(jù)——年度運(yùn)行成本。用年產(chǎn)原礦噸數(shù)除年度運(yùn)行成本，每噸原礦采選成本就有了。剩下的金屬冶煉成本找一個就近的冶煉廠查詢一下報價就可獲得。

(2)詳查階段。詳查階段是一個為可行性研究準(zhǔn)備資源量數(shù)據(jù)的階段。在這個階段，類比法就不能用了，因?yàn)榭尚行匝芯渴怯袊?yán)格的誤差要求的，而推斷的資源量不參與可行性研究，對它的管理要寬松得多。詳查項(xiàng)目應(yīng)該做一個概略的采選冶技術(shù)方案。這個概略技術(shù)方案的精度應(yīng)該低于預(yù)可行性研究，帶有假設(shè)性質(zhì)。有了這樣一個概略技術(shù)方案，就可以把運(yùn)營成本大致估計(jì)出來了。地質(zhì)隊(duì)無法提出這個概略方案，建議承包給設(shè)計(jì)院或市場礦業(yè)咨詢公司做。國外資源量估算報告都有概略采選方案章節(jié)，而我國的資源量估算報告在采選方面一直是空白。在市場經(jīng)濟(jì)時代，應(yīng)該改變這種無采選依據(jù)的資源量估算方法。讓地質(zhì)勘查與礦業(yè)開發(fā)在詳查這個階段接軌，是解決礦產(chǎn)勘查與礦業(yè)開發(fā)脫節(jié)的必由之路。

(3)勘探階段?？碧诫A段是勘查的最后階段。在詳查階段的概略采選冶技術(shù)方案的基礎(chǔ)上，添加勘探區(qū)的數(shù)據(jù)修改完善概略技術(shù)方案和運(yùn)營成本數(shù)據(jù)，進(jìn)一步加大地質(zhì)勘查和礦業(yè)開發(fā)的結(jié)合，估計(jì)更接近生產(chǎn)利用的盈虧平衡點(diǎn)法邊界品位。

據(jù)勘探階確定的邊界品位并不被生產(chǎn)直接利用，因此即使確定的邊界品位有所偏差，也會被后來的預(yù)可行性研究或可行性研究修正，但勘查階段不能使用一個無科學(xué)依據(jù)的邊界品位，導(dǎo)致所估計(jì)的資源量與之后采選冶要求嚴(yán)重脫節(jié)。因此，勘查階段估計(jì)邊界品位的原則是：可以粗略一些，但要基本符合價格-成本規(guī)律。

我國的邊界品位在很大程度上依據(jù)工業(yè)指標(biāo)參考手冊確定。全國礦產(chǎn)儲量委員會于1972年編制了一部《礦產(chǎn)工業(yè)要求參考手冊》，供地質(zhì)隊(duì)研究確定工業(yè)指標(biāo)時參考。在1986年的重版“前言”中指出：“這里所提出工業(yè)要求或技術(shù)標(biāo)準(zhǔn)，只是當(dāng)前評價礦床是否具有工業(yè)價值的一般要求，由于我國當(dāng)前礦業(yè)開發(fā)的技術(shù)水平、礦區(qū)的經(jīng)濟(jì)地理及交通條件不一，有些礦產(chǎn)品的原材料價格和其使用價值相偏離。因此，使用本手冊時，既要結(jié)合礦區(qū)的實(shí)際情況，充分利用現(xiàn)有資源，還要考慮未來礦山企業(yè)的經(jīng)濟(jì)效益，對礦床進(jìn)行綜合的技術(shù)經(jīng)濟(jì)評價。”這段話說得很清楚，也很負(fù)責(zé)任，一是僅供參考，二是要結(jié)合礦區(qū)實(shí)際，進(jìn)行技術(shù)經(jīng)濟(jì)評價。在當(dāng)時計(jì)劃經(jīng)濟(jì)體制下，有這樣兩條，大致可以保證邊界品位的合理性。但在1992年的一份有關(guān)工業(yè)指標(biāo)的管理辦法文件中，把參考手冊的應(yīng)用擴(kuò)大化了，這份文件把工業(yè)指標(biāo)的確定分為兩大類：“供礦山建設(shè)使用的勘查報告的工業(yè)指標(biāo)”和“不供礦山建設(shè)使用的礦產(chǎn)普查、詳查階段的礦床工業(yè)指標(biāo)”，前者有嚴(yán)格的論證審批程序，應(yīng)該是正常的；但對后者的要求是“不供礦山建設(shè)使用的礦產(chǎn)普查、詳查階段的礦床工業(yè)指標(biāo)，可參照相應(yīng)礦產(chǎn)地質(zhì)勘探規(guī)范或由礦產(chǎn)儲量管理部門制訂的《礦產(chǎn)工業(yè)要求參考手冊》中有關(guān)的工業(yè)指標(biāo)確定，由勘查單位的主管部門批準(zhǔn)執(zhí)行。”這就是說在普查、詳查階段，只要參照參考手冊，主管部門批準(zhǔn)就行了，不需要任何技術(shù)經(jīng)濟(jì)評價了?！皡⒄铡痹谖覈Z境中等于“依照”，如參照某項(xiàng)政策基本上就是依照某項(xiàng)政策，實(shí)施者自己已無多大變動余地了。據(jù)了解，我國的普查和詳查基本上是按照“參考手冊”來確定邊界品位，甚至有些生產(chǎn)礦山，也在“參照”一般工業(yè)指標(biāo)確定邊界品位。

“參考手冊”也好，“一般工業(yè)指標(biāo)”也好，給出的邊界品位是一種全國大平均，用現(xiàn)在的話說就是 “一刀切”的品位。邊界品位是圈定和估計(jì)資源量的最關(guān)鍵參數(shù)，在價格不變的條件下，邊界品位是由礦山生產(chǎn)的成本決定的，每個礦床的資源稟賦、生產(chǎn)技術(shù)、基礎(chǔ)設(shè)施和地理位置不一樣，成本也就不一樣，怎么能用一個全國平均值來作為邊界品位呢。在計(jì)劃經(jīng)濟(jì)時代，沒有利潤的概念，是一種產(chǎn)品經(jīng)濟(jì)，勘查工作的目的是提交儲量而不是利潤，尚可理解；在市場經(jīng)濟(jì)條件下，勘查工作的目的是獲得利潤，用一個全國“一刀切”的邊界品位，如何保證企業(yè)利潤的實(shí)現(xiàn)？計(jì)劃經(jīng)濟(jì)的勘查工作為國家提供了大量有開發(fā)價值的礦產(chǎn)地，但也搞了很多無開發(fā)意義的呆礦，就是不計(jì)成本的邊界品位所致?，F(xiàn)今已是市場經(jīng)濟(jì)時代，這種只要產(chǎn)品（資源量），不要效益（利潤）的計(jì)劃經(jīng)濟(jì)做法不能再繼續(xù)下去了。工業(yè)指標(biāo)參考手冊已走完了它該走的道路，應(yīng)該就此終結(jié)了。

邊界品位是儲量估計(jì)勝任人員（competent person）四大基本職責(zé)之一（其他三項(xiàng)為核實(shí)勘查數(shù)據(jù)有效性、確定工程間距、確定資源量類型），如果由參考手冊定了，出了問題是勝任人員負(fù)責(zé)，還是手冊負(fù)責(zé)呢？邊界品位的確定有許多技術(shù)性、經(jīng)驗(yàn)性的因素，由勝任人員來做，可長知識，煉人才，如果一直“參考”下去，我國的勘查人才抱著“參考手冊”工作，聰明人也變成了背書者，如何走向國際勘查競技場呢？