向你介紹我是誰
陳慶櫓，一課研究第3組成員，杭州采荷第一小學教育集團教師
本期內(nèi)容有哪些
（1）聽一聽：數(shù)學思想方法——假設(shè)法
（2）讀一讀：《雞兔同籠》教學實踐與思考
（3）看一看：數(shù)學小故事——老鼠算
輕輕松松聽聽書
——節(jié)選自 王永春《小學數(shù)學與數(shù)學思想方法》
堅持閱讀8分鐘
《雞兔同籠》教學案例
教學內(nèi)容
浙教版《九年義務教育小學實驗教科書》三年級下冊第47頁
教學目標
1.了解雞兔同籠，初步掌握雞兔同籠的特征，會初步解決雞兔同籠問題。
2.經(jīng)歷畫圖、列表等多種策略解決雞兔同籠的過程，在交流過程中體會方法的優(yōu)化。
3.借助列表、畫圖等方法，溝通方法之間的內(nèi)在聯(lián)系，體會“假設(shè)”的思想方法。
教學重、難點
教學重點：掌握畫圖法、列表法解決“雞兔同籠”問題。
教學難點：體會畫圖法、列表法中“假設(shè)→調(diào)整”的方法策略，理解假設(shè)法的意義，初步建立“雞兔同籠”模型。
教學過程
一、課堂導入，閱讀理解
1.導入課題
師：（出示“古老的問題”）古老的問題，你有什么想說的？
師：關(guān)于雞兔同籠問題，你知道些什么？
2.閱讀理解
出示問題：籠子里有一些雞和兔。從上面數(shù)，有8個頭，從下面數(shù)，有22條腿。雞和兔各有多少只？
師：在這個問題中，你能知道些什么呢？又讓我們求什么呢？
【思考】通過“古老的問題”，激起學生興趣；通過“關(guān)于雞兔同籠，你知道些什么”，了解學生經(jīng)驗。通過雞和兔圖示的呈現(xiàn)，不僅帶來了趣味性，也為學生通過畫圖解決“雞兔同籠”問題，提供了可模仿的樣版。同時，學生在“閱讀問題”、“整理信息”中完成了對問題的初步感知，理清了兩個數(shù)量關(guān)系——“雞的只數(shù)＋兔的只數(shù)＝8”、“雞的腿數(shù)＋兔的腿數(shù)＝22”，為解決“雞兔同籠”問題做好準備。
二、新課展開，方法探究
1.初步感知方法
師：你打算怎么解決這個問題呢？
師：真不錯！我們可以通過試一試、畫一畫、算一算等等方法解決這個問題。在解決問題之前，我們來看下要求：
試一試，把你的解決過程記錄下來；
說一說，與同桌交流你的方法；
想一想，答案正確嗎？還有其他方法嗎？
2.學生嘗試解決，教師巡視并收集作品
3.師生互動，交流反饋
（1）呈現(xiàn)錯例，關(guān)注驗證
（2）呈現(xiàn)“畫圖法”
①假設(shè)全是兔
學生嘗試解釋，教師小結(jié)，并板書畫圖過程。
②假設(shè)全是雞
師：假設(shè)全是兔子，通過畫圖的方法解決了這個問題。如果假設(shè)全部都是雞，你能通過畫圖的方法解決嗎？
學生嘗試解決，并板演。
師：兩種不同的畫圖方法，有什么相同的地方嗎？
生：都是把雞和兔先當成一樣的，再畫圖解決。腿多了，去掉；腿少了，補上。
【思考】基于學生最樸素的方法，讓個別學生的思考成為全體學生的共享。在理解全假設(shè)兔的畫圖法后，引導學生進行全假設(shè)雞的練習，讓原本沒有章法的孩子有一個鞏固“畫圖法”的機會。通過思考不同畫圖法的相同點，體會方法的共性——全假設(shè)成一樣，再調(diào)整，感受假設(shè)法。
（3）呈現(xiàn)“列表法”
①逐一列表
師：誰能看懂這位同學的方法？
生：他是用試一試、湊一湊的方法。如果1只雞，7只兔，共30條腿，不對；如果2只雞，6只兔，還不對；一直試，直到試出正確的結(jié)果。
師：他是隨便試的嗎？
生：他是有序地試，雞一只只減少，兔一只只增加。
師：我們一起來把他的方法補充完整。
師生共同完成“逐一列表”的方法。
師：不知不覺中，同學們已經(jīng)在用“列表”的方法解決這個問題了。
②取中列表
師：這位同學也在試，有什么不一樣的地方？
生：從中間開始試，試了2次就試出正確的答案了。
師：試了4只雞4只兔，發(fā)現(xiàn)不對，為什么要試5只雞3只兔，而不是試3只雞5只兔呢？
生：4只雞4只兔24條腿，比22條腿多，要減少腿數(shù)，所以減少兔子的只數(shù)，增加雞的只數(shù)。
【思考】張景中教授說，嘗試雖然不是一種最優(yōu)的方法，但它是一種最樸實的方法，在解決很多問題中都會用到。那么，在嘗試調(diào)整過程中，能做些什么呢？有序思考、優(yōu)化策略?！八请S便試的嗎”，引導學生關(guān)注嘗試的有序性，從1只雞7只兔開始，依次增加雞減少兔，直到調(diào)整出正確答案，培養(yǎng)學生有序思考的能力；“這位同學也在試，有什么不一樣的地方”，引導學生關(guān)注“取中”嘗試，發(fā)現(xiàn)這個問題從中間開始試可以減少調(diào)整的次數(shù)，為學生后續(xù)的嘗試列表提供更多方法的選擇，同時“為什么要試5只雞3只兔，而不是試3只雞5只兔呢”的提問，讓學生在推理中找準調(diào)整的方向，體會調(diào)整的優(yōu)化策略。
（4）呈現(xiàn)“算式法”
師：這位同學寫一寫算式也把“雞兔同籠”問題解決了，我們請他來說說他的想法。
師：哪位同學能結(jié)合著畫圖法，再把算式解釋一下。
4.比較方法，體會聯(lián)系
師：同學們真的非常了不起，用列表法、畫圖法、算式法都解決了這個問題。想一想，這些方法之間有沒有什么相同的地方？
生1：畫圖法、算式法把雞和兔全部當成一樣的；列表法，先假設(shè)雞1只，兔7只，在假設(shè)雞2只，兔6只，一直試，試出正確答案。
生2：一開始都不是正確答案，然后得出正確答案。
師：從一開始不是正確答案，到最后得出正確答案，這個過程是一個“假設(shè)、調(diào)整”的過程。（板書：假設(shè)→調(diào)整）
【思考】當問一個學過“雞兔同籠”的孩子用什么方法解決“雞兔同籠”問題時，孩子會說用“假設(shè)法”，然后寫出全假設(shè)的算式。在孩子的認知中，認為假設(shè)法就是全假設(shè)算式法，全假設(shè)算式法就是假設(shè)法，其實不然。本節(jié)課中，三年級孩子用到的畫圖法、列表法也是假設(shè)法。通過思考“這兩種方法之間有沒有什么相同的地方”，溝通、練習不同方法策略，讓學生進一步理解假設(shè)法的意義——假設(shè)，調(diào)整，為后續(xù)理解解決“雞兔同籠”問題的算式法、方程法等也是一種“假設(shè)、調(diào)整”做好鋪墊。
三、改變情境，鞏固練習
采荷一小“環(huán)保衛(wèi)士”小分隊10人參加植樹活動。男生每人栽了5棵樹小樹苗，女生每人栽了2棵小樹苗，一共栽了44棵小樹苗。男、女生各有多少人？
師：請同學們用剛才學到的方法解決這個問題。
【思考】設(shè)計本道鞏固練習的原因如下：1.從“雞兔同籠”問題的“雞、兔”情境中跳出，讓學生在非“雞、兔”情境中識別出“雞兔同籠”問題，為建立“雞兔同籠”問題模型做鋪墊；2.在“雞、兔”情境中，雞與兔腿數(shù)的相差數(shù)“2”與雞的腿數(shù)“2”易混淆，本題通過相差數(shù)“3”，讓學生進一步理解“假設(shè)、調(diào)整”的意義，為算式法做鋪墊；3.從1男9女開始嘗試，調(diào)整到8男2女，調(diào)整的次數(shù)太多，可以取中嘗試或從9男1女開始嘗試，培養(yǎng)學生對假設(shè)起點的敏感性，體會調(diào)整的優(yōu)化策略。4.小數(shù)據(jù)，便于學生畫圖、列表，已達成對本節(jié)課所學方法的鞏固。
四、全課小結(jié)，溝通聯(lián)系
師：同學們，今天我們學習的內(nèi)容是“雞兔同籠”問題。第1題有雞有兔是“雞兔同籠”問題。第2題也是嗎？
生：也是的，第2題的男生、女生人數(shù)相當于雞兔的只數(shù)，一共栽的棵樹相當于雞兔的腿數(shù)，男生、女生每人栽的棵樹相當于每只雞、兔的腿數(shù)。
師：解決這樣的問題，我們的方法有哪些？
生：有畫圖法、有列表法。
師：不管哪一種方法，我們都是先假設(shè)，再調(diào)整。
【思考】通過比較兩道題，尋找兩道題中一一對應的量，發(fā)現(xiàn)雖不是“雞、兔”，但也是“雞兔同籠”問題，初步建立“雞兔同籠”問題建模，并掌握解決這類問題的方法。
數(shù)學小故事——老鼠算
吉田光由（1598—1672）的《塵劫記》是江戶時代的一本最通俗的數(shù)學書，其中有所為“老鼠算”一節(jié)。書中寫道：
“正月里公母兩老鼠生了12只小老鼠，這樣總共有了14只老鼠。到了二月里，這些老鼠又全匹配，每對各生了12只小崽，這樣一共變成了98只。如此每月一次繁殖下去，按每次各對生12只考慮，那么經(jīng)過12個月就會有27682574402只老鼠”。
《塵劫記》中老鼠算是反復乘以7，與此類似的算例在13世紀的數(shù)學家斐波那契的《計算書》中也有：
“在羅馬有7位老婦人，每人趕著7頭毛驢，每頭驢馱著7只口袋，每只口袋里裝著7個面包，每個面包附有7把餐刀，每把餐刀有7只刀鞘，以上合計共有多少只刀鞘？”
——摘自 [日] 遠山啟《數(shù)學與生活》
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