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一、復(fù)習(xí)目標(biāo)

1．知道方程、方程的解、等式的基本性質(zhì)以及一元一次方程及其相關(guān)的概念.

2．能靈活解數(shù)字系數(shù)的一元一次方程，并體驗(yàn)解方程中蘊(yùn)含的轉(zhuǎn)化思想.

3．能以一元一次方程為工具解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問題，包括列方程，求方程的解和解決結(jié)果的實(shí)際意義及合理性，提高分析問題、解決問題的能力.

4．在經(jīng)歷建立方程模型解決實(shí)際問題的過程中，體會(huì)數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值，體驗(yàn)在生活中學(xué)數(shù)學(xué)，在生活中用數(shù)學(xué)的過程.

二、重要知識(shí)點(diǎn)回顧

1．方程

（1）方程的定義：含有        的等式叫做方程.

（2）方程的解：能夠使方程左、右兩邊的值相等的         的值叫做方程的解.

（3）解方程：求方程      的過程叫做解方程.

2．一元一次方程：只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的      ，這樣的方程叫做一元一次方程.

3．解一元一次方程的步驟：

①去分母：在方程的兩邊都乘以各分母的       .注意不要漏乘不含分母的項(xiàng)，分子為多項(xiàng)式的要加上括號(hào)；

②去括號(hào)：一般先去     ，再去     號(hào)，最后去     .注意不要漏乘括號(hào)里的項(xiàng)，當(dāng)括號(hào)前是“-”時(shí)，去掉括號(hào)時(shí)注意括號(hào)內(nèi)的項(xiàng)都要變號(hào)；

③移項(xiàng)：將含有未知數(shù)的項(xiàng)移到方程的一邊，不含未知數(shù)的項(xiàng)移到方程的另一邊.注意移項(xiàng)要        ，移項(xiàng)和交換位置不同；

④合并同類項(xiàng)：將同類項(xiàng)合并成一項(xiàng)，把方程化為ax=b（a≠0） 的形式.注意只合并同類項(xiàng)的       ；

⑤系數(shù)化為1：在方程ax=b的兩邊都除以a，求出方程的解x=    .注意符號(hào)，不要把方程ax=b的解寫成x= 。

4．列方程解應(yīng)用題的步驟：

（1）審：弄清題意，正確理解，準(zhǔn)確把握題目條件中的即已知量和未知量，必要時(shí)可用圖表輔助分析；

（2）設(shè)：設(shè)出未知數(shù)，將題設(shè)條件中的語(yǔ)句都“翻譯”成含有“字母”的代數(shù)式；

（3）列：尋找等量關(guān)系，列出方程；

（4）解：解方程，求出未知數(shù)的值；

（5）驗(yàn)：檢驗(yàn)所求的未知數(shù)的值是否是所列方程的解，受否符合題意；

（6）答：根據(jù)題意寫出答案.

5、實(shí)際問題的常見類型

（1）日歷問題：① 相關(guān)公式：上下相鄰的兩個(gè)數(shù)都相差7 ；前后相鄰的兩個(gè)數(shù)都相差1 ；

              ②相等關(guān)系：由幾個(gè)相鄰數(shù)的和， 求各天的具體日期.

（2）儲(chǔ)蓄問題： ① 相關(guān)公式：利息=本金×利率×期數(shù)×（1－20%）(20%為利息稅)；

               ②相等關(guān)系：本息和=本金+利息.

（3）打折銷售問題：①相關(guān)公式：利潤(rùn)率=利潤(rùn)÷進(jìn)價(jià)；

                           商品售價(jià) = 商品標(biāo)價(jià)×商品銷售折扣；

                           商品售價(jià) = 商品進(jìn)價(jià)×（1＋商品利潤(rùn)率）

                  ②相等關(guān)系：利潤(rùn)=售價(jià)-進(jìn)價(jià)；

                           商品進(jìn)價(jià)×（1＋商品利潤(rùn)率） =商品標(biāo)價(jià)×商品銷售折扣.

（4）等積變形問題：①相關(guān)公式：長(zhǎng)方體的體積=長(zhǎng)×寬×高;圓柱的體積=底面積×高等.

                  ②相等關(guān)系：變形前的體積=變形后的體積.

（5）和差倍分問題：①相關(guān)公式：增長(zhǎng)量=原有量×增長(zhǎng)率； 

                 ②相等關(guān)系：現(xiàn)有量=原有量＋增長(zhǎng)量，現(xiàn)有量=原有量－降低量.

（6）工程問題：①數(shù)量關(guān)系：工作量=工作時(shí)間×工作效率.

              ②相等關(guān)系：總工作量=各部分工作量的和.

（7）行程問題：①相關(guān)數(shù)量關(guān)系：路程=時(shí)間×速度;

              ②相等關(guān)系：相遇問題：兩者路程和=總路程；

                     追及問題：兩者路程差=相距路程；

                     航行問題：順流（風(fēng)）速=靜水（風(fēng)）速＋水流（風(fēng)）速；

                              逆流（風(fēng)）速=靜水（風(fēng)）速－水流（風(fēng)）速.

（8）成龍配套問題：①相關(guān)數(shù)量關(guān)系：某物體的數(shù)量是另一個(gè)物體的幾倍；

                  ②相等關(guān)系：每天每人的工作效率×人數(shù)=每天的工作量（產(chǎn)品數(shù)量）.

（9）數(shù)字問題：多位數(shù)的表示方法：abcd是一個(gè)多位數(shù)，它可表示為：abcd=a×10³＋b×10²＋c×10＋d，其中a、b、c、d均為大于或等于0而小于10的整數(shù).

（10）社會(huì)的熱點(diǎn)問題：以實(shí)物信息題、對(duì)話信息題為主要類型.

四、思想方法

1、方程思想：就是把未知數(shù)用字母表示，并將字母看成已知數(shù)，讓字母和已知數(shù)一同參與運(yùn)算，這就是方程思想.很多問題用方程思想來解決，往往比其他方法簡(jiǎn)捷的多.

2、轉(zhuǎn)化思想：解一元一次方程，就是把形式比較復(fù)雜的方程，逐步化簡(jiǎn)為最簡(jiǎn)形式：ax=b（a≠0）.進(jìn)而寫出方程的解x= 就是轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用和體現(xiàn).

3、數(shù)形結(jié)合思想：是指在研究問題的過程中，由數(shù)思形、由形思數(shù)，把數(shù)與形有機(jī)的結(jié)合起來分析問題的思想方法.本章列方程解應(yīng)用題常用這種方法.

4、整體思想：在解方程或列方程時(shí)，把某一部分看成一個(gè)整體來處理的方法.

五、易錯(cuò)點(diǎn)例析

1、錯(cuò)于移項(xiàng)

例 1  解方程 4x - 2 =3 - x .         

錯(cuò)解：移項(xiàng)，得 4x - x = 3 - 2.

合并同類項(xiàng)，得3x = 1.

方程兩邊同除以3，得x = .

分析：方程中的某一項(xiàng)從方程的一邊移到另一邊，應(yīng)改變符號(hào)，而上述并沒有改變符號(hào).

正解：移項(xiàng)，得4x + x = 3 + 2.

合并同類項(xiàng)，得5x =5.

方程兩邊同除以5，得x =1.

2、錯(cuò)于去分母

（1）去分母時(shí)漏乘不含分母的項(xiàng)

例 2  解方程 = - 1 .      

錯(cuò)解：去分母，得 4（2x - 1）= 3（x + 2）- 1 .

去括號(hào)，得8x – 8 = 3x + 6 – 1.

移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)，得5x = 13.

方程兩邊同除以5，得x = .

分析：去分母時(shí)，方程兩邊都乘各分母的最小公倍數(shù)，而上述解法漏乘了方程右邊不含分母的項(xiàng)“1”.

正解：去分母，得 4（2x - 1））= 3（x + 2）-12.

去括號(hào)，得8x – 8 = 3x + 6 – 12.

移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)，得5x = 2.

方程兩邊同除以5，得x = .

（2）去分母時(shí)漏添括號(hào)

例 3  解方程 - = 1 .   

錯(cuò)解：去分母，得 4x + 2 - 5x - 1 = 6 .

移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)，得x = -5.

分析：上述錯(cuò)誤是忽視了分?jǐn)?shù)線的雙重功能，即分?jǐn)?shù)線不僅具有“除號(hào)”作用，而且還具有“括號(hào)”作用.  因此去分母時(shí)，不要忘記給分子加上括號(hào)，特別是最小公倍數(shù)與分母相等時(shí)更要注意.

正解：去分母，得2（x + 1） -（5x - 1）= 6 .

去括號(hào)，得2x + 2 – 5x + 1 = 6.

移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)，得-3x = 3.

方程兩邊同除以-3，得x =1.

3、錯(cuò)于去括號(hào)

例 4  解方程  11x + 1=5（2x + 1）.

錯(cuò)解：去括號(hào)，得11x + 1= 10x + 1.

移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)，得x = 0.

分析：運(yùn)用乘法分配律去括號(hào)時(shí)，用括號(hào)外面的數(shù)去乘括號(hào)內(nèi)的每一項(xiàng)，再把積相加.  上述解法只乘了括號(hào)內(nèi)的第一項(xiàng).

正解：去括號(hào)，得11x + 1= 10x + 5.

移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)，得x = 4.

4、錯(cuò)于把未知數(shù)的系數(shù)化為1

例 5 解方程  2x + 5 = 10 - 8x .

錯(cuò)解：移項(xiàng)，合并同類項(xiàng)，得 10x = 5 .

系數(shù)化為1，得  x = 2 .

分析：把方程10x = 5中x的系數(shù)化為1時(shí)，兩邊都除以10即10為除數(shù)，應(yīng)得x = .  上述解法10作了被除數(shù)，故而錯(cuò)誤.正解略.

5、錯(cuò)于化小數(shù)為整數(shù)

化分母的小數(shù)為整數(shù)時(shí)混用分?jǐn)?shù)基本性質(zhì)和等式基本性質(zhì)

例 6 解方程 - = 1 .

錯(cuò)解：原方程變形為： - = 10，

去分母，得2（10x + 10）-（30x -10）= 40.

移項(xiàng)，合并同類項(xiàng)，得-10x =10.

方程兩邊同除以-10，得  x = -1.

分析：原方程為了把分母0.2和0.4化為整數(shù)，利用分?jǐn)?shù)基本性質(zhì)將 和- 兩項(xiàng)的分子、分母同乘以10，并非利用等式基本性質(zhì)，方程兩邊都乘以10，方程右邊應(yīng)為1而不是10.

正解：原方程變形為： - = 1 .

去分母，得2（10x + 10）-（30x -10）= 4.

移項(xiàng)，合并同類項(xiàng)，得-10x = -26.

方程兩邊同除以-10，得  x =2.6.

六、重要考點(diǎn)例析

1．         一元一次方程的定義

和一元一次方程的定義有關(guān)的題目主要有：（1）識(shí)別所給的方程哪個(gè)是一元一次方程；（2）根據(jù)實(shí)際問題中的數(shù)量關(guān)系列出方程.（3）根據(jù)方程的根，寫出方程.

例1例1下列方程中，屬于一元一次方程的是（    ）

A． ；B． ；C． ；D． .

析解：要判斷一個(gè)方程是不是一元一次方程，主要看這個(gè)方程是否滿足一元一次方程的條件：（1）只含有一個(gè)未知數(shù)；（2）未知數(shù)的指數(shù)為1；（3）必須是整式方程，簡(jiǎn)單地說分母中不含有未知數(shù)的方程.答案C具備這三個(gè)條件，故答案應(yīng)選C.

評(píng)注：判斷一個(gè)方程是否是一元一次方程，其主要依據(jù)一元一次方程的定義.

例2某班分兩組去兩處植樹，第一組22人，第二組26人.現(xiàn)第一組在植樹中遇到困難，需第二組支援.問第二組調(diào)多少人去第一組才能使第一組的人數(shù)是第二組的2倍？設(shè)抽調(diào) 人，則可列方程（  ）

A. ；      B. ；

C. ；     D. .

析解：要選擇正確的方程，首先要從問題中找到相等關(guān)系，然后用含有x的代數(shù)式表示各種量，列出方程.本題應(yīng)用x表示從第二組抽調(diào)人數(shù)，則第一組人數(shù)達(dá)到（22＋x）人，第二組為（26－x）人，根據(jù)抽調(diào)后第一組的人數(shù)是第二組的2倍，所以列出方程22＋x=2（26－x）.故應(yīng)選B.

評(píng)注：根據(jù)實(shí)際問題列方程，其實(shí)質(zhì)是用字母表示出各個(gè)數(shù)量關(guān)系，依據(jù)相等關(guān)系列出方程.

例3已知 是方程 的解，則a=      ．

析解：根據(jù)方程解的定義，將x=5代入方程 ，即 ，解得，a=－9.

評(píng)注：已知方程的解求參數(shù)的值，是一種逆向思維.根據(jù)方程解的意義和解方程的意義即可求得.

2．解一元一次方程

解一元一次方程的一般步驟是：去分母、去括號(hào)、移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)、系數(shù)化為1等，把一個(gè)一元一次方程“轉(zhuǎn)化”成x = a的形式. 根據(jù)題意可交換順序，去分母注意沒有分母的項(xiàng)也同乘分母的最小公倍數(shù)，移項(xiàng)要改變符號(hào)，最后要形成檢驗(yàn)的習(xí)慣.

例4解方程： .

解：去分母，得3（x－1）－12=2（2x＋1）

去括號(hào)，得3x－3 －12= 4x＋2

移項(xiàng)，得3x－4x= 2＋3＋12.

合并同類項(xiàng)，得－x= 17

系數(shù)化為1，得x=－17.

評(píng)注：方程中含有分母，一般應(yīng)先去分母，特別注意要防止漏乘不含分母的項(xiàng)和分?jǐn)?shù)線的括號(hào)作用.

例5解方程 .

分析：解一元一次方程時(shí),有括號(hào)的一般方法是先去括號(hào).根據(jù)方程的特點(diǎn)有時(shí)不先去括號(hào)反而簡(jiǎn)單.

解：移項(xiàng)，得 （x－3）＋ （x－3）=2，

合并同類項(xiàng)，得x－3=2，

移項(xiàng)，得x=5

評(píng)注：本題運(yùn)用了整體思想，即將（x－3）看做一個(gè)整體，達(dá)到靈活求解的目的，在解方程時(shí)，一定要認(rèn)真觀察方程的特點(diǎn)，選擇靈活的方法求解.

3．列方程解實(shí)際問題

 列方程解實(shí)際問題，特別是社會(huì)的熱點(diǎn)問題，是一個(gè)重點(diǎn)，也是考試中的一個(gè)熱點(diǎn).列方程解實(shí)際問題的關(guān)鍵是從實(shí)際問題中找出相等關(guān)系，并通過設(shè)未知數(shù)，根據(jù)相等關(guān)系列出方程.

例6請(qǐng)你替小健同學(xué)解答以下問題：

分析：根據(jù)圖畫息型知，購(gòu)買名著的費(fèi)用=（65×20）元，購(gòu)買辭典的費(fèi)用=購(gòu)買辭典的本數(shù)×辭典的單價(jià)40元，購(gòu)買辭典的費(fèi)用＋購(gòu)買名著的費(fèi)用=2000.根據(jù)相等關(guān)系即可列出方程，問題得以解決.

解：設(shè)還能買詞典x本. 根據(jù)題意，得

40x＋65×20 = 2000，

解得，x = 17.5.

由于x為整數(shù)，所以x=17（本）

評(píng)注:解決本題的關(guān)鍵是從圖畫息型中找到相等關(guān)系.本題所隱含的相等關(guān)系是：購(gòu)買辭典的費(fèi)用＋購(gòu)買名著的費(fèi)用=2000.

例7母親節(jié)那天，很多同學(xué)給媽

媽準(zhǔn)備了鮮花和禮盒.從圖中信息可知

一束鮮花的價(jià)格是多少元？

分析：本題以實(shí)物圖形給出數(shù)據(jù)

信息，具有直觀、形象的特點(diǎn).由圖中

可知，一束鮮花的錢＋兩個(gè)禮盒的錢=

55元，兩束鮮花的錢＋三個(gè)禮盒的錢=

90元，由此可設(shè)鮮花的單價(jià)為x元，則

禮盒的單價(jià)為 元，列方程解決問題.

解：設(shè)鮮花的單價(jià)為x元，則禮盒的單價(jià)為 元.由圖形信息，得

2x＋3× =90，解得x=15.

所以一束鮮花的價(jià)格是15元.

評(píng)注：當(dāng)一個(gè)實(shí)際問題中包含兩個(gè)相等關(guān)系時(shí)，根據(jù)其中一個(gè)相等關(guān)系設(shè)出未知數(shù)，則根據(jù)另一個(gè)相等關(guān)系列方程.

例8某酒店客房部有三人間、雙人間客房，收費(fèi)數(shù)據(jù)如下表．

為吸引游客，實(shí)行團(tuán)體入住五折優(yōu)惠措施．一個(gè)50人的旅游團(tuán)優(yōu)惠期間到該酒店入住，住了一些三人普通間和雙人普通間客房．若每間客房正好住滿，且一天共花去住宿費(fèi)1510元，則旅游團(tuán)住了三人普通間和雙人普通間客房各多少間？

分析：本題是一道表格信息題.通過觀察表格信息，可設(shè)三人普通房共住了 人，則雙人普通房共住了 人，根據(jù)相等關(guān)系：三人普通間的費(fèi)用＋雙人普通間的費(fèi)用=1510，列方程解決問題.

解：設(shè)三人普通房共住了 人，則雙人普通房共住了 人， 

根據(jù)題意，得