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Rafael Araujor  《海螺輕輕吹》

Rafael Araujor  《蝴蝶翩翩飛》

中世紀(jì)德國著名畫家阿爾布雷特·丟勒在其功成名就之時，突然宣布轉(zhuǎn)向數(shù)學(xué)研究，這種跨度似乎很難用心血來潮或別出心裁解釋。即便如此，這位酷愛幻方的畫家為其1514年的名作《憂郁》添加了一個特別背景——四階幻方（畫作右上角），足以顯示自己業(yè)余愛好的非凡水準(zhǔn)。

阿爾布雷特·丟勒  《憂郁》

用數(shù)學(xué)眼光來判斷，畫家苦心經(jīng)營的這個四階幻方看似非常普通。唯一比較特別的是，幻方最后一行中間兩個數(shù)是15和14，恰好隱含了作品的創(chuàng)作年代，似乎也僅此而已。由于當(dāng)時的四階幻方已達(dá)880種之多，各有千秋、精彩紛呈，所以人們當(dāng)初并沒有對畫中的幻方高看一眼。

然而到了本世紀(jì)，當(dāng)專家重新審視這則幻方時，竟然發(fā)現(xiàn)數(shù)百年來大家都是“有眼不識泰山”，這則幻方中蘊(yùn)含的種種被忽略的特性足以讓人刮目相看。

第一，幻方角上4數(shù)之和16 13 4 1=34，等于四階幻方的和常數(shù)，這可不是幻方的常規(guī)要求，看似無心卻是有意；第二，在這個幻方中，角上的4個2×2小正方形和中央1個2×2小正方形的4數(shù)之和仍等于幻方常數(shù)，即16 3 5 10=9 6 4 15=2 13 11 8=7 12 14 1＝10 11 6 7=34，其中的機(jī)巧讓人眼前一亮；第三，在這個幻方中，對角線上8個數(shù)字之和等于不在對角線上的8個數(shù)字之和，

即16 10 7 1 13 11 6 4=2 3 5 9 14 15 12 8=68，這顯然出乎人們的意料和想象。

這還沒完，繼續(xù)嘗試又有新發(fā)現(xiàn)：對角線上8個數(shù)字的平方和等于不在對角線上的8個數(shù)字的平方和。

即162 102 72 12 132 112 62 42=22 32 52 92 142 152 122 82=748，這就更為難得了。

推演后，人們還發(fā)現(xiàn)：對角線上8個數(shù)字的立方和等于不在對角線上的8個數(shù)字的立方和，都為9248。如此“不變其宗”的機(jī)變實在讓人拍案叫絕。

一個畫家的數(shù)學(xué)造詣和精巧構(gòu)思竟然如此高深，這恐怕是許多人完全沒有想到的。 

文森特·威廉·梵高是19世紀(jì)偉大的藝術(shù)巨匠，也是舉世聞名的印象派大師。他的一生歷經(jīng)艱難困苦。梵高在世時，其藝術(shù)造詣并未得到充分肯定，他飽受癲癇病和精神錯亂的折磨，甚至割掉了自己的一只耳朵，最終在37歲時于絕望中開槍自殺。與此同時，梵高的一生又取得了輝煌的成就，如今，他已成為人們心目中偉大的藝術(shù)家，其畫作不斷被拍出高價，在藝術(shù)史上達(dá)到了令人難以超越的高度。

梵高  《麥田上的烏鴉》

更耐人尋味的是：在被視為經(jīng)典的梵高后期作品之《麥田上的烏鴉》以及《星空》里，科學(xué)家用獨(dú)特的眼光發(fā)現(xiàn)了非比尋常的元素，畫作中一些旋渦式圖案背后竟然暗藏著復(fù)雜的數(shù)學(xué)和物理學(xué)公式。

在這幅《麥田上的烏鴉》中，烏云翻卷的天空和狂風(fēng)撼動下的麥田，急促而蒼勁的黑色線條，畫出在波浪起伏的麥田上低掠而過的烏鴉。畫中的每筆線條都帶有強(qiáng)烈的動感，動蕩不安的構(gòu)圖、明暗對比強(qiáng)烈的色調(diào)、粗野狂放的繚亂筆觸，充分顯露出梵高內(nèi)心的孤獨(dú)、壓抑和苦悶。

在《星空》中，畫著一些小屋,絲柏從地面伸向夜空；黃色的星星與閃光的橘黃色月亮形成旋渦,天空因此變得活躍起來。

梵高  《星空》

在這兩幅作品中，幾乎所有人都能感受到旋渦的存在和作用，一直以來，人們把這些旋渦看成是梵高的一種獨(dú)特的藝術(shù)表現(xiàn)形式，但現(xiàn)在，來自墨西哥國立自治大學(xué)的物理學(xué)家喬斯·阿拉貢經(jīng)過研究發(fā)現(xiàn)，梵高畫作里出現(xiàn)的那些深淺不一的旋渦，竟然和半個世紀(jì)后科學(xué)家用來描述湍流現(xiàn)象的數(shù)學(xué)公式不謀而合。

湍流問題曾被稱為“經(jīng)典物理學(xué)最后的疑團(tuán)”，科學(xué)家一直試圖用精確的數(shù)學(xué)模型來描述湍流現(xiàn)象，但至今仍未徹底解決。20世紀(jì)40年代，蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家柯爾莫哥洛夫提出了“柯爾莫哥洛夫微尺度”公式，借助該公式，物理學(xué)家可以預(yù)測流體任意兩點(diǎn)之間在速率和方向上的關(guān)系。在梵高的這兩幅畫作里，那些深淺不一的旋渦正好精確地反映了這個公式。

需要指出的是，梵高這些畫作均為其后期作品，當(dāng)時的他已經(jīng)陷入癲癇病帶來的內(nèi)心狂亂狀態(tài)，時而清醒，時而混亂。阿拉貢相信，正是梵高的幻覺讓他得以洞察旋渦的原理。持類似觀點(diǎn)的還有哈佛大學(xué)神經(jīng)病學(xué)教授史蒂文·沙克特，他認(rèn)為：“有人會在發(fā)病時產(chǎn)生新的、異常的意識，他的感覺和認(rèn)知都會變得不正常?！睋Q句話說，梵高畫作里表現(xiàn)出的物理現(xiàn)象，極有可能與其受癲癇病影響有關(guān)?？茖W(xué)家們相信癲癇令梵高產(chǎn)生的幻覺，可能賦予他洞察湍流奧秘的特殊能力，并不自覺地在作品中留下湍流的經(jīng)典數(shù)學(xué)模型的影像。

盡管這樣的解釋并不能完全令人信服，但這種藝術(shù)與科學(xué)的碰撞，或許與梵高天才的想象和苦行僧般的經(jīng)歷有關(guān)，冥冥之中的注定恐怕只可意會，難以言傳，因此我們在對科學(xué)家的發(fā)現(xiàn)表示驚訝的同時，也只能對這位藝術(shù)大師的傳奇表達(dá)敬意。 

莫里茨·科內(nèi)利斯·埃舍爾是荷蘭科學(xué)思維版畫大師，20世紀(jì)畫壇中別具一格的藝術(shù)家。其作品多以平面鑲嵌、不可能的結(jié)構(gòu)、悖論以及循環(huán)等為特點(diǎn)，從中可以看到對分形、對稱、雙曲幾何、多面體、拓?fù)鋵W(xué)等數(shù)學(xué)概念的形象表達(dá)，為繪畫藝術(shù)增添了難以言說的數(shù)學(xué)之美，他也被公認(rèn)為將繪畫藝術(shù)性與數(shù)學(xué)科學(xué)性融會貫通并發(fā)揮到極致的藝術(shù)大師。

莫里茨·科內(nèi)利斯·埃舍爾

1956年，埃舍爾舉辦了生平第一次重要的畫展，這個畫展得到了《時代》雜志的好評，使他在世界范圍獲得了極高的名望。許多數(shù)學(xué)家給予埃舍爾藝術(shù)作品充分的肯定，認(rèn)為埃舍爾藝術(shù)作品中的數(shù)學(xué)原則和思想得到了非同尋常的形象化。后來，隨著埃舍爾創(chuàng)作的發(fā)展，創(chuàng)造出許多反映悖論和“不可能”的圖形結(jié)構(gòu)的藝術(shù)作品，見者莫不驚嘆于數(shù)學(xué)思維融入藝術(shù)創(chuàng)造中的奇特魅力。

埃舍爾  《互繪的雙手》

比如上面這幅引人注目的作品《互繪的雙手》，你看到后會情不自禁地研判究竟是哪一只手繪出了另一只手。畫面中既像左手畫著右手，又像右手畫著左手，當(dāng)然也可以看作左右手互繪，在確定無解后只能感慨“你中有我，我中有你”的神奇。而這恰好反應(yīng)了埃舍爾作品中極為重要的特征——自我復(fù)制和完全循環(huán)。事實上，在埃舍爾其他代表作品中，這種特征隨處可見，已成特色，并由此營造出匪夷所思的視覺效果。

不僅如此，埃舍爾的許多作品還體現(xiàn)了平面鑲嵌的特點(diǎn)。所謂“平面鑲嵌”，是指完全沒有重疊并且沒有空隙的封閉圖形的排列。一般情況下，構(gòu)成鑲嵌的封閉圖形的基本單元是多邊形或類似的常規(guī)形狀，埃舍爾更癡迷于那些不規(guī)則的、形狀特別的平面鑲嵌。因此，在他的很多藝術(shù)作品中，都運(yùn)用了幾何學(xué)中的反射、旋轉(zhuǎn)來得到更加多變的圖案，并獨(dú)具匠心地使這些圖案通過扭曲、變形成為人、鳥、魚等，這樣美不勝收的效果既自然又令人拍案叫絕。比如《騎士平面鑲嵌》和《黑白鳥的鑲嵌》就充分反映出重疊、翻轉(zhuǎn)的數(shù)學(xué)美。

埃舍爾  《騎士平面鑲嵌》

埃舍爾  《黑白鳥的鑲嵌》

此外，交叉幾何體也常常出現(xiàn)在埃舍爾的藝術(shù)作品中，比如木版畫《星空》這是一個由八面體、四面體和立方體交叉構(gòu)成的幾何體，這些正面體都是外凸的，同時還存在內(nèi)凸的正多面體，數(shù)學(xué)家已證明出存在26種可能的規(guī)則立體，它們之間互相交叉后還可以形成無數(shù)規(guī)則的立體系列。埃舍爾設(shè)計出飄浮著無數(shù)規(guī)則立體的星空背景，并在奇妙的正多面體中加入了兩條變色龍，帶給觀眾奇妙的視覺沖擊，巧妙展現(xiàn)出了立體幾何的數(shù)學(xué)美。

埃舍爾   木版畫《星空》

特別值得一提的是，在埃舍爾用數(shù)學(xué)觀點(diǎn)完成的所有重要藝術(shù)作品中，最重要的是處理空間性質(zhì)的作品。比如《瀑布》，從中可以發(fā)現(xiàn)這個瀑布本質(zhì)上就是兩個彭羅斯三角的疊加，形成了矛盾的空間，顯示了埃舍爾對空間維度的關(guān)注以及用二維的方式表現(xiàn)三維空間的矛盾和詭術(shù)。

所謂彭羅斯三角，看起來像是一個固體，由三個截面為正方形的長方體所構(gòu)成，三個長方體組合成為一個三角形，但兩長方體之間的夾角似乎又是直角。但上述性質(zhì)無法在任何一個正常三維空間的物體上實現(xiàn)，是所有不可能圖形中最基礎(chǔ)的一個。

埃舍爾  《瀑布》

彭羅斯三角

在埃舍爾手中，剛性的維度可以任意扭曲反轉(zhuǎn)，從而展示出在其豐富想象空間中的魔法變換。在《莫比烏斯帶上的螞蟻》中，如果我們跟蹤螞蟻的路徑，就會發(fā)現(xiàn)螞蟻并不是在相反的面上爬行，而是爬行在同一個面上。這就是埃舍爾藝術(shù)作品中展現(xiàn)出的拓?fù)鋵W(xué)價值和數(shù)學(xué)美。

埃舍爾  《莫比烏斯帶上的螞蟻》