1. 大約3600年前，古埃及人寫在紙草上的數(shù)學(xué)問題中，就涉及了方程中含有未知數(shù)的等式。
2. 公元825年左右，中亞細亞的數(shù)學(xué)家阿爾－花拉子米曾寫過一本名叫《對消與還原》的書，重點討論方程的解法。
3.“元”的概念：
方程：含有未知數(shù)的等式。即：⒈方程中一定有含一個或一個以上未知數(shù)的代數(shù)式；2.方程式是等式，但等式不一定是方程。
未知數(shù)：通常設(shè)x.y.z為未知數(shù)，也可以設(shè)別的字母，全部小寫字母都可以。
“次”：方程中次的概念和整式的“次”的概念相似。指的是含有未知數(shù)的項中，未知數(shù)次數(shù)最高的項。而次數(shù)最高的項，就是方程的次數(shù)。
“解”：方程的解，是指所有未知數(shù)的總稱，方程的根是指一元方程的解，兩者通常可以通用。
解方程：求出方程的解的過程，也可以說是求方程中未知數(shù)的值的過程，叫解方程。
方程式或簡稱方程，是含有未知數(shù)的等式。方程中，恒等式叫做恒等方程，矛盾式叫做矛盾方程。在未知數(shù)等于某特定值時，恰能使等號兩邊的值相等者稱為條件方程，例如 ，在等號成立時，使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值叫做方程的解。求出方程的解或說明方程無解的這一過程叫做解方程。
含有未知數(shù)的等式叫方程，這是中學(xué)中的邏輯定義，方程的定義還有函數(shù)定義法，關(guān)系定義，而含未知數(shù)的等式不一定是方程，如0x=0，|x|=1就不是方程，應(yīng)該這樣定義:
形如的等式，其中和是在定義域的交集內(nèi)研究的兩個解析式，且至少有一個不是常數(shù)。
性質(zhì)1
等式兩邊同時加(或減)同一個數(shù)或同一個代數(shù)式，所得的結(jié)果仍是等式。用字母表示為：若a=b，c為一個數(shù)或一個代數(shù)式。則：(1) a+c=b+c (2) a-c=b-c
性質(zhì)2
等式的兩邊同時乘或除以同一個不為0的數(shù)所得的結(jié)果仍是等式。
(3)若a=b,則b=a（等式的對稱性）。
(4)若a=b,b=c則a=c（等式的傳遞性）。
用字母表示為：若a=b，c為一個數(shù)或一個代數(shù)式（不為0）。則：
a×c=b×c a÷c=b÷c
【方程的一些概念】
方程的解：使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值叫做方程的解。
解方程：求方程的解的過程叫做解方程。
解方程的依據(jù)：1.移項； 2.等式的基本性質(zhì)； 3.合并同類項； 4.加減乘除各部分間的關(guān)系。
解方程的步驟：1.能計算的先計算； 2.轉(zhuǎn)化——計算——結(jié)果
例如：
3x=5×6
解 ： 3x=30
x=30÷3
x=10
移項：把方程中的某些項改變符號后，從方程的一邊移到另一邊，這種變形叫做移項，根據(jù)是等式的基本性質(zhì)1。
方程有整式方程和分式方程。
整式方程：方程的兩邊都是關(guān)于未知數(shù)的整式的方程叫做整式方程。[1]分母中含有未知數(shù)的方程叫做分式方程。
教學(xué)目標
使學(xué)生初步掌握一元一次方程解簡單應(yīng)用題的方法和步驟；并會列出一元一次方程解簡單的應(yīng)用題
培養(yǎng)學(xué)生觀察能力，提高他們分析問題和解決問題的能力
使學(xué)生初步養(yǎng)成正確思考問題的良好習慣．
重點難點
一元一次方程解簡單的應(yīng)用題的方法和步驟．
教學(xué)過程
一、從學(xué)生原有的認知結(jié)構(gòu)提出問題
在小學(xué)算術(shù)中，我們學(xué)習了用算術(shù)方法解決實際問題的有關(guān)知識，那么，一個實際問題能否應(yīng)用一元一次方程來解決呢？若能解決，怎樣解？用一元一次方程解應(yīng)用題與用算術(shù)方法解應(yīng)用題相比較，它有什么優(yōu)越性呢？
為了回答上述這幾個問題，我們來看下面這個例題．
例1 某數(shù)的3倍減2等于某數(shù)與4的和，求某數(shù)．
(首先，用算術(shù)方法解，由學(xué)生回答，教師板書)
解法1：(4+2)÷(3-1)=3．
答：某數(shù)為3．
(其次，用代數(shù)方法來解，教師引導(dǎo)，學(xué)生口述完成)
解法2：設(shè)某數(shù)為x，則有3x-2=x+4．
3x-2=x+4
解：(3-1)x=2+4
2x=2+4
2x=6
x=6÷2
x=3
解之，得x=3．
答：某數(shù)為3．
縱觀例1的這兩種解法，很明顯，算術(shù)方法不易思考，而應(yīng)用設(shè)未知數(shù)，列出方程并通過解方程求得應(yīng)用題的解的方法，有一種化難為易之感，這就是我們學(xué)習運用一元一次方程解應(yīng)用題的目的之一．
我們知道方程是一個含有未知數(shù)的等式，而等式表示了一個相等關(guān)系．因此對于任何一個應(yīng)用題中提供的條件，應(yīng)首先從中找出一個相等關(guān)系，然后再將這個相等關(guān)系表示成方程．
本節(jié)課，我們就通過實例來說明怎樣尋找一個相等的關(guān)系和把這個相等關(guān)系轉(zhuǎn)化為方程的方法和步驟．
二、師生共同分析、研究一元一次方程解簡單應(yīng)用題的方法和步驟
例2 某面粉倉庫存放的面粉運出 15%后，還剩余42500千克，這個倉庫原來有多少面粉？
師生共同分析：
本題中給出的已知量和未知量各是什么？
已知量與未知量之間存在著怎樣的相等關(guān)系？(原來重量-運出重量=剩余重量)
若設(shè)原來面粉有x千克，則運出面粉可表示為多少千克？利用上述相等關(guān)系，如何布列方程？
上述分析過程可列表如下：
解：設(shè)原來有x千克面粉，那么運出了15%x千克，由題意，得x-15%x=42500，
x-15%x=42500
解：(1-15%)x=42500
85%x=42500
x=42500÷85%
x=50000
所以 x=50000．
答：原來有 50000千克面粉．
此時，讓學(xué)生討論：本題的相等關(guān)系除了上述表達形式以外，是否還有其他表達形式？若有，是什么？
(還有，原來重量=運出重量+剩余重量；原來重量-剩余重量=運出重量)
教師應(yīng)指出：(1)這兩種相等關(guān)系的表達形式與“原來重量-運出重量=剩余重量”，雖形式上不同，但實質(zhì)是一樣的，可以任意選擇其中的一個相等關(guān)系來列方程
(2)例2的解方程過程較為簡捷，同學(xué)應(yīng)注意模仿．
依據(jù)例2的分析與解答過程，首先請同學(xué)們思考列一元一次方程解應(yīng)用題的方法和步驟；然后，采取提問的方式，進行反饋；最后，根據(jù)學(xué)生總結(jié)的情況，教師總結(jié)如下：
(1)仔細審題，透徹理解題意．即弄清已知量、未知量及其相互關(guān)系，并用字母(如x)表示題中的一個合理未知數(shù)
(2)根據(jù)題意找出能夠表示應(yīng)用題全部含義的一個相等關(guān)系．(這是關(guān)鍵一步)
(3)根據(jù)相等關(guān)系，正確列出方程．即所列的方程應(yīng)滿足兩邊的量要相等；方程兩邊的代數(shù)式的單位要相同；題中條件應(yīng)充分利用，不能漏也不能將一個條件重復(fù)利用等
(4)求出所列方程的解
(5)檢驗后明確地、完整地寫出答案．這里要求的檢驗應(yīng)是，檢驗所求出的解既能使方程成立，又能使應(yīng)用題有意義．
定義
含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的整式方程，這樣的方程叫做一元二次方程(quadratic equation in one unknown)。
由一次方程到二次方程是個質(zhì)的轉(zhuǎn)變，通常情況下，二次方程無論是在概念上還是解法上都比一次方程要復(fù)雜得多。
一般形式：(a≠0)
一般解法有四種：
⒈公式法（直接開平方法）
⒉配方法
3.因式分解法
4.十字相乘法
十字相乘法能把某些二次三項式分解因式。這種方法的關(guān)鍵是把二次項系數(shù)a分解成兩個因數(shù)a1,a2的積a1·a2，把常數(shù)項c分解成兩個因數(shù)c1,c2的積c1·c2，并使a1c2+a2c1正好是一次項b，那么可以直接寫成結(jié)果:在運用這種方法分解因式時，要注意觀察，嘗試，并體會它實質(zhì)是二項式乘法的逆過程。當首項系數(shù)不是1時，往往需要多次試驗，務(wù)必注意各項系數(shù)的符號。
例題
例1 把分解因式。
分析：先分解二次項系數(shù)，分別寫在十字交叉線的左上角和左下角，再分解常數(shù)項，分
別寫在十字交叉線的右上角和右下角，然后交叉相乘，求代數(shù)和，使其等于一次項系數(shù).
分解二次項系數(shù)(只取正因數(shù))：
2=1×2=2×1；
分解常數(shù)項：
3=1×3=3×1=(-3)×(-1)=(-1)×(-3).
用畫十字交叉線方法表示下列四種情況：
1 1
╳
2 3
1×3+2×1
=5
1 3
╳
2 1
1×1+2×3
=7
1 -1
╳
2 -3
1×(-3)+2×(-1)
=-5
1 -3
╳
2 -1
1×(-1)+2×(-3)
=-7
經(jīng)過觀察，第四種情況是正確的，這是因為交叉相乘后，兩項代數(shù)和恰等于一次項系數(shù)－7.
解.
一般地，對于二次三項式ax2+bx+c(a≠0)，如果二次項系數(shù)a可以分解成兩個因數(shù)之積，即a=a1a2，常數(shù)項c可以分解成兩個因數(shù)之積，即c=c1c2，把a1，a2，c1，c2，排列如下：
a1 c1
╳
a2 c2
a1c2+a2c1
按斜線交叉相乘，再相加，得到a1c2+a2c1，若它正好等于二次三項式ax2+bx+c的一次項系數(shù)b，即a1c2+a2c1=b，那么二次三項式就可以分解為兩個因式a1x+c1與a2x+c2之積，即
ax2+bx+c=(a1x+c1)(a2x+c2).
像這種借助畫十字交叉線分解系數(shù)，從而幫助我們把二次三項式分解因式的方法，通常叫做十字相乘法。
例2 把分解因式.
分析：按照例1的方法，分解二次項系數(shù)6及常數(shù)項-5，把它們分別排列，可有8種不同的排列方法，其中的一種
2 1
╳
3 -5
2×(-5)+3×1=-7
是正確的，因此原多項式可以用十字相乘法分解因式。
解
指出：通過例1和例2可以看到，運用十字相乘法把一個二次項系數(shù)不是1的二次三項式因式分解，往往要經(jīng)過多次觀察，才能確定是否可以用十字相乘法分解因式.
對于二次項系數(shù)是1的二次三項式，也可以用十字相乘法分解因式，這時只需考慮如何把常數(shù)項分解因數(shù)。例如把分解因式，十字相乘法是
1 -3
╳
1 5
1×5+1×(-3)=2
所以.
例3 把分解因式。
分析：這個多項式可以看作是關(guān)于x的二次三項式，把-8y^2看作常數(shù)項，在分解二次項及常數(shù)項系數(shù)時，只需分解5與-8，用十字交叉線分解后，經(jīng)過觀察，選取合適的一組，如下
1 2
╳
5 -4
1×(-4)+5×2=6
解.
指出：原式分解為兩個關(guān)于x，y的一次式。
例4 把(x-y)(2x-2y-3)-2分解因式.
分析：這個多項式是兩個因式之積與另一個因數(shù)之差的形式，只有先進行多項式的乘法運算，把變形后的多項式再因式分解。
問：兩上乘積的因式是什么特點，用什么方法進行多項式的乘法運算最簡便?
答：第二個因式中的前兩項如果提出公因式2，就變?yōu)?(x-y)，它是第一個因式的二倍，然后把(x-y)看作一個整體進行乘法運算，可把原多項式變形為關(guān)于(x-y)的二次三項式，就可以用十字相乘法分解因式了.
解 (x-y)(2x-2y-3)-2
=(x-y)[2(x-y)-3]-2
=2(x-y)2-3(x-y)-2
=[(x-y)-2][2(x-y)+1]
=(x-y-2)(2x-2y+1).
1 -2
╳
2 1
1×1+2×(-2)=－3
指出：把(x-y)看作一個整體進行因式分解，這又是運用了數(shù)學(xué)中的“整體”思想方法。
例5 x2+2x-15
分析：常數(shù)項(-15)<0，可分解成異號兩數(shù)的積，可分解為(-1)(15)，或(1)(-15)或(3)
(-5)或(-3)(5)，其中只有(-3)(5)中-3和5的和為2。
=(x-3)(x+5)
總結(jié)：①型的式子的因式分解
這類二次三項式的特點是：二次項的系數(shù)是1；常數(shù)項是兩個數(shù)的積；一次項系數(shù)是常數(shù)項的兩個因數(shù)的和.因此，可以直接將某些二次項的系數(shù)是1的二次三項式因式分解：
②kx2+mx+n型的式子的因式分解
如果能夠分解成k=ac，n=bd，且有ad+bc=m 時，那么
kx2+mx+n=(ax+b)(cx+d)
a b
╳
c d
1．直接開平方法：
直接開平方法就是用直接開平方求解一元二次方程的方法。用直接開平方法解形如的
方程，其解為.
例1．解方程（1）(3x+1)2=7 （2）9x2-24x+16=11
分析：（1）此方程顯然用直接開平方法好做，（2）方程左邊是完全平方式(3x-4)2，右邊=11>0，所以
此方程也可用直接開平方法解。
（1）解：(3x+1)2=7×
∴(3x+1)2=5
∴3x+1=±(注意不要丟解)
∴x=
∴原方程的解為x1=,x2=
（2）解： 9x2-24x+16=11
∴(3x-4)2=11
∴3x-4=±
∴x=
∴原方程的解為x1=,x2=
2．配方法：用配方法解方程ax2+bx+c=0 (a≠0)
先將常數(shù)c移到方程右邊：ax2+bx=-c
將二次項系數(shù)化為1：x2+x=-
方程兩邊分別加上一次項系數(shù)的一半的平方：x2+x+( )2=- +( )2
方程左邊成為一個完全平方式：(x+ )2=
當b2-4ac≥0時，x+ =±
∴x=(這就是求根公式)
例2．用配方法解方程 3x2-4x-2=0
解：將常數(shù)項移到方程右邊 3x2-4x=2
將二次項系數(shù)化為1：x2-x=
方程兩邊都加上一次項系數(shù)一半的平方：x2-x+( )2= +( )2
配方：(x-)2=
直接開平方得：x-=±
∴x=
∴原方程的解為x1=,x2= .
3．公式法：把一元二次方程化成一般形式，然后計算判別式△=b2-4ac的值，當b2-4ac<0時，無解；方程當b2-4ac≥0時，把各項系數(shù)a, b, c的值代入求根公式就可得到方程的根。
例3．用公式法解方程2x2-8x=-5
解：將方程化為一般形式：2x2-8x+5=0
∴a=2, b=-8, c=5
b2-4ac=(-8)2-4×2×5=64-40=24>0
∴x= = =
∴原方程的解為x1=,x2= .
4．因式分解法：把方程變形為一邊是零，把另一邊的二次三項式分解成兩個一次因式的積的形式，讓
兩個一次因式分別等于零，得到兩個一元一次方程，解這兩個一元一次方程所得到的根，就是原方程的兩個
根。這種解一元二次方程的方法叫做因式分解法。
例4．用因式分解法解下列方程：
(1) (x+3)(x-6)=-8 (2) 2x2+3x=0
(3) 6x2+5x-50=0 (選學(xué)） (4)x2-2( + )x+4=0 （選學(xué)）
(1)解：(x+3)(x-6)=-8 化簡整理得
x2-3x-10=0 (方程左邊為二次三項式，右邊為零)
(x-5)(x+2)=0 (方程左邊分解因式)
∴x-5=0或x+2=0 (轉(zhuǎn)化成兩個一元一次方程)
∴x1=5,x2=-2是原方程的解。
(2)解：2x2+3x=0
x(2x+3)=0 (用提公因式法將方程左邊分解因式)
∴x=0或2x+3=0 (轉(zhuǎn)化成兩個一元一次方程)
∴x1=0，x2=-是原方程的解。
注意：有些同學(xué)做這種題目時容易丟掉x=0這個解，應(yīng)記住一元二次方程有兩個解。
(3)解：6x2+5x-50=0
(2x-5)(3x+10)=0 (十字相乘分解因式時要特別注意符號不要出錯)
∴2x-5=0或3x+10=0
∴x1=, x2=- 是原方程的解。
(4)解：x2-2(+ )x+4 =0 （∵4 可分解為2 ·2 ，∴此題可用因式分解法）
(x-2)(x-2 )=0
∴x1=2 ,x2=2是原方程的解。
5.十字相乘法
可對形如y=x2+(p+q)x+pq型的式子的因式分解
這類二次三項式的特點是：二次項的系數(shù)是1；常數(shù)項是兩個數(shù)的積；一次項系數(shù)是常數(shù)項的兩個因數(shù)的和。因此，可以直接將某些二次項的系數(shù)是1的二次三項式因式分解： x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)
二元二次方程：含有兩個未知數(shù)且未知數(shù)的最高次數(shù)為2的整式方程。
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