素?cái)?shù)（質(zhì)數(shù)）之于整數(shù)就像原子之于分子，在這個(gè)意義上，每一個(gè)大于1的整數(shù)都可以寫成質(zhì)數(shù)的唯一乘積形式。
素?cái)?shù)
素?cái)?shù)是大于1的正整數(shù)，不能寫成兩個(gè)較小的正整數(shù)的乘積，如2，3，5，7，11，…
2300年前，歐幾里得證明了素?cái)?shù)有無窮多個(gè)，這是一個(gè)具有里程碑意義的證明。自那時(shí)起，人類對(duì)素?cái)?shù)的研究就從未停止過?？v觀歷史，數(shù)學(xué)家們一直為表面上看似容易的難題所困擾。正如我們將在本文中看到的，有些質(zhì)數(shù)比其他質(zhì)數(shù)更特殊。
當(dāng)偉大的數(shù)學(xué)家卡爾·弗里德里希·高斯十幾歲的時(shí)候，他得到了一本包含對(duì)數(shù)表的書。那個(gè)時(shí)候，對(duì)數(shù)表真的很方便，在某種程度上相當(dāng)于現(xiàn)代的計(jì)算機(jī)。高斯對(duì)這些值非常熟悉且敏感。
在開始本文的主題之前，讓我們先回顧一下什么是自然對(duì)數(shù)餓。在18世紀(jì)，歐拉定義了數(shù)字e≈2.718281828…下面的公式可以讓你得到e的任意精度的值，
e是一個(gè)非常重要的數(shù)，我們都知道以e為底的指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)：d/dx f(x) = f(x)。對(duì)數(shù)函數(shù)ln（x）是e^x的反函數(shù)。對(duì)數(shù)最重要的性質(zhì)是ln(xy) = ln(x) + ln(y)，也就是說，我們可以把乘積問題轉(zhuǎn)化為求和問題，使問題更簡(jiǎn)單。
高斯研究了自然對(duì)數(shù)的值，他還有一本關(guān)于數(shù)論的書（尤其是關(guān)于素?cái)?shù)的）。年輕的高斯靈光一閃，發(fā)現(xiàn)了他的兩本書之間的聯(lián)系。他看到了自然對(duì)數(shù)和素?cái)?shù)之間的聯(lián)系。高斯的發(fā)現(xiàn)是，
定義質(zhì)數(shù)計(jì)數(shù)函數(shù)π(x)為小于等于x的質(zhì)數(shù)的個(gè)數(shù)，例如，π(10) = 4，因?yàn)橛?個(gè)小于等于10的質(zhì)數(shù)（2、3、5和7）。高斯注意到，函數(shù)x/ln(x)和π(x)似乎隨著x的增大以相同的速度增長(zhǎng)。
更準(zhǔn)確地說，高斯推測(cè)π(x) ~ x/ln(x)，這意味著當(dāng)x趨于∞時(shí)，π(x) / (x/ln(x))趨于1。
后來，高斯發(fā)現(xiàn)了π(x)的一個(gè)更好的近似，即1/ln(t)從2到x的積分。如下圖所示，
1859年，高斯的一個(gè)學(xué)生，波恩哈德·黎曼，發(fā)表了數(shù)論中最重要和最有影響力的論文之一。這篇短小的文章，激發(fā)了一個(gè)全新的主題，給當(dāng)時(shí)的數(shù)學(xué)家們提供了一個(gè)研究素?cái)?shù)分布的新工具。這個(gè)工具現(xiàn)在被稱為黎曼zeta函數(shù)，它用希臘字母ζ表示。
對(duì)于Re(s) > 1，我們可以通過以下無窮級(jí)數(shù)定義黎曼zeta函數(shù)：
Re（s）表示復(fù)數(shù)s的實(shí)部。
黎曼的思想是，用復(fù)數(shù)作為這個(gè)函數(shù)的參數(shù)。zeta函數(shù)已經(jīng)為當(dāng)時(shí)的人所熟知，在黎曼之前，歐拉和切比雪夫?qū)ζ溥M(jìn)行了深入的研究，但都是以實(shí)數(shù)為參數(shù)。歐拉發(fā)現(xiàn)了這個(gè)函數(shù)和質(zhì)數(shù)分布之間的聯(lián)系，但他沒有發(fā)現(xiàn)，真正的聯(lián)系隱藏在另一個(gè)維度中（復(fù)數(shù)）。
事實(shí)證明，解開這種聯(lián)系的關(guān)鍵是復(fù)數(shù)。黎曼發(fā)現(xiàn)，如果有人能證明：對(duì)于所有實(shí)部為1的復(fù)數(shù)（Re(s) = 1），zeta（s）≠0，高斯在15歲時(shí)所做的關(guān)于對(duì)數(shù)和質(zhì)數(shù)的猜想就能成立。
在研究這些所謂的zeta函數(shù)的非平凡零點(diǎn)時(shí)，黎曼發(fā)現(xiàn)最初的幾個(gè)零點(diǎn)位于復(fù)平面上的一條直線上，即Re(s) = 1/2這條直線。但對(duì)于高斯猜想來說，只要證明當(dāng)Re(s) = 1時(shí)，zeta（s）≠0就足夠了。
這個(gè)結(jié)果現(xiàn)在被稱為素?cái)?shù)定理。素?cái)?shù)定理描述了正整數(shù)中素?cái)?shù)的漸近分布。它通過精確量化質(zhì)數(shù)出現(xiàn)的速率，形成了質(zhì)數(shù)越大，質(zhì)數(shù)就越不常見這一直觀觀點(diǎn)。1896年，阿達(dá)馬和德·拉·瓦萊布桑利用黎曼的思路，各自獨(dú)立證明了素?cái)?shù)定理
實(shí)際上，當(dāng)臨界帶0<a<Re(s)<b<1向Re(s) = 1/2方向不斷縮小時(shí)，素?cái)?shù)定理會(huì)得到相應(yīng)的改進(jìn)。因此，黎曼猜想是關(guān)于素?cái)?shù)計(jì)數(shù)函數(shù)的一種終極表述。這就是為什么它如此重要。
孿生素?cái)?shù)
孿生素?cái)?shù)是指一對(duì)差為2的素?cái)?shù)，如(3,5)，(5,7)，(11,13)，(17,19)，(29,31)，…孿生素?cái)?shù)在數(shù)軸上越來越稀疏。維戈·布倫在1915年證明了孿生素?cái)?shù)的倒數(shù)和是收斂的。相比之下，素?cái)?shù)的倒數(shù)和是發(fā)散的。
孿生素?cái)?shù)的猜想是：存在無限多對(duì)孿生素?cái)?shù)。盡管張益唐、梅納德和陶哲軒等數(shù)學(xué)大師一直在研究孿生素?cái)?shù)猜想，并在取得了一些突破，但這個(gè)猜想仍未被證明。
目前而言，我們已經(jīng)清楚孿生素?cái)?shù)的一些基本性質(zhì)，例如，關(guān)于素?cái)?shù)的威爾遜定理說，當(dāng)且僅當(dāng)4（p-1）！+p+4能被p（p+2）整除時(shí)，p和p+2是孿生素?cái)?shù)對(duì)。
即上述條件是p和p+2為孿生素?cái)?shù)對(duì)的充要條件。例如，孿生素?cái)?shù)對(duì)(5,7)，根據(jù)上面的條件是35除105，結(jié)果是3，顯然成立。
上面的條件可以用模運(yùn)算的符號(hào)寫得更簡(jiǎn)潔：4((p-1)!≡-p (mod p(p+2))。
孿生素?cái)?shù)還有一個(gè)非常有趣的條件。
對(duì)于所有的自然數(shù)n和m，當(dāng)且僅當(dāng) k ≠ 6nm ± n ±m(xù)時(shí)，6k±1均為素?cái)?shù)（因此是孿生素?cái)?shù)）。
相差2的素?cái)?shù)叫
另一個(gè)被稱為為第一哈代-李特伍德猜想 （first Hardy-Littlewood conjecture）的是由兩位杰出的數(shù)學(xué)家哈代和李特伍德提出的。這個(gè)猜想是，
設(shè)τ（x）是素?cái)?shù)p≤x的個(gè)數(shù)，并且p+2也是素?cái)?shù)，那么存在一個(gè)常數(shù)C（稱為孿生素?cái)?shù)常數(shù)），使得
這有點(diǎn)像素?cái)?shù)定理，只是對(duì)象是孿生素?cái)?shù)。這自動(dòng)引申出了另一個(gè)問題，能否把第一哈代-李特伍德猜想推廣到表親素?cái)?shù)和性感素?cái)?shù)，乃至更一般的情況。
答案是肯定的，但它附帶了一個(gè)重要的條件。讓我們先看看結(jié)果。
P和P + 2k是一對(duì)素?cái)?shù)，當(dāng)且僅當(dāng)P (P + 2k)能整除2 k (2 k) !((p?1)!+ 1) + p (2k)!?1)，且gcd(p, (2k)!) = gcd(p + 2k, (2k)!) = 1。
這里gcd(n, m)表示n和m的最大公約數(shù)，gcd(n, m) = 1表示n和m是互質(zhì)的。
結(jié)論是，這個(gè)條件是必要而不是充分的。當(dāng)條件滿足時(shí)，我們不能確定p和p + 2k都是素?cái)?shù)。有時(shí)滿足這個(gè)條件但不是素?cái)?shù)的數(shù)被稱為偽素?cái)?shù)。
我相信孿生素?cái)?shù)猜想是能被證明的，但何時(shí)能被證明還很難說。也許我們需要另一個(gè)黎曼出現(xiàn)。
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