龐加萊1905年的兩篇同題文章《論電子的動力學(xué)》，雖被主流學(xué)術(shù)界遺忘一百多年，但終究會被載入史冊從而成為整個(gè)物理學(xué)經(jīng)典中之經(jīng)典。他所發(fā)現(xiàn)的洛倫茲群，已與量子觀念一起構(gòu)成了現(xiàn)代物理學(xué)公認(rèn)的兩大基石之一。他所建立的四維時(shí)空的贗歐幾里得幾何，讓時(shí)間t與空間x，y，z 一樣變?yōu)橄鄬α?，進(jìn)而產(chǎn)生出同時(shí)性的相對性、時(shí)間膨脹、長度收縮等人們至今仍津津樂道的話題。他所建立的四維相對論運(yùn)動方程，終結(jié)了牛頓運(yùn)動方程對物理學(xué)長達(dá)兩百余年的統(tǒng)治，使之變?yōu)楠M義相對論的低速近似規(guī)律。他所證明的電動力學(xué)的完整協(xié)變性，讓運(yùn)動物體的電動力學(xué)從物理學(xué)前沿研究變成相關(guān)應(yīng)用學(xué)科的必備基礎(chǔ)，也變成大學(xué)課堂上聚訟紛紜的永恒主題。
撰文 | 金曉峰 (復(fù)旦大學(xué)物理學(xué)系)
來源 | 本文選自《物理》2022年第4期
我們在上期《龐加萊的狹義相對論之一：洛倫茲群的發(fā)現(xiàn)》(《文一》)中，介紹了龐加萊《七月文章》的重要發(fā)現(xiàn)之一：洛倫茲變換 (boost) 與空間轉(zhuǎn)動一同構(gòu)成了一個(gè)群。這個(gè)洛倫茲群的存在，直接導(dǎo)致了四維時(shí)空的贗歐幾里得幾何 (pseudo-Euclideang eometry)，從而奠定了狹義相對論的運(yùn)動學(xué)基礎(chǔ)。在四維時(shí)空中看，兩個(gè)慣性系之間的相
質(zhì)讓時(shí)間t與空間x，y，z 一樣變?yōu)橄鄬α?，并產(chǎn)生如“同時(shí)性的相對性”、“時(shí)間膨脹”、“長度收縮”等陌生而有趣的概念。百年之后回頭看，對洛倫茲群發(fā)現(xiàn)的重要性怎么強(qiáng)調(diào)都不為過，因?yàn)樗雅c量子觀念一起構(gòu)成了現(xiàn)代物理學(xué)公認(rèn)的兩大基石之一。龐加萊的這一發(fā)現(xiàn)，或許可以看作是對畢達(dá)哥拉斯“萬物皆數(shù)”的絕佳闡釋，恰如著名數(shù)學(xué)家蓋爾方特所說：“數(shù)學(xué)是文化的一部分，……優(yōu)美、簡單、精確和不可思議的思想這四個(gè)東西的組合，正是數(shù)學(xué)的核心?！?/span>
對于物理學(xué)定律的對稱性，費(fèi)曼曾說：“我如此詳細(xì)地談?wù)撨@個(gè)具體例子，是因?yàn)樗_啟了物理學(xué)定律的對稱性研究。正是龐加萊，他提出了可以對方程做什么而使之不變的分析；也正是龐加萊，他主張對物理定律的對稱性給予重視?？臻g平移，時(shí)間延遲等對稱性并不很深刻，但是，由均勻一致速度帶來的對稱性卻非常有趣，而且產(chǎn)生了一系列后果。不止于此，這些后果還可以被拓展到我們未知的定律之中?！?/span> (I bring this particular example up in such detail because it is really the beginning of the study of symmetries in physical laws. It was Poincaré’s suggestion to make this analysis of what you can do to the equations and leave them alone. It was Poincaré’s attitude to pay attention to the symmetries of physical laws. The symmetries of translation in space, delay in time, and so on, were not very deep; but the symmetry o funiform velocity in a straight line is very interesting, and has all kinds of consequences. Furthermore, these consequences are extendable into laws that we do not know.) 那么，究竟什么是物理學(xué)定律的對稱性呢？對稱性對任何人都不陌生，日常生活中隨處可見，比如，圓形的餐桌，正方形的地磚，左右對稱的人臉等等，數(shù)不勝數(shù)。我們發(fā)現(xiàn)：任意一個(gè)對稱的幾何圖形，總存在一些讓圖形保持不變 (leave them alone) 的操作 (what you can do)。比如，將圓形的餐桌轉(zhuǎn)過任一角度，圖形不會變；將正方形的地磚轉(zhuǎn)過90°、180°、270°、360°，圖形也不變；將左 (或右) 半臉作鏡面反射，圖形也不變等等。用數(shù)學(xué)的語言講，對任一給定的幾何圖形，保持圖形不變的操作被稱為對稱操作，所有這些對稱操作的集合可以構(gòu)成一個(gè)群。換句話說，我們稱這個(gè)幾何圖形具有該群的對稱性。所謂物理學(xué)定律的對稱性，即相應(yīng)物理公式的對稱性，顧名思義，也就是保持方程形式不變的對稱操作，這些操作也構(gòu)成一個(gè)群；類似的，我們也稱這個(gè)物理學(xué)定律具有該群的對稱性。下面我們將會看到，龐加萊在《七月文章》中如何具體證明麥克斯韋—洛倫茲方程組等一系列物理定律具有洛倫茲群的對稱性，這正是費(fèi)曼所說的“It was Poincaré’s suggestion to make this analysis of what you can do to the equations and leave them alone. It was Poincaré’s attitude to pay attention to the symmetries of physical laws.”其中，他最先發(fā)現(xiàn)了電磁作用量的洛倫茲不變性 (the invariant action)。十多年后的1918年，Emmy Noether正是從研究對稱操作下的作用量不變性出發(fā)，揭示出對稱性與守恒量之間的密切關(guān)系 (Noether定理)，充分彰顯了物理學(xué)定律的對稱性研究之重要性。同時(shí)，正是基于對方程的對稱性要求，龐加萊發(fā)現(xiàn)了電子的四維相對論運(yùn)動方程這一原本并不存在的全新方程，這也正如費(fèi)曼所說的“But the symmetry of uniform velocity in a straight line is very interesting, and has all kinds of consequences. Furthermore, these consequences are extendable into laws that we do not know. ”
本文接下來將詳細(xì)介紹龐加萊《七月文章》的下述兩項(xiàng)重要成果：(1)嚴(yán)格證明電動力學(xué)的完整協(xié)變性。龐加萊不僅證明了麥克斯韋方程組的協(xié)變性，而且還證明了帶電粒子運(yùn)動方程的協(xié)變性，從而徹底解決了長期爭論不休的動體電動力學(xué)這個(gè)難題。(2)發(fā)現(xiàn)電子的四維相對論運(yùn)動方程。龐加萊首先證明了作用量的洛倫茲不變性，并以此為基礎(chǔ)獲得了電子的四維相對論性運(yùn)動方程，一舉奠定狹義相對論的動力學(xué)基礎(chǔ)，從此終結(jié)了牛頓運(yùn)動方程對物理學(xué)長達(dá)兩百余年的統(tǒng)治，使之成為狹義相對論的低速近似規(guī)律。
1 矢量的洛倫茲變換
意識到四維時(shí)空具有洛倫茲群的對稱性極其重要，它直接導(dǎo)致了一系列影響深遠(yuǎn)的重要后果，或許這就是數(shù)學(xué)“不可思議的思想”。龐加萊正是從這里出發(fā)，嚴(yán)格證明了電動力學(xué)定律具有洛倫茲群的對稱性；必須強(qiáng)調(diào)指出，電動力學(xué)完整的協(xié)變性，不僅包含麥克斯韋方程組的協(xié)變性，而且還包含帶電粒子運(yùn)動方程的協(xié)變性。下面我們將看到，洛倫茲和愛因斯坦都證明了無源麥克斯韋方程組的協(xié)變性。對于有源麥克斯韋方程組，洛倫茲做錯了，而愛因斯坦只證明了它們與相對性原理是兼容的 (愛因斯坦原話的英文翻譯是agree with) ，只有龐加萊嚴(yán)格證明了它們的協(xié)變性，即由洛倫茲變換從S 系中的方程組嚴(yán)格導(dǎo)出S ′系中形式完全相同的方程組。對于帶電粒子的相對論運(yùn)動方程，愛因斯坦沒能得到，而龐加萊得到并證明了它的協(xié)變性。
圖1 二維空間的轉(zhuǎn)動示意圖
難道龐加萊有什么“獨(dú)門神器”嗎？別說，他還確實(shí)有，那就是四維時(shí)空的贗歐幾里得幾何！為了清楚地說明這點(diǎn)，讓我們以二維空間的轉(zhuǎn)動為例[1]。如圖1所示，將(x，y )坐標(biāo)軸逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)φ角度可得(x ′，y ′)坐標(biāo)軸，矢量r 在這個(gè)轉(zhuǎn)動過程中保持不變，它在S ′系和S 系的關(guān)系式如下：
顯然，若沒有四維時(shí)空的圖像，這個(gè)結(jié)果是不可想象的。接下來我們將會看到，這一矢量變換式在相對論動力學(xué)中起了至關(guān)重要的作用，這也可以算是龐加萊的“獨(dú)門神器”吧。
龐加萊當(dāng)然非常清楚這一點(diǎn)。在《文一》中筆者曾經(jīng)指出，他顯然比任何人都清楚《七月文章》的第4節(jié)應(yīng)該放在第1節(jié)才是順理成章的文章寫法，但為了避免“喧賓奪主”，他沒有這么做?；蛟S不少讀者對此不以為然，認(rèn)為這只是筆者的過度解讀而已。事實(shí)上，龐加萊在《六月文章》(即《七月文章》的詳細(xì)摘要) 的引言 (背景介紹) 之后，緊接的是下面這段話 (完全是第4節(jié)的結(jié)論)：
“在這個(gè)(洛倫茲)變換中，x 軸扮演了特殊的角色，但我們顯然可以構(gòu)造這樣的變換，在這里某一條通過原點(diǎn)的直線將扮演這個(gè)角色。所有這樣的變換加上所有的空間轉(zhuǎn)動的整個(gè)集合構(gòu)成了一個(gè)群；但這必須要求l=1，這正是洛倫茲用另一種方式得到的結(jié)果?！?/span>
首先，龐加萊更正了洛倫茲1904年文章中的兩個(gè)錯誤。當(dāng)然，一如既往，他不說洛倫茲做錯了，而是說“(我)這里的公式與洛倫茲之前得到的不太一樣(different somewhat)”，典型的龐加萊風(fēng)格！因?yàn)橐C明有源麥克斯韋—洛倫茲方程組的協(xié)變性，所以必須要知道電荷密度ρ與電流密度ρu 在洛倫茲變換下如何變換，這是問題的核心也是難點(diǎn)。下面是龐加萊的正確結(jié)果：
其次，龐加萊給出了洛倫茲變換下力的正確變換公式。必須指出，無論是證明 (龐加萊版本) 或者說明 (愛因斯坦版本) 有源麥克斯韋方程組的協(xié)變性，相對于證明無源麥克斯韋方程組的協(xié)變性，都是一個(gè)重要進(jìn)展，但這還不是電動力學(xué)或電磁規(guī)律的完整協(xié)變性。只有在進(jìn)一步證明帶電粒子在電磁場中的運(yùn)動方程也是協(xié)變的，電動力學(xué)的協(xié)變性才算完整；這當(dāng)然要以能得到電子相對論運(yùn)動方程，即超越牛頓第二定律的運(yùn)動方程為前提。在當(dāng)今的教科書和文獻(xiàn)上，相對論運(yùn)動方程幾乎都被冠以愛因斯坦的名字，但不得不說，這個(gè)方程與愛因斯坦真沒關(guān)系，因?yàn)橹辽俚?907年他還不知道如何對力進(jìn)行變換 (具體內(nèi)容見后)。下面是龐加萊對三維力的變換結(jié)果。
2 麥克斯韋方程組的完整協(xié)變性
龐加萊《七月文章》第1節(jié)是“洛倫茲變換”，他一口氣羅列出下面11個(gè)他稱作基本方程的公式：
然后根據(jù)下列洛倫茲變換式：
逐一證明了這11個(gè)方程的協(xié)變性，即在S系中成立的公式，經(jīng)洛倫茲變換后，在相對于S 系沿x 方向以v 運(yùn)動的S ′系中形式完全不變 (只是相關(guān)物理量從不帶撇的變成帶撇的而已)。
我們不打算重現(xiàn)他的全部證明，僅僅給出下面幾個(gè)愛因斯坦1905年文章中沒做 (如I) 或做不了 (如II和III) 的證明。
由此便能證明：
以及
其中(E ′, H ′)與(E, H)的關(guān)系如下：
龐加萊在第1節(jié)最后有下面的一段討論，有趣而且重要，因此我們直接將原文翻譯如下：
“假如電子的慣性(筆者注：即質(zhì)量)是純電磁起源的，而且假定它們只受電磁力的作用，那么在電子內(nèi)部的平衡條件：f=0，根據(jù)力的變換式(4)，這等價(jià)于f ′=0。因此，平衡條件不受(洛倫茲)變換的影響。不幸的是，這樣一個(gè)簡單的假定是不允許的，因?yàn)槿绻覀兗僭O(shè)u=0，便意味著E=0。這樣??E=0，也就是ρ=0 (筆者注：推出了電子不帶電的荒唐結(jié)果)。
類似的結(jié)果對一般情況(general case)也成立。所以，我們必須認(rèn)為不僅僅只存在電磁力，而且應(yīng)該有其他的力或約束。我們因而必須確定支配這些力或約束的條件，使得電子的平衡不受(洛倫茲)變換的影響，這將會在之后的一個(gè)章節(jié)中來做(筆者注：第6節(jié))。”
這段話包含了兩個(gè)非常重要的信息。一方面，由力的變換式(4)可知，f=0這個(gè)等式相對于洛倫茲變換是協(xié)變的，這就明確表示，牛頓第一定律或說慣性定律對于經(jīng)典力學(xué)和相對論力學(xué)同樣適用。這就是為什么在狹義相對論中，這個(gè)從經(jīng)典力學(xué)發(fā)展而來的慣性系概念也是整個(gè)新理論的基礎(chǔ)。由于慣性定律常常冠以伽利略的名字，因此當(dāng)狹義相對論的四維時(shí)空觀，顛覆了伽利略時(shí)空觀 (絕對時(shí)間)，而將其視為一種極限情形(光速→∞)時(shí)，不免容易造成誤解，以為慣性定律 (牛頓第一定律) 也不成立了。另一方面，龐加萊的結(jié)果表明，由于同性電荷的排斥作用，一個(gè)穩(wěn)定的電子，除了電磁力外，必定存在非電磁的其他力來平衡同性電荷排斥力。值得提醒一下，龐加萊的“電子” (electron) 一詞，在其所有著作中都不僅僅用來指代我們今天所講的電子，它同樣適用于我們今天所講的原子核以及正負(fù)離子，實(shí)際上與我們今天所說的無論帶正電還是帶負(fù)電的“帶電粒子”更加吻合。他的《六月文章》和《七月文章》都以“On the dynamics of the electron”為標(biāo)題，把它翻譯成“論帶電粒子的動力學(xué)”實(shí)際上更合適。
順便說一下，洛倫茲的電動力學(xué)理論被稱為洛倫茲電子論，這里的電子也作同樣理解，它既指帶負(fù)電也指帶正電的帶電粒子。特別是，麥克斯韋—洛倫茲方程組又被稱為微觀的麥克斯韋方程，就是因?yàn)樵谶@組方程組的模型里，只有處于確定空間位置的帶正負(fù)電荷的粒子及其它們的運(yùn)動 (構(gòu)成電流)，剩下的就是真空 (以太)。正像朗道的《連續(xù)介質(zhì)電動力學(xué)》第一頁上所說：“連續(xù)介質(zhì)電動力學(xué)的基本方程組是通過對真空中的電磁場方程組進(jìn)行平均而得到的。這一從微觀得到宏觀方程組的方法是由洛倫茲于1902年最先使用的?！焙喲灾暧^麥克斯韋方程組可由微觀麥克斯韋—洛倫茲方程組平均而來。正因?yàn)楹笳弑惹罢吒踊径移毡?，所以狹義相對論的奠基者洛倫茲、龐加萊、愛因斯坦事實(shí)上都是針對麥克斯韋—洛倫茲方程組來展開討論的。這也是為什么朗道理論物理系列教程，在第二冊《經(jīng)典場論》中先討論麥克斯韋—洛倫茲方程組，然后在第五冊《連續(xù)介質(zhì)電動力學(xué)》中討論宏觀麥克斯韋方程組的道理。
3 最小作用量原理
龐加萊《七月文章》的第2節(jié)和第3節(jié)分別是“最小作用量原理”和“洛倫茲變換與最小作用量原理”。他比任何人都敏銳地意識到，最小作用量原理與洛倫茲群是否兼容是一個(gè)非常重要的問題，這正是他在第3節(jié)中關(guān)注的核心問題。他首先在第2節(jié)中將整個(gè)麥克斯韋電動力學(xué)建立在最小作用量原理之上，然后在第3節(jié)中嚴(yán)格證明了作用量是洛倫茲變換下的不變量，這為接下來討論電子的相對論動力學(xué)奠定了基礎(chǔ)。
從最小作用量原理出發(fā)，龐加萊得到了電磁場的作用量表達(dá)式
4 經(jīng)典電子模型的龐加萊張力
原則上，龐加萊在第4節(jié)“洛倫茲群”中已嚴(yán)格證明l=1是唯一正確的結(jié)果，即只有洛倫茲模型是正確的。同時(shí)，龐加萊比任何人都清楚，不同參照系之間的長度和時(shí)間相對性，完全是基于光速不變及各向同性公設(shè) (postulate) 的測量問題 (我們將會在下一篇文章《文三》中詳細(xì)討論) ，換句話說，是一個(gè)純粹的運(yùn)動學(xué)問題。那么，對一個(gè)已經(jīng)有明確答案的運(yùn)動學(xué)問題，龐加萊為什么還要從動力學(xué)的角度，花那么大的功夫去討論呢？這不顯得有點(diǎn)畫蛇添足嗎？
事實(shí)上，龐加萊在這里探討了一個(gè)非常深刻的問題，充分體現(xiàn)了他作為大數(shù)學(xué)家、大數(shù)學(xué)物理學(xué)家的“不可思議的思想”。他關(guān)心的問題是：如果洛倫茲模型是正確的，那它與物理學(xué)最重要的基本原理之一——最小作用量原理——兼容嗎？為此，他考察一個(gè)最簡單的情況：對于一個(gè)在S 系中作勻速直線運(yùn)動的電子，它的能量、拉格朗日量和動量應(yīng)該如何表達(dá)？由于這三者不是相互獨(dú)立的，所以考察它們之間的關(guān)系，可以用來判斷上述三個(gè)模型與這一作用量原理的兼容性。如果我們就此打住，讓讀者自己猜一下龐加萊得到的答案，估計(jì)會讓絕大多數(shù)人大跌眼鏡。完全出乎預(yù)料，朗之萬模型竟然是唯一能與這個(gè)從作用量角度出發(fā)的基本原理兼容的模型！換句話說，龐加萊從動力學(xué)角度得到的結(jié)果與從運(yùn)動學(xué)角度得到的結(jié)果完全矛盾！這就回到了龐加萊在第1節(jié)末尾說的那段話：
“所以，我們必須認(rèn)為不僅僅只存在電磁力，而且應(yīng)該有其他的力或約束。我們因而必須確定支配這些力或約束的條件，使得電子的平衡不受(洛倫茲)變換的影響”。
這就是所謂龐加萊張力的來源。沒有它，不僅電子不可能穩(wěn)定存在，而且電子模型跟狹義相對論也不可能相容。為了解決這一矛盾，龐加萊這么說：
“因此我們這樣表述下列問題：除了電磁力外，我們必須引進(jìn)什么樣的附加力，可以得到洛倫茲的模型，或更一般地說，得到不同于朗之萬模型的結(jié)果?！?/span>
在引進(jìn)了附加勢之后，洛倫茲模型得到了挽救，而朗之萬模型就變得不合理了 (引起了發(fā)散)。最重要的一個(gè)結(jié)論是：這個(gè)附加力 (也就是龐加萊張力) 正比于電子的體積，它相當(dāng)于一個(gè)負(fù)壓，補(bǔ)償了同號電荷間相互排斥引起的電子不穩(wěn)定性，至少定性解釋了為什么自然界確實(shí)存在穩(wěn)定的電子，同時(shí)還與洛倫茲群的對稱性完全兼容。
雖然龐加萊在此更多是著眼于理論的自洽，而不是有關(guān)電子質(zhì)量的電磁或非電磁起源，但由他引進(jìn)的龐加萊張力卻在之后幾十年的粒子物理研究中成為一個(gè)重要問題，在物理學(xué)史的重要性不言而喻，詳細(xì)討論可見《費(fèi)曼物理學(xué)講義》第二冊第28章[3]。雖然經(jīng)典電子模型今天已經(jīng)過時(shí)，而且電子的質(zhì)量起源，至少就其主要部分而言也不是電磁的，而是源于電弱統(tǒng)一理論中的規(guī)范對稱性自發(fā)破缺，有興趣的讀者可參閱盧昌海博士的文章《質(zhì)量的起源》[4]。但有趣的是，龐加萊張力與此并不矛盾，因?yàn)閷㈦娮涌闯牲c(diǎn)電荷后，龐加萊張力也自然趨近于零。事實(shí)上，這與麥克斯韋—洛倫茲方程組的基本特征完全吻合，正像David Griffiths在其《電動力學(xué)導(dǎo)論》教科書中所說：“以電荷密度和電流密度的形式表達(dá)的麥克斯韋電動力學(xué)，一個(gè)點(diǎn)電荷必須被看作是尺度趨近于零的一個(gè)廣延電荷。”[5]
5 帶電粒子的相對論運(yùn)動方程
龐加萊《七月文章》第7節(jié)“緩慢加速的運(yùn)動” (quasi-stationary motion) 是繼第4節(jié)“洛倫茲群”之后的又一華彩樂章，在這里龐加萊發(fā)現(xiàn)了電子的相對論性運(yùn)動方程，從此結(jié)束了牛頓運(yùn)動方程長達(dá)兩百余年的統(tǒng)治。他這樣開頭：
“尚待考察的是，這樣一個(gè)電子收縮的假定(筆者注：即洛倫茲收縮)是否可以解釋絕對運(yùn)動的不可能性(筆者注：即相對性原理)，我將從研究一個(gè)孤立電子，或說處于遠(yuǎn)處其他電子作用下電子的緩慢加速運(yùn)動開始。(It remain to be seen if this hypothesis on the contraction of electrons accounts for the impossibility of manifesting absolute motion, and we shall begin with studying the quasi-stationary motion of an isolated electron, or one subjected only to the action of other distant electrons)。”
這段話很重要，而且在我們之后的《文三》和《文四》中還會涉及，因此將原文附上，以免誤解。這里只想簡單提一句，hypothesis在龐加萊的語義中有三種不同的意思 (見龐加萊的《科學(xué)與假設(shè)》)，此處所用只是指尚待經(jīng)驗(yàn)確認(rèn)的事實(shí)，而絕非以它作為前提來推導(dǎo)什么結(jié)果。
接著龐加萊明確解釋了由Abraham (1902年) 引入的“緩慢加速的運(yùn)動”這一概念的含義。要點(diǎn)有二：(1)電磁輻射可以忽略，(2)只計(jì)及拉格朗日量對電子運(yùn)動速度的偏導(dǎo)數(shù)而忽略對加速度的偏導(dǎo)數(shù)。這樣的電子滿足運(yùn)動方程：
接著龐加萊又證明了上述相對論運(yùn)動方程(16)式在洛倫茲群下是協(xié)變的。至此，龐加萊真正嚴(yán)格證明了電動力學(xué)的完整協(xié)變性：不僅麥克斯韋方程組，而且?guī)щ娏Ｗ拥倪\(yùn)動方程都具有洛倫茲群的對稱性。他確實(shí)干凈徹底地解決了電子的動力學(xué)問題，這與他《六月文章》和《七月文章》的題目《論電子的動力學(xué)》完全契合。同時(shí)，他所建立的四維時(shí)空，四維時(shí)空不變量，四維矢量等概念，之后又成為閔可夫斯基工作的基礎(chǔ)。因此，可以毫不夸張地說：在1905年，龐加萊憑一己之力，是世界上唯一既建立了狹義相對論運(yùn)動學(xué)，又建立了狹義相對論動力學(xué)的人。同一年中的愛因斯坦，確實(shí)獨(dú)立建立了狹義相對論的運(yùn)動學(xué)，可他的電子運(yùn)動方程做錯了，而且電子的橫向質(zhì)量m⊥也做錯了(見愛因斯坦1905年原文[8])。1906年普朗克成為歷史上得到電子相對論運(yùn)動方程的第二人，而正確的相對論運(yùn)動方程第一次出現(xiàn)在愛因斯坦的文章中已是1907年的事了[9]，他如此寫到：“按普朗克的方式來定義力。質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動方程的重新表述，如此清楚地證明了它們與經(jīng)典力學(xué)運(yùn)動方程的相似性，也取自普朗克的工作。” (“Force is defined as in Planck’s study. The reformulations of the equations of motions of material points, which so clearly demonstrated the analogy between these equations of motion and those of classical mechanics, are also taken from that study.) 顯而易見，愛因斯坦自己也認(rèn)為將牛頓第二定律推廣到相對論運(yùn)動方程這一步不是他的貢獻(xiàn)。
在正式引用龐加萊的下列總結(jié)性陳述之前，筆者注意到：無論是楊振寧先生[10]，還是A. Pais[11]在講到龐加萊沒有達(dá)到相對論時(shí)都引用龐加萊1904年在St Louis大會上的發(fā)言。不錯，龐加萊在1905年6月之前確實(shí)還沒有達(dá)到相對論，但在1905年6月之前愛因斯坦不也沒有達(dá)到嗎？顯然，將1904年的龐加萊與1905年6月之后的愛因斯坦做比較既有失公平也沒有意義。事實(shí)上，不可能有任何人在讀了龐加萊的下列陳述后仍會認(rèn)為他在《七月文章》中沒有達(dá)到相對論：
“因此，洛倫茲的假定(筆者注：l=1)才是唯一能與絕對運(yùn)動之不可能性(筆者注：即相對性原理)兼容的假定；如果一個(gè)人承認(rèn)這種不可能性，那他必須承認(rèn)運(yùn)動著的電子會沿運(yùn)動方向收縮成一個(gè)旋轉(zhuǎn)橢球，其他兩軸的長度不變；他還必須承認(rèn)，正像我們在上一節(jié)中展示的那樣，存在一個(gè)正比于電子體積的附加勢。洛倫茲的分析被完全證實(shí)了，但我們可以更好地解釋其背后的真正原因：這個(gè)原因必須從第4節(jié)內(nèi)容中去尋找。那些不改變運(yùn)動方程的變換構(gòu)成一個(gè)群，而且只有在l=1時(shí)才成立。就像我們不可能意識到一個(gè)電子是處于絕對靜止?fàn)顟B(tài)還是絕對的運(yùn)動狀態(tài)，我們必須要求當(dāng)一個(gè)電子處于運(yùn)動時(shí)，它將會發(fā)生形變，準(zhǔn)確地按照這個(gè)群的相應(yīng)變換強(qiáng)加給它的那樣去進(jìn)行變化?！?/span>
從這段原話我們不難看出，(1)龐加萊顯然很明白，他的第4節(jié)是整個(gè)狹義相對論最核心的內(nèi)容，特別是，洛倫茲群和四維時(shí)空的概念是理解洛倫茲收縮的基礎(chǔ)，進(jìn)而使絕對運(yùn)動之不可能性成為一個(gè)不可動搖的事實(shí)。(2)在一個(gè)不存在絕對運(yùn)動的世界中，一切相對勻速直線運(yùn)動的慣性系，都以洛倫茲群相互關(guān)聯(lián)著，這使得在任一慣性系中為真的物理定律 (公式)，在其他慣性系中也一定為真，即定律 (公式) 的形式在其他慣性系中保持不變。這就是所謂物理定律必須具有洛倫茲群對稱性的真正含義。
至此，我們對龐加萊1905年狹義相對論（《六月文章》和《七月文章》) 的介紹就全部結(jié)束了。下面用幾句話再次總結(jié)一下他對狹義相對論的原創(chuàng)性貢獻(xiàn)：(i)他首先發(fā)現(xiàn)了洛倫茲群；(ii)首先建立了四維時(shí)空的贗歐幾里得幾何；(iii)首先證明電磁作用量的洛倫茲不變性；(iv)首先建立了電子的相對論運(yùn)動方程；(v)首先證明了電動力學(xué)的完整協(xié)變性。
最后，我們對后兩篇文章的主題做一交代。在下一篇文章（《文三》）中，將詳細(xì)介紹龐加萊在通往狹義相對論之路上的重要思想和觀念 (1905年前)，特別是，他如何看待以太，如何看待運(yùn)動，如何看待時(shí)間和空間，如何看待相對性原理和光速不變原理，如何看待科學(xué)中的假設(shè)、定律和原理，以及如何評價(jià)一個(gè)科學(xué)理論等；在最后一篇文章（《文四》）中，將詳細(xì)介紹龐加萊與洛倫茲、愛因斯坦、閔可夫斯基等同時(shí)代人在相對論問題上的交流及其互相影響。
參考文獻(xiàn)
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[8] The Collected Papers of Albert Einstein,Vol. 2. Princeton University Press，1989，p. 169
[9] The Collected Papers of Albert Einstein,Vol. 2. Princeton University Press，1989，p.254
[10] 楊振寧. 愛因斯坦：機(jī)遇與眼光. 見：楊振寧文集. 上海：華東師范大學(xué)出版社，1998
[11] Pais A. Subtle is the Lord. Oxford University Press，1982
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