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2010北京中考重難點(diǎn)專(zhuān)題講座

第一講 線(xiàn)段，角的計(jì)算證明問(wèn)題

                         智康·劉豪

【前言】 中考的解答題一般是分兩到三部分的。第一部分基本上都是一些簡(jiǎn)單題或者中檔題，目的在于考察基礎(chǔ)。第二部分往往就是開(kāi)始拉分的中，難題了。大家研究今年的北京一模就會(huì)發(fā)現(xiàn)，第二部分，或者叫難度開(kāi)始提上來(lái)的部分，基本上都是以線(xiàn)段，角的計(jì)算與證明開(kāi)始的。城鄉(xiāng)18個(gè)區(qū)縣的一模題中，有11個(gè)區(qū)第二部分第一道題都是標(biāo)準(zhǔn)的梯形，四邊形中線(xiàn)段角的計(jì)算證明題。剩下的7個(gè)區(qū)縣題則將線(xiàn)段角問(wèn)題與旋轉(zhuǎn)，動(dòng)態(tài)問(wèn)題結(jié)合，放在了更有難度的倒數(shù)第二道乃至壓軸題當(dāng)中?？梢哉f(shuō)，線(xiàn)段角問(wèn)題就是中考數(shù)學(xué)有難度題的排頭兵。對(duì)這些題輕松掌握的意義不僅僅在于獲得分?jǐn)?shù)，更重要的是對(duì)于整個(gè)做題過(guò)程中士氣，軍心的影響。在這個(gè)專(zhuān)題中，我們對(duì)各區(qū)縣一模真題進(jìn)行總結(jié)歸納,分析研究，來(lái)探究線(xiàn)段，角計(jì)算證明問(wèn)題的解題思路。

第一部分 真題精講

【例1】 （2010，崇文，一模）

如圖，梯形

【思路分析】線(xiàn)段，角的計(jì)算證明基本都是放在梯形中，利用三角形全等相似,直角三角形性質(zhì)以及勾股定理等知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行考察的。所以這就要求我們對(duì)梯形的性質(zhì)有很好的理解，并且熟知梯形的輔助線(xiàn)做法。這道題中未知的是AB,已知的是AD,BC以及△BDC是等腰直角三角形,所以要把未知的AB也放在已知條件當(dāng)中去考察.做AE,DF垂直于BC,則很輕易發(fā)現(xiàn)我們將AB帶入到了一個(gè)有大量已知條件的直角三角形當(dāng)中.于是有解如下.

【解析】

作

在

【例2】（2010，海淀，一模）

已知：如圖，在直角梯形

【思路分析】 這道題給出了梯形兩對(duì)角線(xiàn)的關(guān)系.求梯形上底.對(duì)于這種對(duì)角線(xiàn)之間或者和其他線(xiàn)段角有特殊關(guān)系(例如對(duì)角線(xiàn)平分某角)的題,一般思路是將對(duì)角線(xiàn)提出來(lái)構(gòu)造一個(gè)三角形.對(duì)于此題來(lái)說(shuō),直接將AC向右平移,構(gòu)造一個(gè)以D為直角頂點(diǎn)的直角三角形.這樣就將AD轉(zhuǎn)化成了直角三角形中斜邊被高分成的兩條線(xiàn)段之一,而另一條線(xiàn)段BC是已知的.于是問(wèn)題迎刃而解.

【解析】

過(guò)點(diǎn)

∴ 

∵ 

∴ 

∴ 

∵ 

∴ 四邊形

∴ 

∵ 

∴ 

∵ 

∴ 

∴ 

此題還有許多別的解法，例如直接利用直角三角形的兩個(gè)銳角互余關(guān)系，證明△ACD和 △DBC相似，從而利用比例關(guān)系直接求出CD。有興趣的考生可以多發(fā)散思維去研究。

【例3】（2010，東城，一模）

如圖，在梯形

．

【思路分析】 這道題是東城的解答題第二部分第一道，就是我們所謂提難度的門(mén)檻題。乍看之下好象直接過(guò)D做垂線(xiàn)之類(lèi)的方法不行.那該怎樣做輔助線(xiàn)呢?答案就隱藏在E是中點(diǎn)這個(gè)條件中.在梯形中,一腰中點(diǎn)是很特殊的.一方面中點(diǎn)本身是多對(duì)全等三角形的公共點(diǎn),另一方面中點(diǎn)和其他底,腰的中點(diǎn)連線(xiàn)就是一些三角形的中線(xiàn),利用中點(diǎn)的比例關(guān)系就可以將已知條件代入.比如這道題,過(guò)中點(diǎn)E做BC的垂線(xiàn),那么這條垂線(xiàn)與AD延長(zhǎng)線(xiàn),BC就構(gòu)成了兩個(gè)全等的直角三角形.并且這兩個(gè)直角三角形的一個(gè)銳角的正切值是已經(jīng)給出的.于是得解.

【解析】

過(guò)點(diǎn)

在梯形

∴

在

∴

∴

∵

在

∴

在

【總結(jié)】 以上三道真題,都是在梯形中求線(xiàn)段長(zhǎng)度的問(wèn)題.這些問(wèn)題一般都是要靠做出精妙的輔助線(xiàn)來(lái)解決.輔助線(xiàn)的總體思路就是將梯形拆分或者填充成矩形+三角形的組合,從而達(dá)到利用已知求未知的目的.一般來(lái)說(shuō),梯形的輔助線(xiàn)主要有以下5類(lèi):

1、 過(guò)一底的兩端做另一底的垂線(xiàn)，拆梯形為兩直角三角形+ 一矩形

2、 平移一腰，分梯形為平行四邊形+ 三角形

3、 延長(zhǎng)梯形兩腰交于一點(diǎn)構(gòu)造三角形

4、 平移對(duì)角線(xiàn)，轉(zhuǎn)化為平行四邊形+三角形

5、 連接頂點(diǎn)與中點(diǎn)延長(zhǎng)線(xiàn)交于另一底延長(zhǎng)線(xiàn)構(gòu)筑兩個(gè)全等三角形或者過(guò)中點(diǎn)做底邊垂線(xiàn)構(gòu)筑兩個(gè)全等的直角三角形

以上五種方法就是梯形內(nèi)線(xiàn)段問(wèn)題的一般輔助線(xiàn)做法。對(duì)于角度問(wèn)題，其實(shí)思路也是一樣的。通過(guò)做輔助線(xiàn)使得已知角度通過(guò)平行，全等方式轉(zhuǎn)移到未知量附近。之前三道例題主要是和線(xiàn)段有關(guān)的計(jì)算。我們接下來(lái)看看和角度有關(guān)的計(jì)算與證明問(wèn)題。

【例4】 （2010，延慶，一模）

如圖，在梯形

點(diǎn)

求

【思路分析】 此題相對(duì)比較簡(jiǎn)單，不需要做輔助線(xiàn)就可以得出結(jié)果。但是題目中給的條件都是此類(lèi)角度問(wèn)題的基本條件。例如對(duì)角線(xiàn)平分某角，然后有角度之間的關(guān)系。面對(duì)這種題目還是需要將已知的角度關(guān)系理順。首先根據(jù)題目中條件，尤其是利用平行線(xiàn)這一條件，可以得出（見(jiàn)下圖）角C與角1，2，3以及角E的關(guān)系。于是一系列轉(zhuǎn)化過(guò)后，發(fā)現(xiàn)角C=60度，即三角形DBC為RT三角形。于是得解。

【解析】：

∴

∵

∴

∴

∵ 

∴

∴梯形

∴

∵

∴

在

∵

∴

【例5】（2009，西城，一模）

已知：

    的兩側(cè).

【解析】：

如圖，作AE⊥PB于點(diǎn)E．               

∵ △APE中，∠APE=45°，

∴ 

∵ 

∴ 

在Rt△ABE中，∠AEB=90°，

∴ 

如圖，過(guò)點(diǎn)P作AB的平行線(xiàn)，與DA的延長(zhǎng)線(xiàn)交于F，設(shè)DA的延長(zhǎng)線(xiàn)交PB于G．

在Rt△AEG中，可得

（這一步最難想到，利用直角三角形斜邊高分成的兩個(gè)小直角三角形的角度關(guān)系）

在Rt△PFG中，可得

【總結(jié)】 由此我們可以看出，在涉及到角度的計(jì)算證明問(wèn)題時(shí)，一般情況下都是要將已知角度通過(guò)平行，垂直等關(guān)系過(guò)度給未知角度。所以，構(gòu)建輔助線(xiàn)一般也是從這個(gè)思路出發(fā)，利用一些特殊圖形中的特殊角關(guān)系（例如上題中的直角三角形斜邊高分三角形的角度關(guān)系）以及借助特殊角的三角函數(shù)來(lái)達(dá)到求解的目的。

第二部分 發(fā)散思考

通過(guò)以上的一模真題，我們對(duì)線(xiàn)段角的相關(guān)問(wèn)題解題思路有了一些認(rèn)識(shí)。接下來(lái)我們自己動(dòng)手做一些題目。希望考生先做題，沒(méi)有思路了看分析，再?zèng)]思路了再看答案。

【思考1】如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，

【思路分析】 前面我已經(jīng)分析過(guò)，梯形問(wèn)題無(wú)非也就那么幾種輔助線(xiàn)的做法。此題求腰，所以自然是先將腰放在某個(gè)RT三角形中。另外遇到對(duì)角線(xiàn)垂直這類(lèi)問(wèn)題，一般都是平移某一條對(duì)角線(xiàn)以構(gòu)造更大的一個(gè)RT三角形，所以此題需要兩條輔助線(xiàn)。在這類(lèi)問(wèn)題中，輔助線(xiàn)的方式往往需要交叉運(yùn)用，如果思想放不開(kāi)，不敢多做，巧做，就不容易得出答案。

[解法見(jiàn)后文]

【思考2】如圖，梯形ABCD中，AD//BC，∠B=30°，∠C=60°，E，M，F(xiàn)，N分別是AB，BC，CD，DA的中點(diǎn)，已知BC=7，MN=3，求EF

【思路分析】此題有一定難度，要求考生不僅掌握中位線(xiàn)的相關(guān)計(jì)算方法，也對(duì)三點(diǎn)共線(xiàn)提出了要求。若求EF，因?yàn)锽C已知，所以只需求出AD即可。由題目所給角B，角C的度數(shù)，應(yīng)該自然聯(lián)想到直角三角形中求解。

（解法見(jiàn)后）

【思考3】已知

⑵ 若

【思路分析】 求比例關(guān)系，一般都是要利用相似三角形來(lái)求解。此題中有一個(gè)等量關(guān)系BC=CD，又有F中點(diǎn)，所以需要做輔助線(xiàn)，利用這些已知關(guān)系來(lái)構(gòu)造數(shù)個(gè)相似三角形就成了獲得比例的關(guān)鍵。

（解法見(jiàn)后）

【思考4】如圖3，△ABC中，∠A=90°，D為斜邊BC的中點(diǎn)，E，F分別為AB，AC上的點(diǎn)，且DE⊥DF，若BE=3，CF=4，試求EF的長(zhǎng)．

【思路分析】 中點(diǎn)問(wèn)題是中考幾何中的大熱點(diǎn)，幾乎年年考。有中點(diǎn)自然有中線(xiàn)，而倍長(zhǎng)中線(xiàn)方法也成為解題的關(guān)鍵。將三角形的中線(xiàn)延長(zhǎng)一倍，剛好可以構(gòu)造出兩個(gè)全等三角形，很多問(wèn)題就可以輕松求解。本題中，D為中點(diǎn)，所以大家可以看看如何在這個(gè)里面構(gòu)造倍長(zhǎng)中線(xiàn)。

（解法見(jiàn)后）

【思路分析】此題也是中點(diǎn)題，不同的是上題考察中線(xiàn)，此題考察中位線(xiàn)。本題需要考生對(duì)各個(gè)特殊四邊形的性質(zhì)了如指掌，判定，證明上都需要很好的感覺(jué)。尤其注意梯形，菱形，正方形，矩形等之間的轉(zhuǎn)化條件。

（解法見(jiàn)后）

第三部分 思考題答案

思考1

【解析】：作DE⊥BC于E，過(guò)D作DF∥AC交BC延長(zhǎng)線(xiàn)于F． 

則四邊形ADFC是平行四邊形，∴

∵四邊形ABCD是等腰梯形，

∴AC=BD．∴

∴ΔBDF是等腰直角三角形

∴

在

∵

∴

思考2

【解析】：

延長(zhǎng)BA，CD交于點(diǎn)H，連接HN，

因?yàn)?#8736;B=30°，∠C=60°，所以∠BHC=90°

所以HN=DN（直角三角形斜邊中線(xiàn)性質(zhì)）

∠NHD=∠NDH=60°

連接MH，同理可知∠MHD=∠C=60°。

所以∠NHD=∠MHD，即H，N，M三點(diǎn)共線(xiàn)（這一點(diǎn)容易被遺漏，很多考生會(huì)想當(dāng)然認(rèn)為他們共線(xiàn)，其實(shí)還是要證明一下）

所以HM=3.5 ，NH=0.5 AN=0.5

所以AD=1 EF=（1+7）/2=4

思考3

【解析】 ⑴過(guò)點(diǎn)

∴

由

∴

∴

∴

⑵ ∵

又

∵

思考4

【解析】：

延長(zhǎng)ED至點(diǎn)G，使DG=ED，連接CG，FG．

則△CDG≌△BDE．所以CG=BE=3，∠2=∠B．

因?yàn)?#8736;B+∠1=90°，所以∠1+∠2=∠FCG=90°．

因?yàn)?/span>DF垂直平分EG，所以FG=EF．

思考5

【解析】：

∵

∴

同理

∴

∴四邊形

在

即

∴

∴

∴

∴四邊形