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中考數(shù)學重難點專題講座

第四講 一元二次方程與二次函數(shù)

                                               智康·劉豪

【前言】前三講，筆者主要是和大家探討中考中的幾何綜合問題，在這一類問題當中，尤以第三講涉及的動態(tài)幾何問題最為艱難。幾何問題的難點在于想象，構造，往往有時候一條輔助線沒有想到，整個一道題就卡殼了。相比幾何綜合題來說，代數(shù)綜合題倒不需要太多巧妙的方法，但是對考生的計算能力以及代數(shù)功底有了比較高的要求。中考數(shù)學當中，代數(shù)問題往往是以一元二次方程與二次函數(shù)為主體，多種其他知識點輔助的形式出現(xiàn)的。所以在接下來的專題當中，我們將對代數(shù)綜合問題進行仔細的探討和分析。 

一元二次方程與二次函數(shù)問題當中，純粹的一元二次方程解法通常會以簡單解答題的方式考察。但是在后面的中難檔大題當中，通常會和根的判別式，整數(shù)根和拋物線等知識點結合，所以我們繼續(xù)通過真題來看看此類問題的一般解法。

第一部分  真題精講

【例1】2010，西城，一模

已知：關于

⑴求證：

⑵若二次函數(shù)

①求二次函數(shù)

②已知一次函數(shù)

⑶在⑵條件下，若二次函數(shù)

【思路分析】本題是一道典型的從方程轉函數(shù)的問題，這是比較常見的關于一元二次方程與二次函數(shù)的考查方式。由于并未說明該方程是否是一元二次方程，所以需要討論M=0和M≠0兩種情況，然后利用根的判別式去判斷。第二問的第一小問考關于Y軸對稱的二次函數(shù)的性質(zhì)，即一次項系數(shù)為0，然后求得解析式。第二問加入了一個一次函數(shù)，證明因變量的大小關系，直接相減即可。事實上這個一次函數(shù)

【解析】

解：（1）分兩種情況：

當

∴當

當

 ∵

∴原方程有兩個實數(shù)根. （如果上面的方程不是完全平方式該怎樣辦？再來一次根的判定，讓判別式小于0就可以了，不過中考如果不是壓軸題基本判別式都會是完全平方式，大家注意就是了）

 綜上所述，

（2）①∵關于

∴

∴

∴拋物線的解析式為

 ②∵

∴

（3）由②知，當

∴

∵對于

∴

又∵

∴

設

∵對于

∴

又根據(jù)

∴

∴

∴

而

只有

∴拋物線的解析式為

【例2】2010，門頭溝，一模

關于

（1）當

（2）點

（3）在（2）的條件下，若點

【思路分析】第一問判別式依然要注意二次項系數(shù)不為零這一條件。第二問給點求解析式，比較簡單。值得關注的是第三問，要注意如果有一次函數(shù)和二次函數(shù)只有一個交點，則需要設直線y=kx+b以后聯(lián)立，新得到的一元二次方程的根的判別式是否為零，但是這樣還不夠，因為y=kx+b的形式并未包括斜率不存在即垂直于x軸的直線,恰恰這種直線也是和拋物線僅有一個交點,所以需要分情況討論,不要遺漏任何一種可能.

【解析】：

（1）由題意得

         解得

         解得

當

（2）由題意得

 解得

（3）拋物線的對稱軸是

     由題意得

     另設過點

     把

整理得

有且只有一個交點，

    解得

綜上，與拋物線有且只有一個交點

【例3】

已知P（

（1）求

（2）判斷關于

（3）將拋物線

【思路分析】 拿到題目，很多同學不假思索就直接開始代點，然后建立二元方程組，

十分麻煩，計算量大，浪費時間并且可能出錯。但是仔細看題，發(fā)現(xiàn)P,Q縱坐標是一樣的，說明他們關于拋物線的對稱軸對稱。而拋物線只有一個未知系數(shù)，所以輕松寫出對稱軸求出b。 第二問依然是判別式問題，比較簡單。第三問考平移，也是這類問題的一個熱點，在其他區(qū)縣的模擬題中也有類似的考察。考生一定要把握平移后解析式發(fā)生的變化，即左加右減(單獨的x),上加下減(表達式整體)然后求出結果。

【解析】

(1)因為點P 、Q在拋物線上且縱坐標相同，所以P、Q關于拋物線對稱軸對稱并且到對稱軸距離相等．

所以，拋物線對稱軸

（2）由（1）可知，關于

因為，

所以，方程有兩個不同的實數(shù)根，分別是

（3）由（1）可知，拋物線

若使拋物線

由

又

【例4】2010，昌平，一模

已知拋物線

   （1）求拋物線的頂點坐標；

   （2）若

【思路分析】本題第一問較為簡單，用直接求頂點的公式也可以算，但是如果巧妙的將a提出來,里面就是一個關于X的完全平方式,從而得到拋物線的頂點式,節(jié)省了時間.第二問則需要把握拋物線與X軸交于整數(shù)點的判別式性質(zhì).這和一元二次方程有整數(shù)根是一樣的.尤其注意利用題中所給

（1）依題意，得

           ∴

∴拋物線的頂點坐標為

（2）∵拋物線與

∴

∴

∵

∴

∴

∵

∴

∴

當

∴

∴拋物線的解析式為

【例5】2010，平谷，一模

已知：關于

（1）若方程有兩個不相等的實數(shù)根，求

（2）在（1）的條件下，求證：無論

（3）若

【思路分析】本題第一問比較簡單，直接判別式≥0就可以了，依然不能遺漏的是m-1≠0。第二問則是比較常見的題型.一般來說求固定點既是求一個和未知系數(shù)無關的X,Y的取值.對于本題來說,直接將拋物線中的m提出,對其進行因式分解得到y=(mx-x-1)(x+1)就可以看出當x=-1時,Y=0，而這一點恰是拋物線橫過的X軸上固定點.如果想不到因式分解,由于本題固定點的特殊性(在X軸上),也可以直接用求根公式求出兩個根,標準答案既是如此,但是有些麻煩,不如直接因式分解來得快.至于第三問,又是整數(shù)根問題+平移問題,因為第二問中已求出另一根,所以直接令其為整數(shù)即可,比較簡單.

解：（1）

∵方程有兩個不相等的實數(shù)根,

∴

∵

∴

（2）證明：令

∴

∴

∴拋物線與

∴無論

（3）∵

∵

∴

當

把它的圖象向右平移

【總結】 中考中一元二次方程與二次函數(shù)幾乎也是必考內(nèi)容，但是考點無非也就是因式分解，判別式，對稱軸，兩根范圍，平移以及直線與拋物線的交點問題?？傮w來說這類題目不難，但是需要計算認真，尤其是求根公式的應用一定要注意計算的準確性。這種題目大多包涵多個小問。第一問往往是考驗判別式大于0，不要忘記二次項系數(shù)為0或者不為0的情況。第2,3問基于函數(shù)或者方程對其他知識點進行考察，考生需要熟記對稱軸，頂點坐標等多個公式的直接應用。至于根與系數(shù)的關系（韋達定理）近年來中考已經(jīng)盡量避免提及，雖不提倡但是應用了也不會扣分，考生還是盡量掌握為好，在實際應用中能節(jié)省大量的時間。

第二部分 發(fā)散思考

【思考1】. 2010，北京中考

已知關于

（1）求

（2）當此方程有兩個非零的整數(shù)根時，將關于

（3）在（2）的條件下，將平移后的二次函數(shù)的圖象在

【思路分析】去年中考原題,相信有些同學已經(jīng)做過了.第一問自不必說，判別式大于0加上k為正整數(shù)的條件求k很簡單.第二問要分情況討論當k取何值時方程有整數(shù)根,一個個代進去看就是了,平移倒是不難,向下平移就是整個表達式減去8.但是注意第三問,函數(shù)關于對稱軸的翻折,旋轉問題也是比較容易在中考中出現(xiàn)的問題,一定要熟練掌握關于對稱軸翻折之后函數(shù)哪些地方發(fā)生了變化,哪些地方?jīng)]有變.然后利用畫圖解決問題.

【思考2】2009，東城，一模

已知：關于

（1）若

（2）若12＜m＜40的整數(shù)，且方程有兩個整數(shù)根，求

【思路分析】本題也是整根問題，但是不像上題，就三個值一個個試就可以試出來結果。本題給定一個比較大的區(qū)間,所以就需要直接用求根公式來計算.利用已知區(qū)間去求根的判別式的區(qū)間,也對解不等式做出了考察.

【思考3】2009，海淀，一模

已知: 關于x的一元一次方程kx=x+2 ①的根為正實數(shù)，二次函數(shù)y=ax2-bx+kc

（c≠0）的圖象與x軸一個交點的橫坐標為1.

   （1）若方程①的根為正整數(shù)，求整數(shù)k的值；

   （2）求代數(shù)式

（3）求證: 關于x的一元二次方程ax2-bx+c=0 ②必有兩個不相等的實數(shù)根.

【思路分析】本題有一定難度，屬于拉分題目。第一問還好，分類討論K的取值即可。第二問則需要將k用a,b表示出來,然后代入代數(shù)式進行轉化.第三問則比較繁瑣,需要利用題中一次方程的根為正實數(shù)這一條件所帶來的不等式,去證明二次方程根的判別式大于0.但是實際的考試過程中,考生在化簡判別式的過程中想不到利用已知條件去套未知條件,從而無從下手導致失分.

【思考4】2009，順義,一模

. 已知：關于

（1）求證：不論

（2）若方程的兩個實數(shù)根

【思路分析】這一題第二問有些同學想到直接平方來去絕對值,然后用韋達定理進行求解,但是這樣的話計算量就會非常大,所以此題繞過韋達定理,直接用根的判別式寫出

發(fā)現(xiàn)

第三部分 思考題解析

【思考1解析】

解：（1）由題意得，

∴

∵

∴

（2）當

當

當

綜上所述，

當

依題意翻折后的圖象如圖所示．

當直線

當直線

由圖象可知，符合題意的

【思考2解析】

證明： 

∴方程有兩個不相等的實數(shù)根。 

（2）

∵方程有兩個整數(shù)根，必須使

又∵12＜m＜40，

∴　5＜

∴m=24 

【思考3解析】

解：由 kx=x+2，得(k-1) x=2.

依題意 k-1≠0.

∴ 

∵ 方程的根為正整數(shù)，k為整數(shù), 

∴ k-1=1或k-1=2. 

∴ k1= 2, k2=3.      

   （2）解：依題意，二次函數(shù)y=ax2-bx+kc的圖象經(jīng)過點（1，0），

       ∴ 0 =a-b+kc,  kc = b-a . 

∴

                 =

（3）證明：方程②的判別式為 Δ=(-b)2-4ac= b2-4ac. 

     由a≠0, c≠0, 得ac≠0.

( i ) 若ac<0, 則-4ac>0. 故Δ=b2-4ac>0. 此時方程②有兩個不相等的實數(shù)

根.      

( ii ) 證法一: 若ac>0, 由(2)知a-b+kc =0, 故 b=a+kc.

Δ=b2-4ac= (a+kc)2-4ac=a2+2kac+(kc)2-4ac = a2-2kac+(kc)2+4kac-4ac

=(a-kc)2+4ac(k-1).      

∵ 方程kx=x+2的根為正實數(shù)，

   ∴ 方程(k-1) x=2的根為正實數(shù).

由 x>0, 2>0, 得 k-1>0.     

∴ 4ac(k-1)>0.

∵ (a-kc)2³0, 

∴Δ=(a-kc)2+4ac(k-1)>0. 此時方程②有兩個不相等的實數(shù)根.    

證法二: 若ac>0,

∵ 拋物線y=ax2-bx+kc與x軸有交點, 

∴ Δ1=(-b)2-4akc =b2-4akc³0.

(b2-4ac)-( b2-4akc)=4ac(k-1).

        由證法一知 k-1>0, 

∴ b2-4ac> b2-4akc³0.

∴ Δ= b2-4ac>0. 此時方程②有兩個不相等的實數(shù)根.    

綜上, 方程②有兩個不相等的實數(shù)根.

【思考4解析】

（1）

（2）由原方程可得

　∴ 

 ∴ 

　又∵ 

　　∴　

　  ∴　

   經(jīng)檢驗：

  　∴