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第一章　有理數(shù)

有理數(shù)的另一種分類

想一想：零是整數(shù)嗎?自然數(shù)一定是整數(shù)嗎?自然數(shù)一定是正整數(shù)嗎?整數(shù)一定是自然數(shù)嗎?

零是整數(shù)；自然數(shù)一定是整數(shù)；自然數(shù)不一定是正整數(shù)，因?yàn)榱阋彩亲匀粩?shù)；整數(shù)不一定是自然數(shù)，因?yàn)樨?fù)整數(shù)不是自然數(shù)。

1.填空

① 規(guī)定了唯一的原點(diǎn)，正方向和單位長(zhǎng)度  (三要素)的直線叫做數(shù)軸。

② 比－3大的負(fù)整數(shù)是-2、-1。

③與原點(diǎn)的距離為三個(gè)單位的點(diǎn)有2個(gè)，他們分別表示的有理數(shù)是3、-3。

2.請(qǐng)畫一個(gè)數(shù)軸，并檢查它是否具備數(shù)軸三要素？

3.選擇題

① 在數(shù)軸上，原點(diǎn)及原點(diǎn)左邊所表示的數(shù)是（　）

Ａ整數(shù)　   Ｂ負(fù)數(shù)　   Ｃ非負(fù)數(shù)　    Ｄ非正數(shù)

②下列語句中正確的是（?。?/font>

Ａ數(shù)軸上的點(diǎn)只能表示整數(shù)　     

Ｂ數(shù)軸上的點(diǎn)只能表示分?jǐn)?shù)　

Ｃ數(shù)軸上的點(diǎn)只能表示有理數(shù)　   

Ｄ所有有理數(shù)都可以用數(shù)軸上的點(diǎn)表示出來

答案 AD

相反數(shù)：只有符號(hào)不同的兩個(gè)數(shù)互為相反數(shù),0的相反數(shù)是0。在數(shù)軸上位于原點(diǎn)兩側(cè)且離原點(diǎn)距離相等。

1.絕對(duì)值的幾何意義:一個(gè)數(shù)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)離原點(diǎn)的距離叫做該數(shù)的絕對(duì)值。

2.絕對(duì)值的代數(shù)定義：（1）一個(gè)正數(shù)的絕對(duì)值是它本身；（2）一個(gè)負(fù)數(shù)數(shù)的絕對(duì)值是它的相反數(shù)；（3）0的絕對(duì)值是0；（4）|a|大于或者等于0。

3.比較兩個(gè)數(shù)的大小關(guān)系

數(shù)學(xué)中規(guī)定：在數(shù)軸上表示有理數(shù)，它們從左到右的順序，就是從大到小的順序，即左邊的數(shù)小于右邊的數(shù)。由此可知：（1）正數(shù)大于0，0大于負(fù)數(shù)，正數(shù)大于負(fù)數(shù)；（2）兩個(gè)負(fù)數(shù)，絕對(duì)值大的反而小。

1.同號(hào)兩數(shù)相加，取相同的符號(hào)，并把絕對(duì)值相加。

絕對(duì)值不相等的異號(hào)兩數(shù)相加, 取絕對(duì)值較大的加數(shù)的符號(hào),并用較大的絕對(duì)值減去較小的絕對(duì)值。

2.互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)相加得0。

3.一個(gè)數(shù)同0相加，仍得這個(gè)數(shù)。

4.減去一個(gè)數(shù)，等于加上這個(gè)數(shù)的相反數(shù)。

1.兩數(shù)相乘，同號(hào)得 正 ，異號(hào)得 負(fù) ，并把絕對(duì)值 相乘 。 0乘以任何數(shù)，都得  0   。

2.幾個(gè)不為0的數(shù)相乘，積的符號(hào)由負(fù)因數(shù)的個(gè)數(shù)確定，負(fù)因數(shù)的個(gè)數(shù)為 偶數(shù)  時(shí)，積為正；負(fù)因數(shù)的個(gè)數(shù)為 奇數(shù) 時(shí)，積為負(fù)。

3.兩數(shù)相除，同號(hào)得 正 ，異號(hào)得 負(fù) ，并把絕對(duì)值 相除 。0除以任何一個(gè)不等于0的數(shù)，都得  0   。

4.有理數(shù)中仍然有：乘積是1的兩個(gè)數(shù)互為 倒數(shù) 。

5.除以一個(gè)不等于0的數(shù)等于乘以這個(gè)數(shù)的 倒數(shù) 。

乘方定義：求n個(gè)相同因數(shù)的積的運(yùn)算，叫做乘方。

      中，底數(shù)是a，指數(shù)是n，冪是乘方的結(jié)果；讀作：的n次方 或 的n次冪。

負(fù)數(shù)的奇次冪是負(fù)數(shù)，負(fù)數(shù)的偶次冪是正數(shù)。正數(shù)的任何次冪都是正數(shù)，0的任何正整數(shù)次冪都是0。

1.加法交換律：a b=b a

1.加法交換律：a b=b a

2.乘法交換律：a·b=b·a

3.加法結(jié)合律：a (b c)=(a b) c

4.乘法結(jié)合律：a·(b·c)=(a·b)·c

5.乘法分配律：a·(b c)=ab ac

6.有理數(shù)混合運(yùn)算順序：先乘方；再乘除；最后算加減。

7.有括號(hào)，先算括號(hào)內(nèi)的運(yùn)算，按小括號(hào)、中括號(hào)、大括號(hào)依次進(jìn)行 。

8.同級(jí)運(yùn)算， 從左到右進(jìn)行 。

1.近似數(shù)：在一定程度上反映被考察量的大小，能說明實(shí)際問題的意義，與準(zhǔn)確數(shù)非常地接近，像這樣的數(shù)我們稱它為近似數(shù)。

2.近似數(shù)的分類

（1）具體近似數(shù)（如30.2、58.0 …）

（2）帶單位近似數(shù)（如2.4萬…）

（3）科學(xué)記數(shù)法

3.精確度：用位數(shù)較少的近似數(shù)替代位數(shù)較多或位數(shù)無限的數(shù)，有一個(gè)近似程度的問題，這個(gè)近似程度就是精確度。四舍五入到哪一位，就說精確到哪一位(看精確度得到原數(shù)中去看在哪一位上,如:2.4萬精確到千位，而非十分位，因?yàn)?.4萬就是24000，4在千位上)。

4.有效數(shù)字：對(duì)于一個(gè)不為0的近似數(shù)，從左邊第一個(gè)不為0的數(shù)字起，到末尾數(shù)止，所有數(shù)字都是這個(gè)近似數(shù)的有效數(shù)字。

求近似數(shù)要求保留n個(gè)有效數(shù)字時(shí)，第n 1個(gè)有效數(shù)字作四舍五入處理。

例：0.0109有三個(gè)有效數(shù)字1、0、9，要求保留2個(gè)有效數(shù)字時(shí)，0.0109的第三個(gè)有效數(shù)字9四舍五入，變?yōu)?.0110，保留兩個(gè)有效數(shù)字1、1后求出近似數(shù)0.0109≈0.011。

第二章  整式的加減

代數(shù)式中的一種有理式：不含除法運(yùn)算或分?jǐn)?shù)，以及雖有除法運(yùn)算及分?jǐn)?shù),但除式或分母中不含變數(shù)者，則稱為整式。 (分母中含有字母有除法運(yùn)算的，那么式子叫做分式)

1.單項(xiàng)式：數(shù)或字母的積（如5n），單個(gè)的數(shù)或字母也是單項(xiàng)式。

（1）單項(xiàng)式的系數(shù)：?jiǎn)雾?xiàng)式中的數(shù)字因數(shù)及性質(zhì)符號(hào)叫做單項(xiàng)式的系數(shù)。( 如果一個(gè)單項(xiàng)式，只含有數(shù)字因數(shù)，系數(shù)是它本身，次數(shù)是0)。

（2）單項(xiàng)式的次數(shù)：一個(gè)單項(xiàng)式中，所有字母的指數(shù)的和叫做這個(gè)單項(xiàng)式的次數(shù)(非零常數(shù)的次數(shù)為0)。

2.多項(xiàng)式

（1）概念：幾個(gè)單項(xiàng)式的和叫做多項(xiàng)式。在多項(xiàng)式中，每個(gè)單項(xiàng)式叫做多項(xiàng)式的項(xiàng)，其中不含字母的項(xiàng)叫做常數(shù)項(xiàng)。一個(gè)多項(xiàng)式有幾項(xiàng)就叫做幾項(xiàng)式。

（2）多項(xiàng)式的次數(shù)：多項(xiàng)式中，次數(shù)最高的項(xiàng)的次數(shù)，就是這個(gè)多項(xiàng)式的次數(shù)。

（3）多項(xiàng)式的排列：

把一個(gè)多項(xiàng)式按某一個(gè)字母的指數(shù)從大到小的順序排列起來，叫做把多項(xiàng)式按這個(gè)字母降冪排列；把一個(gè)多項(xiàng)式按某一個(gè)字母的指數(shù)從小到大的順序排列起來，叫做把多項(xiàng)式按這個(gè)字母升冪排列。

在做多項(xiàng)式的排列的題時(shí)注意：

(1)由于單項(xiàng)式的項(xiàng)包括它前面的性質(zhì)符號(hào)，因此在排列時(shí)，仍需把每一項(xiàng)的性質(zhì)符

看作是這一項(xiàng)的一部分，一起移動(dòng)。

(2)有兩個(gè)或兩個(gè)以上字母的多項(xiàng)式，排列時(shí)，要注意:a.先確認(rèn)按照哪個(gè)字母的指數(shù)來排列。

b.確定按這個(gè)字母降冪排列，還是升冪排列。

3.整式: 單項(xiàng)式和多項(xiàng)式統(tǒng)稱為整式。

4.列代數(shù)式的幾個(gè)注意事項(xiàng)

（1）數(shù)與字母相乘，或字母與字母相乘通常使用“· ” 乘，或省略不寫；

（2）數(shù)與數(shù)相乘，仍應(yīng)使用“×”乘，不用“· ”乘，也不能省略乘號(hào)；

（3）數(shù)與字母相乘時(shí)，一般在結(jié)果中把數(shù)寫在字母前面，如a×5應(yīng)寫成5a；

（4）帶分?jǐn)?shù)與字母相乘時(shí)，要把帶分?jǐn)?shù)改成假分?jǐn)?shù)形式；

（5）在代數(shù)式中出現(xiàn)除法運(yùn)算時(shí)，一般用分?jǐn)?shù)線將被除式和除式聯(lián)系，如3÷a寫成3/a的形式；

（6）a與b的差寫作a-b，要注意字母順序；若只說兩數(shù)的差，當(dāng)分別設(shè)兩數(shù)為a、b時(shí)，則應(yīng)分類，寫做a-b和b-a .

1.同類項(xiàng)的概念：所含字母相同，并且相同字母的次數(shù)也相同的項(xiàng)叫做同類項(xiàng)，幾個(gè)常數(shù)項(xiàng)也是同類項(xiàng)。(同類項(xiàng)與系數(shù)無關(guān)，與字母排列的順序也無關(guān))。

2.合并同類項(xiàng)：把多項(xiàng)式中的同類項(xiàng)合并成一項(xiàng)叫做合并同類項(xiàng)。法則：同類項(xiàng)的系數(shù)相加，所得結(jié)果作為系數(shù)，字母和字母的指數(shù)不變。不能合并的項(xiàng)單獨(dú)作為一項(xiàng)，不可遺漏

3.整式加減實(shí)質(zhì)就是去括號(hào)，合并同類項(xiàng)。

注：去括號(hào)時(shí)，如果括號(hào)外的因數(shù)是正數(shù)，去括號(hào)后原括號(hào)內(nèi)各項(xiàng)的符號(hào)與原來的符號(hào)相同；如果括號(hào)外的因數(shù)是負(fù)數(shù)，去括號(hào)后原括號(hào)內(nèi)各項(xiàng)的符號(hào)與原來的符號(hào)相反。一般地，幾個(gè)整式相加減，如果有括號(hào)就先去括號(hào)，然后再合并同類項(xiàng)。

4.幾個(gè)重要的代數(shù)式：（m、n表示整數(shù)）

（1）a與b的平方差是：  a2-b2  ；   a與b差的平方是：（a-b）2  ；（本式中2為平方）

（2）若a、b、c是正整數(shù)，則兩位整數(shù)是： 10a b  ,則三位整數(shù)是：100a 10b c；

（3）若m、n是整數(shù)，則被5除商m余n的數(shù)是： 5m n   ；偶數(shù)是：2n ，奇數(shù)是：2n 1；三個(gè)連續(xù)整數(shù)是：  n-1、n、n 1；

（4）若b＞0，則正數(shù)是:a2 b ，負(fù)數(shù)是： -a2-b ，非負(fù)數(shù)是： a2 ，非正數(shù)是：-a2 （本式中2為平方）

第三章  一元一次方程

等式：表示相等關(guān)系的式子。

方程：含有未知數(shù)的等式。(方程一定是等式,但等式不一定是方程)。

方程的解：使方程左右兩邊的值相等的未知數(shù)的值叫做方程的解。

解方程：求出使方程左右兩邊都相等的未知數(shù)的值的過程叫做解方程。

一元一次方程：只含一個(gè)未知數(shù)，未知數(shù)的次數(shù)是1，并且等式兩邊都是整式的方程。

同解方程：兩方程的解相同。

等式的性質(zhì)1：等式兩邊加（或減）同一個(gè)數(shù)（或式子），結(jié)果仍相等。

即：如果a=b，那么a±c=b±c。

等式的性質(zhì)2：等式兩邊乘同一個(gè)數(shù)，或除以同一個(gè)不為0的數(shù)，結(jié)果仍相等。

即：如果a=b，那么ac=bc；如果a=b(c≠0)，那么a/c=b/c。

1.一般解法：

ⅰ  去分母：兩邊同乘以各分母的最小公倍數(shù)；

ⅱ  去括號(hào)；

ⅲ  移項(xiàng)：移項(xiàng)要變號(hào)；

ⅳ  合并同類項(xiàng)：把方程化成ax=b(a≠0)的形式；

ⅴ  系數(shù)化為1：兩邊同除以未知數(shù)的系數(shù), 得到方程的解x=b/a。

2.一元一次方程的應(yīng)用(重點(diǎn)難點(diǎn))

列方程解應(yīng)用題的關(guān)鍵是：仔細(xì)審題，找出能正確表達(dá)題目整體數(shù)量關(guān)系的一個(gè)相等關(guān)系，再設(shè)未知數(shù)，并將這個(gè)相等關(guān)系用含未知數(shù)的式子表示出來。

3.幾種常見問題
a.和差倍分問題：這類問題主要是正確理解是幾倍“增加了幾倍”“增加到幾倍”“多少”“大小”“不足“剩余”等關(guān)鍵詞語的意義。

b.行程相遇問題：三個(gè)基本量的關(guān)系   路程=速度×?xí)r間
(1)兩人在圓形跑道上同時(shí)同地背向而行求首次相遇時(shí)間:甲的路程 乙的路程=一圈的長(zhǎng)度(直線路上兩人面對(duì)面行走首次相遇的時(shí)間求法與之相同)；
(2)兩人在圓形跑道上同時(shí)同地同向而行求首次相遇時(shí)間:快人的路程-慢人的路程=一圈的長(zhǎng)度。

c.工程任務(wù)問題：三個(gè)基本量的關(guān)系:工作量=工作效率×工作時(shí)間
一般情況下，把全部工作量看做1(即100%)，工作效率=1／工作時(shí)間(各個(gè)量一定要對(duì)應(yīng),自己的效率乘以自己的時(shí)間等于自己的工作量)。合作效率=各個(gè)人的效率之和。

d.利潤(rùn)問題：利潤(rùn)=售價(jià)-成本=成本×利潤(rùn)率；利潤(rùn)率=利潤(rùn)÷成本；實(shí)際售價(jià)=標(biāo)價(jià)×折扣率。

e.分配問題：例：某車間有22名工人加工生產(chǎn)一種螺栓和螺母，每人每天平均生產(chǎn)螺栓120個(gè)或螺母200個(gè)，一個(gè)螺栓要配兩個(gè)螺母(建立等量關(guān)系的依據(jù))，應(yīng)該分配多少名工人生產(chǎn)螺栓，多少名工人生產(chǎn)螺母，才能使每天生產(chǎn)的產(chǎn)品剛好配套？ 

f.水上航行問題：順?biāo)俣?靜水速度 水流速度；逆水速度=靜水速度-水流速度。

應(yīng)用舉例
1.一本書，小明第一天讀了十分之一，第二天讀了10頁，已讀的是未讀的1／4,請(qǐng)問這本書一共有多少頁?
等量關(guān)系：已讀的 未讀的=總頁數(shù)(或已讀的=總頁數(shù)-未讀的，未讀的=總頁數(shù)-已讀的)。

2.某服裝七月份下降了10%，八月份上升了10%，則八月份價(jià)格與原價(jià)比(    )
A.不變             B.增加1%        

C.減少9%        D.減少1%
注意：不要誤以為不變,百分?jǐn)?shù)的基數(shù)不一樣會(huì)變化,7月份是在原價(jià)基礎(chǔ)上下降10%,8月份是在7月份基礎(chǔ)上上升10%而不再是在原價(jià)基礎(chǔ)上上升。

3.甲乙兩人在400米的圓形跑道上跑步,甲每秒跑9米,乙每秒跑7米。
(1)當(dāng)兩人同時(shí)同地背向而行時(shí),經(jīng)過多少秒后兩人首次相遇?
(2)當(dāng)兩人同時(shí)同地同向而行時(shí),經(jīng)過多少秒后兩人首次相遇?
分析(1):設(shè)經(jīng)過x秒首次相遇。兩人加起來跑完一圈即400米時(shí)首次相遇,所以等量關(guān)系式是:甲的路程 乙的路程=一圈的長(zhǎng)度400米  甲的路程=甲的速度×?xí)r間x   乙的路程=乙的速度×?xí)r間x   得到方程:9x 7x=400
(2)設(shè)經(jīng)過x秒首次相遇。同向首次相遇,即快的人多跑一圈與慢的人相遇, 所以等量關(guān)系式是:快人的路程-慢人的路程=一圈的長(zhǎng)度400米,在這即是甲的路程-乙的路程=400。

4.一項(xiàng)任務(wù),甲獨(dú)做需x天,乙獨(dú)做需y天,若兩人合作需________天
分析:合作時(shí)間=工作量／合作效率   工作量=1   合作效率=甲的效率 乙的效率
甲的效率=工作量／甲的時(shí)間=1／x  乙的效率=工作量／乙的時(shí)間=1／y
∴合作時(shí)間=1／(1／x 1／y)

5.某種商品每件的進(jìn)價(jià)為250元,按標(biāo)價(jià)的9折銷售時(shí),利潤(rùn)率為15.2%,這種商品每件標(biāo)價(jià)多少元？

分析：設(shè)標(biāo)價(jià)x元,等量關(guān)系:利潤(rùn)(求)÷成本(已知250元)= 利潤(rùn)率(已知15.2%)

利潤(rùn)=實(shí)際售價(jià)(標(biāo)價(jià)的9折即90%x)-成本250

 ∴(90%x-250) ／250=15.2%

第四章  圖形認(rèn)識(shí)初步

1.我們把從實(shí)物中抽象出的各種圖形統(tǒng)稱為幾何圖形。

2.有些幾何圖形的各部分不都在同一平面內(nèi)，它們是立體圖形。如長(zhǎng)方體、正方體、圓柱、圓錐、球、棱柱、棱錐等。

3.有些幾何圖形的各部分都在同一平面內(nèi)，它們是平面圖形。如線段、角、三角形、長(zhǎng)方形、圓等。

4.立體圖形與平面圖形雖然是兩類不同的幾何圖形，但是立體圖形中某些部分是平面圖形，對(duì)于一些立體圖形的問題，常把它們轉(zhuǎn)化為平面圖形來研究和處理。有些立體圖形是由一些平面圖形圍成的，將它們的表面適當(dāng)剪開，可以展開成平面圖形，這樣的平面圖形成為相應(yīng)立體圖形的展開圖。

1.立體圖形是幾何體，簡(jiǎn)稱體；包圍著體的是面，面有平面和曲面；面和面相交的地方形成線，線有直線和曲線；線和線相交的地方是點(diǎn)。

2.幾何圖形都是由點(diǎn)、線、面、體組成，點(diǎn)是構(gòu)成圖形的基本元素。

1.線段：直線上兩個(gè)點(diǎn)和它們之間的部分叫線段，這兩個(gè)點(diǎn)叫線段的端點(diǎn)。

射線：將線段向一個(gè)方向無限延長(zhǎng)就形成了射線。

直線：將線段向兩個(gè)方向無限延長(zhǎng)就形成了直線。

2.點(diǎn)與直線的位置關(guān)系

點(diǎn)p在直線a上(或說直線a經(jīng)過點(diǎn)p)；

點(diǎn)p不在直線a上(或說直線a不經(jīng)過點(diǎn)p) 。

過一點(diǎn)可畫無數(shù)條直線，過兩點(diǎn)有且僅有一條直線。簡(jiǎn)述為：兩點(diǎn)確定一條直線。

3.線段的中點(diǎn)：把一線段分成兩相等線段的點(diǎn)。

兩點(diǎn)的所有連線中，線段最短，簡(jiǎn)述為：兩點(diǎn)之間，線段最短。

兩點(diǎn)間的距離：連接兩點(diǎn)間的線段的長(zhǎng)度。

線段的長(zhǎng)短比較：⑴度量法；⑵疊合法

角：由兩條具有公共端點(diǎn)引出射線組成的圖形(也可看做是由一射線繞端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)而成）。

角的表示：三個(gè)大寫字母;一個(gè)大寫字母(不混淆情況下方可使用);一個(gè)數(shù)字;一個(gè)希臘字母。

角的要素：頂點(diǎn)和邊，角的大小與邊的長(zhǎng)短無關(guān)。

角的單位：度,分,秒 

①1°的60分之一為1分，記作1′，即1°＝60′

②1′的60分之一為1秒，記作1″，即1′＝60″

角的大小比較：⑴度量法；⑵疊合法。

角平分線：從一個(gè)角的頂點(diǎn)引出一條射線，把這個(gè)角分成兩個(gè)等角，這條射線叫角平分線。

余角和補(bǔ)角：如果兩個(gè)角的和等于90°（直角），就說這兩個(gè)角互為余角；如果兩個(gè)角的和等于180°（平角），就說這兩個(gè)角互為補(bǔ)角。

性質(zhì)：等角的補(bǔ)角相等；等角的余角相等。

題型一：作圖題

例1  已知：線段m、n。（如圖）  

求作：線段AC，使AC = m - n。

作法：（1）作射線AM；

（2）在射線AM上截取AB = m。

（3）在線段AB上截取BC = n。

則線段AC就是所求作的線段。

題型二：線段的分類考慮

例2  已知線段AB＝8cm，在直線AB上畫線段BC，使它等于3cm，求線段AC的長(zhǎng)。

解：本題分兩種情況：

如圖4—4—9所示，當(dāng)點(diǎn)C在線段AB的延長(zhǎng)線上時(shí)，

AC＝AB＋BC＝8＋3＝11(crn)；

如圖4—4—10所示，當(dāng)點(diǎn)C在線段AB上時(shí)，

AC=AB－BC＝8—3＝5(cm)．

所以線段AC的長(zhǎng)為11 cm或5cm。

例3 經(jīng)過任意三點(diǎn)中的兩點(diǎn)共可以畫出的直線條數(shù)是(    )

A．1或3    B．3    C．2    D．1

解析：這道題要分兩種情況考慮：一是這三點(diǎn)都在一條直線上時(shí)，就只能畫出一條直線；二是這三點(diǎn)不在同一條直線上時(shí)，此時(shí)共可以畫出三條直線．    答案：A

題型三：  兩角互補(bǔ)、互余定義及其性質(zhì)的應(yīng)用

例4  一個(gè)角的補(bǔ)角是這個(gè)角的4倍，求這個(gè)角的度數(shù)

解：設(shè)這個(gè)角是x°，則它的補(bǔ)角是(180－x)°。

由題意，得180－x＝4 x，解得x＝36．所以這個(gè)角是36°。

點(diǎn)撥  本題主要考查補(bǔ)角定義的應(yīng)用，數(shù)學(xué)中利用方程、轉(zhuǎn)化思想，可將“形”的問題轉(zhuǎn)化為“數(shù)”的問題研究，從而簡(jiǎn)捷解決問題。

例5  如果一個(gè)角的補(bǔ)角是120°，那么這個(gè)角的余角是(    )

A．30°    B．60°    C．90°    D．150°

解析：本題是對(duì)余角、補(bǔ)角的綜合考查，先根據(jù)這個(gè)角的補(bǔ)角是120°，求出這個(gè)角是60°，再求出它的余角是30°。    答案：A

例6  根據(jù)補(bǔ)角的定義和余角的定義可知，10°的角的補(bǔ)角是170°，余角是80°；15°的角的補(bǔ)角是165°，余角是75°；32°的角的補(bǔ)角是148°，余角是58°．…. 觀察以上各組數(shù)據(jù)，你能得出怎樣的結(jié)論?請(qǐng)用任意角α代替題中的10°、15°、32°的角來說明你的結(jié)論。

解：結(jié)論為：一個(gè)角的補(bǔ)角比這個(gè)角的余角大90°。

說明：設(shè)任意角是α(0＜α＜90°)，α的補(bǔ)角是180°－α，α的余角是90°－α，

則 (180°－α)－(90°－α)＝90°。

題型四  角的有關(guān)運(yùn)算

例7  如圖4—4—3所示，AB和CD都是直線，∠AOE＝90°，∠3°=∠FOD，∠1＝27°20′，求∠2、∠3的度數(shù)。

解：因?yàn)椤螦OE＝90°，

所以∠2＝90°－∠1＝90°－27°20′＝62°40′．

又因?yàn)椤螦OD＝180°－∠1＝152°40′，∠3＝∠FOD，

所以∠3＝∠AOD＝76°20′．

所以上2＝62°40′，∠3＝76°20′．

例8  如圖4—4—4所示，OB、OC是∠AOD內(nèi)任意兩條射線，OM平分∠AOB，ON平分∠COD，若∠MON＝α，∠BOC=β，用α、β表示∠AOD。

解：因?yàn)椤螹ON＝α，∠BOC=β，

所以∠BOM＋∠CON＝∠MON－∠BOC=α－β

又OM平分∠AOB，ON平分∠COD，

所以∠AOB＋∠COD＝2∠BOM＋2∠CON=2(∠BOM＋∠CON)＝2(α－β)，

所以∠AOD＝∠AOB＋∠COD＋∠BOC＝2(α－β)＋β=2α－β.

例9  (1)用度、分、秒表示54．12°

(2)32°44′24″等于多少度?

(3)計(jì)算：133°22′43″÷3

解：(1)因?yàn)?．12°＝60′×0．12=7．2′，0.2′=60″×0．2=12″，

所以54．12°=54°7′12″．

 (2)因?yàn)?4″=()′×24＝0．4′，44．4′=()°×44．4=0．74°，

所以32°44′24″=32.74°．

(3)133°22′43″÷3＝(132°＋82′)÷3＋43″÷3=44°＋82′÷3＋43″÷3

＝44°＋(81′＋1′)÷3＋43″÷3=44°＋27′＋1′÷3＋43″÷3

=44°＋27′＋103″÷3≈44°＋27′＋3″=44°27′3″。

題型五  鐘表的時(shí)針與分針夾角問題

例10  15：25時(shí)鐘面上時(shí)針和分針?biāo)鶚?gòu)成的角是__度

解析：起始時(shí)刻定為15：00(下午3點(diǎn)整時(shí)，時(shí)針和分針構(gòu)成的角是90°)，終止時(shí)刻為15：25，從圖4—4—5中可以看出分針從12轉(zhuǎn)到5用了25分鐘，轉(zhuǎn)了6°×25＝150°，時(shí)針轉(zhuǎn)了0.5°×25＝12.5°，所以15：25時(shí)鐘面時(shí)針和分針?biāo)鶚?gòu)成的角為150°－90°－ 12.5°＝47.5°   

答案：47.5

例11  從3時(shí)到6時(shí)，鐘表的時(shí)針旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)是(    )

A．30°    B．60°    C．90°    D．120°

考點(diǎn)突破：此類題是近幾年中考中的熱點(diǎn)問題，考查形式為選擇題或填空題．解決此類問題需明確：在鐘表上，1分鐘分針走6°，1小時(shí)時(shí)針走30°。

題型六：方位角

例12  如圖4—4—24所示，一只螞蟻從O點(diǎn)出發(fā)，沿北偏東30°方向爬行2.5 cm，碰到障礙物B后，又沿西北方向爬行3 cm到達(dá)C處。

(1)畫出螞蟻爬行的路線；

(2)求∠OBC的度數(shù)；

(3)測(cè)出線段OC的長(zhǎng)度(精確到0.1 cm)．

解：(1)螞蟻爬行的路線如圖4—4—25所示

(2)因?yàn)槲浵亸腛點(diǎn)出發(fā)沿北偏東30°方向爬行2.5 cm到達(dá)B處，即∠OBD＝30°，則∠ABO＝60°．

又因?yàn)槲浵伒竭_(dá)B處后又沿西北方向爬行了3 cm，即∠ABC＝45°．

所以∠OBC＝∠ABO＋∠ABC＝60°＋45°＝105°．

(3)用刻度尺測(cè)量OC的長(zhǎng)約為4.4 cm．

題型七   折疊問題

例12  如圖，長(zhǎng)方形紙片ABCD，點(diǎn)E、F分別在邊AB、CD上，連接EF．將∠BEF對(duì)折，點(diǎn)B落在直線EF上的點(diǎn)B'處，得折痕EM；將∠AEF對(duì)折，點(diǎn)A落在直線EF上的點(diǎn)A'處，得折痕EN，求∠NEM的度數(shù)．

解：EN平分∠AEA',所以 ∠AEN=∠A’EN

同理,EM平分∠BEB',所以 ∠BEM=∠B’EM
因?yàn)椋骸螦EN ∠A’EN ∠BEM ∠B’EM=180度
所以：∠A’EN ∠B’EM=90度