一、教材及學情分析
本節(jié)課是《全日制普通高級中學教科書（必修）·數(shù)學》（人民教育出版社中學數(shù)學室編著）第二冊（上）第八章第一節(jié)《橢圓及其標準方程》第一課時。
用一個平面去截一個對頂?shù)膱A錐，當平面與圓錐的軸夾角不同時，可以得到不同的截口曲線，它們分別是圓、橢圓、拋物線、雙曲線，我們將這些曲線統(tǒng)稱為圓錐曲線。圓錐曲線的發(fā)現(xiàn)與研究始于古希臘，當時人們從純粹幾何學的觀點研究了這種與圓密切相關的曲線，它們的幾何性質(zhì)是圓的幾何性質(zhì)的自然推廣。17世紀初期，笛卡爾發(fā)明了坐標系，人們開始在坐標系的基礎上，用代數(shù)方法研究圓錐曲線。在這一章中，我們將繼續(xù)用坐標法探究圓錐曲線的幾何特征，建立它們的方程，通過方程研究它們的簡單性質(zhì)，并用坐標法解決一些與圓錐曲線有關的簡單幾何問題和實際問題，進一步感受數(shù)形結合的基本思想。
解析幾何是數(shù)學一個重要的分支,它溝通了數(shù)學中數(shù)與形、代數(shù)與幾何等最基本對象之間的聯(lián)系。在第七章中學生已初步掌握了解析幾何研究問題的主要方法,并在平面直角坐標系中研究了直線和圓這兩個基本的幾何圖形，在第八章，教材利用三種圓錐曲線進一步深化如何利用代數(shù)方法研究幾何問題。由于教材以橢圓為重點說明了求方程、利用方程討論幾何性質(zhì)的一般方法,然后在雙曲線、拋物線的教學中應用和鞏固，因此“橢圓及其標準方程”起到了承上啟下的重要作用。
本節(jié)內(nèi)容蘊含了許多重要的數(shù)學思想方法，如：數(shù)形結合思想、化歸思想等。因此，教學時應重視體現(xiàn)數(shù)學的思想方法及價值。
根據(jù)本節(jié)內(nèi)容的特點，教學過程中可充分發(fā)揮信息技術的作用，用動態(tài)作圖優(yōu)勢為學生的數(shù)學探究與數(shù)學思維提供支持。
二、教學目標分析
按照教學大綱的要求，根據(jù)教材分析和學情分析，確定如下教學目標：
1．知識與技能目標：
①理解橢圓的定義。
②掌握橢圓的標準方程，在化簡橢圓方程的過程中提高學生的運算能力。
2．過程與方法目標：
①經(jīng)歷橢圓概念的產(chǎn)生過程，學習從具體實例中提煉數(shù)學概念的方法，由形象到抽象，從具體到一般，掌握數(shù)學概念的數(shù)學本質(zhì)，提高學生的歸納概括能力。
②鞏固用坐標化的方法求動點軌跡方程。
③對學生進行數(shù)學思想方法的滲透，培養(yǎng)學生具有利用數(shù)學思想方法分析和解決問題的意識
3．情感態(tài)度價值觀目標：
①充分發(fā)揮學生在學習中的主體地位，引導學生活動、觀察、思考、合作、探究、歸納、交流、反思，促進形成研究氛圍和合作意識
②重視知識的形成過程教學，讓學生知其然并知其所以然，通過學習新知識體會到前人探索的艱辛過程與創(chuàng)新的樂趣
③通過對橢圓定義的嚴密化，培養(yǎng)學生形成扎實嚴謹?shù)目茖W作風
④通過經(jīng)歷橢圓方程的化簡,增強學生戰(zhàn)勝困難的意志品質(zhì)并體會數(shù)學的簡潔美、對稱美
⑤利用橢圓知識解決實際問題，使學生感受到數(shù)學的廣泛應用性和知識的力量，增強學習數(shù)學的興趣和信心
三、重、難點
重點：橢圓的定義、橢圓的標準方程、坐標化的基本思想
難點：橢圓標準方程的推導與化簡，坐標法的應用
關鍵：含有兩個根式的等式化簡
四、教法分析
新課程倡導學生自主學習，要求教師成為學生學習的引導者、組織者、合作者和促進者，使教學過程成為師生交流、積極互動、共同發(fā)展的過程。本節(jié)課采用讓學生動手實踐、自主探究、合作交流及教師啟發(fā)引導的教學方法，按照“創(chuàng)設情境——學生實驗——意義建構——形成理論——知識應用——回顧反思——鞏固提高”的程序設計教學過程，并以多媒體手段輔助教學，使學生經(jīng)歷實踐、觀察、猜想、論證、交流、反思等理性思維的基本過程，切實改進學生的學習方式，使學生真正成為學習的主人．
五、教學過程設計
（一）創(chuàng)設情境——提出問題
不知道同學們有沒有細心觀察過生活？我們知道歐洲大教堂的頂部幾乎都是橢圓形的；用圓柱狀水杯盛半杯水，將水杯放在水平桌面上，截面為圓形．當端起水杯喝水時，水杯傾斜，再觀察水平面，此時截面為橢圓形．看來，橢圓是與圓有著密切關系的一種曲線．圓是到定點距離等于定長的點的軌跡，根據(jù)圓的定義，用一根細繩就可畫出一個圓．將細繩的一貫固定在黑板上，在另一端系上一支粉筆，將細繩繃緊并繞固定端點旋轉一周即可．將圓心從一點“分裂”成兩點，將細繩的兩端固定在這兩點，用粉筆挑起細繩并繃緊，移動粉筆，可畫出什么圖形？
設計意圖：使學生產(chǎn)生學習興趣和探索欲望
（二）學生實驗——體驗數(shù)學
1．學生通過動手實踐、觀察，猜想軌跡為橢圓
2．展示學生成果
3．動態(tài)演示動點生成軌跡的全過程，印證猜想
4．展示橢圓實際應用的幻燈片
5．導出新課：看來，大家對橢圓并不陌生，但細想想，我們對橢圓也說不上有多熟悉，除了“她”的名字和容貌，我們對“她”的品性幾乎還一無所知．數(shù)學是一門嚴謹?shù)目茖W，我們不能滿足于直觀感受、淺嘗輒止，我們希望對橢圓有更深刻的認識，比如：橢圓上所有的點所具有的共同的幾何特征是什么？——橢圓的定義；能否用代數(shù)方法精確地刻畫出這種共同的幾何特征？——橢圓的標準方程．這就是我們這節(jié)課的重點內(nèi)容．
設計意圖：從學生實驗中導出新課，明確研究課題
（三）意義建構——感知數(shù)學
橢圓定義的初步生成
學生每2人一組，合作探究，教師巡視指導．
請學生代表本小組交流探究結論：根據(jù)橢圓畫法，從中歸納橢圓定義——與兩個定點的距離之和為定長（繩長）的點的軌跡為橢圓（繩長大于兩定點間距離）．
（四）形成理論——建立數(shù)學
1．橢圓定義的完善
提出問題：要想用上面那句話作為橢圓的定義，要保證它足夠嚴密、經(jīng)得起推敲．那么，這個常數(shù)可以是任意正實數(shù)嗎？有什么限制條件嗎？
引導學生回答：在“定義”中需要加上“常數(shù)>”的限制。繼續(xù)深化問題：若常數(shù)=
或常數(shù)<,情況會發(fā)生什么變化？
應用平面幾何中的“三角形任意兩邊之和大于第三邊”、“兩點之間線段最短”為理論依據(jù)，得出結論：當常數(shù)=時，與兩個定點的距離之和等于常數(shù)的點的軌跡是線段
；當常數(shù)<
時，與兩個定點的距離之和等于常數(shù)的點的軌跡不存在．
請學生給出經(jīng)過修改的橢圓定義，教師用幻燈片給出完善的橢圓定義，并介紹焦點、焦距的定義．
設計意圖：使學生經(jīng)歷橢圓概念的生成和完善過程，提高其歸納概括能力，加深對橢圓本質(zhì)的認識，并逐漸養(yǎng)成嚴謹?shù)目茖W作風
2．橢圓的標準方程
(1)回顧用坐標法求動點軌跡方程的一般步驟：建系設點、寫出動點滿足的幾何約束條件、坐標化、化簡、證明等價性
(2)建立焦點在軸上的橢圓的標準方程
①建系設點：觀察橢圓的幾何特征，如何建系能使方程更簡潔？
同學們可能會以一個端點（-a，0）為原點O，建立直角坐標系；也可能有些同學以一個焦點（-c，0）為原點O，建立直角坐標系，可以先引導學生根據(jù)橢圓的定義得出方程，再適當取舍——利用橢圓的對稱性特征
以直線為軸，以線段的垂直平分線為軸，建立平面直角坐標系．設焦距為，則．設為橢圓上任意一點，點與點的距離之和為．
②動點滿足的幾何約束條件:
③坐標化：
④化簡：化簡橢圓方程是本節(jié)課的難點，突破難點的方法是引導學生思考如何去根號
預案一：移項后兩次平方法
分析的幾何含義，令
得到焦點在軸上的橢圓的標準方程為
預案二：
用等差數(shù)列法：
設
得4cx=4at，即t=
將t=代入式得
③
將③式兩邊平方得出結論。以下同預案一
預案三：三角換元法：
設
得
即即
代入式得
以下同預案一
設計意圖：進一步熟悉用坐標法求動點軌跡方程的方法，掌握化簡含根號等式的方法，提高運算能力，養(yǎng)成不怕困難的鉆研精神，感受數(shù)學的簡潔美、對稱美
(3)建立焦點在軸上的橢圓的標準方程
有些同學可能會類比焦點在x軸上的橢圓的標準方程的研究方法來研究焦點在y軸上的橢圓的標準方程，這是值得肯定的。但是工作量十分大，我們有沒有簡單一些的辦法呢？
要建立焦點在軸上的橢圓的標準方程，又不想重復上述繁瑣的化簡過程，如何去做？此時要借助于化歸思想，抓住圖(1)與圖(2)的聯(lián)系即可化未知為已知，將已知的焦點在軸上的橢圓的標準方程轉化為焦點在軸上的橢圓的標準方程．只需將圖(1)沿直線翻折或將圖(1)繞著原點按逆時針方向旋轉即可轉化成圖(2)，需將軸、軸的名稱換為軸、軸或軸、軸．
（1） （2）
焦點在軸上的橢圓的標準方程為
設計意圖：體會數(shù)學中的化歸思想，化未知為已知，避免重復勞動
（4）歸納概括，方程特征：
1、我們都是以橢圓中心為原點，焦點所在軸為坐標軸建立直角坐標系的；
2、方程的左邊是兩個分式的平方和，右邊為常數(shù)1；
3、只要知道a和b的值，焦點在哪個軸上即可以寫出橢圓的標準方程；
3、在兩個方程中都有
4、求橢圓的標準方程時，可以用辨析焦點分別在軸、軸上的橢圓的標準方程的異同點
區(qū)別：要判斷焦點在哪個軸上，只需比較與項分母的大小即可．若項分母大，則焦點在軸上；若項分母大，則焦點在軸上．反之亦然．
聯(lián)系：它們都是二元二次方程，共同形式為
（五）數(shù)學應用——鞏固新知
例1：判斷分別滿足下列條件的動點M的軌跡是否為橢圓
（1）到點和點的距離之和為6的點的軌跡；（是）
（2）到點和點的距離之和為4的點的軌跡；（不是）
（3）到點和點的距離之和為6的點的軌跡；（是）
（4）到點和點的距離之和為4的點的軌跡；（不是）
（5） （6） 探究一：
，則a＝____，b＝____，c＝___， 焦點坐標為：___ 、___，焦距等于____。如果曲線上一點P到焦點F1的距離為8，則點P到另一個焦點F2的距離等于______。
設計意圖：鞏固橢圓定義
例2：已知橢圓的兩個焦點的坐標分別是，橢圓上一點M到的距離之和為4，求該橢圓的標準方程．
設計意圖：學會用待定系數(shù)法求橢圓標準方程
變式一：已知橢圓的兩個焦點的坐標分別是，橢圓上一點M到的距離之和為4，求該橢圓的標準方程．
設計意圖：提醒學生在解題時先要根據(jù)焦點位置判斷使用哪種形式的橢圓標準方程
變式三：已知橢圓的焦距為2，橢圓上的一點M到焦點F1,F2的距離之和為4，求該橢圓的標準方程。
變式四：已知橢圓的兩個焦點分別是，橢圓經(jīng)過點，求該橢圓的標準方程．
設計意圖：使學生體會橢圓定義在解題中的重要作用
（六）回顧反思——歸納提煉
1．一個知識點：橢圓的定義及其標準方程
2．兩種數(shù)學方法：用坐標化的方法求動點軌跡方程
3．三種數(shù)學思想：數(shù)形結合思想、化歸思想、分類討論、不怕困難的思想
設計意圖：在總結時采用“一個知識點、兩種方法、三種思想”的方式，目標明確，重點清晰，易于掌握所學內(nèi)容，構建知識鏈。
（七）課后作業(yè)，鞏固提高
1．必做題：課本106頁習題8．1 1(2)，2，3（1），（2）
2．思考題：
(1)在化簡橢圓方程的過程中有成立，該式有什么幾何含義?你能從函數(shù)觀點看待等式右端的代數(shù)式嗎？你能用函數(shù)單調(diào)性解釋橢圓上的點與焦點間距離的變化情況嗎？
設計意圖：為引入橢圓焦半徑公式作適當鋪墊，為學習橢圓的幾何性質(zhì)做鋪墊，也體現(xiàn)數(shù)學知識之間的聯(lián)系，培養(yǎng)學生養(yǎng)成深入思考的習慣．
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