高斯
中國(guó)科學(xué)院數(shù)學(xué)研究所 袁向東
高斯，C．F．(Gauss，Carl Friedrich) 1777年4月30日生于德國(guó)不倫瑞克；1855年2月23日卒于格丁根．?dāng)?shù)學(xué)、天文、物理、大地測(cè)量．
高斯出生在一個(gè)普通城市工人家庭．其父格布哈德·迪特里希·高斯(Gebhard Dietrich Gauss)受教育不多，但能寫會(huì)算，為人勤奮，靠手藝維持家庭生計(jì)，做過(guò)園林工人、運(yùn)河工人、街道小販，還出任過(guò)喪葬機(jī)構(gòu)的會(huì)計(jì)．據(jù)說(shuō)迪特里?！じ咚闺m忠厚卻性情暴躁，在家尤為專制．小高斯是他第二個(gè)妻子的獨(dú)子．高斯的母親多羅西婭·本茨(Dorothea Benze)出身石匠家庭，聰慧而善良，能讀但不會(huì)寫，婚前在一個(gè)貴族家當(dāng)女仆，在其夫去世后長(zhǎng)期隨高斯生活，母子相伴，直至96歲謝世．多羅西婭的弟弟天份頗高，是高斯長(zhǎng)輩中智力最突出的一位，他靠自己鉆研成為藝術(shù)錦緞的著名織匠．
高斯幼年時(shí)的生活跟當(dāng)時(shí)一般市民家的孩子雷同．有一個(gè)故事說(shuō)因父母為生計(jì)奔波，小高斯有時(shí)無(wú)人照料，大約在3或4歲時(shí)，曾墮入離家不遠(yuǎn)的運(yùn)河，幾乎溺死．另一個(gè)故事說(shuō)高斯自幼對(duì)數(shù)字有特殊的敏感，在3歲時(shí)就發(fā)現(xiàn)過(guò)父親算賬時(shí)的計(jì)算錯(cuò)誤。這些故事大都是高斯晚年對(duì)人談起的．高斯成年后還常對(duì)人說(shuō)，他在學(xué)會(huì)說(shuō)話前就會(huì)計(jì)算了．
高斯接受教育的狀況受制于當(dāng)時(shí)德國(guó)的社會(huì)背景．他出生的城市不倫瑞克是座古城，在17世紀(jì)初仍是能跟漢堡和阿姆斯特丹相媲美的貿(mào)易中心．后因城市民眾暴動(dòng)和歐洲30年戰(zhàn)爭(zhēng)的破壞而衰落．1671年它失去政治獨(dú)立地位，并入不倫瑞克-沃爾芬比特爾(現(xiàn)德國(guó)下薩克森州)公爵領(lǐng)地；1673年成為該領(lǐng)地的首府．在18世紀(jì)，它像其他德國(guó)城邦一樣，經(jīng)濟(jì)政治狀況落后于資本主義蓬勃發(fā)展中的英國(guó)和法國(guó)．高斯降生時(shí)不倫瑞克的統(tǒng)治者是 C． W．費(fèi)迪南德(Carl Wilhelm Ferdinand)公爵，一位久經(jīng)沙場(chǎng)的貴族；他按傳統(tǒng)的封建方式管理他的領(lǐng)地：典型的特征是以農(nóng)業(yè)為其財(cái)政的主要來(lái)源，并保護(hù)組織起來(lái)的個(gè)體織匠抵制紡織機(jī)械的使用．他在教育方面雖未實(shí)行義務(wù)教育，但他的大多數(shù)臣民都能識(shí)字并掌握一些初等算術(shù)知識(shí)．至于社會(huì)下層有天賦的兒童要想獲得較高等的教育，則非有貴族、富商或其他有影響的保護(hù)人的資助不可．
1784年，高斯像普通市民的孩子一樣入小學(xué)讀書．他進(jìn)的圣·凱瑟琳小學(xué)給他帶來(lái)了好運(yùn)．該校教師 J．G．比特納(Büttner)稱職而熱心，他教的班由50多名年齡各異、原有知識(shí)參差不齊的學(xué)生組成；比特納發(fā)現(xiàn)高斯才智出眾，特意從漢堡弄來(lái)一本算術(shù)教科書給高斯讀．一個(gè)故事說(shuō)，一次高斯在班上幾乎不加思索就算出了1+2+3+…+100的和，令比特納驚訝不已．當(dāng)時(shí)任比特納助手的 M．巴特爾斯(Bartels)只比高斯大8歲，酷愛(ài)數(shù)學(xué)(后到俄國(guó)喀山大學(xué)任教授，是非歐幾何創(chuàng)立者之一羅巴切夫斯基的老師)，對(duì)高斯的數(shù)學(xué)才能特別器重，他們常在一起討論算術(shù)和代數(shù)問(wèn)題．
高斯的父親不希望兒子繼續(xù)升中學(xué)讀書．讓子女多讀書并非當(dāng)?shù)毓と穗A層的風(fēng)尚；讀小學(xué)時(shí)，高斯晚上經(jīng)常秉父命上織機(jī)織布．經(jīng)老師們的幫助，高斯于1788年進(jìn)入預(yù)科學(xué)校(相當(dāng)于現(xiàn)在的中學(xué))，這里班級(jí)的編排較正規(guī)，但課程頗顯陳舊，而且過(guò)份強(qiáng)調(diào)古典語(yǔ)言特別是拉丁語(yǔ)的教學(xué)．高斯的目標(biāo)是學(xué)術(shù)上的深造，當(dāng)時(shí)的人文學(xué)科特別是科學(xué)經(jīng)典都是拉丁文寫的，于是他充分利用學(xué)校的條件攻讀拉丁語(yǔ)，不久成績(jī)就名列前茅．他還學(xué)會(huì)了使用高地德語(yǔ)(路德翻譯圣經(jīng)用的那種德語(yǔ)，即現(xiàn)在的標(biāo)準(zhǔn)德語(yǔ))，高斯原來(lái)只會(huì)使用本地方言．至于他的數(shù)學(xué)程度，教師在看了他的第一次數(shù)學(xué)作業(yè)后便認(rèn)為，高斯已沒(méi)有必要上該校的數(shù)學(xué)課了．
1791年，位于不倫瑞克的卡洛琳學(xué)院的教授 E．A．W．齊默爾曼(Zimmermann)向費(fèi)迪南德公爵引介了14歲的天才少年高斯．公爵接見(jiàn)高斯時(shí)為他的樸實(shí)和靦腆所動(dòng)，欣然應(yīng)允資助高斯的全部學(xué)業(yè)．此后，高斯在經(jīng)濟(jì)上便獨(dú)立于父母，父親也不再反對(duì)兒子的繼續(xù)深造．
1792年，高斯入家鄉(xiāng)的卡洛琳學(xué)院(Brunswick Collegium Carolinum)學(xué)習(xí)，開(kāi)始脫離家庭的獨(dú)立生活．這所學(xué)校不同于普通的大學(xué)，它由政府直接興辦和管理，目標(biāo)是培養(yǎng)合格的官吏和軍人，在德國(guó)各城邦的類似學(xué)校中屬于最優(yōu)秀之列，其教學(xué)強(qiáng)調(diào)科學(xué)方面的科目．高斯在校的三年間，全身心地投入學(xué)習(xí)和思考，獲得了一系列重要的發(fā)現(xiàn)：入學(xué)前他就研究算術(shù)-幾何平均(1791)，此時(shí)發(fā)現(xiàn)了它和其他許多冪級(jí)數(shù)的聯(lián)系(1794)；發(fā)現(xiàn)最小二乘法(1794)；考慮了幾何基礎(chǔ)問(wèn)題，即平行公設(shè)在歐幾里得幾何中的地位(1792)；由歸納發(fā)現(xiàn)數(shù)論中關(guān)于二次剩余的基本定理，即二次互反律(1795)；研究素?cái)?shù)分布，猜想出素?cái)?shù)定理(1792)．在這一時(shí)期，貫穿高斯一生的研究風(fēng)格的一個(gè)重要方面已趨成熟：不停地觀察和進(jìn)行實(shí)例剖析，從經(jīng)驗(yàn)性質(zhì)的研究中獲得靈感和猜想．高斯在學(xué)院學(xué)習(xí)期間還開(kāi)始了對(duì)數(shù)學(xué)經(jīng)典著作的鉆研，閱讀了I．牛頓(Newton)的《自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理》(Philosophiae naturalis Principia mathematica)、 L．歐拉(Euler)的代數(shù)與分析著作和J．L．拉格朗日(Lagrange)的若干論著，以及雅格布·伯努利(Jacob Bernoulli)的《猜度術(shù)》(Ars conjectandi)等．
高斯的志向不是謀取官吏的職位，而在于他最喜好的兩門學(xué)問(wèn)：數(shù)學(xué)和語(yǔ)言．1795年，他離開(kāi)費(fèi)迪南德公爵管轄的領(lǐng)地，到格丁根大學(xué)就讀．格丁根大學(xué)的辦學(xué)方式追隨英國(guó)的牛津和劍橋大學(xué)，資金較其他德國(guó)大學(xué)充裕，較少受政府和教會(huì)的管理和干涉．高斯選中這所大學(xué)另有兩個(gè)原因．一是它有藏書(尤其是數(shù)學(xué)書)極豐的圖書館；二是它有注重改革、側(cè)重科學(xué)的好名聲．當(dāng)時(shí)的格丁根對(duì)學(xué)生可謂是個(gè)“四無(wú)世界”：無(wú)必修科目，無(wú)指導(dǎo)教師，無(wú)考試和課堂的約束，無(wú)學(xué)生社團(tuán)．高斯完全在學(xué)術(shù)自由的環(huán)境中成長(zhǎng)，將來(lái)從事什么職業(yè)完全由他自己抉擇．入學(xué)初期，語(yǔ)言學(xué)家 G．海涅(Heyne)對(duì)高斯 作數(shù)學(xué)家還是語(yǔ)言學(xué)家可能曾在高斯腦際徘徊．有兩個(gè)支持這種看法的旁證：高斯到校第一年所借閱的25本書中，僅有5本科學(xué)著作，其余皆屬人文學(xué)科，而且高斯終其一生始終未改對(duì)語(yǔ)言和文學(xué)的愛(ài)好；那個(gè)時(shí)代以數(shù)學(xué)為職業(yè)者收入不豐，高斯當(dāng)時(shí)仍在靠公爵的補(bǔ)貼生活，尋找有較高收入的職業(yè)是高斯一生中經(jīng)?？紤]的問(wèn)題．
1796年是高斯學(xué)術(shù)生涯中的第一個(gè)轉(zhuǎn)折點(diǎn)：他敲開(kāi)了自歐幾里得時(shí)代起就攪擾著數(shù)學(xué)家的尺規(guī)作圖這一難題的大門，證明了正十七邊形可用歐幾里得型的圓規(guī)和直尺作圖．這一成功最終決定了他走科學(xué)之路而非文學(xué)之路，高斯真正認(rèn)識(shí)了自己的能力之所在．在注明3月30日的“科學(xué)日記”中，高斯寫道：“圓的分割定律，如何以幾何方法將圓分成十七等分”．所謂“科學(xué)日記”是1898年偶然在高斯的孫子的財(cái)產(chǎn)中發(fā)現(xiàn)的一本筆記；高斯在上面記錄他的眾多科學(xué)發(fā)現(xiàn)，并稱之為 Notizen journal(日志錄)．日記中簡(jiǎn)要記載著他自1796年至1814年間的共146條新發(fā)現(xiàn)或定理的證明．由于高斯的許多發(fā)現(xiàn)終身沒(méi)有正式發(fā)表，這本日記成了判定高斯學(xué)術(shù)成就的重要依據(jù)．
在格丁根學(xué)習(xí)期間，高斯在日記中記錄了許多重要信息：
1796年4月8日，得到數(shù)論中重要定理二次互反律的第一個(gè)嚴(yán)格證明；
1797年1月7日，開(kāi)始研究雙紐線；
1797年3月19日，認(rèn)識(shí)到在復(fù)數(shù)域中，雙紐線積分具有雙周期；
1797年5月，由實(shí)例計(jì)算得到算術(shù)-幾何平均和雙紐線長(zhǎng)度間的一些關(guān)系(雙紐線函數(shù)是橢圓函數(shù)的一種)；
1797年10月，證明了代數(shù)基本定理．
1798年秋，高斯突然離開(kāi)格丁根回到故鄉(xiāng)，原因不詳，很可能是費(fèi)迪南德公爵不愿由他資助的學(xué)生在他所轄的領(lǐng)地之外的大學(xué)獲取文憑．正是在公爵的要求下，高斯于1799年接受了海爾姆斯臺(tái)特(Helmstedt)大學(xué)的博士學(xué)位，名義上的導(dǎo)師是 J．F．普法夫(Pfaff)，當(dāng)時(shí)德國(guó)最負(fù)盛名的數(shù)學(xué)家，高斯在格丁根求學(xué)期間曾訪問(wèn)過(guò)他，但尚不知他們之間有無(wú)學(xué)術(shù)上的聯(lián)系．[有一則故事表明他們二人在數(shù)學(xué)界的地位．在高斯成名后，他的好友 A．洪堡(Humboldt)曾詢問(wèn)法國(guó)大數(shù)學(xué)家、力學(xué)家 P．S．M．拉普拉斯(Laplace)誰(shuí)是德國(guó)最偉大的數(shù)學(xué)家．拉普拉斯答是普法夫，洪堡驚鄂之余追問(wèn)道：那么高斯呢？拉普拉斯戲謔地說(shuō)：高斯是全世界最偉大的數(shù)學(xué)家！]高斯博士論文的題目很長(zhǎng)：“單變量有理整代數(shù)函數(shù)皆可分解為一次或二次式的定理的新證明”(Demo-nstratio nova theorematis omnem functionem algelraicam rati-onalem integram unius variabilis in factores reals primi vel secundi gradus resolvi posse，1799年8月在公爵資助下出版)．高斯在給他大學(xué)時(shí)的同學(xué) W．波爾約(Bolyai)的信(1799年12月16日)中說(shuō)：“題目相當(dāng)清楚地講明了文章的主要目的，雖然它只占篇幅的三分之一，其余是講述歷史和對(duì)其他數(shù)學(xué)家[J．R．達(dá)朗倍爾(d’Alembert)、L．A．de 布干維爾(Bougainville)、歐拉、拉格朗日等]相應(yīng)工作的批判，以及關(guān)于當(dāng)代數(shù)學(xué)之浮淺的各種評(píng)論．”此文反映了高斯研究風(fēng)格的另一個(gè)方面：強(qiáng)調(diào)嚴(yán)密的邏輯推理，這是區(qū)別于18世紀(jì)大部分?jǐn)?shù)學(xué)家的高斯風(fēng)格的主要特征．在此論文中，他并未具體構(gòu)造出代數(shù)方程的解，而是一種純粹的存在性證明．這類證明此后便在數(shù)學(xué)中大量涌現(xiàn)．還應(yīng)指出，他的證明雖然必須依賴復(fù)數(shù)，但因當(dāng)時(shí)的數(shù)學(xué)家仍在為虛數(shù)的本質(zhì)爭(zhēng)論不休，所以高斯盡量避免直接使用虛數(shù)．他預(yù)先假定了直角座標(biāo)平面上的點(diǎn)與復(fù)數(shù)的一一對(duì)應(yīng)。而將論及的函數(shù)分為實(shí)部和虛部分別加以討論．高斯的證明也并非在邏輯上完美無(wú)缺，如他視連續(xù)函數(shù)的一些性質(zhì)自然成立而未加證明[這些性質(zhì)后來(lái)為捷克數(shù)學(xué)家 B．波爾查諾(Bolzano)首先證明]．高斯可能認(rèn)識(shí)到這一問(wèn)題，此后又給出了代數(shù)基本定理的另外三個(gè)證明(1815，1816，1849)，最后的證明是為慶祝他獲博士學(xué)位50周年而作，方法跟博士論文基本一致，只是“現(xiàn)在大家都認(rèn)清了復(fù)數(shù)是什么”，所以他直接運(yùn)用了復(fù)數(shù)．
自1796年解決正十七邊形的作圖到1801年，是高斯學(xué)術(shù)創(chuàng)造力最旺盛的時(shí)間．按數(shù)學(xué)史家 O．梅(May)統(tǒng)計(jì)，在這6年間(19歲—24歲)高斯提出的猜想、定理、證明、概念、假設(shè)和理論，平均每年不少于25項(xiàng)，其中最輝煌的成就是1801年發(fā)表的《算術(shù)研究》(Disquisitiones arithmeticae)，它把過(guò)去一直是零星成果堆砌成的數(shù)論，織成一張結(jié)構(gòu)緊湊、自成系統(tǒng)的網(wǎng)；以及在1801年中根據(jù)少量觀測(cè)數(shù)據(jù)準(zhǔn)確預(yù)報(bào)小行星“谷神星”的運(yùn)行軌道．天文學(xué)是當(dāng)時(shí)科學(xué)界最關(guān)注的課題，高斯的這項(xiàng)預(yù)報(bào)引起了轟動(dòng)．上述兩項(xiàng)成就使他不僅在數(shù)學(xué)界而且在科學(xué)界一舉成名．
1802年初，圣彼得堡科學(xué)院聘高斯為外籍院士；同年9月又邀請(qǐng)他出任圣彼得堡天文臺(tái)臺(tái)長(zhǎng)，這是極崇高的榮譽(yù)．高斯出于對(duì)公爵的忠心，也因公爵打算為他創(chuàng)造更好的工作條件(計(jì)劃專為高斯在不倫瑞克修建小天文臺(tái))并給他提薪，高斯最終決定留在家鄉(xiāng)．
此后，高斯雖從未完全放棄對(duì)數(shù)論、代數(shù)、幾何及分析學(xué)的研究，但其主要精力和時(shí)間逐步轉(zhuǎn)向更有實(shí)際效用的科學(xué)，如天文學(xué)、測(cè)地學(xué)、物理學(xué)和應(yīng)用數(shù)學(xué)．學(xué)術(shù)研究重點(diǎn)的轉(zhuǎn)移也帶來(lái)了高斯結(jié)交朋友方面的轉(zhuǎn)折．高斯在純數(shù)學(xué)的研究中是相當(dāng)孤獨(dú)的，沒(méi)有同事和助手，即使在他創(chuàng)作高峰期也幾乎未進(jìn)行過(guò)直接的學(xué)術(shù)交流．W．波爾約雖是跟高斯有過(guò)長(zhǎng)達(dá)50年通信聯(lián)系的數(shù)學(xué)家，但未見(jiàn)他們?cè)跀?shù)學(xué)思想上的深入討論．唯一的例外是法國(guó)女?dāng)?shù)學(xué)家 S．熱爾曼(Sophie Germain)，她曾化名男子和高斯通信(1804—1805)討論數(shù)論問(wèn)題，二次互反律的一個(gè)證明就跟她的想法有關(guān)．但是，在天文學(xué)界和物理學(xué)界，高斯卻有不少摯友，他們不僅切磋學(xué)術(shù)，而且過(guò)往甚密．現(xiàn)存的7000多封高斯的通信中，跟這些人的信件占極大比例．
1802—1803年間，高斯先后訪問(wèn)了 W．奧爾伯斯(Wilhelm Olbers)博士[醫(yī)生兼天文學(xué)家，1802年發(fā)現(xiàn)了小行星“小惑星”(Pallas)]和著名天文學(xué)家F．察赫[Zach，為當(dāng)時(shí)德國(guó)最著名的塞堡(Seeberg)天文臺(tái)的臺(tái)長(zhǎng)，1801年12月7日晚第一個(gè)在高斯預(yù)報(bào)的位置上重新觀測(cè)到谷神星]，討論了天文和大地測(cè)量問(wèn)題，從此高斯開(kāi)始了天文觀測(cè)和野外測(cè)量．奧爾伯斯為堵絕圣彼得堡良好的工作條件對(duì)高斯的引誘，提議由高斯出任正在籌備中的格丁根新天文臺(tái)的臺(tái)長(zhǎng)(1804年此建議得到格丁根方面的確認(rèn))．1804年底，高斯又開(kāi)始跟年輕的 F．W．貝塞爾(Bessel，后成為一流的理論及實(shí)用天文學(xué)家)進(jìn)行維持終身的通信．據(jù)現(xiàn)存信件可知，高斯的長(zhǎng)期通信者還有 C．L．格林(Gerling，物理學(xué)家，高斯的學(xué)生)，H．C．舒馬赫(Schumacher，高斯的學(xué)生，天文學(xué)家)和J．G雷普索爾德(Repsold，儀器制作家，曾和高斯探討消色差雙物鏡鏡片的設(shè)計(jì)等問(wèn)題)．
1805年，高斯跟制革商的獨(dú)生女約翰娜·奧斯多夫(Johanna Osthoff)結(jié)為伉儷．此次婚姻頗為美滿，得二子一女，高斯分別以三個(gè)小行星發(fā)現(xiàn)者的名字為他們的教名．跟寧?kù)o的家庭生活相悖的是政治環(huán)境的驟變．自1789年法國(guó)大革命后，德法之間爆發(fā)了多次短期戰(zhàn)爭(zhēng)．為扼制拿破侖在中歐的擴(kuò)張，德國(guó)最主要的部分普魯士決定加強(qiáng)跟法國(guó)的對(duì)抗．1806年，曾任普魯士將軍的費(fèi)迪南德公爵率部與法軍決戰(zhàn)，70多歲的沙場(chǎng)老將在戰(zhàn)斗中負(fù)了致命傷，同年11月死于阿爾唐納(Altona)，這意味著高斯失去了經(jīng)濟(jì)來(lái)源，從此必須完全靠自己的努力維持生計(jì)．
1807年，高斯攜全家遷往格丁根，出任格丁根天文臺(tái)臺(tái)長(zhǎng)(實(shí)際上新天文臺(tái)尚在建設(shè)中，他需親自為其購(gòu)置儀器設(shè)備)，同時(shí)擔(dān)任格丁根大學(xué)天文學(xué)教授．高斯選擇臺(tái)長(zhǎng)為其主職，教授只為次職，這跟他不喜歡當(dāng)時(shí)的教學(xué)有關(guān)．1802年高斯在致奧爾伯斯的信中說(shuō)過(guò)：“我真的不喜歡教課……對(duì)真正有天賦的學(xué)生，他們絕不會(huì)依賴課堂上的傳授，而必是自修自學(xué)的……做這種不值得感謝的工作，唯一的代價(jià)是教授浪費(fèi)了寶貴的時(shí)間．”在以后的通信中，可看出他對(duì)當(dāng)時(shí)大多數(shù)學(xué)生無(wú)鉆研興趣、很少或根本沒(méi)有學(xué)習(xí)動(dòng)力，甚至有的學(xué)生缺少必要的常識(shí)不滿．至于對(duì)稟賦好的學(xué)生，高斯愿意“偶爾給他一點(diǎn)提示，以便他找到最近的路．”
格丁根原屬漢諾威公國(guó)，此時(shí)已劃歸法國(guó)控制下的西伐利亞王國(guó)(1814年漢諾威公國(guó)復(fù)辟后，格丁根才擺脫法國(guó)統(tǒng)治)．法國(guó)政府征收的高額賦稅給了高斯當(dāng)頭一棒，他無(wú)力籌足大學(xué)教授需交的2 000法幣．德、法兩國(guó)的多名學(xué)者聞?dòng)嵵鲃?dòng)伸出援助之手，均遭高斯婉拒；最后是一位匿名者替他交納了全部稅金[后知此人是法蘭克福的大主教達(dá)爾貝格(Dahlberg)伯爵，曾任羅馬帝國(guó)的重臣]．法國(guó)入侵，費(fèi)迪南德伯爵戰(zhàn)死，加上此次征稅，無(wú)形中加深了高斯在政治上的保守傾向，縱觀其一生，他對(duì)政治上的變革或激烈行為都持旁觀或反對(duì)的態(tài)度．高斯到格丁根后所受的第二次打擊是愛(ài)妻在生第三個(gè)孩子時(shí)難產(chǎn)，不久便去世了(1809年10月)．時(shí)隔不到半年，新生兒也夭折而去．高斯以獨(dú)有的克制精神和毅力，很快從精神沮喪中復(fù)原．為了正常的生活和工作，為讓不滿4歲的兒子和剛2歲的女兒得到照顧，高斯于1810年8月跟格丁根大學(xué)法學(xué)教授的小女兒米納·沃爾德克(Minna Waldeck)成婚．第二次婚姻也得二子一女：歐根納(Eugene)、威廉(Wilhelm)和女兒特雷澤(Therese)．在這一非常時(shí)期，高斯完成并發(fā)表了他的理論天文學(xué)方面的名著《天體沿圓錐曲線的繞日運(yùn)動(dòng)理論》(Theoria motus corporum coelestium in sectionibus conicis So-lem ambientium)，闡述他預(yù)測(cè)天體軌道的方法，首次發(fā)表他的最小二乘法，提出現(xiàn)稱高斯分布的著名統(tǒng)計(jì)規(guī)律．
1814年，格丁根天文臺(tái)新址基本建成．為配置最好的望遠(yuǎn)鏡等設(shè)備，高斯多方奔走，如于1816年赴巴伐利亞會(huì)見(jiàn)光學(xué)儀器制造家 G．von 賴興巴赫(Reichenbach)等，買到了他最中意的裝備．1818年，高斯發(fā)表了“確定行星對(duì)任意點(diǎn)的引力，假定行星質(zhì)量按下述比例均勻分布在它的整條軌道上，即每一部分軌道上的質(zhì)量正比于行星通過(guò)該段軌道所用的時(shí)間”(Determinatio attra-ctionis quam in punctum quodvis positionis datae exerceret planeta si eius massa per totam orbitam ratione temporis，quo singulae partes describuntur， uniformiter esset dispertita)，文中利用橢圓積分、算術(shù)-幾何平均等工具探討了困難的天體攝動(dòng)問(wèn)題．該文是高斯結(jié)束其理論天文學(xué)研究的標(biāo)志，此后他的天文研究主要在天文觀測(cè)，記錄特殊天象，計(jì)算并報(bào)告他對(duì)觀測(cè)數(shù)據(jù)的分析，親自調(diào)試儀器以達(dá)到最佳觀測(cè)條件，一直到1854年他最后病倒為止．
高斯退出理論天文學(xué)研究的一個(gè)原因是大地測(cè)量工作引起了他的興趣．1815年前后，中歐各重要國(guó)家出于經(jīng)濟(jì)和軍事目的，紛紛開(kāi)始大規(guī)模的大地測(cè)量．1816年，舒馬赫應(yīng)丹麥政府之請(qǐng)，測(cè)繪全丹麥的地理形狀，他請(qǐng)高斯協(xié)助．在一系列準(zhǔn)備之后，高斯于1818年正式同意擔(dān)負(fù)將丹麥的測(cè)地工作向南延伸，并開(kāi)始參加艱苦的夏季野外測(cè)繪，冬季則對(duì)所獲數(shù)據(jù)進(jìn)行分析整理．1820年，漢諾威政府正式批準(zhǔn)高斯對(duì)漢諾威全境作地理測(cè)量的計(jì)劃，任命高斯為實(shí)施計(jì)劃的負(fù)責(zé)人．1818至1825的八年間，高斯請(qǐng)他前妻所生之子約瑟夫(Joseph)和若干軍人為野外考察的助手，工作井然有序，表現(xiàn)了高斯的組織才能．高斯動(dòng)用軍人的理由是“農(nóng)夫們尊敬軍官”，“軍隊(duì)管理中的紀(jì)律和秩序?qū)θ魏问虑槎加幸娑鵁o(wú)害”．為提高測(cè)量精度，高斯發(fā)明了“日光反射信號(hào)器”(1820)和光度計(jì)(1821)．至于實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)匯集后的計(jì)算，幾乎由高斯一人承擔(dān)．他每年撰寫的測(cè)地報(bào)告后匯集于《利用拉姆斯登(Ramsden)儀觀測(cè)所確定的格丁根與阿爾唐納兩天文臺(tái)之經(jīng)度差》(Bestim-mung des
ch Beobachtungen am Ramsdenschen Zenithsector，1828)．長(zhǎng)年的勞累損傷了高斯強(qiáng)壯的體魄；1825年醫(yī)生診斷他患有氣喘病和心臟病，迫使他停止了野外作業(yè)．此后高斯仍指揮整個(gè)計(jì)劃的執(zhí)行，并于1847年完成漢諾威全境的測(cè)量．
高斯全力關(guān)注測(cè)地工作的十年(1818—1828)，是他創(chuàng)造活動(dòng)的又一個(gè)高峰期．高斯在1825年致奧爾伯斯的一封信中說(shuō)，他這些年未能把充斥腦際的許多思想加以實(shí)現(xiàn)．盡管如此，他的兩項(xiàng)理論成果已成永垂青史之作．1822年，丹麥哥本哈根科學(xué)院設(shè)獎(jiǎng)?wù)鞔鸬貓D制作中的難題，高斯以“將給定凸面投影到另一面而使
獲頭獎(jiǎng)．此文在數(shù)學(xué)史上首次對(duì)保形映射作了一般性的論述，建立了等距映射的雛形．1827年，高斯寫成《曲面的一般研究》(Disquisitiones generales circa supe-rficies curvas，1828年出版)，這是他積10多年思考測(cè)地問(wèn)題所得之精萃，提出了內(nèi)蘊(yùn)幾何的新觀念，成為此后長(zhǎng)達(dá)一個(gè)多世紀(jì)微分幾何研究的源泉．測(cè)地問(wèn)題中的大量計(jì)算也推動(dòng)高斯完善他的最小二乘法和對(duì)統(tǒng)計(jì)規(guī)律的嚴(yán)格研究，如他的《與最小可能誤差有關(guān)的觀測(cè)值的組合理論》(Theoria combinationis observationum erroribus minimis obnoxiae Ⅰ＆ Ⅱ，1823)，以數(shù)學(xué)的嚴(yán)格性推廣最小二乘法，使它在任何概率誤差的假設(shè)下，都以最適當(dāng)?shù)姆椒▉?lái)組合觀測(cè)值．
在第二次創(chuàng)造高峰期的后期，高斯因測(cè)地工作得到額外的津貼(1825年開(kāi)始領(lǐng)?。饲暗?807—1824年間，高斯的薪金一直固定未動(dòng)，而家庭負(fù)擔(dān)有增無(wú)減)，他的經(jīng)濟(jì)狀況有了根本好轉(zhuǎn)；但高斯卻在為他自我感覺(jué)到的創(chuàng)造力開(kāi)始下降擔(dān)憂．在1826年2月19日致奧爾伯斯的信中，他抱怨自己不能再如此努力而成果不佳，覺(jué)得應(yīng)該去搞有別于數(shù)學(xué)的其他領(lǐng)域．
1828年高斯到柏林參加了他一生中唯一的一次學(xué)術(shù)會(huì)議：柏林自然科學(xué)工作者大會(huì)．洪堡希望他到柏林科學(xué)院工作以發(fā)揮更大的影響，并答應(yīng)為他提供磁學(xué)研究的儀器．高斯當(dāng)時(shí)對(duì)磁學(xué)的興趣確實(shí)在增長(zhǎng)，但對(duì)到柏林就職并不熱心．在1822—1825年間，柏林方面曾和高斯談判他來(lái)柏林的條件，高斯發(fā)現(xiàn)這個(gè)大都市的辦事效率很低，要他擔(dān)負(fù)的領(lǐng)導(dǎo)或顧問(wèn)方面的責(zé)任也過(guò)多，因此高斯寧肯留在格丁根．高斯此次柏林之行最大的收獲是結(jié)識(shí)了年輕的、才華橫溢的實(shí)驗(yàn)物理學(xué)家 W．韋伯(Weber)．高斯正準(zhǔn)備全力投入的物理學(xué)各學(xué)科原非他熟悉的領(lǐng)域，他正需要一個(gè)象韋伯這樣的合作者．
高斯一旦決定轉(zhuǎn)變研究方向，他進(jìn)入新課題的加速度是驚人的，他發(fā)表的下述文章和發(fā)明就是明證：
s allgemeines Grundgesetz der Mechanik)；
1830年，發(fā)表了《論平衡狀態(tài)下流體性質(zhì)的一般理論原則》(Principia generalia theoriae figurae fluidorum in statu aequ-ilibrii)；
1832年，發(fā)表了《以絕對(duì)單位測(cè)定的地磁強(qiáng)度》(Intensitas vis magneticae terrestris ad mensuram absolutam revocata)；1833年，又與1831年到格丁根工作的韋伯合作發(fā)明了電磁電報(bào)．
高斯跟韋伯的合作對(duì)他深入磁學(xué)研究影響頗大，1833年他們?cè)诟穸「d建了地磁觀測(cè)站．洪堡曾設(shè)想建立全球的地磁測(cè)量網(wǎng)，高斯和韋伯的參與加速了這項(xiàng)計(jì)劃的實(shí)施．為使測(cè)量準(zhǔn)確，他們精心設(shè)計(jì)以銅材代替鐵材，以免磁針受其他鐵器的干擾．不久，格丁根的觀測(cè)站成了地磁測(cè)量的中心，各國(guó)紛紛仿照他們的設(shè)計(jì)建站，到1834年歐洲已建起了幾十處磁觀測(cè)站．為促進(jìn)交流，高斯和韋伯組織了磁學(xué)會(huì)(Magnetisch Verein)，出版年刊《磁學(xué)會(huì)年度觀測(cè)成果》(Resultate aus den Beobachtungen des magne-tischen Vereins，1836—1841年間共出版6卷，其中有高斯的15篇和韋伯的23篇文章)．1837年，他們改進(jìn)了測(cè)量地磁強(qiáng)度的儀器，發(fā)明了雙線地磁儀．1839年，高斯發(fā)表《地磁的一般理論》(Allgemeine Theorie des Erdmagnetismus)，澄清、簡(jiǎn)化并發(fā)展了已有的地磁理論．1840年，除和韋伯合作出版了不朽的《地磁圖》(Atlas des Erdmagnetismus)，高斯還發(fā)表了《與距離平方成反比而發(fā)生作用的引力
地磁學(xué)之余，高斯還探討了若干光學(xué)問(wèn)題．
在高斯全力投入物理研究的時(shí)期，他的家庭生活和人事關(guān)系屢屢出現(xiàn)麻煩．夫人米納在生育特雷澤后身體虛弱，經(jīng)常臥床不起；兒子歐根納在選擇學(xué)業(yè)上跟高斯意見(jiàn)相悖．歐根納是高斯所有孩子中最富語(yǔ)言和數(shù)學(xué)才能的一個(gè)，他想選讀科學(xué)方面的學(xué)科，但終拗不過(guò)父親的威嚴(yán)，不得不進(jìn)大學(xué)去讀法律；于是在大學(xué)他常放縱自己，時(shí)因賭博而負(fù)債．父子間的不睦最終導(dǎo)致歐根納于1830年出走，遠(yuǎn)度重洋移居美國(guó)．米納不堪這一打擊，次年便病故了．高斯的另一個(gè)兒子威廉熱衷務(wù)農(nóng)，這在父親眼里是無(wú)前途的職業(yè)，他因在德國(guó)生活不如意，于1832年征得高斯的同意，攜妻去了北美．此后父子們?cè)傥匆?jiàn)面．高斯的第二次婚姻不能說(shuō)美滿，對(duì)高斯唯一的安慰是女兒特雷澤十分孝順，在米納去世后擔(dān)起了全部家務(wù)，直到高斯去世后才出嫁．在30年代初期，高斯還因一個(gè)地磁實(shí)驗(yàn)方案而對(duì)德高望重的洪堡進(jìn)行嚴(yán)厲的抨擊，造成兩人感情上的疏遠(yuǎn)．
縱觀高斯一生，他待人接物都極力避免感情用事，而且厭惡爭(zhēng)吵，即使在有人議論他有剽竊他人成果的嫌疑時(shí)也能泰然處之，如高斯正式發(fā)表最小二乘法在法國(guó)數(shù)學(xué)家勒讓德之后，因而招來(lái)非議，高斯對(duì)此并未拍案而起，只是在給友人的信中擺明事情的原委．前述爭(zhēng)吵是發(fā)生在米納長(zhǎng)期患病之后，足見(jiàn)它對(duì)高斯造成的心理壓力之重，使他無(wú)法控制自己的感情．
這一時(shí)期的另一不測(cè)事件是由漢諾威的新君主壓制民主引起的．受1830年法國(guó)資產(chǎn)階級(jí)革命的影響，漢諾威公國(guó)曾于1831年通過(guò)了一部較為民主和自由的憲法．1837年11月，新國(guó)王 E．奧古斯特(August)取消這部憲法，要求公職人員(包括大學(xué)教授)對(duì)他本人宣誓效忠．遂有格丁根大學(xué)7位教授奮起抗議，其中有高斯最親密的合作者韋伯，以及高斯的大女婿、東方學(xué)專家 G．H．A．von．埃瓦爾德(Ewald)．人們期待高斯采取公開(kāi)的行動(dòng)，以其崇高的威望聲援他的同事．但高斯保持了沉默．七教授被解760職，其中三人被逐出境外．此時(shí)高斯除私下請(qǐng)洪堡為韋伯說(shuō)情外，未對(duì)政府的行動(dòng)表示異議．實(shí)際上高斯不贊成政治上的任何激進(jìn)行為，傾向于維持王室的統(tǒng)治．況且，時(shí)年高斯的母親已95歲高齡，他本人也年過(guò)6旬；高斯不愿因?yàn)檫@一事件改變習(xí)慣的生活方式(1848年德國(guó)爆發(fā)革命時(shí)，高斯也是站在保守的保皇分子一邊的)．韋伯的離去中斷了高斯一生中最成功的合作研究，對(duì)他后期的物理研究帶來(lái)了無(wú)法彌補(bǔ)的損失．
從19世紀(jì)40年代初期開(kāi)始，高斯幾乎完全退出了物理學(xué)的創(chuàng)新研究，只從事例行的天文觀測(cè)，計(jì)算漢諾威測(cè)地工作中遺留下的問(wèn)題，對(duì)老的研究課題、發(fā)表過(guò)的評(píng)論或報(bào)告作些修飾，解決一些小的數(shù)學(xué)問(wèn)題．此后的出版物正反映了他的這種狀態(tài)．他對(duì)E．E．庫(kù)默爾(Kummer)新創(chuàng)立的理想論(1845)沒(méi)有強(qiáng)烈的反應(yīng)，對(duì)海王星的發(fā)現(xiàn)(1846)亦很漠然．C．G．雅可比(Jacobi)在參加紀(jì)念高斯獲博士學(xué)位50周年大會(huì)后說(shuō)，跟高斯談數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，他總是把話題叉開(kāi)而談些無(wú)聊的事．在40年代，高斯對(duì)格丁根大學(xué)的事務(wù)有了較多關(guān)注，擔(dān)任過(guò)教授會(huì)的負(fù)責(zé)人；花了幾年時(shí)間，將大學(xué)喪偶者基金會(huì)的財(cái)務(wù)預(yù)算奠基于可靠的統(tǒng)計(jì)規(guī)律之上；他對(duì)教學(xué)的興趣也比以前濃厚了．(我們注意到，高斯在大學(xué)開(kāi)的課，大部分是天文學(xué)方面的，唯有在當(dāng)教授的第一年講過(guò)一次數(shù)論，他最常講的課是最小二乘法及其在科學(xué)中的應(yīng)用．)
晚年的高斯在學(xué)術(shù)圈子以外的人眼里是位科學(xué)奇人，而高斯本人卻極端熱衷于從報(bào)紙、書本和日常生活中收集各種統(tǒng)計(jì)資料．在1848年革命時(shí)期，他幾乎每天到學(xué)校守舊派成立的文學(xué)會(huì)(高斯是會(huì)員)附屬的閱覽室尋覓各種數(shù)據(jù)．如果某個(gè)學(xué)生正在看的報(bào)是他所尋找的，高斯會(huì)一直瞪著他直到對(duì)方遞過(guò)來(lái)這份報(bào)紙．他因而被學(xué)生戲稱為“閱覽室之霸”．據(jù)說(shuō)這一習(xí)慣對(duì)他從事投資活動(dòng)(主要是買債券，包括德國(guó)以外發(fā)行的債券)大有裨益，他身后留下的財(cái)產(chǎn)幾乎等于其年薪的200倍，說(shuō)明他是個(gè)理財(cái)?shù)暮檬郑?
高斯生命的最后幾年仍保持學(xué)者風(fēng)度，沒(méi)有間斷過(guò)閱讀和參加力所能及的學(xué)術(shù)活動(dòng)：
1850年，心臟病加重，行動(dòng)受到限制．
1851年7月1日有日蝕，高斯作了他最后一次天文觀測(cè)．
1851年，核準(zhǔn) G．F．B．黎曼(Riemann)的博士論文，給予高度評(píng)價(jià)．
1852年，改進(jìn)傅科擺，解決一些小的數(shù)學(xué)問(wèn)題．
1853年，為黎曼選定為獲講師資格需作的答辯題目(幾何基礎(chǔ))．
1854年1月，全面體檢診斷高斯心臟已擴(kuò)大，將不久于人世．但病情奇跡般地得到緩解．
1854年6月，聽(tīng)了黎曼關(guān)于幾何基礎(chǔ)的答辯報(bào)告，出席格丁根到漢諾威間鐵路的開(kāi)通儀式．
1854年8月，病情惡化，下肢水腫．
1855年2月3日清晨，高斯在睡眠中故去．
高斯的葬禮有政府和大學(xué)的高級(jí)官員出席，他的女婿在悼詞中贊揚(yáng)高斯是難得的、無(wú)與倫比的天才．送葬抬棺者中有24歲的J．W．R．戴德金(Dedekind)，他曾選修高斯的最小二乘法課．
高斯的大腦有深而多的腦回，作為解剖標(biāo)本收藏于格丁根大學(xué)．
《高斯全集》(Carl Friedrich Gauss'Werke)的出版歷時(shí)67年(1863—1929)，由眾多著名數(shù)學(xué)家參與，最后在 F．克萊因(Klein)指導(dǎo)下完成．全集共分12卷．前7卷基本按學(xué)科編輯：第1，2卷，數(shù)論；第3卷，分析；第4卷，概率論和幾何；第5卷，數(shù)學(xué)物理；第6，7卷，天文．其他各卷的內(nèi)容如下：第8卷，算術(shù)、分析、概率、天文方面的補(bǔ)遺；第9卷是第6卷的續(xù)篇，包括測(cè)地學(xué)；第10卷分兩部分：Ⅰ，算術(shù)、代數(shù)、分析、幾何方面的文章及日記，Ⅱ，其他作家對(duì)高斯的數(shù)學(xué)和力學(xué)工作的評(píng)論；第11卷也分兩部分：Ⅰ，若干物理學(xué)、天文學(xué)文章，Ⅱ，其他作家對(duì)高斯測(cè)地學(xué)、物理學(xué)和天文學(xué)工作的評(píng)論；第12卷，雜錄及《地磁圖》．
以下介紹高斯最主要的學(xué)術(shù)貢獻(xiàn)．
數(shù) 學(xué)
高斯被后人譽(yù)為“數(shù)學(xué)王子”．這種贊譽(yù)恰如其分，他是數(shù)學(xué)史上一個(gè)轉(zhuǎn)折時(shí)期的杰出代表人物，起著承上啟下的作用．18世紀(jì)的數(shù)學(xué)處于由微積分的創(chuàng)立而促成的分析學(xué)蓬勃發(fā)展的時(shí)代，它的代表人物往往毫不顧及推理的嚴(yán)格性，而得到大量跟天文學(xué)、力學(xué)等自然科學(xué)有聯(lián)系的分析學(xué)成果．?dāng)?shù)論、代數(shù)和綜合幾何方面只有較零散的結(jié)果．高斯強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)作為一門嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)，必須要追求明確的定義、清晰的假設(shè)、嚴(yán)格的證明以及成果的系統(tǒng)化，倡導(dǎo)了至今已延續(xù)近200年的現(xiàn)代數(shù)學(xué)傳統(tǒng)．
《算術(shù)研究》是高斯最具代表性的著作．該書共分七節(jié)．第一節(jié)：一般同余．定義有理整數(shù)模一個(gè)自然數(shù)同余的概念；證明同余的基本性質(zhì)(包括除的算法)．第二節(jié)：一次同余．證明整數(shù)分解成素?cái)?shù)的唯一性；定義最大公因子和最小公倍數(shù)；導(dǎo)入同余的符號(hào)a≡bmodc，轉(zhuǎn)而 它代表比m小且和m互素的整數(shù)的個(gè)數(shù))，實(shí)質(zhì)上研究了素剩余的乘法性質(zhì)．第三節(jié)：冪剩余．研究給定數(shù)的冪模(奇)素?cái)?shù)的剩余，其基礎(chǔ)是費(fèi)馬小定理(ap-1≡1(mod p)，p是素?cái)?shù)且非a的因子)，高斯給出費(fèi)馬小定理的兩個(gè)證明，由此導(dǎo)出素根的概念．(a稱為素根，若a，a2，a3，…(模p)可產(chǎn)生所有與p互素的整數(shù))，進(jìn)而利用公式ae≡b(modp)定義一個(gè)數(shù)b關(guān)于a的指標(biāo)e及相關(guān)的運(yùn)算；以指標(biāo)表示法導(dǎo)出一個(gè)數(shù)的二次特征的判別準(zhǔn)則(即判別一個(gè)數(shù)是否為模p的二次剩余)，該準(zhǔn)則歐拉已經(jīng)知道，而高斯的推導(dǎo)和證明更完全和確切；導(dǎo)出了威爾遜(Wilson)定理．以上三節(jié)是高斯為讀者閱讀書的主要部分而首次系統(tǒng)表述的初等數(shù)論知識(shí)．第四節(jié)：二次剩余．在給出定義后證明了他的“基本定理”：若p是形如4n+1的素?cái)?shù)，則當(dāng)任一正素?cái)?shù)是p的(非)二次剩余時(shí)，p也是它的(非)二次剩余；對(duì)于形如4n+3的素?cái)?shù)，類似的結(jié)論對(duì)-p成立．此即著名的二次互反律，
這一被譽(yù)為數(shù)信紙中的“酵母”的定理最早為歐拉提出，勒讓德作過(guò)繁雜的討論，但都未給出正確的證明．高斯在證明中首先論證定律對(duì)某些素?cái)?shù)成立，然后通過(guò)對(duì)素?cái)?shù)的完全歸納法證明之．高斯一生中給出過(guò)二次互反律的六個(gè)不同的證明．1817年高斯就其證明之一發(fā)表評(píng)論時(shí)說(shuō)：“高級(jí)算術(shù)的特點(diǎn)是，通過(guò)歸納愉快地發(fā)現(xiàn)許多最漂亮的定理，但要證明它們……常常要經(jīng)過(guò)多次失敗，最終的成功依賴于深刻的分析和有幸發(fā)現(xiàn)的某種結(jié)合，數(shù)學(xué)這一分支中不同理論間的奇妙結(jié)合．”他認(rèn)為尋找定理的新證明“絕非多余的奢侈品，有時(shí)候，你開(kāi)始并沒(méi)有得到最美和最簡(jiǎn)單的證明，而恰是這種證明才能深入到高級(jí)算術(shù)的真理的奇妙聯(lián)系中去．這是吸引我們?nèi)パ芯康闹饕獎(jiǎng)恿?，并常能使我們發(fā)現(xiàn)新的真理．”這反映了高斯對(duì)純數(shù)學(xué)研究的看法．第五節(jié)：二次型．討論二元二次型f(x，y)=ax2+2bxy+cy2(a，b，c為給定的整數(shù))．該節(jié)主要部分的基礎(chǔ)來(lái)源于拉格朗日，高斯從他的工作中抽象出型的基本性質(zhì)、型的變換及等價(jià)概念，將型的理論系統(tǒng)化并加以發(fā)展，如對(duì)給定判別式的型的各個(gè)類，皆可選取一個(gè)型為其代表，高斯給出了選擇最簡(jiǎn)單的代表的準(zhǔn)則；他證明了有關(guān)型的復(fù)合的重要定理，討論了用型表示數(shù)的問(wèn)題．第六節(jié)：應(yīng)用．提出了上節(jié)引入的概念的重要應(yīng)用，主要涉及部分分?jǐn)?shù)、循環(huán)小數(shù)、解同余方程以及區(qū)分合成數(shù)和素?cái)?shù)的準(zhǔn)則等．第七節(jié)：分圓問(wèn)題．這是高斯于1896年宣布已完成正十七邊形作圖后首次公開(kāi)它的理論基礎(chǔ)，高斯證明的結(jié)論是：一個(gè)正多邊形，其邊數(shù)為奇數(shù)p時(shí)，可尺 為任意非負(fù)整數(shù))．《算術(shù)研究》系統(tǒng)總結(jié)了前人的工作，解決了一批最困難的著名問(wèn)題，系統(tǒng)地形成了一批概念和問(wèn)題，它直接影響了其后一個(gè)世紀(jì)的研究模式，實(shí)為現(xiàn)代數(shù)學(xué)史上第一部結(jié)構(gòu)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)論巨著．
高斯曾稱“數(shù)論是數(shù)學(xué)中的女皇”，足見(jiàn)他對(duì)數(shù)論的重視．在他的科學(xué)日記及手稿中，還記載著他的其他數(shù)論發(fā)現(xiàn)，重要的有：
(1)根據(jù)瑞士數(shù)學(xué)家 J．蘭伯特(Lambert)的素?cái)?shù)表和他自制的素?cái)?shù)表，對(duì)素?cái)?shù)的分布作出如下猜測(cè)，小于x的素?cái)?shù)個(gè)數(shù)π(x)～
分式差
(2)通過(guò)實(shí)例找到雙紐線函數(shù)的周期與算術(shù)-幾何平均的關(guān)系，并給出了證明，實(shí)際上早于 N．H．阿貝爾(Abel)和 C．G．J．雅可比(Jacobi)的橢圓函數(shù)研究．他將雙紐線函數(shù)表成兩個(gè)整函數(shù) P，
Q本質(zhì)上是雅可比的θ函數(shù)的特例．
(3)寫于19世紀(jì)早期的一些手稿表明，高斯已熟悉了最終由F．克萊因等人完成的一種模函數(shù)的理論的基本要領(lǐng)．他是從二次型的約化理論出發(fā)到達(dá)模函數(shù)論的．高斯還掌握了模函數(shù)的幾何表示．
的高斯和(1811)，后在數(shù)論發(fā)展中變得十分重要．
(5)在研究四次剩余的理論時(shí)，將整數(shù)概念推廣到復(fù)域；即形如a+ib(a，b為整數(shù))的所謂高斯整數(shù)．他還對(duì)幾種特殊情形證明了四次互反律．
(6)提出二元和三元二次型的代數(shù)理論有相應(yīng)的幾何模擬(1830)，這是數(shù)的幾何理論的一個(gè)發(fā)端．
高斯是19世紀(jì)分析嚴(yán)格化的先軀之一．他在1813年發(fā)表了“無(wú)窮級(jí)數(shù)……的一般研究”(Disquisitiones generales circa seriem infinitam…)討論超幾何級(jí)數(shù)
(歐拉曾研究過(guò)它)，高斯對(duì)它的興趣在于他發(fā)現(xiàn)當(dāng)取不同的α，β和γ時(shí)，幾乎可以導(dǎo)出所有當(dāng)時(shí)已知的初等函數(shù)和許多諸如貝塞爾函數(shù)、球函數(shù)那樣的超越函數(shù)，具有極大的普遍性．高斯在文中給出了該級(jí)數(shù)收斂的具體判據(jù)，使它成為數(shù)學(xué)史上最早討論無(wú)窮級(jí)數(shù)收斂問(wèn)題的文獻(xiàn)．高斯還在實(shí)質(zhì)上建立了該級(jí)數(shù)與Γ函數(shù)
在上文發(fā)表前兩年，高斯對(duì)復(fù)函數(shù)論也作出了開(kāi)創(chuàng)性的貢獻(xiàn)．在給貝塞爾的一封信(1811年12月)中，他描述了復(fù)函數(shù)沿復(fù)平面上的曲
以及復(fù)函數(shù)基本定理(若復(fù)函數(shù)f(z)在曲線c及其內(nèi)部解析，則其沿c的積分為零)．因高斯未公開(kāi)發(fā)表他的成果，而 A．L．柯西(Cauchy)的表述較為完整，現(xiàn)稱此定理為柯西積分定理．高斯在復(fù)分析方面的另一重要成果是獲丹麥哥本哈根科學(xué)院獎(jiǎng)的那篇文章．它實(shí)際上解決了任一曲面保形變換到任何另一曲面上的解析條件問(wèn)題．
高斯的幾何學(xué)研究，使他實(shí)現(xiàn)了19世紀(jì)最富革命精神的兩項(xiàng)幾何創(chuàng)造：非歐幾何和內(nèi)蘊(yùn)微分幾何．
關(guān)于非歐幾何，高斯生前從未正式發(fā)表他的成果，但從其通信、科學(xué)日記及手稿中，可清晰看到他的思想發(fā)展脈絡(luò)，證明他是最早認(rèn)識(shí)到存在非歐幾何的數(shù)學(xué)家．
(1)1799年9月，他在科學(xué)日記中記道：“在幾何基礎(chǔ)的問(wèn)題上，我們獲得了很好的進(jìn)展．”
(2)同年，W．波爾約在給高斯的信中自稱能從歐幾里得的其他公理公設(shè)推出平行公設(shè)．高斯在12月17日的回信中婉言否定了波爾約的結(jié)論，并說(shuō)“我可以從存在面積為任意大的直角三角形的假設(shè)，嚴(yán)密地導(dǎo)出平行公設(shè)．大多數(shù)人肯定會(huì)把它當(dāng)作公理．但我不這樣做，因?yàn)槲蚁嘈挪还苋切稳齻€(gè)頂點(diǎn)離得多么遠(yuǎn)，其面積可能永遠(yuǎn)在某個(gè)限度以內(nèi)．”
(3)在19世紀(jì)初，數(shù)學(xué)家們已經(jīng)知道如平行公設(shè)不成立，則可導(dǎo)出存在絕對(duì)長(zhǎng)度單位．但因無(wú)法找到這樣的單位，勒讓德于1794年認(rèn)定這反而是使人相信平行公設(shè)的理由．高斯在給天文學(xué)家 C．L．格林(Gerling)的信(1816)中表示，絕對(duì)長(zhǎng)度單位的存在固然值得懷疑，但他無(wú)法從存在絕對(duì)單位推出任何矛盾．他覺(jué)得有一絕對(duì)長(zhǎng)度單位反而更好，并說(shuō)：“人們可以取角度為59°59′59″9999 的等邊三角形的邊長(zhǎng)為單位長(zhǎng)度．”
(4)1824年，高斯在回答 F．A．陶里努斯(Taurinus)“證明”平行公設(shè)的來(lái)信時(shí)寫道：“由三角形的內(nèi)角和小于180°的假設(shè)可導(dǎo)出一種奇異的幾何，它跟歐幾里得幾何大相徑庭，但其本身卻是相容的．”高斯接著說(shuō)此類幾何由某一常數(shù)所確定，“這常數(shù)越大，這幾何就越接近歐氏幾何，當(dāng)它變成無(wú)窮大時(shí)，兩種幾何就一致了．”高斯當(dāng)時(shí)未指出這常數(shù)(即絕對(duì)單位)的值．實(shí)際上它可通過(guò)空間曲率K來(lái)表示，即
理論一直眾說(shuō)紛紜．我們知道高斯一直認(rèn)為幾何是和力學(xué)一樣應(yīng)能以實(shí)踐檢驗(yàn)的科學(xué)，他又十分熟悉測(cè)量時(shí)的誤差估計(jì)，而在當(dāng)時(shí)的條件下尚不可能對(duì)非歐幾何進(jìn)行有說(shuō)服力的檢驗(yàn)，高斯可能是不愿意公布會(huì)引起爭(zhēng)論而無(wú)法作出最終判決的理論．
關(guān)于高斯的內(nèi)蘊(yùn)微分幾何思想，集中體現(xiàn)在《曲面的一般理論》中．其主要內(nèi)容為：
(1)以曲面的參數(shù)方程x=x(u，v)，y=y(u，v)，z=z(u，v)為研究的出發(fā)點(diǎn)，定義弧長(zhǎng)元素為
ds2=E(u，v)du2+2F(u，v)dudv+G(u，v)dv2
其中 E，F(xiàn)，G 為 x，y，z 對(duì)參數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)的有理式組成；并給出曲面上曲線間夾角的定義．
(2)推廣 C．惠更斯(Huygens)和 A．C．克萊羅(Clairaut)關(guān)于平面曲線曲率的概念，定義了一個(gè)曲面在曲面上一點(diǎn)處的曲率 K= 種坐標(biāo)系(曲線坐標(biāo)和直角坐標(biāo))中給出了曲率用曲面的偏導(dǎo)數(shù)表示的公式，證明曲率K完全跟曲面是否在三維空間中或曲面在三維空間中的形態(tài)無(wú)關(guān)．因此當(dāng)曲面無(wú)伸縮地彎曲時(shí)，ds保持不變，曲面的所有性質(zhì)(包括曲率)亦保持不變．這就提出了幾何史上一個(gè)全新的重要概念，即一張曲面本身就是一個(gè)空間．
(3)研究了曲面上的測(cè)地線，證明了測(cè)地線構(gòu)成的三角形的著名
角形A上的積分，則有
其中α1；α2，α3為測(cè)地三角形的三個(gè)內(nèi)角的值．高斯認(rèn)定這是“最精美的定理”[即現(xiàn)稱的高斯-博內(nèi)(Bonnet．)公式]．
天文學(xué)
高斯曾在給 W．波爾約的信中說(shuō)，天文學(xué)和純粹數(shù)學(xué)是他靈魂的指南針永久指向的兩極，表明天文學(xué)在高斯心目中的地位．高斯是在天文學(xué)史上的一個(gè)重要時(shí)期介入這一領(lǐng)域的．在1800年前后，由于技術(shù)和光學(xué)儀器的進(jìn)步，以及觀測(cè)資料的系統(tǒng)積累，已編制出西方天文學(xué)界的第一部可靠的天象圖，這對(duì)發(fā)現(xiàn)新天體大有裨益；又由于外行星的發(fā)現(xiàn)(1781年發(fā)現(xiàn)天王星)，為理論天文學(xué)提出了更精確計(jì)算行星攝動(dòng)的問(wèn)題．
1801年1月1日，意大利天文學(xué)家 J．皮亞奇(Piazzi)新發(fā)現(xiàn)一顆亮度為8等的星，到同年2月11日，人們僅觀測(cè)到它在其軌道上運(yùn)行了9°，它便行至日光中而無(wú)從繼續(xù)觀測(cè)．全歐洲的天文學(xué)家都期待重新發(fā)現(xiàn)這顆現(xiàn)定名為谷神星的小行星．高斯根據(jù)拉普拉斯的方法和他在算術(shù)-幾何平均方面的知識(shí)，詳細(xì)計(jì)算了谷神星的星歷表，預(yù)測(cè)了它再次出現(xiàn)的時(shí)間和位置．高斯的方法載于《天體沿圓錐曲線的繞日運(yùn)動(dòng)理論》，其新思想是充分利用半徑向量掃過(guò)的扇形面積與相應(yīng)三角形的比值．高斯不必事先假設(shè)被觀測(cè)天體的運(yùn)行軌道是橢圓還是雙曲線，只要根據(jù)三次完全觀測(cè)(即包含時(shí)間、赤經(jīng)和赤緯的觀測(cè))就能算出運(yùn)行軌道的特性．高斯方法的普適性使得整個(gè)計(jì)算比前人針對(duì)不同天體使用不同的特殊方法要復(fù)雜，但它對(duì)新發(fā)現(xiàn)的星體軌道的計(jì)算有本質(zhì)的優(yōu)越性，特別是當(dāng)觀測(cè)資料像初次發(fā)現(xiàn)谷神星那樣十分匱乏時(shí)(此時(shí)很難區(qū)分該星是彗星還是行星)．高斯的方法遂成為計(jì)算天文學(xué)的經(jīng)典．
在上述著作中，高斯首次發(fā)表他的最小二乘法，這是他整理觀測(cè)數(shù)據(jù)必不可少的工具．1812年他在致拉普拉斯的信中稱，自1802年起幾乎每天用最小二乘法計(jì)算新的行星軌道．在1803年他還和阿爾伯斯討論過(guò)這種方法，高斯的遺稿證實(shí)了上述說(shuō)法．可見(jiàn)高斯和勒讓德同為此方法的獨(dú)立發(fā)明者，不存在剽竊問(wèn)題．
高斯在“確定行星對(duì)任意點(diǎn)的引力……”以及一些手稿中，繼牛頓和拉普拉斯創(chuàng)立天體攝動(dòng)學(xué)說(shuō)后，提出了一種分析攝動(dòng)問(wèn)題的具體模型，即將行星質(zhì)量假想為按一定方式分布于整個(gè)運(yùn)行軌道上，據(jù)此計(jì)算星體間的互相影響，探討了長(zhǎng)年攝動(dòng)問(wèn)題，對(duì)攝動(dòng)理論做出了基礎(chǔ)性貢獻(xiàn)．
高斯對(duì)實(shí)用天文學(xué)的貢獻(xiàn)除積累了幾十年的觀測(cè)資料，預(yù)報(bào)新發(fā)現(xiàn)的小行星軌道外，還自制天文儀器六分儀，為提高觀測(cè)精度而從事幾何光學(xué)研究，改進(jìn)了望遠(yuǎn)鏡的質(zhì)量．
測(cè)地學(xué)
高斯在實(shí)施漢諾威公國(guó)的測(cè)地計(jì)劃的實(shí)測(cè)工作中，使用傳統(tǒng)的三角測(cè)量法，即從長(zhǎng)度精確測(cè)定的基線出發(fā)，選定一個(gè)三角形網(wǎng)絡(luò)將所測(cè)的地域覆蓋．各三角形的頂點(diǎn)的選取，至少應(yīng)能保證從兩個(gè)方向上對(duì)其進(jìn)行目力觀測(cè)．測(cè)出各三角形內(nèi)角的精確值是提高測(cè)地精度的關(guān)鍵．由于地形千變?nèi)f化，儀器精度不高，使實(shí)測(cè)工作費(fèi)時(shí)費(fèi)力；測(cè)量時(shí)不可避免的隨機(jī)誤差也給數(shù)據(jù)處理提出了新課題．高斯首先設(shè)計(jì)了日光反射信號(hào)器以提高觀測(cè)精度．該儀器的主要部件是一面能旋轉(zhuǎn)的鏡子，配以必要的光學(xué)儀器(如小望遠(yuǎn)鏡)，它在測(cè)量時(shí)既可作為發(fā)光的被測(cè)目標(biāo)，又可用于傳遞信息，成為三角測(cè)量的標(biāo)準(zhǔn)儀器．借助這一發(fā)明，高斯能進(jìn)行遠(yuǎn)距離的觀測(cè)(反射光在15英里遠(yuǎn)處仍相當(dāng)于一等星的亮度)，即使在天空有云，無(wú)直射陽(yáng)光照射的條件下仍能保證觀測(cè)繼續(xù)進(jìn)行．這一儀器到1840年才為其他人改進(jìn)．高斯還曾設(shè)想用100個(gè)平面鏡(每個(gè)為 1.5×1.5平方米)制作巨大的反射器，它可將日光反射到月球表面，如果能把天文學(xué)家送上月球，他們就能根據(jù)反射光輕而易舉地決定經(jīng)度差．
在測(cè)地的理論工作方向，高斯依據(jù)前述保形變換的一般理論，給出了平面到平面、球面到平面和旋轉(zhuǎn)橢球面到球面的保形映射實(shí)例．他還在《……格丁根與阿爾唐納兩天文臺(tái)之經(jīng)度差》一文中，首次提出可將地球表面視為在其上每點(diǎn)與重力方向相垂直的幾何面，以后發(fā)展出他的位勢(shì)理論．高斯的測(cè)地工作總結(jié)于他的論文“高等測(cè)地學(xué)研究”(Untersuc
高斯的工作后為德國(guó)測(cè)地學(xué)家所發(fā)展，著名的高斯-克呂格爾(Krueger)投影即是其一，它是橫向墨卡托(Mercator)投影的推廣．
曾有人對(duì)高斯花費(fèi)巨大精力于野外測(cè)量表示婉惜．貝塞爾于1823年就勸告他放棄實(shí)地觀測(cè)，以免虛度年華．高斯回信說(shuō)：“世上所有的測(cè)繪與度量，確實(shí)比不上哪怕是將科學(xué)真理向前推進(jìn)一步來(lái)得有份量．”但他覺(jué)得“不可能凡事都用一種絕對(duì)的標(biāo)準(zhǔn)去衡量”，還“應(yīng)該考慮相對(duì)的價(jià)值．”無(wú)論如何，高斯覺(jué)得他為國(guó)家做了一件實(shí)際有效的工作而感到寬慰，況且因此而獲得的津貼徹底改善了他的經(jīng)濟(jì)狀況．
物理學(xué)
高斯在物理學(xué)方面的第一項(xiàng)成果是于1829年提出的力學(xué)中的最小約束原理：一個(gè)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)將盡可能少地偏離其自由運(yùn)動(dòng)的狀態(tài)，偏離的程度由各部分質(zhì)量乘其偏離自由運(yùn)動(dòng)路徑的距離平方的總和來(lái)度量．這是著名的達(dá)朗倍爾原理的一種新的等價(jià)形式，它明顯跟最小二乘法有關(guān)，高斯則自稱這項(xiàng)成果受益于對(duì)毛細(xì)現(xiàn)象的研究．后者的成果總結(jié)于1830年那篇“論平衡狀態(tài)下流體性質(zhì)……”的文章，其中有涉及重積分、邊界條件和可變積分界限的變分問(wèn)題的漂亮解答，給出了平衡流體理論的一個(gè)基本定理．高斯說(shuō)他對(duì)流體性質(zhì)的研究是純理論性的，屬于理論物理學(xué)的一種練習(xí)，是想看看到底有哪些數(shù)學(xué)能用于說(shuō)明自然現(xiàn)象．
高斯在物理學(xué)上的驚人之舉是和韋伯合作發(fā)明了世界上首例電磁電報(bào)．其理論依據(jù)來(lái)自 H．C．奧斯特(Oersted)發(fā)現(xiàn)的電流會(huì)使磁針偏轉(zhuǎn)(1820)和 M．法拉第(Faraday)發(fā)現(xiàn)的感應(yīng)電流．他們的電報(bào)裝置，一端(發(fā)報(bào)機(jī))是可沿磁棒移動(dòng)的感應(yīng)線圈，另一端(收?qǐng)?bào)機(jī))是線圈及用細(xì)線懸掛的磁針，中間以導(dǎo)線將兩端線圈聯(lián)成回路(帶開(kāi)關(guān))．利用感應(yīng)線圈的移動(dòng)和開(kāi)關(guān)的開(kāi)斷，可產(chǎn)生磁針朝兩個(gè)方向(向左←或向右→)的偏轉(zhuǎn)，即傳遞兩種信號(hào)．高斯和韋伯規(guī)定了字母與偏轉(zhuǎn)方向間的對(duì)應(yīng)關(guān)系．如G對(duì)應(yīng)于←，→，→；N對(duì)應(yīng)于→，←；S對(duì)應(yīng)于←，←，→等等．1833年的第一份電報(bào)內(nèi)容是“Michelmann Kommt”(“米舍爾曼來(lái)了”，此人是協(xié)助他們架設(shè)電報(bào)裝置的機(jī)工)，共使用了40次磁針偏轉(zhuǎn)，通報(bào)距離約1公里．高斯和韋伯在1833—1845年間常用這部電報(bào)機(jī)在天文臺(tái)和物理實(shí)驗(yàn)室間互通短小的信息．電報(bào)機(jī)于1845年毀于雷擊．高斯認(rèn)識(shí)到電報(bào)在戰(zhàn)爭(zhēng)及經(jīng)濟(jì)活動(dòng)中的重要性，曾建議政府廣泛使用，但未獲成功．
高斯和韋伯合作的地磁學(xué)研究達(dá)到了更深的理論層次．洪堡的全球地磁觀測(cè)計(jì)劃，目標(biāo)是測(cè)定地磁強(qiáng)度、磁偏角和磁傾角隨時(shí)間和地點(diǎn)的變化，以建立令人滿意的地磁理論．高斯首先為磁的度量確立了一套“絕對(duì)單位制”(1832)．他的基本想法是磁(他稱作磁流)能夠而且應(yīng)該以其效應(yīng)來(lái)度量，他定義單位“磁流”為如下強(qiáng)度的力：以單位磁強(qiáng)排斥相隔一單位距離的另一單位“磁流”．他選定力學(xué)中度量長(zhǎng)度、質(zhì)量和時(shí)間的慣用單位毫米、毫克和秒為基本單位，借助庫(kù)侖定律將它們引伸到磁學(xué)(以至靜電學(xué))中，確立了度量磁場(chǎng)強(qiáng)度的標(biāo)準(zhǔn)，韋伯運(yùn)用這一思想建立了電動(dòng)力學(xué)的絕對(duì)單位制．他們的這套單位制在1881年經(jīng)適當(dāng)修改后為國(guó)際物理學(xué)界所接受，即所謂的厘米·克·秒單位制，高斯的名字被選作磁場(chǎng)強(qiáng)度和磁感應(yīng)的單位名稱．
在《地磁的一般理論》中，高斯進(jìn)一步定義了磁位勢(shì)，若以μ代表
證了為什么只有兩個(gè)磁極，并討論了磁場(chǎng)線的解析定義．高斯提出的一種新的確定磁力的水平分量的強(qiáng)度和傾角的方法成為實(shí)驗(yàn)家的有力武器．在計(jì)算磁位勢(shì)時(shí)，高斯用球函數(shù)的一個(gè)無(wú)窮級(jí)數(shù)表示地球表面上任一點(diǎn)處的磁位勢(shì)，并利用世界各地磁觀測(cè)站提供的數(shù)據(jù)對(duì)級(jí)數(shù)前24項(xiàng)系數(shù)進(jìn)行估值，由此不難算出在任意點(diǎn)處的磁位勢(shì)．高斯的地磁學(xué)研究是他的測(cè)地工作的補(bǔ)充，為當(dāng)時(shí)正興起的對(duì)地球進(jìn)行科學(xué)的描述提供了數(shù)學(xué)的理論和方法．
高斯一生中多次關(guān)注過(guò)幾何光學(xué)的理論問(wèn)題，為消除光學(xué)儀器的色差，他提出將不同質(zhì)地的凸透鏡與凹透鏡組合使用，即所謂的高斯物鏡，它不僅可用于望遠(yuǎn)鏡，也可用于顯微鏡．《光的折射研究》(Dioptrische Untersuchungen，1840年完成，1843年出版)是高斯主要的光學(xué)著作，他分析了光通過(guò)一組鏡片的路徑，證明了任一組鏡片可等價(jià)于適當(dāng)選擇的單個(gè)鏡片．
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