西格爾
胡作玄
(中國科學(xué)院系統(tǒng)科學(xué)研究所)
西格爾，C．L．(Siegel，Carl Ludwig)1896年12月31日生于德國柏林；1981年4月4日卒于德國格丁根．?dāng)?shù)學(xué)、天體力學(xué)．
西格爾的父母來自萊因地區(qū)，他是獨(dú)生子，小時(shí)候?qū)?shù)學(xué)感興趣，在柏林接受正規(guī)的初等教育，然后上實(shí)科中學(xué)及高級實(shí)科中學(xué)．他對中學(xué)的數(shù)學(xué)課無興趣，只是為了補(bǔ)自己數(shù)學(xué)知識的不足．他到柏林市立圖書館借閱Ｈ．韋伯(Weber)的名著《代數(shù)學(xué)》(Algebra)，這可能是他接觸代數(shù)數(shù)論的開始．1915年中學(xué)畢業(yè)后，第一次世界大戰(zhàn)正激烈進(jìn)行，他對戰(zhàn)爭很反感，于是選與人間世事最不相干的天文學(xué)作為自己的專業(yè)．1915年秋在柏林大學(xué)注冊．由于天文課程的延拓，于是他去聽Ｇ．弗羅貝尼烏斯(Fro－benius)的數(shù)論課．這一偶然的情況最終把他引向數(shù)論的殿堂．他把弗羅貝尼烏斯作為他學(xué)習(xí)的模范．大學(xué)第三學(xué)期(1916—1917年)，他參加Ｉ．舒爾(Schur)的討論班．在這里，他第一次接觸他主要的研究課題——丟番圖逼近，特別是挪威數(shù)學(xué)家Ａ．圖埃(Thue)的不太為人所知的工作．西格爾后來講，舒爾最早認(rèn)識到這個(gè)只有4頁的文章的意義，而這也成了他后來論文的出發(fā)點(diǎn)．他說，圖埃的符號把他搞糊涂了，不過他還是靠自己的力量改進(jìn)了圖埃的結(jié)果，舒爾對此十分高興．不久他就被征召入伍，到斯特拉斯堡服役，五周后退役．他先當(dāng)家庭教師，一直到1919年夏季學(xué)期才繼續(xù)上學(xué)．這次他到格丁根大學(xué)從Ｅ．朗道(Landau)學(xué)習(xí)，并在朗道指導(dǎo)下于1920年6月取得博士學(xué)位，博士論文題目是“代數(shù)數(shù)的逼近”(Approximation algebraischer zahlen)．其后，他在1920—1921年冬季學(xué)期在漢堡大學(xué)任E．?？?Hecke)的助教，然后回格丁根大學(xué)任R．庫朗(Courant)的助教，1921年底取得講師資格，1922年秋被聘為法蘭克福大學(xué)正教授．這兩年間，他一共發(fā)表14篇論文．這也許可以解釋他異乎尋?？斓纳w．
他在法蘭克福大學(xué)的前10多年是他一生最愉快的時(shí)期．他和他的同事M．德恩(Dehn)教授以及E．D．海林格(Hellinger)等副教授相處極好，共同舉辦數(shù)學(xué)史討論班，同時(shí)結(jié)識當(dāng)時(shí)許多數(shù)學(xué)家，如Ａ．韋伊(Weil)．其間，他只發(fā)表5篇論文．
1933年希特勒上臺后，西格爾的四位同事先后被解職，法蘭克福大學(xué)的黃金時(shí)代隨之結(jié)束．這位亞利安后裔雖然可以在第三帝國中繼續(xù)他的工作和生活，但他厭惡法西斯政權(quán)及其隨之而來的戰(zhàn)爭，考慮要為自己找一條出路．1935—1936年，他訪問普林斯頓高級研究院，這里優(yōu)良的環(huán)境與歐洲的動蕩簡直是天壤之別．這一年他完成二次型的重大突破，發(fā)表了三篇長文，接著出現(xiàn)新一輪的成果．1936年，他到奧斯陸參加國際數(shù)學(xué)家大會，并報(bào)告他關(guān)于二次型的工作．這是他極少參加的二三次學(xué)術(shù)會議中的一次．他回到法蘭克福后，那里的大學(xué)生活他已經(jīng)感到受不了．1938年1月，他應(yīng)聘去格丁根大學(xué)任教授，但那里也好不了多少．第二次世界大戰(zhàn)爆發(fā)后，他下定決心離開德國．他先去挪威訪問，在德國占領(lǐng)挪威之前，他及時(shí)地乘最后一班船駛向紐約．
從1940年初起，他在普林斯頓高級研究院工作，1945年以后成為終身成員．1946—1947學(xué)年曾回格丁根大學(xué)任教授，1959年提前退休，但一直講課到1967年．其間，他曾4次去印度孟買塔塔(Tata)研究院講學(xué)，培養(yǎng)起一批印度數(shù)學(xué)家．他終生未婚，晚年仍然不斷進(jìn)行科學(xué)研究．他教學(xué)極為出色，尤其重視教師品德．他的業(yè)績得到普遍承認(rèn)，被選為法國科學(xué)院等科學(xué)院國外院士以及蘇黎士理工大學(xué)等校的名譽(yù)博士．1978年榮獲首屆沃爾夫(Wolf)獎(jiǎng)．
西格爾發(fā)表了100篇論文，5部專著，另外還有大量的講義．西格爾的主要著作收集在四卷《全集》(Gesammelte Abhandlungen，Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，1975；Ⅳ，1979)中，他的主要工作可分為相互關(guān)連的數(shù)論、二次型理論、多復(fù)變函數(shù)及天體力學(xué)四個(gè)方面．
1．?dāng)?shù)論
(1)丟番圖逼近 這是一類研究無理數(shù)被有理數(shù)逼近的問題，最簡單的是實(shí)代數(shù)數(shù)被有理數(shù)逼近問題：如a是n次實(shí)代數(shù)數(shù)，即a滿足不可約代數(shù)方程
a0xn＋a1xn－1＋…＋an＝0，
其中ai為整數(shù)，a0＞0．問題是求最小的k，使得不等式
創(chuàng)了這個(gè)領(lǐng)域，他證明
k≥n＋ε．
圖埃在1908年證明
在n＞2時(shí)大大改進(jìn)劉維爾的結(jié)果．在西格爾的博士論文中更進(jìn)一步改進(jìn)圖埃的結(jié)果，他證明
后來他改進(jìn)這結(jié)果并提出k≥2＋ε的猜想(即k與n無關(guān))以及聯(lián)立逼近的方向，這個(gè)猜想后來在1955年為英國數(shù)學(xué)家K．F．羅斯(Roth)證明，相應(yīng)的聯(lián)立逼近也在1970年為美國數(shù)學(xué)家W．M．施密特(Schmidt)解決．西格爾還考慮了代數(shù)數(shù)被特殊代數(shù)數(shù)逼近的相應(yīng)問題．
(2)丟番圖方程 圖埃不僅在丟番圖逼近上取得劃時(shí)代的進(jìn)展，更重要的是把丟番圖逼近與丟番圖方程求解問題聯(lián)系在一起，西格爾也沿著這個(gè)方向繼續(xù)研究．特別是他在1929年證明重要定理：如多項(xiàng)式方程組fi(x1，x2，…，xn)＝0(1≤i≤m)在n維空間中確定了虧格大于0的代數(shù)曲線，則不定方程組
fi(x>1，…，xn)＝0(1≤i≤m)
的有理整數(shù)解的個(gè)數(shù)有限．這個(gè)定理只有到1983年才為莫德爾猜想的證明所超過，西格爾在1937年證明，若(a，b，c)＝1，則axn＋byn＝c(n≥3)最多只有兩個(gè)整數(shù)解．不過他的方法不是有效的，即不能給出解的上界，一直到1966年A．貝克(Baker)才發(fā)現(xiàn)有效方法．西格爾用的方法是丟番圖逼近結(jié)合L．J．莫德爾(Mordell)及韋伊的工作．
(3)超越數(shù)論 非代數(shù)數(shù)的數(shù)稱為超越數(shù)，劉維爾在1844年通過丟番圖逼近的方式構(gòu)造了第一種超越數(shù)，其后除了證明e及π是超越數(shù)之外，超越數(shù)論幾乎沒有什么進(jìn)展．1929年起超越數(shù)論開始有所突破，一是希爾伯特第七問題獲得解決，其中有他的博士生Т．施耐德(Schneider)的貢獻(xiàn)，另一是西格爾提出系統(tǒng)地構(gòu)造一大批超越數(shù)的方法以及證明代數(shù)無關(guān)性的方法．例如，第一類貝塞爾函數(shù)J>v(z)即貝塞爾方程
的解，當(dāng)v為有理數(shù)，z為非零的代數(shù)數(shù)時(shí)，Jv(z)均為超越數(shù)．特別對任何p次非零整系數(shù)多項(xiàng)式g(x，y)∈z[x，y](g的所有系數(shù)的絕對值≤G)及m次代數(shù)數(shù)ξ，存在只與ξ及P有關(guān)的常數(shù)C＞0，使得不等式
對于橢圓函數(shù)，西格爾證明，其周期ω1，ω2與不變量g2，g3不能都是代數(shù)數(shù)．
西格爾進(jìn)一步提出E函數(shù)理論，E函數(shù)是滿足以x的有理函數(shù)為系數(shù)的線性齊次微分方程的函數(shù)
其中Cn屬于某代數(shù)數(shù)域，且滿足一定的條件．對于正規(guī)E函數(shù)組f1(x)，…，fm(x)，西格爾證明，當(dāng)α屬于代數(shù)數(shù)域時(shí)，f1(α)，…，fm(α)是代數(shù)無關(guān)的超越數(shù)．西格爾的方法后來被蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家Ａ．Б．西德洛夫斯基(Шидловкий)推廣到滿足高階微分方程的E函數(shù)，對超越數(shù)論發(fā)展產(chǎn)生巨大影響．
(4)代數(shù)數(shù)域的加法理論 整數(shù)的乘法理論——素因子及唯一分解定理已經(jīng)推廣到代數(shù)整數(shù)上，但整數(shù)的加法理論如四平方和問題及華林問題，首先由西格爾推廣到代數(shù)數(shù)域上．1922年他首先將平方和問題推廣到代數(shù)數(shù)域上，1945年他繼而將華林問題進(jìn)行推廣．他的方法是把G．哈代(Hardy)、J．李特爾伍德(Littlewood)的圓法推廣．西格爾在推廣法萊(Farey)分割及估計(jì)劣弧部分中顯示很高的技巧．他證明，數(shù)域中的全正數(shù)等于數(shù)域中四個(gè)數(shù)的平方和，而且對數(shù)域中的華林問題證明希爾伯特的相應(yīng)的存在性結(jié)果．對于實(shí)二次數(shù)域他給出全正數(shù)表為n(≥5)個(gè)整數(shù)平方的表示數(shù)的漸近公式．
(5)代數(shù)數(shù)論 海克在1917年引入代數(shù)數(shù)域的L函數(shù)，證明它與R．戴德金(Dedekind)在1877年引進(jìn)的代數(shù)數(shù)域的ζ函數(shù)有關(guān)，從而證明戴德金ζ函數(shù)的半純開拓．西格爾給出另一個(gè)證明，他還用它得出 (Dirichlet)得出解析公式，但難算出類數(shù)．當(dāng)m＜0時(shí)，設(shè)判別式為d的二次域k的類數(shù)為h(d)，對此C．F．高斯(Gauss)猜想：當(dāng)｜d｜→∞時(shí)，h(d)→∞．1934年，H．亥爾布朗(Heilbronn)證明了這個(gè)猜想，1935年進(jìn)一步證明更精確的結(jié)果
由此可得出類數(shù)一定的虛二次域只有有限多個(gè)，特別是后來證明k(d)＝ι的虛二次域只有9個(gè)．西格爾在1935年也給出一個(gè)證明．當(dāng)m＞0時(shí)，他證明
是否存在無窮多d，使h(d)＝1成立．西格爾在證明這個(gè)重要結(jié)果時(shí)用?？薒函數(shù)Ld(1)與h(d)的關(guān)系．其中
(6)解析數(shù)論 解析數(shù)論的核心是ζ函數(shù)及L函數(shù)的黎曼猜想及廣義黎曼猜想．西格爾在1935年證明下述西格爾定理：對每個(gè)ε＞0，存在正數(shù)C(ε)，使得當(dāng)x為modq實(shí)特征但非主特征時(shí)，對所有s≥1－C(ε)q－ε，狄利克雷函數(shù)L(s，x)≠0．前述的類數(shù)問題就是靠這個(gè)定理證明的．
在此之前，他研究黎曼的手稿，特別是黎曼關(guān)于ζ函數(shù)的漸近公式，他用新方法證明并給出余項(xiàng)，這公式后來稱為黎曼－西格爾公式．由此可得出對稱形式的函數(shù)方程．
2．二次型理論
整系數(shù)二次型理論開始于拉格朗日四平方和定理的證明．但是計(jì)算一個(gè)整數(shù)t有多少個(gè)表為m個(gè)平方和的表法數(shù)A(m，t)一直是極困難的問題．作為這個(gè)問題的推廣，求t被整系數(shù)二次型S表示的數(shù)目A(S，t)，就更加不易．當(dāng)S為正定二次型時(shí)，高斯及Ａ．愛森斯坦(Eisenstein)考慮三元型的情形，Ｈ．閔科夫斯基(Minkowski)考慮過一般情形．西格爾在1935—1937年研究更一般情形，求一整數(shù)對稱矩陣T被二次型表示的數(shù)目A(S，T)，它實(shí)際上是求解方程
XtSX≡S[X]＝T，
其中S是m×m方陣，T是n×n方程(m≥n)，X是m×n矩陣，Xt是X的轉(zhuǎn)置矩陣，當(dāng)S＝T時(shí)，A(S，S)記做E(S)．顯然，S用S的等價(jià)矩陣(或二次型)S′置換，A(S，T)不變．二次型S，S′稱為同種(geschlecht)，如果對每個(gè)q，
S[X]≡S′(modq)，
S′[X′]≡S(modq)
有解，且兩二次型慣性指數(shù)相等(當(dāng)S，S′非正定時(shí))．所有同種的二次型可以分成有限多個(gè)(h)個(gè)等價(jià)類S1，S2，…，Sh．西格爾證明基本公式
其中
由此可以得出以前所有公式，特別是t表為m個(gè)平方和的表法數(shù)．在以后的論文中西格爾推廣到不定二次型情形以及以有限次代數(shù)數(shù)為系數(shù)的二次型的情形．
3．函數(shù)論
西格爾對函數(shù)論的研究與二次型理論密切相關(guān)，首先他把模函數(shù)論從一元推廣到多元．多元模函數(shù)論主要有兩種，一種是希爾伯特模函數(shù)論，一種是西格爾模函數(shù)論．作為上半平面的推廣，西格爾引入西格爾上半空間Hn，它是n階復(fù)對稱矩陣Z＝X＋Y構(gòu)成空間，其中Z的虛部Y是正定的，辛群Sp(n，R)作用于Hn如下：
M(Z)＝(AZ＋B)(CZ＋D)－1．
Hn上的全純函數(shù)f稱為權(quán)k的n次模形式，如對所有M∈Sp(n，Z)，
f(M(Z))＝det(CZ＋D)＋kf(Z)；
(3)愛森斯坦級數(shù)
是權(quán)k的模形式( 0)．
(4)他定義模函數(shù)為權(quán)k的兩模形式之商，它們構(gòu)成超越次數(shù)為
(5)模形式的傅里葉展開
系數(shù)a(T)均為有理數(shù)，其中tr為跡．
西格爾通過不連續(xù)群定義n變元自守函數(shù)，并由此定義基本域．西格爾對Hn定義辛度量
以及體積元
由此可得出其幾何性質(zhì)，對于辛群的不連續(xù)群，西格爾得出一系列重要結(jié)果．例如，當(dāng)基本域?yàn)榫o致時(shí)，任n＋1個(gè)自守函數(shù)均代數(shù)相關(guān)，可選擇n＋1個(gè)自守函數(shù)f0，f1，…，fn，任何自守函數(shù)可表為它們的有理函數(shù)．他還構(gòu)造一系列基本域，包括緊致的和非緊致的．
西格爾在天體力學(xué)如三體問題的研究及數(shù)學(xué)史方面也有重要貢獻(xiàn)．
本站僅提供存儲服務(wù)，所有內(nèi)容均由用戶發(fā)布，如發(fā)現(xiàn)有害或侵權(quán)內(nèi)容，請
點(diǎn)擊舉報(bào)。
