邏輯回歸（Logistic Regression）是機(jī)器學(xué)習(xí)中的一種分類模型，由于算法的簡單和高效，在實(shí)際中應(yīng)用非常廣泛。本文作為美團(tuán)機(jī)器學(xué)習(xí)InAction系列中的一篇，主要關(guān)注邏輯回歸算法的數(shù)學(xué)模型和參數(shù)求解方法，最后也會簡單討論下邏輯回歸和貝葉斯分類的關(guān)系，以及在多分類問題上的推廣。
實(shí)際工作中，我們可能會遇到如下問題：
這些都可以看做是分類問題，更準(zhǔn)確地，都可以看做是二分類問題。同時，這些問題本身對美團(tuán)也有很重要的價值，能夠幫助我們更好的了解我們的用戶，服務(wù)我們的用戶。要解決這些問題，通常會用到一些已有的分類算法，比如邏輯回歸，或者支持向量機(jī)。它們都屬于有監(jiān)督的學(xué)習(xí)，因此在使用這些算法之前，必須要先收集一批標(biāo)注好的數(shù)據(jù)作為訓(xùn)練集。有些標(biāo)注可以從log中拿到（用戶的點(diǎn)擊，購買），有些可以從用戶填寫的信息中獲得（性別），也有一些可能需要人工標(biāo)注（評論情感極性）。另一方面，知道了一個用戶或者一條評論的標(biāo)簽后，我們還需要知道用什么樣的特征去描述我們的數(shù)據(jù)，對用戶來說，可以從用戶的瀏覽記錄和購買記錄中獲取相應(yīng)的統(tǒng)計(jì)特征，而對于評論來說，最直接的則是文本特征。這樣拿到數(shù)據(jù)的特征和標(biāo)簽后，就得到一組訓(xùn)練數(shù)據(jù)：
其中 \(x^i\) 是一個 \(m\) 維的向量，\(x^i = [x_1^i, x_2^i, ... , x_m^i]\) ，\(y\) 在 {0, 1} 中取值。（本文用{1，0}表示正例和負(fù)例，后文沿用此定義。）
我們的問題可以簡化為，如何找到這樣一個決策函數(shù)\(y^* = f(x)\)，它在未知數(shù)據(jù)集上能有足夠好的表現(xiàn)。至于如何衡量一個二分類模型的好壞，我們可以用分類錯誤率這樣的指標(biāo)：\(Err = \frac{1}{N} \sum 1[y^* = y]\) 。也可以用準(zhǔn)確率，召回率，AUC等指標(biāo)來衡量。
值得一提的是，模型效果往往和所用特征密切相關(guān)。特征工程在任何一個實(shí)用的機(jī)器學(xué)習(xí)系統(tǒng)中都是必不可少的，機(jī)器學(xué)習(xí)InAction系列已有一篇文章中對此做了詳細(xì)的介紹，本文不再詳細(xì)展開。
在介紹邏輯回歸模型之前，我們先引入sigmoid函數(shù)，其數(shù)學(xué)形式是：
\(g(x) = \frac{1}{1 + e ^ {-x}}\)
對應(yīng)的函數(shù)曲線如下圖所示：
從上圖可以看到sigmoid函數(shù)是一個s形的曲線，它的取值在[0, 1]之間，在遠(yuǎn)離0的地方函數(shù)的值會很快接近0/1。這個性質(zhì)使我們能夠以概率的方式來解釋（后邊延伸部分會簡單討論為什么用該函數(shù)做概率建模是合理的)。
一個機(jī)器學(xué)習(xí)的模型，實(shí)際上是把決策函數(shù)限定在某一組條件下，這組限定條件就決定了模型的假設(shè)空間。當(dāng)然，我們還希望這組限定條件簡單而合理。而邏輯回歸模型所做的假設(shè)是：
\(P(y=1|x;\theta) = g(\theta^T x) = \frac{1}{1 + e ^ {-\theta^T * x}}\)
這里的 \(g(h)\) 是上邊提到的 sigmoid 函數(shù)，相應(yīng)的決策函數(shù)為：
\(y^* = 1, \, \textrm{if} \, P(y=1|x) > 0.5\)
選擇0.5作為閾值是一個一般的做法，實(shí)際應(yīng)用時特定的情況可以選擇不同閾值，如果對正例的判別準(zhǔn)確性要求高，可以選擇閾值大一些，對正例的召回要求高，則可以選擇閾值小一些。
模型的數(shù)學(xué)形式確定后，剩下就是如何去求解模型中的參數(shù)。統(tǒng)計(jì)學(xué)中常用的一種方法是最大似然估計(jì)，即找到一組參數(shù)，使得在這組參數(shù)下，我們的數(shù)據(jù)的似然度（概率）越大。在邏輯回歸模型中，似然度可表示為：
\(L(\theta) = P(D|\theta) = \prod P(y|x;\theta) = \prod g(\theta^T x) ^ y (1-g(\theta^T x))^{1-y}\)
取對數(shù)可以得到對數(shù)似然度：
\(l(\theta) = \sum {y\log{g(\theta^T x)} + (1-y)\log{(1-g(\theta^T x))}}\)
另一方面，在機(jī)器學(xué)習(xí)領(lǐng)域，我們更經(jīng)常遇到的是損失函數(shù)的概念，其衡量的是模型預(yù)測錯誤的程度。常用的損失函數(shù)有0-1損失，log損失，hinge損失等。其中l(wèi)og損失在單個數(shù)據(jù)點(diǎn)上的定義為\(-y\log{p(y|x)}-(1-y)\log{1-p(y|x)}\)
如果取整個數(shù)據(jù)集上的平均log損失，我們可以得到
\(J(\theta) = -\frac{1}{N} l(\theta)\)
即在邏輯回歸模型中，我們最大化似然函數(shù)和最小化log損失函數(shù)實(shí)際上是等價的。對于該優(yōu)化問題，存在多種求解方法，這里以梯度下降的為例說明。梯度下降(Gradient Descent)又叫作最速梯度下降，是一種迭代求解的方法，通過在每一步選取使目標(biāo)函數(shù)變化最快的一個方向調(diào)整參數(shù)的值來逼近最優(yōu)值?；静襟E如下：
其中損失函數(shù)的梯度計(jì)算方法為：
\( \frac{\partial{J}}{\partial{\theta}} = -\frac{1}{n}\sum_i (y_i y_i^*)x_i + \lambda \theta\)
沿梯度負(fù)方向選擇一個較小的步長可以保證損失函數(shù)是減小的，另一方面，邏輯回歸的損失函數(shù)是凸函數(shù)（加入正則項(xiàng)后是嚴(yán)格凸函數(shù)），可以保證我們找到的局部最優(yōu)值同時是全局最優(yōu)。此外，常用的凸優(yōu)化的方法都可以用于求解該問題。例如共軛梯度下降，牛頓法，LBFGS等。
知道如何求解參數(shù)后，我們來看一下模型得到的最后結(jié)果是什么樣的。很容易可以從sigmoid函數(shù)看出，當(dāng)\(\theta^T x > 0 \) 時，\(y = 1\)，否則 \(y = 0\)。\(\theta^T x = 0 \) 是模型隱含的分類平面（在高維空間中，我們說是超平面）。所以說邏輯回歸本質(zhì)上是一個線性模型，但是，這不意味著只有線性可分的數(shù)據(jù)能通過LR求解，實(shí)際上，我們可以通過特征變換的方式把低維空間轉(zhuǎn)換到高維空間，而在低維空間不可分的數(shù)據(jù)，到高維空間中線性可分的幾率會高一些。下面兩個圖的對比說明了線性分類曲線和非線性分類曲線（通過特征映射）。
左圖是一個線性可分的數(shù)據(jù)集，右圖在原始空間中線性不可分，但是在特征轉(zhuǎn)換 \([x_1, x_2] => [x_1, x_2, x_1^2, x_2^2, x_1x_2]\) 后的空間是線性可分的，對應(yīng)的原始空間中分類邊界為一條類橢圓曲線。
當(dāng)模型的參數(shù)過多時，很容易遇到過擬合的問題。這時就需要有一種方法來控制模型的復(fù)雜度，典型的做法在優(yōu)化目標(biāo)中加入正則項(xiàng)，通過懲罰過大的參數(shù)來防止過擬合：
\(J(\theta) = -\frac{1}{N}\sum {y\log{g(\theta^T x)} + (1-y)\log{(1-g(\theta^T x))}} +
\lambda \Vert w \Vert_p\)
一般情況下，取\(p=1\)或\(p=2\)，分別對應(yīng)L1，L2正則化，兩者的區(qū)別可以從下圖中看出來，L1正則化（左圖）傾向于使參數(shù)變?yōu)?，因此能產(chǎn)生稀疏解。
實(shí)際應(yīng)用時，由于我們數(shù)據(jù)的維度可能非常高，L1正則化因?yàn)槟墚a(chǎn)生稀疏解，使用的更為廣泛一些。
邏輯回歸是一種判別模型，表現(xiàn)為直接對條件概率P(y|x)建模，而不關(guān)心背后的數(shù)據(jù)分布P(x,y)。而高斯貝葉斯模型（Gaussian Naive Bayes）是一種生成模型，先對數(shù)據(jù)的聯(lián)合分布建模，再通過貝葉斯公式來計(jì)算樣本屬于各個類別的后驗(yàn)概率，即：
\(p(y|x) = \frac{P(x|y)P(y)}{\sum{P(x|y)P(y)}}\)
通常假設(shè)P(x|y)是高斯分布，P(y)是多項(xiàng)式分布，相應(yīng)的參數(shù)都可以通過最大似然估計(jì)得到。如果我們考慮二分類問題，通過簡單的變化可以得到：
如果 \( \sigma_1 = \sigma_0 \)，二次項(xiàng)會抵消，我們得到一個簡單的線性關(guān)系：
\(\log\frac{P(y=1|x)}{P(y=0|x)} = \theta^T x\)
由上式進(jìn)一步可以得到：
\(P(y=1|x) = \frac{e^{\theta^T x}}{1+e^{\theta^T x}} = \frac{1}{1+e^{-\theta^T x}} \)
可以看到，這個概率和邏輯回歸中的形式是一樣的。這種情況下GNB 和 LR 會學(xué)習(xí)到同一個模型。實(shí)際上，在更一般的假設(shè)（P(x|y)的分布屬于指數(shù)分布族）下，我們都可以得到類似的結(jié)論。
如果\(y\)不是在[0,1]中取值，而是在\(K\)個類別中取值，這時問題就變?yōu)橐粋€多分類問題。有兩種方式可以出處理該類問題：一種是我們對每個類別訓(xùn)練一個二元分類器（One-vs-all），當(dāng)\(K\)個類別不是互斥的時候，比如用戶會購買哪種品類，這種方法是合適的。如果\(K\)個類別是互斥的，即 \(y = i\) 的時候意味著 \(y\) 不能取其他的值，比如用戶的年齡段，這種情況下 Softmax 回歸更合適一些。Softmax 回歸是直接對邏輯回歸在多分類的推廣，相應(yīng)的模型也可以叫做多元邏輯回歸（Multinomial Logistic Regression）。模型通過 softmax 函數(shù)來對概率建模，具體形式如下：
\(P(y=i|x, \theta) = \frac{e^{\theta_i^T x}}{\sum_j^K{e^{\theta_j^T x}}}\)
而決策函數(shù)為：\(y^* = \textrm{argmax}_i P(y=i|x,\theta)\)
對應(yīng)的損失函數(shù)為：
\(J(\theta) = -\frac{1}{N} \sum_i^N \sum_j^K {1[y_i=j] \log{\frac{e^{\theta_i^T x}}{\sum {e^{\theta_k^T x}}}}}\)
類似的，我們也可以通過梯度下降或其他高階方法來求解該問題，這里不再贅述。
本文開始部分提到了幾個在實(shí)際中遇到的問題，這里以預(yù)測用戶對品類的購買偏好為例，介紹一下美團(tuán)是如何用邏輯回歸解決工作中問題的。該問題可以轉(zhuǎn)換為預(yù)測用戶在未來某個時間段是否會購買某個品類，如果把會購買標(biāo)記為1，不會購買標(biāo)記為0，就轉(zhuǎn)換為一個二分類問題。我們用到的特征包括用戶在美團(tuán)的瀏覽，購買等歷史信息，見下表
| 類別 | 特征 |
|---|---|
| 用戶 | 購買頻次，瀏覽頻次，時間，地理位置 … |
| 品類 | 銷量，購買用戶，瀏覽用戶 … |
| 交叉 | 購買頻次，瀏覽頻次，購買間隔 … |
其中提取的特征的時間跨度為30天，標(biāo)簽為2天。生成的訓(xùn)練數(shù)據(jù)大約在7000萬量級（美團(tuán)一個月有過行為的用戶），我們?nèi)斯ぐ严嗨频男∑奉惥酆掀饋?，最后?8個較為典型的品類集合。如果用戶在給定的時間內(nèi)購買某一品類集合，就作為正例。喲了訓(xùn)練數(shù)據(jù)后，使用Spark版的LR算法對每個品類訓(xùn)練一個二分類模型，迭代次數(shù)設(shè)為100次的話模型訓(xùn)練需要40分鐘左右，平均每個模型2分鐘，測試集上的AUC也大多在0.8以上。訓(xùn)練好的模型會保存下來，用于預(yù)測在各個品類上的購買概率。預(yù)測的結(jié)果則會用于推薦等場景。
由于不同品類之間正負(fù)例分布不同，有些品類正負(fù)例分布很不均衡，我們還嘗試了不同的采樣方法，最終目標(biāo)是提高下單率等線上指標(biāo)。經(jīng)過一些參數(shù)調(diào)優(yōu)，品類偏好特征為推薦和排序帶來了超過1%的下單率提升。
此外，由于LR模型的簡單高效，易于實(shí)現(xiàn)，可以為后續(xù)模型優(yōu)化提供一個不錯的baseline，我們在排序等服務(wù)中也使用了LR模型。
邏輯回歸的數(shù)學(xué)模型和求解都相對比較簡潔，實(shí)現(xiàn)相對簡單。通過對特征做離散化和其他映射，邏輯回歸也可以處理非線性問題，是一個非常強(qiáng)大的分類器。因此在實(shí)際應(yīng)用中，當(dāng)我們能夠拿到許多低層次的特征時，可以考慮使用邏輯回歸來解決我們的問題。
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