小學(xué)課本中圓的面積公式推導(dǎo)
如上圖所示，在小學(xué)數(shù)學(xué)教材中，將圓分解成無(wú)數(shù)等分的小扇形，當(dāng)每一分足夠小時(shí)，每個(gè)小扇形可以看成一個(gè)三角形，在將這些三角形拼成近似的長(zhǎng)方形，長(zhǎng)方形的面積等于圓的面積。這是一種樸素“化圓為方”的思想，把未知問(wèn)題轉(zhuǎn)換成已知問(wèn)題去求解。其中的近似處理也會(huì)給大家產(chǎn)生一種“圓的面積公式是近似公式”的嫌疑。
上述方法只是為了幫助小學(xué)生們理解公式，并不是嚴(yán)格的推導(dǎo)，事實(shí)上，圓的面積公式經(jīng)過(guò)了一系列的演化，修正才變成今天的樣子。從4000多年前，古巴比倫、古埃及的近似公式，到古希臘亞里士多德提出并嚴(yán)格證明，我國(guó)古代數(shù)學(xué)家劉徽用割圓術(shù)對(duì)圓周率精確計(jì)算，再到近現(xiàn)代利用極限，三角函數(shù)，微積分多種方法的驗(yàn)證，經(jīng)過(guò)漫長(zhǎng)了的過(guò)程。接下來(lái)我們將回顧圓的面積產(chǎn)生過(guò)程，重點(diǎn)研究亞里士多德對(duì)圓的面積公式貢獻(xiàn)。
1.公元前2000年前的古巴比倫人為了準(zhǔn)確丈量各種形狀土地的面積，以收取賦稅，出現(xiàn)了對(duì)圓的面積計(jì)算的近似方法。根據(jù)泥版YBC7302上的記載，圓面積和周長(zhǎng)之間的關(guān)系式為：
古巴比倫圓的面積的公式
公式中C為圓的周長(zhǎng)（下同）。
對(duì)比今天的公式，我們發(fā)現(xiàn)其計(jì)算出的面積比實(shí)際大約4.7%。四千多年前有公式推導(dǎo)已屬不易，不光需要縝密的思維，還依賴精確的測(cè)量技術(shù)，所以這么大的誤差也可以理解。
2.古埃及的數(shù)學(xué)知識(shí)記錄在出土的兩卷紙草書(shū)書(shū)上，紙草書(shū)的年代在公元前1850～前1650年之間。紙草書(shū)給出圓面積的計(jì)算方法：將直徑減去它的1/9之后再平方。用公式可表示為：
古埃及圓的面積公式
公式中d為圓的直徑（下同）。
根據(jù)此公式計(jì)算出的圓周率約為3.1605，誤差約為0.6%，可見(jiàn)已經(jīng)非常精確了。古埃及人能建造出那么宏大的金字塔，其先進(jìn)的數(shù)學(xué)知識(shí)及精密的測(cè)量技術(shù)功不可沒(méi)。
上面兩個(gè)近似公式都將圓的面積表示為已知正方形面積的一部分，即“化圓為方”。
(一).阿基米德與圓
公元前約225年，阿基米德發(fā)表了一篇論文《圓的測(cè)定》，其中第一個(gè)命題就對(duì)圓的面積做了透徹的分析和嚴(yán)格的證明。《圓的測(cè)定》開(kāi)篇斷言：任意圓的面積，與兩條直角邊長(zhǎng)分別為該圓半徑和周長(zhǎng)的直角三角形的面積相等。
圖1，阿基米德關(guān)于圓面積和定義三角形面積對(duì)應(yīng)關(guān)系
*下文提到的定義三角形即為上圖中的直角三角形。
(二).阿基米德所處時(shí)代背景：
古希臘人并沒(méi)有代數(shù)學(xué)，也沒(méi)有實(shí)數(shù)的感念，也不存在π，所以圓的面積只能用與其面積相同的三角形的面積來(lái)表示。
歐幾里得的《幾何原本》已經(jīng)為幾何證明做好了鋪墊。《幾何原本》開(kāi)創(chuàng)了古典數(shù)論的研究，在一系列公理、定義、公設(shè)的基礎(chǔ)上，創(chuàng)立了歐幾里得幾何學(xué)體系，成為用公理化方法建立起來(lái)的數(shù)學(xué)演繹體系的最早典范。
阿基米德的算法是在古希臘通用的笨拙的系統(tǒng)中完成的，其中分?jǐn)?shù)源自古埃及奇怪的表示和處理方法：
古埃及分?jǐn)?shù)表示及計(jì)算方法
4.當(dāng)時(shí)的幾何家已知，不論圓的大小如何，圓的周長(zhǎng)與直徑的比為常數(shù)（顯然這個(gè)常數(shù)就是后來(lái)的 π）。
k1=C/d
5.《幾何原本》已經(jīng)證明了圓的面積正比于半徑的平方。即存在常數(shù)k，使得對(duì)任意圓都有：
k2=S圓/r2
但他們都沒(méi)有發(fā)現(xiàn)k與π的關(guān)系。
（三）阿基米德證明用到的斷言（容易證明或不證自明，部分出自《幾何原本》，部分為阿基米德的杰出創(chuàng)新）
斷言一：任意圓內(nèi)接正多邊形的面積小于圓的面積。
圓的內(nèi)接正多邊形
設(shè) δn=S圓- Sn>0
Sn為圓內(nèi)接正n邊形的面積，δn為圓與其內(nèi)接正多邊形面積之差，即圖中陰影部分的面積。
斷言二：δ2n<δn/2
割之彌細(xì)，所失彌少
如上圖，以圓內(nèi)接正四邊形為例，藍(lán)色部分的面積小于陰影部分的面積，推廣到整個(gè)圖形，對(duì)于所有的圓內(nèi)接正多邊形都有δ2n<δn/2。
斷言三：任意圓內(nèi)接正多邊形的面積小于前面定義的三角形面積，即Sn<S△。
如上圖，證明基于以下兩個(gè)事實(shí)。
OA<OB， P(A)Q<弧PBQ
斷言四：給定一個(gè)已知圓，做圓的內(nèi)接正多邊形，正多邊形的邊數(shù)越多，正多變形的面積更接近圓的面積。如正八邊形的面積比正方形更接近圓的面積，正十六邊形又比正八邊形更接近圓的面積，這一過(guò)程可以無(wú)限繼續(xù)，則正多邊形的面積無(wú)限逼近圓的面積。(跟我國(guó)魏晉期間劉徽的割圓術(shù)類似，都用到了窮竭法)
顯然，圓內(nèi)接正多邊形的面積永遠(yuǎn)小于圓的面積。但是，如果預(yù)先給定任一面積，不論其多小，我們都能做出一個(gè)內(nèi)接正多邊形，而使圓面積與其內(nèi)接正多邊形的面積之差小于這一預(yù)先給定的面積。（是不是有熟悉的感覺(jué)，這恰是高等數(shù)學(xué)中極限的定義，這也是阿基米德證明圓的面積的關(guān)鍵。）
斷言五：任意圓外切正多邊形的面積大于圓的面積。
圓外切正多邊形
設(shè) δN=SN-S圓>0
SN為圓外切正N邊形的面積，δN為圓外切正N邊形面積與圓面積之差，即圖中陰影部分的面積。
參考斷言二易知 δ2N<δN/2
斷言六：定義三角形的面積小于圓外切正N邊形的面積。（參考斷言三）
斷言七：圓外切正多邊形的面積永遠(yuǎn)大于圓的面積。但是，如果預(yù)先給定任一面積，不論其多小，我們都能做出一個(gè)外切正多邊形，而使圓面積與其外切正多邊形的面積之差小于這一預(yù)先給定的面積。
（四）.阿基米德采用的邏輯方法——雙重歸謬法（反證法）
在阿基米德之前，人們往往采用直接證明的方法，而阿基米德則采用間接方法。
比如我們要證明A=B，當(dāng)直接證明比較困難的時(shí)候，可以采用排除法。A與B的關(guān)系只有3種情況，A>B，A<B，A=B。如果能排除前兩種情況，自然得到A=B。
阿基米德采的方法：排除S圓>S△和S圓<S△兩種情況，得S圓=S△。
（五）.阿基米德的證明
求證：任意圓的面積，與兩條直角邊長(zhǎng)分別為該圓半徑和周長(zhǎng)的直角三角形的面積相等，即S圓=S△。
第一步，證圓的面積不大于定義三角形。
證明：
假設(shè) S圓>S△
令 ε'=S圓-S△>0 (預(yù)先給定的面積)
根據(jù)斷言四
當(dāng)取充分大的n，使得 δn<ε （δn見(jiàn)斷言一，根據(jù)斷言四）
有 Sn<S△<S圓 （斷言三）
這表明 ε=S圓-S△<S圓-Sn=δn （如上圖）
即 ε<δn
與n的選取矛盾，則假設(shè)S圓>S△不成立。
第二步，證定義三角形的面積不大于圓。證明：
假設(shè) S△>S圓
令 ε’=S△-S圓>0 (預(yù)先給定的面積)
根據(jù)斷言七
當(dāng)取充分大的N，使得 δN<ε' （δN見(jiàn)斷言五，根據(jù)斷言七）
有 S圓 <S△ < SN （斷言六）
這表明 ε'=S△-S圓<SN-S圓=δN （如上圖）
即 ε'<δN
與N的選取矛盾，則假設(shè)S△>S圓不成立。
綜上第一步第二步證明，可知 S△=S圓。
用阿基米德的語(yǔ)言描述為：“由于圓的面積既不大于、也不小于（三角形面積），因此，圓的面積等于三角形面積?！?/strong>
（六）.想到的一些閑話
從阿基米德的證明過(guò)程可以看出其嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃季S，奇特的方法。在他的時(shí)代，這種反證法是一種繞圈子式的論證，在他之前，圓的面積是包括歐幾里得都沒(méi)能解決的問(wèn)題，可見(jiàn)其困難和復(fù)雜的程度。
就像建一座房子，阿基米德每一塊石頭都需要自己親手鑿，用最原始的方式建了一棟房子，而這房子屹立千年，現(xiàn)在依然完好。
遺憾的是，阿基米德的證明最終只是用三角形的面積表示，并沒(méi)有發(fā)現(xiàn)π的存在。但阿基米德隨后在《圓的測(cè)定》第三個(gè)命題中，推導(dǎo)出了π的范圍約為3.14。（知道存在這樣一個(gè)常數(shù)，沒(méi)有把周長(zhǎng)中的常數(shù)與面積中的常數(shù)聯(lián)系起來(lái)。）
圓的面積證明只是阿基米德數(shù)學(xué)遺產(chǎn)的一部分，其其他著作中論述的問(wèn)題已經(jīng)屬于今天的微積分領(lǐng)域了。
由于所處的時(shí)代限制，沒(méi)有簡(jiǎn)明的代數(shù)符號(hào)，阿基米德只能依靠陳述，猶如戴著鐐銬跳舞。
阿基米德是被羅馬士兵殺死的。
1.劉徽的割圓術(shù)
劉徽及其割圓術(shù)
漢《九章算術(shù)》已經(jīng)提出了圓的面積公式：“術(shù)曰：半周半徑相乘得積步?！痹O(shè)圓的周長(zhǎng)是L，半徑為r，那么圓的面積為：
九章算術(shù)中圓的面積公式
中國(guó)古代從先秦時(shí)期開(kāi)始，一直是取“周三徑一”（周長(zhǎng)：直徑=3:1）的數(shù)值來(lái)進(jìn)行有關(guān)圓的計(jì)算。即將π用3代替，顯然誤差很大。
我國(guó)魏晉時(shí)期數(shù)學(xué)家劉徽于公元263年撰寫《九章算術(shù)注》，創(chuàng)造了著名的割圓術(shù)，使圓周率精確度大大提升?！案顖A術(shù)”，則是以“圓內(nèi)接正多邊形的面積”，來(lái)無(wú)限逼近“圓面積”。劉徽形容他的“割圓術(shù)”說(shuō)：割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓合體，而無(wú)所失矣。
最終劉徽求得了圓周率的近似值3.1416，南北朝時(shí)期的祖沖之又將圓周率精確到小數(shù)點(diǎn)后第七位，這一結(jié)果一直領(lǐng)跑世界一千一百年。
中國(guó)古代的數(shù)學(xué)雖然也有閃光點(diǎn)，割圓術(shù)中明顯含有極限過(guò)程及無(wú)窮小的思想，但不像古希臘建立起了嚴(yán)密的演繹體系，這些缺乏嚴(yán)格的推理證明。這也與古代中國(guó)重應(yīng)用而輕理論有關(guān)，就拿著名的《九章算術(shù)》而言，其中收集了246個(gè)與生產(chǎn)、生活實(shí)踐有聯(lián)系的應(yīng)用問(wèn)題，其中每道題有問(wèn)（題目）、答（答案）、術(shù)（解題的步驟，但沒(méi)有證明），有的是一題一術(shù)，有的是多題一術(shù)或一題多術(shù)。更多的是講方法，為了實(shí)踐服務(wù)的。
2.定積分求圓的面積
在平面直角坐標(biāo)系中，圓的面積方程為：
用定積分即可計(jì)算出其面積：
3.其他求圓面積的方法
也可在直角坐標(biāo)系下用參數(shù)方程積分，二重積分等方法求圓的面積，這里不一一列舉。
但是個(gè)人認(rèn)為這些方法稱之為計(jì)算或驗(yàn)證或許更準(zhǔn)確一些，畢竟有了微積分這個(gè)大殺器，圓的面積不再是困擾人們數(shù)千年的數(shù)學(xué)難題了。但是在幾千年來(lái)對(duì)圓的關(guān)注和求解中誕生的靈感火花也照亮了微積分出現(xiàn)的道路。
在寫這篇文章之前，我也天真的認(rèn)為，圓的面積公式那么簡(jiǎn)單，相較于奧數(shù)，高考的壓軸題，高數(shù)這又算的了什么。結(jié)果光理解阿基米德這位兩千多年前的偉大數(shù)學(xué)家的思路就花費(fèi)了我一天的功夫，可能也于我天資愚鈍有關(guān)。我們現(xiàn)在看起來(lái)當(dāng)成常識(shí)的知識(shí)，日常用的手機(jī)，在發(fā)現(xiàn)發(fā)明之處經(jīng)歷過(guò)些什么，我們未曾想到。人類的演化經(jīng)歷了數(shù)百萬(wàn)年，科學(xué)從古希臘的演繹體系到現(xiàn)在經(jīng)歷了兩千多年，近代工業(yè)革命到現(xiàn)在也不過(guò)區(qū)區(qū)兩百多年，科技發(fā)展日益加快。我們今天的一小步，對(duì)古人來(lái)說(shuō)可能需要走成百上千年。是他們的思想將我們送到現(xiàn)在這個(gè)文明進(jìn)步的時(shí)代，珍惜當(dāng)下，致敬偉大的先賢們。
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