摘要：本文從歐幾里得《幾何原本》出發(fā)，論述了兩千年來(lái)從歐幾里得開(kāi)始，經(jīng)歷過(guò)高斯一直到希爾伯特的幾何學(xué)公理化的艱難歷程，揭示了幾何學(xué)公理化的深刻意義，最后討論了哥德?tīng)柕牟煌耆远ɡ怼?/p>
關(guān)鍵詞：公理化 歐幾里得 幾何原本 非歐幾何 希爾伯特 哥德?tīng)?不完備性定理
數(shù)學(xué)家不單單因?yàn)閿?shù)學(xué)有用而研究數(shù)學(xué)；他研究它還因?yàn)樗矚g它，而他喜歡它則是因?yàn)樗敲利惖模?/p>
——H·龐加萊
1. 引言
除了極少數(shù)的著作之外，沒(méi)有人知道那些偉大的古希臘先哲們究竟在思考什么。關(guān)于這些先驅(qū)的生平，人們只能從《歐德斯摩摘要》一書(shū)中了解極為粗略的情況。然而正是在這些吉光片羽的文字中，保留了古希臘關(guān)于數(shù)學(xué)的最光輝的思想。
從泰勒斯（Thales）到歐幾里得的三百多年歷史中，數(shù)學(xué)穩(wěn)步而又迅速地發(fā)展著。泰勒斯開(kāi)始了命題的證明，畢達(dá)哥拉斯學(xué)派進(jìn)一步將數(shù)學(xué)從具體中抽象出來(lái)，并把算術(shù)和幾何緊密地聯(lián)系在一起。公元前387年左右，柏拉圖（Plato，公元前426－347）在雅典創(chuàng)建了哲學(xué)學(xué)園，主張通過(guò)幾何學(xué)習(xí)培養(yǎng)邏輯思維能力。他的學(xué)生亞里士多德（Aristotel，公元前384－322）則是形式邏輯的奠基者。這個(gè)學(xué)派的另一個(gè)重要人物歐多克索斯（Eudoxus，公元前460－357）創(chuàng)立了比例論。他用公理化的方法建立理論，使得比例的適用范圍從畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的可通約量擴(kuò)大至不可通約量。
到了公元前4世紀(jì)時(shí)，古希臘無(wú)論是在幾何學(xué)還是邏輯學(xué)上都日臻成熟，公理化思想也是由來(lái)已久，一個(gè)嚴(yán)密而又完整的幾何體系已是呼之欲出。這個(gè)重任就落在了歐幾里得的肩上。
2. 歐幾里得的貢獻(xiàn)
歐幾里得（Euclid，約公元前300年左右），古希臘著名的數(shù)學(xué)家。他的《幾何原本》直到現(xiàn)在，依然是幾何學(xué)入門(mén)的最佳讀本。兩千年來(lái)，這部巨著令許多數(shù)學(xué)家的努力與文字黯然失色。《原本》一書(shū)中的數(shù)學(xué)思想與方法，深刻地影響了整整兩千多年的數(shù)學(xué)與自然科學(xué)的發(fā)展歷程。
歐幾里得的最大貢獻(xiàn)并不是發(fā)現(xiàn)了多少深?yuàn)W的定理，而是對(duì)過(guò)去所有數(shù)學(xué)知識(shí)的總結(jié)。他的《幾何原本》不僅奠定了西方幾何學(xué)的基礎(chǔ)，并且提供了一整套的公理化方法的范例。在他之前，也曾有人設(shè)想過(guò)如此計(jì)劃。但正如《歐德斯摩摘要》一書(shū)中所說(shuō)的，“把幾何學(xué)原理聯(lián)系到一起，把歐多克索斯的許多定理有次序地安排起來(lái)，把鐵塔斯的許多定理加以完善化，并對(duì)前任未經(jīng)嚴(yán)謹(jǐn)證明的許多東西給以無(wú)可爭(zhēng)辯地闡明”的，乃是歐幾里得。
《幾何原本》共有十三卷（也有十五卷的版本，最后二卷為后人增補(bǔ)）。在第一卷中，歐氏列出了23個(gè)“定義”，接著是5條“公設(shè)”和5條“公理”（現(xiàn)代數(shù)學(xué)并不區(qū)分公設(shè)和公理，都以公理稱(chēng)之），然后循序漸進(jìn)地用推理、證明、演繹的方法推導(dǎo)出了全書(shū)所有的命題。這就是《原本》一書(shū)為何直到現(xiàn)代依然被認(rèn)為是研究幾何學(xué)的入門(mén)書(shū)的最主要的原因：得益于其嚴(yán)密的邏輯與演繹。
然而，正是在看似嚴(yán)密的邏輯推理之下的歐氏幾何公理體系中，卻存在著非常嚴(yán)重的漏洞。雖然在漫長(zhǎng)的歷史長(zhǎng)河中，不斷地有人詬病于它，但它的影響卻是一直到兩千年之后才反映出來(lái)，也由此鑄成了一場(chǎng)幾何學(xué)的革命。
3. 第五公設(shè)的尷尬
在《幾何原本》的5條公設(shè)中，第五公設(shè)——也就是人們常說(shuō)的“平行公設(shè)”——顯得特別突兀：與其余4條公設(shè)和5條公理的簡(jiǎn)明相比，第五公設(shè)有著太多的條件與設(shè)定，尤其顯得復(fù)雜與羅嗦，。
我們不妨先來(lái)看看第五公設(shè)是如何描述的：“同平面內(nèi)一條直線和另外兩條直線相交，若在某一側(cè)的兩個(gè)內(nèi)角的和小于二直角的和，則這二直線經(jīng)無(wú)限延長(zhǎng)后在這一側(cè)相交?！?/p>
與其余的公設(shè)相比，這條公設(shè)實(shí)在太長(zhǎng)了，以至于幾乎《幾何原本》的每一個(gè)讀者一眼就會(huì)注意到它。兩千年來(lái)，人們一直試圖尋找一種方法來(lái)證明這條公設(shè)，使之成為一條定理，以便將其從歐幾里得公理表中抹去。普羅克魯（Proclus，410－485）曾十分明確地說(shuō)：“這個(gè)公設(shè)完全應(yīng)從全部公理中剔除出去，因?yàn)樗且粋€(gè)包含許多困難的定理?！钡菬o(wú)論是普羅克魯，還是普雪菲爾（Playfair，1748－1819），或是大數(shù)學(xué)家勒讓德（Legendre，1752－1833），以及其他許多數(shù)學(xué)家，他們所提出的“證明”無(wú)非都是在論證過(guò)程中有意無(wú)意地引入了新的假設(shè)來(lái)代替第五公設(shè)。也就是說(shuō)，他們的論證過(guò)程統(tǒng)統(tǒng)是失敗的。面對(duì)如此狀況，以至于法國(guó)數(shù)學(xué)家達(dá)朗貝爾（D’Alembert，1717－1783）說(shuō)歐幾里得第五公設(shè)是“幾何原理中的家丑”。
當(dāng)然，用現(xiàn)代的數(shù)學(xué)眼光去看，在歐氏幾何的公理體系中，除了第五公設(shè)之外，其余的定義、公設(shè)和公理也遠(yuǎn)非無(wú)懈可擊。什么叫做“點(diǎn)是沒(méi)有部分的”？什么又是“直線是它上面的點(diǎn)一樣地平放著的線”？諸如此類(lèi)的模糊不清的定義比比皆是。還有在第四公設(shè)“所有直角彼此相等”中，歐幾里得就下意識(shí)地使用了“移動(dòng)不變形”的概念。而第五公設(shè)之所以“名揚(yáng)四?！?，僅僅是因?yàn)樗男问缴系囊蛩兀灾劣谀切?duì)數(shù)學(xué)一知半解的人以為在《幾何原本》中，只有這一條公設(shè)才是公理體系中致命的缺陷。但也正是由于第五公設(shè)，才導(dǎo)致了一場(chǎng)“非歐幾何”的革命，人們也正是從這里，才真正發(fā)現(xiàn)了一個(gè)全新的幾何世界。
有人認(rèn)為《幾何原本》中公理數(shù)量太多，如第四公設(shè)也應(yīng)可以被證明。另一種意見(jiàn)則認(rèn)為《幾何原本》公理表中的公理數(shù)量似乎不夠，應(yīng)該更加完備，如缺乏關(guān)于“連續(xù)性”“順序性”的公理，對(duì)于圖形的空間移動(dòng)也沒(méi)有正式定義。阿基米德（Archimedes，公元前287－212）就曾經(jīng)為《原本》添加過(guò)五條公理。長(zhǎng)期以來(lái)，人們主要將批評(píng)集中于第五公設(shè)，是由于它的表現(xiàn)形式過(guò)于突兀。著名的德國(guó)哲學(xué)家叔本華曾對(duì)此類(lèi)現(xiàn)象非常不滿。隨著數(shù)學(xué)的發(fā)展，人們發(fā)現(xiàn)《幾何原本》中的各種各樣的邏輯缺陷越來(lái)越難以容忍。作為一門(mén)科學(xué)的幾何學(xué)，首先應(yīng)考慮其科學(xué)性是否自洽，即是否沒(méi)有內(nèi)在矛盾？
真正的數(shù)學(xué)家并不回避缺陷，關(guān)鍵是如何用數(shù)學(xué)的方法彌補(bǔ)缺陷，使數(shù)學(xué)大廈的基礎(chǔ)變得牢固，而并不是僅僅在高度上有所提升。偉大的德國(guó)數(shù)學(xué)家高斯邁出了關(guān)鍵性的一步。
4. 高斯的偉大和羅巴切夫斯基的失落
我們不得不談一談非歐幾何，即便它與幾何學(xué)的公理化沒(méi)有太大關(guān)系。畢竟，作為幾何學(xué)發(fā)展歷史上的一座豐碑，它是不可被替代和逾越的。對(duì)非歐幾何做出貢獻(xiàn)的人物有三位，他們是：高斯，羅巴切夫斯基和亞諾什·鮑耶。
高斯（Gauss，1777－1855），德國(guó)偉大的數(shù)學(xué)家。有人說(shuō)，如果要評(píng)選歷史上最偉大的三位數(shù)學(xué)家，那么他們將是：阿基米德、高斯和歐拉。由此可見(jiàn)高斯在所有數(shù)學(xué)家乃至世人心目中的地位。
在很早的時(shí)候，高斯就很敏銳地發(fā)現(xiàn)第五公設(shè)是不可被證明或是反證的，由此想到了是不是存在另外一種幾何，以至于沒(méi)有第五公設(shè)也并行不悖？從后來(lái)公開(kāi)的日記中，人們發(fā)現(xiàn)高斯在這方面做了大量的工作。但是在他的有生之年，出于某些考慮，高斯從未披露過(guò)關(guān)于非歐幾何細(xì)節(jié)的思想，
羅巴切夫斯基（1792－1856）則大膽的多。他在著作中詳細(xì)地描述了關(guān)于非歐幾何的細(xì)節(jié)。由于非歐幾何看起來(lái)與人們熟悉的歐氏幾何大相徑庭，羅氏的思想一時(shí)無(wú)法為人所理解，由此他本人也遭到了許多數(shù)學(xué)家的嘲笑與攻擊。
亞諾什·鮑耶（Bolyai，1802－1860）的遭遇也是同樣不幸。他先是將自己的研究成果作為父親的一本數(shù)學(xué)書(shū)的附錄出版，后來(lái)又通過(guò)父親將研究成果交給了高斯。高斯的反應(yīng)出人意料，道“我不想贊揚(yáng)他的成果，那樣就是贊揚(yáng)了我自己”，以至于鮑耶一直誤以為高斯竊取了自己的成果，最后也是悒郁而終。羅氏與鮑耶的遭遇，也正是高斯所擔(dān)心的，這也可以說(shuō)明高斯當(dāng)初為何不愿公開(kāi)自己的研究成果。畢竟，要打破傳統(tǒng)的觀念，還是需要極大的勇氣。
然而真理是不會(huì)被顛破的，在黎曼（Riemann，1826－1866）的工作后，人們漸漸地認(rèn)識(shí)到了非歐幾何的正確性，也逐步地接受了這種有些另類(lèi)的幾何學(xué)。
雖然所有的數(shù)學(xué)家都未曾解決歐幾里得在《幾何原本》中遺留下來(lái)的種種問(wèn)題，但是他們的努力卻沒(méi)有白費(fèi)，不但發(fā)現(xiàn)了非歐幾何，更是不斷地推動(dòng)著幾何學(xué)的公理化進(jìn)程。布爾巴基學(xué)派的著名“筆桿子”讓·迪厄多內(nèi)是這樣評(píng)價(jià)這些數(shù)學(xué)家的貢獻(xiàn)的：
“對(duì)歐幾里得結(jié)構(gòu)的批評(píng)，尤其在19世紀(jì)導(dǎo)致數(shù)學(xué)更高‘嚴(yán)格性’的一般運(yùn)動(dòng)中，變得越來(lái)越多，這些批評(píng)的目的不是改正歐幾里得在其證明過(guò)程中所作的推理，而是糾正歐幾里得的推理并沒(méi)有充分地給予明確陳述地定義和公理這種狀況?！?/p>
隨著希爾伯特的誕生，幾何學(xué)的公理化終于走到了最輝煌的時(shí)刻。
5. 希爾伯特的努力
希爾伯特（D·Hilbert，1862－1943），德國(guó)著名的數(shù)學(xué)大師。1898年，希爾伯特發(fā)表了他的《幾何基礎(chǔ)》（第一版），震驚了整個(gè)數(shù)學(xué)界（現(xiàn)在流行的是第七版）。
雖然在希爾伯特之前，也曾有不少數(shù)學(xué)家做過(guò)很多關(guān)于數(shù)學(xué)公理化的有益嘗試，但唯有希爾伯特的《幾何基礎(chǔ)》，不僅完成了幾何學(xué)公理化，并且為現(xiàn)代數(shù)學(xué)公理化提供了一個(gè)極佳的范例。同時(shí)，他的公理系統(tǒng)無(wú)論從形式上還是內(nèi)容上來(lái)看也最接近《幾何原本》。
與歐幾里得《幾何原本》中的公理表相比，希爾伯特的公理系統(tǒng)非常完善。它有三個(gè)特點(diǎn)：
a. 完備性，即所有定理都可以由這些公理推出。從公理表中所列的公理可以看出，希爾伯特不但定義了所有歐幾里得曾經(jīng)定義過(guò)的概念，同時(shí)也定義了那些歐幾里得沒(méi)有定義的諸如“連續(xù)性”“順序性”之類(lèi)的概念，從而使整個(gè)體系更加完備。由此也可見(jiàn)歐氏公理表中的公理數(shù)量是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的。但與歐幾里得不同的是，希爾伯特并沒(méi)有刻意去定義“點(diǎn)”、“直線”、“平面”等幾何中最為常見(jiàn)的元素，而僅僅是將他們?cè)O(shè)想為“三組不同的對(duì)象”。
b. 相容性，即從這些公理出發(fā)不可能推出任何矛盾的定理。龐加萊于1898年發(fā)表的一個(gè)見(jiàn)解認(rèn)為，一個(gè)公理地建立起來(lái)的結(jié)構(gòu)，如果可以給出一個(gè)算術(shù)解釋?zhuān)涂梢韵嘈潘南嗳菪?。希爾伯特由此在《幾何基礎(chǔ)》中以實(shí)數(shù)作為一組對(duì)象，對(duì)他的公理系統(tǒng)作出了一個(gè)算術(shù)解釋。他證明了：歐幾里得幾何中存在的任何矛盾，必定會(huì)表現(xiàn)為實(shí)數(shù)算術(shù)中的一個(gè)矛盾。無(wú)論是非歐幾何還是歐氏幾何，都被證明至少是與實(shí)數(shù)算術(shù)一樣地相容，而實(shí)數(shù)算術(shù)的相容性則是所有數(shù)學(xué)家都愿意接受的。畢竟從某個(gè)角度來(lái)說(shuō)，數(shù)學(xué)家還不愿意懷疑自身最最基礎(chǔ)的東西。
c. 獨(dú)立性，即如果從這組公理中除去任何一條公理，至少就會(huì)有某些定理不可能得到證明。從書(shū)中可以看出，公理表中的所有公理在證明過(guò)程中都是不可或缺的。
《幾何基礎(chǔ)》一書(shū)用準(zhǔn)確的語(yǔ)言，嚴(yán)格地?cái)⑹隽藲W氏幾何學(xué)地內(nèi)容，克服了歐氏幾何在邏輯上的缺陷。此書(shū)一出，數(shù)學(xué)界一度彌漫著極度樂(lè)觀的氛圍，數(shù)學(xué)家們夢(mèng)想著能夠?qū)⑺械臄?shù)學(xué)都進(jìn)行公理化，能用有限的公理推導(dǎo)出無(wú)限的（無(wú)論是否已知）數(shù)學(xué)。然而，這僅僅是一場(chǎng)美夢(mèng)而已。
6. 哥德?tīng)柕淖詈笠粨?/p>
希爾伯特在1900年《數(shù)學(xué)問(wèn)題》的演講中提出了自己關(guān)于公理化的希望：“在研究一門(mén)科學(xué)的基礎(chǔ)時(shí)，我們必須建立一套公理系統(tǒng)，它包含著對(duì)這門(mén)科學(xué)基本概念之間所存在的關(guān)系的確切而完備的描述。如此建立起來(lái)的公理同時(shí)也是這些基本概念的定義，并且，我們正在檢驗(yàn)其基礎(chǔ)的科學(xué)領(lǐng)域里的任何一個(gè)命題，除非它能夠從這些公理通過(guò)有限邏輯推理而得到。否則，就不能認(rèn)為是正確的?！?/p>
在希爾伯特提出“公理化綱領(lǐng)”之后，一時(shí)所有的數(shù)學(xué)家都非常樂(lè)觀，好像他們處于一個(gè)非常美好的時(shí)代，在他們的手中，所有的數(shù)學(xué)問(wèn)題都將通過(guò)公理化的方式解決，以至于后來(lái)的數(shù)學(xué)家之需要做一些細(xì)枝末節(jié)的添補(bǔ)工作。這是一個(gè)多么美麗的夢(mèng)想！
哥德?tīng)柕呐s讓所有的數(shù)學(xué)家都失望了，從某個(gè)意義上來(lái)說(shuō)，他也許是所有數(shù)學(xué)家都“討厭”的人，因?yàn)樗亩ɡ韽氐椎負(fù)羲榱怂袛?shù)學(xué)家的夢(mèng)想。然而不得不承認(rèn)的是，他比其他人更接近上帝。
哥德?tīng)柼岢鰞蓚€(gè)“不完備性”命題：在任何包含初等數(shù)論的相容的形式系統(tǒng)中，存在著不可判定命題，即命題本身和它的否定在該系統(tǒng)中都不可證，通常稱(chēng)之為哥德?tīng)柕谝欢ɡ怼４硕ɡ磉€有一條推論（哥德?tīng)柕诙ɡ恚阂粋€(gè)包含初等數(shù)論的形式系統(tǒng)的相容性，在該系統(tǒng)內(nèi)是不可證明的。即將所有數(shù)學(xué)都公理化的努力是徒勞的。從希爾伯特到哥德?tīng)?，?shù)學(xué)家們經(jīng)歷了一次從巔峰到谷底的驚心動(dòng)魄的旅行。
然而從辯證法的角度來(lái)思考，哥德?tīng)柕牟煌陚湫远ɡ淼某霈F(xiàn)幾乎是必然的。如果知識(shí)有了盡頭，那么生命的存在還有什么意義？老子曾道：“信言不美，美言不信?！保ā独献印わ@質(zhì)第八十一》），講的也是同樣的道理。
不妨用伊萊·馬奧爾在《無(wú)窮之旅》中的一句話作為本文的結(jié)尾。對(duì)于公理化的要求，伊萊·馬奧爾是如此說(shuō)明的：“數(shù)學(xué)家有責(zé)任把某個(gè)理論中公理數(shù)目減至最小程度（對(duì)于簡(jiǎn)潔美的訴求），消除所有的多余公理，只剩下那些絕對(duì)必要的。一個(gè)真正的公理在邏輯方面不依賴(lài)于其他所有公理。它既無(wú)法證明，也無(wú)法否定。”
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