Lagrange 四平方定理
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- 盧昌海 -
1. 命題
這個(gè)介紹數(shù)學(xué)命題證明的系列設(shè)立已有兩年多了， 卻只寫了兩篇文章， 本文是第三篇。 這個(gè)系列介紹的數(shù)學(xué)命題的證明都是完整的證明[注一]， 所涉及的數(shù)學(xué)命題都小有名氣 (通常掛著著名數(shù)學(xué)家的名字)。 介紹這些命題的證明除了因?yàn)檫@些命題及證明本身的簡(jiǎn)潔優(yōu)美外， 還有一個(gè)原因就是我往往會(huì)在其它文章中用到這些命題。 Euler 乘積公式 是一個(gè)例子 (它在 Riemann 猜想漫談 中被用到)， 本文所要介紹的 Lagrange 四平方定理也是如此， 我將在有關(guān) Hilbert 第十問題 的文章中用到這一定理。
Lagrange 四平方定理： 任何一個(gè)正整數(shù)都可以表示成不超過四個(gè)整數(shù)的平方之和。
Lagrange 四平方定理的明確表述最早出現(xiàn)在法國(guó)數(shù)學(xué)家 Claude Bachet (1581-1638) 對(duì) Diophantus 的 《算術(shù)》 所作的一段注釋中 (因此這一定理也被稱為 Bachet 猜想或 Bachet 定理)， 那是在 1621 年。 那一年 Bachet 將 《算術(shù)》 由希臘文翻譯成了拉丁文[注二]， 他在翻譯本的注釋中表述了這一命題， 并且提到 Diophantus 有可能知道這一命題。 在 Diophantus 本人的著作中， 其實(shí)并沒有直接對(duì)這一命題做任何敘述， 但由于 Bachet 的注釋， 許多人將 Diophantus 作為最早提出這一命題的數(shù)學(xué)家。
有關(guān)四平方定理的證明， 最早的消息來自于 Pierre Fermat (1601-1665)。 1636 年， Fermat 在給朋友 Marin Mersenne (1588-1648) 的信中聲稱自己證明了這一定理， 但他沒有公布證明的內(nèi)容。 Fermat 去世之后， Leonhard Euler (1707-1783) 曾經(jīng)試圖證明這一定理。 但功績(jī)卓著的 Euler 卻在證明這一小小命題時(shí)意外地碰了釘子。 從 1730 年至 1770 年， 在大約四十年的時(shí)間里 Euler 證明了許多與四平方定理有關(guān)的結(jié)果， 為后來這一定理的證明創(chuàng)造了條件， 但他本人卻很遺憾地未能率先證明這一定理[注三]。 1770 年， 法國(guó)數(shù)學(xué)家 Joseph Lagrange (1736-1813) 以 Euler 的一個(gè)結(jié)果為基礎(chǔ)， 率先給出了四平方定理的證明， 這一定理因此而被稱為 Lagrange 四平方定理。 本文所介紹的證明基本思路就來自于 Lagrange。 在 Lagrange 的證明出現(xiàn)兩年之后， Euler 終于完成了自己的證明， 那時(shí)侯這位偉大的數(shù)學(xué)家已經(jīng)雙目失明。
2. 引理
為了證明 Lagrange 四平方定理， 我們先來證明幾個(gè)引理：
引理 1 (Euler 四平方恒等式)： (a2+b2+c2+d2)(w2+x2+y2+z2) = (aw+bx+cy+dz)2 + (ax-bw-cz+dy)2 + (ay+bz-cw-dx)2 + (az-by+cx-dw)2， 其中 a, b, c, d, w, x, y, z 為任意整數(shù)。
證明： 把各個(gè)平方項(xiàng)展開計(jì)算即可。 Q.E.D.
這個(gè)引理就是 Euler 所證明的許多與 Lagrange 四平方定理有關(guān)的結(jié)果中的一個(gè)。 有的讀者可能會(huì)問， 象這樣一個(gè)連中學(xué)生都可以證明的命題也值得勞動(dòng) Euler 的大駕嗎？ 這樣的疑問大家在接觸數(shù)學(xué)史上的許多命題時(shí)都有可能會(huì)產(chǎn)生。 這里除了要明白 Newton 的那句名言 “如果我比別人看得更遠(yuǎn)， 那是因?yàn)槲艺驹诰奕说募缟稀?外， 還需要明白這樣一點(diǎn)： 那就是一個(gè)數(shù)學(xué)命題的證明容易并不意味著它的提出也容易。 一個(gè)中學(xué)生雖然可以證明 Euler 四平方恒等式， 但要想讓一個(gè)中學(xué)生獨(dú)立地提出這樣一個(gè)公式卻是千難萬難。 提出一個(gè)命題需要有 motivation， 而這種 motivation 往往要通過深入的數(shù)學(xué)研究或敏銳的數(shù)學(xué)直覺才會(huì)獲得。 Euler 四平方恒等式在 1843 年之后或許會(huì)比較容易被提出， 因?yàn)槟且荒?William Hamilton (1805-1865) 提出了四元數(shù) (quaternion)， 使 Euler 四平方恒等式獲得了一個(gè)漂亮的幾何意義， 那就是四元數(shù)乘積的模平方等于模平方的乘積。 但 Euler 在這之前很久就提出了這一恒等式[注四]。
引理 2： 如果一個(gè)偶數(shù) 2n 是兩個(gè)平方數(shù)之和， 那么 n 也是兩個(gè)平方數(shù)之和。
證明： 設(shè) 2n = a2+b2， 則 n = [(a-b)/2]2 + [(a+b)/2]2。 由于 a 與 b 要么都是偶數(shù)， 要么都是奇數(shù) (否則它們的平方和為奇數(shù))， 因此 (a-b)/2 與 (a+b)/2 都是整數(shù)。 這表明 n 是兩個(gè)平方數(shù)之和。 Q.E.D.
引理 3： 如果 p 是一個(gè)奇素?cái)?shù)， 則存在正整數(shù) k， 使得 kp = m2+n2+1 (其中 m， n 為整數(shù))。
證明： 考慮 (p+1)/2 個(gè)整數(shù) m2， 其中 m 為 0, 1, ..., (p-1)/2。 不難看到， 這些整數(shù)中的任意兩個(gè)之差 i2-j2 = (i+j)(i-j) 都不可能被 p 整除 (請(qǐng)讀者想一想這是為什么？)， 這表明這些整數(shù)除以 p 所得的余數(shù)各不相同。
類似地， (p+1)/2 個(gè)整數(shù) -n2-1， 其中 n 為 0, 1, ..., (p-1)/2， 也具有同樣的性質(zhì)， 即除以 p 所得的余數(shù)各不相同。
現(xiàn)在把這兩組數(shù)合在一起， 它們共有 p+1 個(gè)， 且各不相同 (為什么？)。 由于任何整數(shù)除以 p 所得的余數(shù)只能有 p 種可能性， 因此這兩組數(shù)中起碼有兩個(gè)數(shù)除以 p 所得的余數(shù)相同。 如上所述， 這兩個(gè)數(shù)必定分屬兩組， 這表明存在某個(gè) m2 與某個(gè) -n2-1， 它們的差可以被 p 整除， 即： m2+n2+1 = kp (k 顯然為正整數(shù))。 Q.E.D.
順便提一下， 引理三事實(shí)上對(duì)任何奇數(shù) p 都成立， 但我們的證明只適用于 p 為奇素?cái)?shù)的情形 (對(duì)于我們的目的來說， 這就足夠了)。 感興趣的讀者不妨思考一下， 我們的證明在什么地方有賴于 p 是素?cái)?shù)這一條件？
3. 證明
有了這幾個(gè)簡(jiǎn)單的引理， 現(xiàn)在我們可以來證明 Lagrange 四平方定理了。
Lagrange 四平方定理的證明： 由引理一可知， 任何可以表示成四個(gè)平方數(shù)之和的數(shù)的乘積依然可以表示成四個(gè)平方數(shù)之和。 由于任何正整數(shù)都可以表示成素?cái)?shù)的乘積， 因此只要證明任何素?cái)?shù)都可以表示成四個(gè)平方數(shù)之和， 也就證明了 Lagrange 四平方定理。 由于素?cái)?shù)中唯一的偶數(shù) 2 = 12+12+02+02 顯然可以表示成四個(gè)平方數(shù)之和， 因此只要證明任何奇素?cái)?shù)都可以表示成四個(gè)平方數(shù)之和即可。
由引理三可知， 對(duì)所有奇素?cái)?shù) p 都存在正整數(shù) k， 使得 kp = Σai2， 其中 ai 為整數(shù)， i=1, 2, 3, 4 (這其實(shí)比引理三更弱)。 倘若 k=1， 我們的證明就完成了。 倘若 k>1， 那么我們分兩種情形來分析：
倘若 k 是偶數(shù)， 則 ai 之中必定有 0, 2, 或者 4 個(gè)偶數(shù) (否則它們的平方和為奇數(shù))， 由引理二可知， (k/2)p 也可以表示成四個(gè)平方數(shù)之和 (請(qǐng)讀者想一想這是為什么？)。
倘若 k 是大于 1 的奇數(shù)， 則我們可以在區(qū)間 (-k/2, k/2) 內(nèi)求 ai 除以 k 之后的余數(shù) δi， 即 ai = k·ni + δi。 將這一表達(dá)式兩邊求平方， 對(duì) i 求和， 并注意到等式兩邊除 Σδi2 外都是 k 的倍數(shù)， 可知 Σδi2 必定也是 k 的倍數(shù)， 即： Σδi2 = nk。 由于 δi 都在區(qū)間 (-k/2, k/2) 內(nèi)， 因此 Σδi2 < k2， 與 Σδi2 = nk 相比較可知 n<k。
現(xiàn)在將引理一運(yùn)用于 (Σai2)(Σδi2) = kp·nk = nk2p。 由于等式的右邊除第一個(gè)平方項(xiàng)外， 其余三個(gè)平方項(xiàng)均為兩個(gè)形如 aiδj-ajδi (i≠j) 的表達(dá)式之和的平方。 由 ai = k·ni + δi 可知 aiδj-ajδi 是 k 的倍數(shù)， 因此這三個(gè)平方項(xiàng)均為 k2 的倍數(shù)。 由于等式的左邊 (Σai2)(Σδi2) = nk2p 是 k2 的倍數(shù)， 因此右邊剩下的那個(gè)平方項(xiàng) (Σaiδi)2 必定也是 k2 的倍數(shù)。 這樣， 我們就可以從等式右邊的四個(gè)平方項(xiàng)中約去共同的因子 k2， 所得的結(jié)果仍是四個(gè)整數(shù)的平方之和 (為什么？)。 另一方面， 等式左邊約去 k2 后為 np， 這表明 np 可以表示為四個(gè)整數(shù)的平方之和。 由于上節(jié)末我們證明了 n<k， 這表明當(dāng) k 是大于 1 的奇數(shù)時(shí)， 存在 n<k， 使得 np 也可以表示為四個(gè)整數(shù)的平方之和。
將這兩個(gè)分別針對(duì) k 為偶數(shù)與奇數(shù)的結(jié)果合在一起， 我們看到， 只要 k>1， 無論它是奇數(shù)還是偶數(shù)， 都可以找到一個(gè)比 k 更小的正整數(shù) n， 使得 np 可以表示為四個(gè)整數(shù)的平方之和。 由于 k 是有限的， 因此通過有限多次這樣的步驟我們必定可以使 n 變成 1， 從而證明了任何奇素?cái)?shù) p 都可以表示為四個(gè)整數(shù)的平方之和， 這就完成了 Lagrange 四平方定理的證明。 Q.E.D.
4. 拓展
細(xì)心的讀者也許會(huì)注意到 Lagrange 四平方定理只是說任何一個(gè)正整數(shù)都可以表示成不超過四個(gè)整數(shù)的平方之和。 原則上這個(gè)表述并不排除任何一個(gè)正整數(shù)都可以表示成不超過三個(gè)整數(shù)的平方和之類的可能性。 但這種可能性是可以很容易地被排除的， 因?yàn)橛幸恍┱麛?shù)， 比如 7 = 22+12+12+12， 不可以寫成少于四個(gè)整數(shù)的平方之和。 因此對(duì)于全體正整數(shù)而言， Lagrange 四平方定理中的 “四” 已經(jīng)是最佳結(jié)果， 是不可以縮小的[注五]。
Lagrange 四平方定理是一些更普遍的定理的特例， 其中最著名的一個(gè)是 Fermat 多邊形數(shù)定理， 另一個(gè)則是 Waring 問題， 我們分別簡(jiǎn)單提一下：
Fermat 多邊形數(shù)定理 (Polygonal number theorem)： 任何一個(gè)正整數(shù)都可以寫成不超過 n 個(gè) n-邊形數(shù)之和。
所謂 n-邊形數(shù)， 指的是可以排列成正 n-邊形的數(shù)， 比如三角形數(shù)是可以排列成正三角形的數(shù)， 即形如 1, 1+2, 1+2+3, ..., 的數(shù)； 四邊形數(shù)則是可以排列成正四邊形 (即正方形) 的數(shù)， 如 1, 4, 9, 16， 也就是平方數(shù) (因此四邊形數(shù)定理就是 Lagrange 四平方定理)。 這個(gè)定理顧名思義， 是由 Fermat 首先提出的， 時(shí)間是 1638 年。 Fermat 聲稱自己有關(guān)于這一定理的證明， 但和他的許多類似聲稱一樣， 人們從來沒有找到過他的 “證明”。 這個(gè)定理真正的證明最早是由 Augustin Cauchy (1789-1857) 于 1813 年給出的。
Waring 問題： 對(duì)所有正整數(shù) k， 存在一個(gè)相應(yīng)的正整數(shù) w(k)， 使得所有正整數(shù)都可以表示成不超過 w(k) 個(gè)正整數(shù)的 k 次方之和。
這個(gè)問題是 Edward Waring (1736-1798) 于 1770 年 (即 Lagrange 證明四平方定理的那一年) 提出的， 證明則是由 David Hilbert (1862-1943) 于 1909 年給出的。 對(duì)于 Waring 問題來說， 確定 w(k) 的最小可能值是一個(gè)很有意義的研究課題， 我們把這一最小可能值記為 g(k)。 Hilbert 的證明并沒有給出 g(k) 的具體數(shù)值， 許多其他數(shù)學(xué)家對(duì)此做了研究， 其結(jié)果是： g(1)=1； g(2)=4 (即 Lagrange 四平方定理)； g(3)=9， g(4)=19， g(5)=37 (這是中國(guó)數(shù)學(xué)家陳景潤(rùn)于 1964 年證明的)。 而對(duì)于 k>5， 人們有一個(gè)猜測(cè)： g(k) = floor((3/2)k) + 2k - 2， 其中 floor(x) 為不大于 x 的最大整數(shù)。 這個(gè)猜測(cè)可以被證明是成立的， 前提是有人能夠證明 (3/2)k 的分?jǐn)?shù)部分小于或等于 1-(3/4)k。 但 - 你相信嗎？ - 這個(gè)看似只有中學(xué)程度的不等式卻是一個(gè)至今尚未得到證明的數(shù)學(xué)命題！
注釋
參考文獻(xiàn)
二零零五年九月二十七日寫于紐約
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