我們?yōu)樯兑ù蟀汛蟀训臅r間，以及這么多的精力和腦力去反復(fù)深入而廣泛地研究古希臘梅內(nèi)克繆斯和阿波羅尼的“圓錐曲線幾何學(xué)”呢？它不是各國中學(xué)幾何學(xué)才學(xué)習(xí)和研究的一種平面幾何學(xué)嗎？是否真的值得我們這么大動干戈、甚至都不惜花費(fèi)只一次的寶貴生命時光去廣泛而深究地研究這些平面曲線嗎？為何這種“圓錐曲線幾何學(xué)”非常重要、甚至都必不可少呢？“圓錐曲線幾何學(xué)”這么古老的一門學(xué)科，這個數(shù)學(xué)幾何的資源歷經(jīng)了兩千多年，古今數(shù)學(xué)家不是早就把它們?nèi)慷奸_采盡了嗎？難道這種中學(xué)生水平的“圓錐曲線幾何學(xué)”的里面，當(dāng)真還深深地隱藏著古今數(shù)學(xué)家至今都不曾被揭露出來的一些重大秘密嗎？對于以上所有貌似非常合理的各種質(zhì)疑，至少在我們看來，全都是一些絲毫經(jīng)不起數(shù)學(xué)慎密拷問的問題。毋庸置疑，這種中學(xué)生水平的“圓錐曲線幾何學(xué)”課題，是屬于非常古老的幾何學(xué)課題之一，古今數(shù)學(xué)家已經(jīng)給出了浩如煙海的研究論著，無疑這一切都貌似窮盡了“圓錐曲線幾何學(xué)”的“全部內(nèi)容”。但是這一切，只要用數(shù)學(xué)幾何學(xué)美麗的眼睛仔細(xì)打量這兩千多年來的有關(guān)“圓錐曲線幾何學(xué)”的任何一本中外的專著或者課本，在幾何基本內(nèi)容上卻是大同小異，幾乎都沒有什么獨(dú)特之處，一本抄襲一本，一本克隆一本，全都是沒有幾分幾何含金量的山寨版。所以，不論何人，只要他們隨手任意地從中取出中外三、四本來認(rèn)真閱讀，就等于閱讀了無以數(shù)計的百萬、千萬本！而真正具有閱讀價值的“圓錐曲線幾何學(xué)”，卻寥寥無幾。其中，阿波羅尼所寫的“圓錐曲線幾何學(xué)”就是其中屈指可數(shù)之一。
“圓錐曲線幾何學(xué)”雖然非常古老而悠久無比，可是數(shù)學(xué)幾何學(xué)卻總是在向前不斷發(fā)展。尤其是到了19世紀(jì)和20世紀(jì)，已經(jīng)有了天翻地覆的巨大發(fā)展！20世紀(jì)歐美不少數(shù)學(xué)家不惜“殺雞用牛刀”，不惜“獅子搏兔亦用全力”，用“19世紀(jì)的近代幾何學(xué)”和“20世紀(jì)的現(xiàn)代幾何學(xué)”，對“圓錐曲線幾何學(xué)”進(jìn)行全面刷新，從中再次深深感悟阿波羅尼所寫的“圓錐曲線幾何學(xué)”的精妙絕倫、出神入化、獨(dú)具匠心、神工鬼斧之處。我們自然也不例外，站在“19世紀(jì)的近代幾何學(xué)”的凱雷-克萊因統(tǒng)一變換群的“仿射幾何學(xué)”和“射影幾何學(xué)”歷史高度，給“圓錐曲線幾何學(xué)”做出前所未有、史無前例的詮釋，并把它降級為“物理圓錐幾何學(xué)”，從而實現(xiàn)對現(xiàn)有“經(jīng)典物理學(xué)”的全面公理化的開拓性的創(chuàng)建工作。此外，我們并不滿足于這種超越當(dāng)前時代的飛躍，而是“百尺竿頭，更進(jìn)一步”地用“20世紀(jì)的現(xiàn)代幾何學(xué)”再次對“圓錐曲線幾何學(xué)”（即“靜態(tài)圓錐曲線幾何學(xué)”）進(jìn)行高度抽象化、深刻化、廣泛化延拓，不僅把它提升為“動態(tài)圓錐曲線幾何學(xué)”（即“圓錐曲線流形幾何學(xué)”），而且還把二者整合為彼此能夠相互對偶的一種幾何學(xué)——使得“圓錐函數(shù)幾何學(xué)”（即“靜態(tài)圓錐曲線幾何學(xué)”）和“圓錐泛函幾何學(xué)”（即“動態(tài)圓錐曲線幾何學(xué)”）彼此對偶。
我們所發(fā)現(xiàn)的這種“靜形”和“流形”的對偶關(guān)系，乃是破天荒的一種幾何學(xué)上從未有過的重大發(fā)現(xiàn)。更為重要的是，這種“靜形”和“流形”的對偶關(guān)系能夠直接被應(yīng)用和植入到“現(xiàn)代物理學(xué)”，“現(xiàn)代化學(xué)”，“現(xiàn)代經(jīng)濟(jì)學(xué)”，……，等一系列的工程技術(shù)領(lǐng)域和財經(jīng)領(lǐng)域內(nèi)，輕而易舉地發(fā)現(xiàn)N個新的諸多自然定律和經(jīng)濟(jì)規(guī)律。我們所發(fā)現(xiàn)和締造出的這種“20世紀(jì)的圓錐曲線幾何學(xué)”，乃是“靜態(tài)圓錐曲線幾何學(xué)”和“動態(tài)圓錐曲線幾何學(xué)”的統(tǒng)一稱謂，它不僅比“阿波羅尼圓錐曲線幾何學(xué)”涵蓋廣泛千萬倍，而且也比“阿波羅尼圓錐曲線幾何學(xué)”內(nèi)容深刻千萬倍。即使幾何臺階也要比“阿波羅尼圓錐曲線幾何學(xué)”高出至少三個階梯。這就是我們作為后知者與生俱來一種歷史優(yōu)勢和歷史高度，使得我們能夠居高臨下、從容不迫、輕而易舉地超越我們的偉大前輩，把“圓錐曲線幾何學(xué)”推向一種前所未有的高度、深度和廣度上來。作為后知者的我們就是這么幸運(yùn)，既不需要挖空心思去探索未知，也不需要絞盡腦汁去發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造，只需要認(rèn)真學(xué)習(xí)和掌握好前輩的已有知庫，就能實現(xiàn)雄心勃勃的超越我們前輩的愿望和理想。
作為后知者的我們，在這種古老的“圓錐曲線幾何學(xué)”課題上具體有什么樣的幸運(yùn)呢？比如，以中心在笛卡爾直角座標(biāo)系原點(diǎn)的標(biāo)準(zhǔn)橢圓方程: x^2/a^2+y^2/b^2=1 為例。世界各國的每一個中學(xué)畢業(yè)生都非常熟悉這個方程。但是，他們、甚至包括那些大學(xué)畢業(yè)生，可能卻未必能夠真正地透徹地理解這個標(biāo)準(zhǔn)橢圓方程。為何要這么說呢？不論是中學(xué)畢業(yè)生，還是大學(xué)畢業(yè)生，他們往往不正確地誤以為這個標(biāo)準(zhǔn)橢圓方程“很簡單”，完全沒有數(shù)學(xué)幾何學(xué)美麗的深刻眼力，發(fā)現(xiàn)這個標(biāo)準(zhǔn)橢圓方程其實所蘊(yùn)含著的“復(fù)雜性”和“困難性”。他們不懂得在任何一種座標(biāo)平面幾何學(xué)中：“一個數(shù)學(xué)方程公式能夠確定了一條曲線，但一條曲線卻永遠(yuǎn)不能用一個數(shù)學(xué)方程公式來確定”。
任何一個描述一條曲線的數(shù)學(xué)方程式，都是一種數(shù)學(xué)公式，而公式的含義，當(dāng)然表述的是一種普遍規(guī)律了，通常被稱作為數(shù)學(xué)幾何定理。不幸的是，現(xiàn)實中各國的中學(xué)生和大學(xué)生，常常都被他們所學(xué)習(xí)的幾何學(xué)課本，灌輸了一種先入為主的、并且還是根深蒂固的錯誤數(shù)學(xué)思想。沒有準(zhǔn)確、精確、正確地理順和認(rèn)清“幾何曲線”（幾何形）和“幾何方程”（方程式）之間的這種關(guān)系：“一個數(shù)學(xué)方程公式能夠確定了一條曲線，但一條曲線卻永遠(yuǎn)不能用一個數(shù)學(xué)方程公式來確定”。在實際的教學(xué)中，課本和他們的數(shù)學(xué)教師常常對學(xué)生反復(fù)強(qiáng)調(diào)這兩個條件，“凡是這條‘幾何曲線’上點(diǎn)的座標(biāo)，都滿足這個‘幾何方程’”——即充分條件。反之，“凡是滿足這個‘幾何方程’的點(diǎn)的座標(biāo)都在這條‘幾何曲線’上”——即必要條件。雖然這兩個條件本身并沒有任何錯誤，可是學(xué)生卻被他們的數(shù)學(xué)教師和他們的課本的這種反復(fù)說教和灌輸之后，往往會錯誤地認(rèn)為“幾何曲線”和“幾何方程”是一一對應(yīng)的關(guān)系。卻常常不知道，在座標(biāo)系不變（就是說直角座標(biāo)系始終是直角座標(biāo)；或者斜角座標(biāo)系始終是斜角不變的座標(biāo)系）的前提下，對于任何同一條“幾何曲線”而言，一般將有無數(shù)種不同的“幾何方程”，都能和它分別獨(dú)立地建立起這種一一對應(yīng)的關(guān)系。也不知道，對于任何同一條“幾何曲線”而言，一般都能選擇無數(shù)種不同的座標(biāo)系去描寫，從而有無數(shù)種不同的“幾何方程”，都能和它分別獨(dú)立地建立起這種一一對應(yīng)的關(guān)系。也不知道，對于任何同一條“幾何曲線”而言，一般都能選擇無數(shù)種不同“單一代數(shù)模型”的座標(biāo)系（比如，實數(shù)座標(biāo)系，矢量座標(biāo)系，張量座標(biāo)系，旋量座標(biāo)系，……，）去描寫，從而有無數(shù)種不同的“幾何方程”，都能和它分別獨(dú)立地建立起這種一一對應(yīng)的關(guān)系。甚至也能選擇各種“混合代數(shù)模型”的座標(biāo)系（比如，實數(shù)+虛數(shù)座標(biāo)系（復(fù)數(shù)座標(biāo)系），標(biāo)量+矢量座標(biāo)系（四元數(shù)座標(biāo)系），……，）去描寫，從而有無數(shù)種不同的“幾何方程”，都能和它分別獨(dú)立地建立起這種一一對應(yīng)的關(guān)系。
綜合上述可知，“一個數(shù)學(xué)方程公式能夠確定了一條曲線，但一條曲線卻永遠(yuǎn)不能用一個數(shù)學(xué)方程公式來確定”。對此，可以作一個形象、生動的比喻。“一條曲線”就好比是“一個人”一樣，而“一個數(shù)學(xué)方程公式”就好比是為這個人量身定做的“一套衣服”一般。這個人始終都是只有一個，而這個人擁有合身的衣服套裝卻有無數(shù)種。數(shù)學(xué)家把關(guān)于“一條曲線”的理論稱作為“幾何學(xué)”；而把關(guān)于“一個數(shù)學(xué)方程公式”的理論稱作是“代數(shù)學(xué)”?？赡苡胁簧俚耐瑢W(xué)會有這樣的疑惑：對于“同一個幾何形”，數(shù)學(xué)家為何要發(fā)明那么多非常不同的“代數(shù)模型”（比如，常見的有“歐多克斯實代數(shù)模型”，“亥維賽實矢量代數(shù)模型”，“凱雷實矩陣代數(shù)模型”，“黎曼實張量代數(shù)模型”，“復(fù)代數(shù)模型”，“哈密頓四元數(shù)模型”，“凱雷八元數(shù)模型”，“狄拉克十六元數(shù)模型”，……，“克利福德2^n次元數(shù)模型”，“復(fù)矢量代數(shù)模型”，“復(fù)矩陣代數(shù)模型”，“復(fù)張量代數(shù)模型”，“狄拉克旋量代數(shù)模型”，……，等等）去研究呢？這些無窮多的不同的“代數(shù)模型”不是都有數(shù)學(xué)家所說的那種“同構(gòu)”而彼此等價嗎？既然如此，為何不選擇其中的一個“代數(shù)模型”好好地研究“幾何模型”就足夠了，完全用不著發(fā)明這么多不相同的、甚至是無窮多種的“代數(shù)模型”?。孔鳛榇蠖鄶?shù)的一名學(xué)生，他們當(dāng)然不喜歡學(xué)習(xí)如此多的“代數(shù)模型”了。尤其是中外絕大多數(shù)的那些“民間數(shù)學(xué)家”（一般皆簡稱為“民數(shù)”）和“民間科學(xué)家”（一般皆簡稱為“民科”）莫不持同樣的疑惑和意見。他們不知道、也不懂得這正好凸顯了人類想要透徹地清楚地研究“幾何模型”的極其艱難性。從古希臘到今天，歷經(jīng)兩千多年的漫長歲月，雖然數(shù)學(xué)家和科學(xué)家為了研究“幾何模型”，已經(jīng)發(fā)明了無數(shù)種不同的“代數(shù)模型”，可是遠(yuǎn)遠(yuǎn)地依舊還不夠用呢！現(xiàn)有那些能夠?qū)Α皫缀文Ｐ汀绷炕摹按鷶?shù)模型”，絕大部分只能對“最簡單的”各種不同“雙側(cè)幾何形”作出精確的數(shù)學(xué)描述。對于稍稍復(fù)雜一點(diǎn)點(diǎn)的無窮多的“雙側(cè)幾何形”，以及最為簡單的無窮多種的“單側(cè)幾何形”，以及無窮多種的不同“扭結(jié)幾何形”。古今數(shù)學(xué)家和科學(xué)家至今都束手無策，只能被迫不得不采取純定性的代數(shù)描述，而無法用精確量化的代數(shù)方程式加以表達(dá)。這種令數(shù)學(xué)家和科學(xué)家極為尷尬的囧況的根本原因，就是數(shù)學(xué)家和科學(xué)家還沒有偉大的智慧發(fā)明出更好的、更強(qiáng)大的“代數(shù)模型”的緣故?。∫坏┧?，數(shù)學(xué)家和科學(xué)家發(fā)明了更新、更好、更威猛的新的“代數(shù)模型”，才能定性定量地精確描述現(xiàn)在還無法描述的各種艱深、但是更為常見的無窮多種的各類復(fù)雜“雙側(cè)幾何形”、“單側(cè)幾何形”和“扭結(jié)幾何形”。
全世界每個中學(xué)生都知道這個中心在笛卡爾直角座標(biāo)系原點(diǎn)的標(biāo)準(zhǔn)橢圓方程為: x^2/a^2+y^2/b^2=1。同時也知道中心在笛卡爾直角座標(biāo)系原點(diǎn)的標(biāo)準(zhǔn)橢圓方程為: x^2/r^2+y^2/r^2=1 或者為 x^2+y^2/=r^2 。為了便于比較橢圓和圓的這兩個標(biāo)準(zhǔn)方程式，我們可以把標(biāo)準(zhǔn)橢圓方程改寫為為: b^2·x^2/+a^2·y^2/=a^2·b^2 。
圓錐曲線
圓錐曲線第一級分類，即分為兩大類：
圓錐曲線={均勻圓錐曲線，非均勻圓錐曲線}
均勻圓錐曲線
（在一對相同的笛卡爾正交座標(biāo)系中）
非均勻圓錐曲線
（在一對不同的阿波羅尼斜交座標(biāo)系中）
均勻圓錐曲線第二級分類，即分為三大類：
均勻圓錐曲線=
{均勻橢圓，均勻拋物線，均勻雙曲線}
非均勻圓錐曲線第二級分類，即分為三大類：
非均勻圓錐曲線=
{非均勻橢圓，非均勻拋物線，非均勻雙曲線}
均勻橢圓
一對圓
均勻拋物線
一對平行線
均勻雙曲線
一對等邊雙曲線
非均勻橢圓
一對橢圓
非均勻拋物線
一對拋物線
非均勻雙曲線
一對雙曲線
均勻橢圓（簡稱圓）
非均勻橢圓（簡稱橢圓）
圓 方 程: x^2 + y^2 =r^2 。
橢圓方程：b^2·x^2 + a^2·y^2 = a^2·b^2 。
均勻橢圓和非均勻橢圓非常相似，都有一個唯一的中心?？墒牵叩牟顒e很大。而且均勻橢圓（簡稱圓）和非均勻橢圓（簡稱橢圓）的明顯不同是眾所周知的。柏拉圖時代十分崇尚這種半徑處處相等而非常均勻的“圓”，認(rèn)為這是一種最美的幾何圖形。與此同時，他們卻十分歧視那種半徑處處不相等而非常不均勻的“橢圓”，認(rèn)為這是對最美的圓的一種背叛和歪曲。在同一個歐幾里德平面上，如果用四個大小相等的圓做成的四輪車，可以平穩(wěn)地在上面前行，并能證明歐幾里德平面這種特有的平坦性。然而，如果用四個大小相等的橢圓做成的四輪車，它永遠(yuǎn)都無法平穩(wěn)地在上面前行，而是不斷上下顛簸，起伏不定。它不但不能證明歐幾里德平面原本的平坦性，反而還會把它歪曲為是一種凹凸不平的曲面——即“地不平”。換言之，在同一個歐幾里德絕對光滑的平面上，一個人乘坐在四個大小相等的圓做成的四輪車上筆直前行，不會感受到任何力的作用，心曠神怡。可是，一個人搭乘在四個大小相等的橢圓做成的四輪車上筆直前行，則會感受到不停地遭受多種力的作用，五臟六腑都會被顛簸得七上八下，極度不舒服。非常均勻的“圓”和非常不均勻的“橢圓”之間的差別如此巨大，如此鮮明，豈能將二者并列平行，同日而語呢？
“圓”，在古希臘科學(xué)文明中，除了被賦予藝術(shù)上最美屬性之外，還被引申為社會學(xué)上的“公平”，“公正”，“公義”，“平等”，“民主”，“自由”等諸多概念。在當(dāng)今各國中學(xué)的初中生所學(xué)習(xí)的歐幾里德幾何學(xué)的教科書中，貌似這種幾何學(xué)著重研究這三種圖形：“直線”，“三角形”和“圓”，以及這“三者之間的各種關(guān)系”。伽利略曾經(jīng)這么說過，自然界和它的所有奧秘（即神秘的各種規(guī)律），就是用“三角形”和“圓”這兩種幾何符號寫成的。
在一個歐幾里德平面上，能夠存在的均勻曲線，碰巧就只有“直線”和“圓”這兩種圖形。類似地，在一個伽利略平面上，能夠存在的均勻曲線，碰巧就只有“直線”和“均勻拋物線”（即“平行線”）這兩種圖形。類似地，在一個閔科夫斯基平面上，能夠存在的均勻曲線，碰巧就只有“直線”和“均勻雙曲線線”（即“等邊雙曲線”）這兩種圖形。在一個歐多克斯球平面上，能夠存在的均勻曲線，碰巧就只有“直線”或“圓”這一種圖形。類似地，在一個羅巴切夫斯基雙曲平面上，能夠存在的均勻曲線，碰巧就只有“直線”或“均勻雙曲線線”這一種圖形?！?，諸如此類，不再贅述其余例子了。
可是如何從數(shù)學(xué)幾何學(xué)上精確地展現(xiàn)“圓”和“橢圓”之間這種非常明顯十分巨大的差別呢？“橢圓”可以被看作是“圓”被地球重力所壓扁了的一種“圓”——即“扁圓”。還有一種“橢圓”與之非常不同，它可以被看作是“圓”受到了水平擠壓力的作用之后，變?yōu)橐环N“會站立”著的“圓”——即“長圓”。“扁圓”和“長圓”被稱作為一對相互共軛的“橢圓”。我們把“扁圓”稱作為“橫軸對稱的橢圓”；而把“長圓”稱作為“縱軸對稱的橢圓”。類似地，非均勻雙曲線（即閔科夫斯基橢圓）也有一對相互共軛的兩種不同的雙曲線（即“非均勻雙曲線”的簡稱）：“橫軸對稱的雙曲線”和“縱軸對稱的雙曲線”。類似地，非均勻拋物線（即伽利略橢圓）也有一對相互共軛的兩種不同的拋物線（即“非均勻拋物線”的簡稱）：“橫軸對稱的拋物線”和“縱軸對稱的拋物線”?！氨鈭A”又細(xì)分兩種：“逆時針扁圓”和“順時針扁圓”。類似地，“閔科夫斯基扁圓”（即“橫軸對稱的雙曲線”）也細(xì)分兩種：“逆時針閔科夫斯基扁圓”和“順時針閔科夫斯基扁圓”。類似地，“伽利略扁圓”（即“橫軸對稱的拋物線”）又細(xì)分兩種：“開口向右伽利略扁圓”和“開口向左伽利略扁圓”。同樣，“長圓”又細(xì)分兩種：“逆時針長圓”和“順時針長圓”。類似地，“閔科夫斯基長圓”（即“縱軸對稱的雙曲線”）也細(xì)分兩種：“逆時針閔科夫斯基長圓”和“順時針閔科夫斯基長圓”。類似地，“伽利略扁圓”（即“縱軸對稱的拋物線”）又細(xì)分兩種：“開口向上伽利略扁圓”和“開口向下伽利略扁圓”。
在以上三種不同的特殊非均勻圓錐曲線中，只有“橢圓”才能真正地實現(xiàn)物理學(xué)上的“旋轉(zhuǎn)”。對于“同一個橢圓”而言，這對相互共軛的兩個不同幾何屬性的橢圓，即扁圓和長圓在這種旋轉(zhuǎn)的過程中，不斷地相互轉(zhuǎn)換著。對于“閔科夫斯基橢圓”來說，這對相互共軛的兩個不同幾何屬性的“閔科夫斯基扁圓”和“閔科夫斯基長圓”，永遠(yuǎn)都決不允許彼此相互轉(zhuǎn)換。類似地，對于“伽利略橢圓”來說，這對相互共軛的兩個不同幾何屬性的“伽利略扁圓”和“伽利略長圓”，同樣也永遠(yuǎn)都決不允許彼此相互轉(zhuǎn)換。簡言之，“閔科夫斯基橢圓”和“伽利略橢圓”永遠(yuǎn)都不存在任何物理上的“轉(zhuǎn)動”！換言之，物理上的“轉(zhuǎn)動”是“黎曼橢圓”獨(dú)有的特權(quán)；物理上的“縮放”是“閔科夫斯基橢圓”獨(dú)有的特權(quán)；物理上的“切變”是“伽利略橢圓”獨(dú)有的特權(quán)。如果硬要非使用“轉(zhuǎn)動”這個詞匯不可，比如，“黎曼橢圓轉(zhuǎn)動”。那么也允許把“閔科夫斯基橢圓”的“縮放”稱作為“閔科夫斯基橢圓轉(zhuǎn)動”。類似地，也能夠把“伽利略橢圓”的“切變”稱作為“伽利略橢圓轉(zhuǎn)動”。
當(dāng)然，圍繞任何一個圓錐曲線，不是常常都有所謂的“空間上的各向同性”的說法嗎？不過，這種“各向同性”的“旋轉(zhuǎn)”，從來都不是什么物理上的“轉(zhuǎn)動”。而是物理上的一種不同相對方向去觀查和測量這個圓錐曲線。就像美術(shù)學(xué)院的學(xué)生，針對同一個石膏雕像，站在不同的角度（即站在不同的方向和位置上）去做寫生練習(xí)。至于這同一個石膏雕像本身而言，并沒有發(fā)生任何物理上的“轉(zhuǎn)動”?！袄杪鼨E圓”，“閔科夫斯基橢圓”，“伽利略橢圓”，它們都有這種“空間上的各向同性”的“旋轉(zhuǎn)”——即一種非物理上的“轉(zhuǎn)動”。此外，“黎曼橢圓”，“閔科夫斯基橢圓”，“伽利略橢圓”，它們還有那種“空間上的處處均勻性”的“平移”——即一種非物理上的“平移”。即沿著一條直線，或近或遠(yuǎn)地，站在一個固定不動的位置上來分別觀查和測量這三種不同的圓錐曲線。
在自然界中，“黎曼橢圓”是各種振動力的幾何模型，“閔科夫斯基橢圓”是各種波動力的幾何模型，“伽利略橢圓”是各種擴(kuò)散力的幾何模型。已知從古到今（從26個世紀(jì)以前的古希臘到現(xiàn)在的21世紀(jì)）的全部物理學(xué)，都是圍繞這三大“圓錐曲線的幾何模型”（即“靜態(tài)圓錐曲線的幾何模型”和“動態(tài)圓錐曲線的幾何模型”的統(tǒng)一稱謂）展開的。這并不說自然界就只有這三大“圓錐曲線的幾何模型”，而是說全人類發(fā)現(xiàn)在自然界中，至少處處都普遍地存在著由這三大“圓錐曲線的幾何模型”所精確描述的各種自然規(guī)律。“三大靜態(tài)圓錐曲線的幾何模型”被分別地稱作為“橢圓代數(shù)方程式”，“拋物代數(shù)方程式”和“雙曲代數(shù)方程式”（即“橢圓函數(shù)方程式”，“拋物函數(shù)方程式”和“雙曲函數(shù)方程式”）。“三大動態(tài)圓錐曲線的幾何模型”被分別地稱作為“橢圓微分方程式”，“拋物微分方程式”和“雙曲微分方程式”（即“橢圓泛函方程式”，“拋物泛函方程式”和“雙曲泛函方程式”）。不論是宏觀自然界，還是微觀自然界，數(shù)學(xué)家和科學(xué)家主要用這“三大圓錐曲線的幾何模型”準(zhǔn)確、精確、正確去描述它們的自然規(guī)律的。這就是我們?yōu)樯兑ù蟀汛蟀训臅r間，以及這么多的精力和腦力去反復(fù)深入而廣泛地研究“圓錐曲線幾何學(xué)”（即“圓錐曲線代數(shù)幾何學(xué)”和“圓錐曲線微分幾何學(xué)”的統(tǒng)稱）的根本原因哦。
圓錐曲線有什么統(tǒng)一的特征呢？圓錐曲線能用有什么樣的統(tǒng)一的幾何量加以分類呢？普適的那種圓錐曲線的“統(tǒng)一普遍定義”，究竟應(yīng)該如何超越各種不同的圓錐曲線的“多樣特殊定義”呢？這是科學(xué)文明的使用“連續(xù)量幾何學(xué)”才能準(zhǔn)確表述的“特殊性”和“普遍性”的一種關(guān)系。顯然，決不能用農(nóng)業(yè)文明的“離散文字幾何”去探索這種了“特殊性”和“普遍性”的關(guān)系。這是因為圓錐曲線的“特殊性”和“普遍性”的關(guān)系遠(yuǎn)遠(yuǎn)地超出了農(nóng)業(yè)文明的“文字符號體系”所能表達(dá)的最后極限。
首先我們要熟悉前輩數(shù)學(xué)家的具體細(xì)節(jié)的工作，而不是從零開始、盲目瞎撞亂碰。圓錐曲線的研究源遠(yuǎn)流長，古希臘學(xué)者的數(shù)學(xué)工作的精華，幸運(yùn)地在歐幾里德和阿波羅尼兩個人著作中流傳至今。阿波羅尼曾經(jīng)在亞歷山大城和歐幾里德弟子相處很久，所以他很熟悉歐幾里德在圓錐曲線上的工作。歐幾里德寫的傳世之作就是大名鼎鼎的“幾何原本”；而阿波羅尼的傳世之作則是同樣名震江湖的“圓錐曲線”。當(dāng)然，他們兩人的著書甚多，遺憾的是能夠幸運(yùn)地流傳到今天的只有這兩本了。古希臘一個著名的大數(shù)學(xué)家寫的數(shù)學(xué)著作和當(dāng)今一個職業(yè)數(shù)學(xué)工作者寫的數(shù)學(xué)課本有什么重大的深刻差別呢？這就是莊子所說的那種能夠展翅千里直沖九霄的“鴻鵠”和飛上枝頭變成偽鳳凰的“燕雀”（即“蓬間雀”）之間的那種差別。
阿波羅尼對前輩和同輩幾何學(xué)家的工作做了去粗取精、系統(tǒng)化和統(tǒng)一化的偉大工作，因此除了對已知成就集大成之外，還給出了史無前例的、獨(dú)具匠心的創(chuàng)見。從而成為數(shù)學(xué)史上一個高岸聳入云霄的豐碑——以致此后兩千多年以來所有的后來者，至少從幾何學(xué)上幾乎不再能夠?qū)@個專題有任何新的發(fā)言權(quán)或者新的發(fā)現(xiàn)了。所以，阿波羅尼在圓錐曲線上的獨(dú)具慧眼的天才工作。無疑可以被看成是“古希臘幾何學(xué)”上獨(dú)一無二的登峰造極之杰作！在20-21世紀(jì)世界各國的中學(xué)和大學(xué)數(shù)學(xué)系大一的幾何學(xué)課本講述的“圓錐曲線”，除了重新復(fù)制了笛卡爾直角座標(biāo)系的工作和伯努利極坐標(biāo)系的工作，以及復(fù)制了凱雷的行列式的判別工作之外，并沒有超出阿波羅尼的“圓錐曲線幾何學(xué)”。我們當(dāng)然不會像這些20-21世紀(jì)世界各國的這種“蓬間雀”一樣，滿足于繼續(xù)停滯在阿波羅尼的“圓錐曲線幾何學(xué)”的歷史高度上。非常不欣賞各國職業(yè)數(shù)學(xué)家的這種克隆復(fù)制行為，完全漠視了、或者說完全無視了19世紀(jì)末克萊因所開辟的這種承前啟后的、大大超越了古希臘幾何學(xué)的、統(tǒng)一了無數(shù)種幾何學(xué)的大統(tǒng)一射影幾何學(xué)的歷史新高度。
我們是在大統(tǒng)一的“凱雷-克萊因九種幾何學(xué)”中，去描述這種“普遍的統(tǒng)一圓錐曲線”和“各種特殊的圓錐曲線”。這顯然遠(yuǎn)比阿波羅尼只在一種“歐幾里德幾何學(xué)”中，去描述這種“普遍的統(tǒng)一圓錐曲線”和“各種特殊的圓錐曲線”，高瞻遠(yuǎn)矚、博大精深、氣勢磅礴。當(dāng)然輕而易舉地超越了阿波羅尼的“圓錐曲線幾何學(xué)”歷史高度！當(dāng)然，也輕而易舉地超越了20-21世紀(jì)世界各國的這些“蓬間雀”所編寫的中學(xué)和大學(xué)幾何學(xué)課本的最大高度了。這也凸顯出了數(shù)學(xué)幾何學(xué)固有的那種偉大屬性：數(shù)學(xué)的進(jìn)步總是增磚添瓦，把這座高聳入云的不朽大廈建筑得更高大、更宏偉、更氣派，而永遠(yuǎn)都不是推倒重建！這就是數(shù)學(xué)才特有的那種永遠(yuǎn)一往無前、永無革命的偉大歷史。
盡管我們總是不厭其煩地“特別強(qiáng)調(diào)”發(fā)展數(shù)學(xué)，務(wù)必要站在前人的基礎(chǔ)上來進(jìn)行發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造。然而，還必須要清楚地認(rèn)識到：數(shù)學(xué)幾何學(xué)的真實歷史，并不是每一次都是按照“先易后難”這種循序漸進(jìn)的“認(rèn)識邏輯”發(fā)展的。那種“柳暗花明又一村”的“先難后易”的發(fā)展，也是數(shù)學(xué)幾何學(xué)歷史發(fā)展中的一種常態(tài)。為何在數(shù)學(xué)幾何學(xué)歷史中經(jīng)常都會發(fā)生那種違背“先易后難”這種循序漸進(jìn)的發(fā)展模式呢？原來在很多時候，“先難”遠(yuǎn)比“先易”，不僅在認(rèn)識和理解上，還是在數(shù)學(xué)處理的技術(shù)難度上，反而更加容易。比如，遠(yuǎn)比古希臘人“歐幾里德幾何學(xué)”更為簡單的“伽利略幾何學(xué)”，需要等到兩千多年后的20世紀(jì)初，數(shù)學(xué)家才能有足夠的偉大智慧和更超級的天才去發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造它。“更簡單”，常常不但不意味著“更容易”；反而意味著“更困難”。相反，“更復(fù)雜”，常常不但不意味著“更困難”；反而意味著“更容易”。換言之，數(shù)學(xué)家發(fā)現(xiàn)和締造“更簡單的幾何學(xué)”常比發(fā)現(xiàn)和締造“更復(fù)雜的幾何學(xué)”，反而更需要大天才和大智慧！幸虧我們既不是那些做為先知的古希臘人，也不是20世紀(jì)初做為先知的老前輩，而是最為幸運(yùn)地做為后知的、出生最晚的當(dāng)代者，這使得我們能夠站在歷史的最后高度和歷史的最大高度，對過去以往所有的偉大數(shù)學(xué)家的偉大歷史工作可以最大自由地縱橫捭闔，指指點(diǎn)點(diǎn)，蜚長流短。
最令我們遺憾萬分和汗顏不止的是：兩千多年前阿波羅尼所發(fā)現(xiàn)和締造的“圓錐曲線幾何學(xué)”竟然比兩千多年后的20-21世紀(jì)世界很多國家里的中學(xué)和大學(xué)課本上所學(xué)到的那種“圓錐曲線幾何學(xué)”更加精準(zhǔn)偉大和更加光輝燦爛！不能不說這乃是“現(xiàn)代教育學(xué)”上一直非常尷尬的、一種具有智力污點(diǎn)的囧境！換言之，20-21世紀(jì)世界很多國家里的中學(xué)和大學(xué)課本的作者的水平，竟然遠(yuǎn)不敵兩千多年前阿波羅尼的水平，甚至水平下降很多倍，貽害了一代又一代無以數(shù)計的莘莘學(xué)子！鑒于“現(xiàn)代教育學(xué)”的這個令人不齒的真實現(xiàn)狀，我們不得不極為簡要地回首兩千多年前被看成是“古希臘幾何學(xué)”上獨(dú)一無二的、登峰造極之杰作的、阿波羅尼所發(fā)現(xiàn)和締造的這種“圓錐曲線幾何學(xué)”。
柏拉圖學(xué)院的學(xué)生梅內(nèi)克繆斯是古希臘中最早研究圓錐曲線的人，后來的歐幾里德和阿基米德都是在他的基礎(chǔ)上進(jìn)行研究的，也采用了梅內(nèi)克繆斯的工作，把圓錐一共分為三大類：直角圓錐和兩種斜圓錐（銳角圓錐和鈍角圓錐）。阿波羅尼則不然，他是第一個依據(jù)同一個圓錐（正交的或者斜交的）圓錐的截面來研究各種圓錐曲線的。他也是第一個發(fā)現(xiàn)“完整雙曲線”的人，即“雙曲線有兩支”的人。菲利克斯·克萊因就如同阿波羅尼一樣，是第一個發(fā)現(xiàn)了“完整歐幾里德平面”的人，即“歐幾里德平面有兩塊”的人。
如圖所示，阿波羅尼是如此來去敘述圓錐曲線的定義和性質(zhì)的。給定一個圓直徑BC，以及該圓所在平面外的一個點(diǎn)A。過A點(diǎn)且沿圓周移動的一根直線便生成一對錐面。直徑BC圓叫該圓錐的底。圓錐的軸（未畫出）若垂直于底，這就是正圓錐（直角圓錐），否則就是斜圓錐（銳角圓錐和鈍角圓錐）。設(shè)圓錐的一個截面與底平面相交于直線DE，該直線和底圓直徑BC相互垂直。于是，三角形ABC就是一個包含了圓錐軸的三角形，也因此被稱作為“圓錐軸三角形”。該三角形和“圓錐曲線”相交于兩點(diǎn)P，P`。PP`連接線是該“圓錐曲線”的一條直徑；Q點(diǎn)和Q`點(diǎn)的連接線是該“圓錐曲線”的一條弦，且和直線DE平行。因此，連線QQ`和連線PP`雖然相交于V點(diǎn)，但是未必和連線PP`垂直。阿波羅尼隨即證明了QQ`被PP`所平分，從而VQ=1/2QQ`。作AF平行PM；在“圓錐曲線”截面上作PL垂直PM。
對于橢圓和雙曲線，選取的L點(diǎn)必須滿足如下條件：
PL/PP`=BF·FC/AF^2。
對于拋物線，選取的L點(diǎn)必須滿足如下條件：
PL/PA=BC^2/BA·AC。
阿波羅尼又作出了一些輔助線，最終證明了：
對于橢圓和雙曲線，則有
QV^2=PV·VR
如圖所示，阿波羅尼是如此來去敘述圓錐曲線的定義和性質(zhì)的。給定一個圓直徑BC，以及該圓所在平面外的一個點(diǎn)A。過A點(diǎn)且沿圓周移動的一根直線便生成一對錐面。直徑BC圓叫該圓錐的底。圓錐的軸（未畫出）若垂直于底，這就是正圓錐（直角圓錐），否則就是斜圓錐（銳角圓錐和鈍角圓錐）。設(shè)圓錐的一個截面與底平面相交于直線DE，該直線和底圓直徑BC相互垂直。于是，三角形ABC就是一個包含了圓錐軸的三角形，也因此被稱作為“圓錐軸三角形”。該三角形和“圓錐曲線”相交于兩點(diǎn)P，P`。PP`連接線是該“圓錐曲線”的一條直徑；Q點(diǎn)和Q`點(diǎn)的連接線是該“圓錐曲線”的一條弦，且和直線DE平行。因此，連線QQ`和連線PP`雖然相交于V點(diǎn)，但是未必和連線PP`垂直。阿波羅尼隨即證明了QQ`被PP`所平分，從而VQ=1/2QQ`。作AF平行PM；在“圓錐曲線”截面上作PL垂直PM。
對于橢圓和雙曲線，選取的L點(diǎn)必須滿足如下條件：
PL/PP`=BF·FC/AF^2。
對于拋物線，選取的L點(diǎn)必須滿足如下條件：
PL/PA=BC^2/BA·AC。
阿波羅尼又作出了一些輔助線，最終證明了：
對于橢圓和雙曲線，則有
QV^2=PV·VR
