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第四講 趣味算式（二）

　　這一講介紹如何解“填數(shù)字”問題。這類問題和添運算符號不同，它已經(jīng)給出運算關系，而要求填寫出數(shù)字。解決填數(shù)字問題，也沒有一定法則，掌握這類問題的解法，首先要熟悉第三講提到的整數(shù)運算的有關基本知識，還要掌握一些解題技巧，例如要用到列舉法、篩選法、反證法等。解這類問題的關鍵，是找到解題的突破口。

例1 把1－9這九個數(shù)字，分別填入下面算式的□內，使每個等式都成立。

分析與解：因為1－9這九個數(shù)，每取三個數(shù)字試乘的情況，要比試加、試減的情況簡單，所以應從③式入手試填，試填發(fā)現(xiàn)有兩種情況：2×3＝6與2×4＝8符合題目要求。

　　因為1－9九個數(shù)中，有四個偶數(shù)和五個奇數(shù)，而兩個奇數(shù)或兩個偶數(shù)的和與差都是偶數(shù)，一奇一偶的積、差又都是奇數(shù)，這就決定了①、②兩式中，只能含有偶數(shù)個奇數(shù)，而③式中又不可能含3個奇數(shù)，所以③式只能是2×3＝6。

　　第二步，由剩余的六個數(shù)字組成①式，它們的可能情況是，1＋4＝5，1＋8＝9，1＋7＝8，4＋5＝9，經(jīng)試填發(fā)現(xiàn)，在1＋4＝5和1＋8＝9的條件下，無法組成②式，所以應舍去。

　　當1＋7＝8時，②式的組成是9－5＝4或9－4＝5，當4＋5＝9時，②式的組成是8－1＝7或8－7＝1，所以滿足題目要求的解有

例2 有一個算式，式中畫的“×”表示缺掉的數(shù)字，求除數(shù)的所有不同的質因數(shù)的和。（本題是北京市第一屆小學迎春杯數(shù)學競賽試題）

分析與解法1：為了便于分析，將算式中的部分待定數(shù)字用字母代替。

　　所以商數(shù)為989。

　　第一個數(shù)字只能是9，④式的第一個數(shù)字只能是8，所以b＝1，C＝2；

分析與解法2：本題也可以直接求得除數(shù)。

　　因為③式的三位數(shù)減去④式的三位數(shù)得三位數(shù)，可以判定8與除數(shù)的十位數(shù)字相乘沒有進位，所以b＝1，或b＝0，又因為很容易判定d＝9，所以b＝0是不可能的。

　　通過試乘，除數(shù)取113時，則113×8＝904，積的首位數(shù)字大于8，不符合要求，而除數(shù)取111時，則111×9＝999，不是四位數(shù)，也不符合要求，所以除數(shù)只能是112。

　　如果本題要求把所有缺掉的數(shù)字都補上，那也不難，因為求得除數(shù)和商數(shù)后，除法豎式就成為已知。

例3 下列乘法豎式中，不同的漢字表示不同的數(shù)字，相同的漢字表示相同的數(shù)字，請你用合適的數(shù)字代替漢字，使乘法豎式成立。

分析與解：顯然，本題應從先確定“大”與“山”所表示的數(shù)字入手。因為被乘數(shù)的最高位數(shù)字“大”與乘數(shù)“山”的積仍然是“山”，所以“大”表示1。

　　因為被乘數(shù)的個位數(shù)字“山”與乘數(shù)“山”的積的個位數(shù)字為1，所以只能是“山”表示9。

　　因為被乘數(shù)的百位數(shù)字“好”，與乘數(shù)9相乘時沒有進位，“好”又不能再表示1，所以“好”表示0。

　　因為被乘數(shù)的十位數(shù)字“河”與乘數(shù)9相乘，積的個位數(shù)字是0，而被乘數(shù)的個位數(shù)字9與乘數(shù)9相乘時，向十位進8，所以“河”表示8。

例4 下列加法豎式中，不同的字母代表不同的數(shù)字，相同的字母代表相同的數(shù)字，請你用合適的數(shù)字代替字母，使加法豎式成立。

　　因為Y＋N＋N＝Y，所以N＝5或N＝0，但N＝5時，加數(shù)的十位數(shù)字T＋E＋E的和就不可能得T，所以只能是N＝0，同時判定E＝5。

　　因為加數(shù)的百位數(shù)字相加，必須向千位進1或2，且千位還必須向萬位進1，所以表示0＝9，同時判定I＝1。

　　因為加數(shù)百位數(shù)字的和要向千位進2，所以它在22至28之間，可判定T＝7或T＝8。若T＝7，則R＝8，X＝3，這時，只剩數(shù)字2、4、6還沒有取用，它們要代替S、F、Y，但是S只能比F大1，所以出現(xiàn)矛盾，即T不能是7。

　　當T＝8時，則R＝6或R＝7，而R＝6時，X＝3，乃出現(xiàn)矛盾，所以只能取R＝7，這時，X＝4，所剩數(shù)字為2、3、6，取S＝3，F＝2，Y＝6，就全部完成數(shù)字代替字母的解題過程，題目給出的加法豎式是

　?。ū绢}是美國數(shù)學月刊上的一個數(shù)字趣題。其中三個加數(shù)與和，正好是英文的四個數(shù)詞40、10、10、60）

　　下列加法豎式，是一個和例4類似的數(shù)字趣題，其中三個加數(shù)與和，也正好是英文的四個數(shù)詞，它們是5、2、1、8，請同學們自己動手解這道題。

例5 下列算式中的O代表奇數(shù)，X代表偶數(shù)。請你用適當?shù)臄?shù)字代替O和X，使算式成立。

分析與解：從被乘數(shù)、乘數(shù)和部分積入手，因為被乘數(shù)OX X與乘數(shù)個位數(shù)字X相乘，部分積是一個四位數(shù)，并且它的個位數(shù)字是偶數(shù)。因為188×8＝1504，其千位數(shù)字是1；所以被乘數(shù)O××中的百位數(shù)字O要大于1；因為用O乘以乘數(shù)××的十位數(shù)字X得數(shù)不大于8，所以被乘數(shù)O××中的O只能是3，而乘數(shù)××中的十位數(shù)字×只能是2。在此條件下可以進行試乘，按要求被乘數(shù)3××乘以乘數(shù)的十位數(shù)字2，應該得×O×。從試乘中得知，被乘數(shù)3××只能取306，308，326，346，348，而這些數(shù)再乘以偶數(shù)4或6，都不能得到×O××，而乘以8時，只有其中的346、348可以得到×O××，但是由于346×28＝9688，不符合最后得積OO××的要求，所以本題只有唯一解

例6 下列的算式中，相同的漢字代表同一個數(shù)字，不同的漢字代表不同的數(shù)字，如果它們都成立。

　　那么，迎＋春＋杯＋數(shù)＋學＋賽＝？（1988年北京市迎春杯數(shù)學競賽試題）

分析與解：因為③中的乘數(shù)相同，所以試乘過程中的情況最少，經(jīng)試乘得88×88＝7744，所以，春＝8，迎＝7，賽＝4，再代入①得77×88＝6776，所以，杯＝6。

　　再分析②，被乘數(shù)是“數(shù)數(shù)”，而乘積的個位數(shù)字也是“數(shù)”，這就是說，除去8、7、4三個數(shù)，剩余的1、2、3、5、9中，只有5能滿足這個要求，所以，數(shù)＝5；而且“學”必須是奇數(shù)，從1、3、9三個奇數(shù)中試乘結果知，學＝9，即；55×99＝5445。所以

　　迎＋春＋杯＋數(shù)＋學＋賽＝7＋8＋6＋5＋9＋4＝39

例7 有人把中國古代趣詞中的名言佳句與“蟲食算”結合起來，制作了一些風格優(yōu)異的小品，下面就是其中的一例。

　　“歲歲”＜“年年”；而由兩個相同數(shù)字組成的兩位數(shù)是11，22，33，…，99，顯然“歲歲”不能是11，因為如果是11，乘積的個位數(shù)應該是“年”，這不符合題目要求。如果“歲歲”是33，因為“歲歲”＜“年年”，“年年”最小也應該是44，但是44×33＝1452，與①中積是三位數(shù)矛盾，而55×22＝1210，也與①中積是三位數(shù)矛盾，所以“年年”只能是33或44。取“年年”為33，則33×22＝726，仍不符合題目要求（想想為什么？），所以“年年”只能是44，故所求的兩道算式是：

　　44×22＝968

　　22÷44＝5÷10