一個仍未確定解決的重要謎題
比哥德巴赫猜想重要性大得多的謎題
據(jù)說一些數(shù)學家愿用靈魂換答案的謎題
Riemann Hypothesis (RH)
以盡量簡潔的陳述說明黎曼假設，共5部分：
黎曼假設的表述
問題源頭的初等問題
黎曼假設的提出
歷史進展
意義和對我們的影響
一、黎曼假設的表述：
ζ函數(shù)所有非平凡零點的實部都是1/2
（這個陳述看起來不太友好，然而無法更精簡了，這也是沒有廣泛流傳的原因）
這里有三個關鍵詞：ζ函數(shù)、零點、非平凡
（哦，對了，可能還要加上“實部”這個詞）
但是——但是一上來就解釋這三個詞，會不那么有趣，所以先記住這三個關鍵詞，進入第二部分，回頭再解釋這個表述。
二、問題源頭的初等問題
1. 素數(shù)(Prime number)、素數(shù)定理、高斯
黎曼假設看起來太遙遠，所以說要先來點簡單明了的，比如說素數(shù)。素數(shù)即質(zhì)數(shù)，我們認識質(zhì)數(shù)通常是在小學5年級課本，并且需要背誦前8個質(zhì)數(shù)：
2、3、5、7、11、13、17、19
當然，我們也可以把110以內(nèi)的質(zhì)數(shù)都列出來，并以適當布局排列，會很好記
2、3、5、7、11、13、17、19、
23、29、31、37、41、43、47、
53、59、61、67、71、73、79、
83、89、97、101、103、107、109
特別是中間兩行，注意到了么：尾數(shù)幾乎一致，且每10個自然數(shù)中的質(zhì)數(shù)個數(shù)很齊整。
質(zhì)數(shù)的重要性，學過小奧的都知道，就不再解釋了。如果不熟悉質(zhì)數(shù)也沒關系，高斯，這位數(shù)學王子，連小朋友都是熟悉的，當然，主要是那個速算1~100的和的故事。
然而在他稍大一點的時候，還有另一個故事，就是他從15歲開始，每天“休閑一刻鐘”的空閑，用來計算連續(xù)1000個自然數(shù)中有多少個質(zhì)數(shù)，差不多堅持了1000個1000（也就100萬）。
看起來沒什么了不起，嗯。
不過我們可以試著處理一個數(shù)字：
20291，才2萬多，這是他第21天就會遇到的1000個數(shù)字之一，那么這個數(shù)是不是質(zhì)數(shù)呢？——歡迎使用計算器O(∩_∩)O
實際上高斯計算了四五年，在19歲猜想了質(zhì)數(shù)在數(shù)字中出現(xiàn)的頻率：
在前N個自然數(shù)中，大約有N/lnN 個質(zhì)數(shù)
（其中l(wèi)nN是以e為底的對數(shù)運算）
這個結論后來被改進的更加精確：
前x個自然數(shù)中，質(zhì)數(shù)的個數(shù)約為Li(x)
（其中Li(x)是一個積分式）
這個結論叫做素數(shù)定理，簡稱PNT（能猜出是哪幾個單詞的縮寫么？）PNT可以通過枚舉來做一些驗證，但并不是個簡單易證的定理，至少直到高斯甚至直到黎曼去世的時候，素數(shù)定理還沒有公布于眾的任何證明。
2.兩個無窮級數(shù)，歐拉
先認識第一個級數(shù)：正整數(shù)的倒數(shù)和，
又稱調(diào)和級數(shù)：
我們要證明，S是趨于無窮大的……
等等，那個省略號的意思不就是無數(shù)個數(shù)，總和不就是無窮大么？
當然不是，試一下另一個無窮和：1/2+1/4+1/8+1/16+...就知道了，像這樣無限個數(shù)的和，結果不超過1。
S是趨于無窮大的，這個證明倒是特別簡單， 一個普通的六年級學生就能看懂：
即，把1/3和1/4都換成1/4
把1/5到1/8的數(shù)都換成1/8
把1/9到1/16的數(shù)都換成1/16
...... ......
容易發(fā)現(xiàn)，更換后每組數(shù)的結果都是1/2，顯然，無窮多個1/2的和是趨于無窮大的。既然調(diào)和級數(shù)S其實大于剛才那一堆1/2的和，所以調(diào)和級數(shù)S是趨于無窮大的！
第二個級數(shù)
即平方數(shù)的倒數(shù)和，也被稱為巴塞爾問題。
第26期學報已經(jīng)說過，在1735年，
28歲的歐拉算出了正確的結果：
這個結果本身已經(jīng)足夠令人驚訝了，因為無窮多個分數(shù)的和居然會與圓周率有關！
接下來的事可以讓我們認識一個真正的歐拉，一個數(shù)學上的計算狂人所能達到的境界——歐拉接下來又計算了所有自然數(shù)4次方的倒數(shù)和，然后繼續(xù)計算所有自然數(shù)6次方的倒數(shù)和：如此下去，一直計算到了26次方的倒數(shù)和......
等等，這兩個無窮和，對黎曼假設有什么意義？
很好，如果開始體會到一點數(shù)學的感覺，這時候就能好好回頭來看黎曼假設的陳述：
三、黎曼假設的提出
這個函數(shù)的正式的研究源于黎曼在1859年的一篇文章：《論小于一個給定值的素數(shù)的個數(shù)》?？吹竭@個標題，就能明白為什么要扯上質(zhì)數(shù)和PNT，因為看起來，它說的就是PNT的事情：
小于x的質(zhì)數(shù)的個數(shù)
那么現(xiàn)在正式解釋第一部分給出的三個關鍵詞：
ζ函數(shù)、零點、非平凡
（1）ζ函數(shù)：
其中自變量s是復數(shù)（即a+bi形式）
理解到為什么要聊上面的無窮級數(shù)么？在ζ函數(shù)里，當s=1和2時，就是剛才處理的兩個級數(shù)，歐拉還順便搞定了s=4、6、8、……、26。
然后就要簡單解釋一下復數(shù)。
引入“虛數(shù)單位”：i，其中i2=-1
那么復數(shù)s的表現(xiàn)形式就是：
s=a+bi
其中a、b都是實數(shù)，i是虛數(shù)單位，
a稱為復數(shù)s的實部，b稱為s的虛部。
黎曼假設中，自變量s位于指數(shù)位置。
對數(shù)學家而言，數(shù)字的存在不是基于“常識”，而是滿足什么樣的運算法則和具有何種特征。
對中學生而言，只需掌握復數(shù)的特征：
復數(shù)a+bi與平面上的點(a,b)對應
就和“實數(shù)與數(shù)軸上的點一一對應”一個意思。
再次重復一下黎曼假設：
ζ函數(shù)所有非平凡零點的實部都等于1/2
（2）零點
這是一個相對簡單的概念，零點不是點，通常指一個函數(shù)值為零時，所對應的自變量的取值。簡稱“零點不是點，而是一個數(shù)”。
比如y=x2-1，這個函數(shù)的零點就是讓y=0時對應的x的值。顯然，函數(shù)的零點是1和－1，注意并不是(1,0)和(-1,0)。
（3）“非平凡”又是什么意思
其實ζ函數(shù)有一些平凡的零點，就是所有的負偶數(shù)，就是-2、-4、-6、……這些都是平凡的零點。要注意的是，ζ函數(shù)是復變量函數(shù)，它的性質(zhì)和實數(shù)情況不一樣。s= - 2時，以實數(shù)函數(shù)理解，就變成了
12+22+32+……，
這個結果肯定不是零——詳細解釋復變量函數(shù)與實變量函數(shù)的不同，需要許多相關知識，暫不作展開。畢竟，平凡的零點不是我們關注的部分。
但是，可以通過一個和黎曼假設重要性接近的問題：費馬大定理，來說明什么是“平凡的”：
我們可以很快反駁，比如a=0時，只要b=c都可以，明明有無窮多組整數(shù)解。
然而這樣的解都是“平凡的”，因為a=0時，方程實際變成了：
這個方程的解并沒有什么實際價值，我們想要研究的，是“非平凡”的解的情況。
黎曼自己，對ζ函數(shù)的非平凡零點有三層論述，簡明表達是這樣的：
（1）顯然，0≤a≤1
（黎曼的“顯然成立”，讓后人證了幾十年）
（2）所有的零點都在直線x=1/2附近
（目前尚未有確切證明）
（3）所有非平凡零點的實部為1/2
這就是黎曼在那篇著名的，僅有8頁的論文中關于ζ函數(shù)的說明，第（3）條表述的那個猜測，就是黎曼假設。
（黎曼自己說，“在經(jīng)歷了一些徒勞的嘗試”之后，雖沒能證明，但我相信這一點）
黎曼在日常生活中是一個羞怯的人，他繼承了高斯、狄利克雷在哥廷根大學的位置（顯然是非常重要的位置），但在授課的時候也是同樣的不善言辭，并且很可惜不到40歲就因病去世(1866年)。
而他在數(shù)學上展現(xiàn)出的創(chuàng)造力和非凡的直覺、深刻的洞察力，都是頂級的。比如他所開創(chuàng)的黎曼幾何，就為半個世紀之后愛因斯坦的廣義相對論提供了整套的數(shù)學工具（當然，黎曼幾何的意義遠不止于此）。
四、歷史進展
說了這么多，黎曼假設到底能干什么？為什么會獲得廣泛的關注？并且，既然黎曼假設是重要的，那為什么數(shù)學界對任何聲稱“證明了黎曼假設”的消息表現(xiàn)的不是熱情，而是冷淡？
我們先來列舉一些進展：
1896年，阿達瑪和瓦萊·普桑獨立證明：
ζ函數(shù)的非平凡零點，對應的實部a<1，
于是就證明了PNT。
什么？只是把“≤”改成了“<”，就能解決素數(shù)定理？對，這還只是黎曼第一論述的力量。
于是也可以認識到：黎曼假設的確是重要的，但顯然是困難的，想要證明或證否，絕對不是隨便說說的事情，這也差不多是真正嘗試過的數(shù)學家對黎曼假設的態(tài)度：不相信有人現(xiàn)在就能解決黎曼假設。
2. 1914年，牛頓同學的校友，哈代和李特爾伍德，分別得出兩個與黎曼假設有關的成果：
哈代：
ζ函數(shù)有無窮多個非平凡零點的實部為1/2
李特爾伍德：
Li(x)和x以內(nèi)的質(zhì)數(shù)個數(shù)相比，雖然從已驗證的若干億個數(shù)來看，都是Li(x)大一些，但實際上，它們會交替領先無窮多次。
等等，哈代的結論是不是證明了黎曼假設？
當然不是，無窮多個零點不等于“所有”零點。
考慮下面的問題，有多少個整數(shù)m可以滿足為下面的等式？
m = 奇數(shù) + 偶數(shù)
有無窮多個m使等式成立，比如所有奇數(shù)。
然后就能意識到，無窮多個整數(shù)可以表示為奇數(shù)+偶數(shù)，與“所有整數(shù)都能表示為奇數(shù)+偶數(shù)形式”，顯然不是一回事。
另外，李特爾伍德和哈代等數(shù)學家還做了一件有意義的事情：計算了前138個非平凡的零點，毫無意外，這些零點的實部都是1/2。（手動計算零點是一件非常困難的事情，那些零點的虛部b都是無理數(shù)，所以給出的都是近似值，比如第一個零點的近似值是0.5+14.134725i）
3. 好了，既然已經(jīng)知道，哈代證明的“無窮多”和“所有”之間有巨大差距，那么，哈代證明出來的這些“無窮多個”零點，到底占所有零點的多大一部分？在當時的結論是，就像奇數(shù)相對實數(shù)的比例而言，可以認為是0%......
好在經(jīng)過幾代數(shù)學家的努力，到2012年，中國數(shù)學家馮紹繼，利用已有的方法證明：
至少41.28%的非平凡零點實部為1/2
這是目前最好的比例結果。
4. 那么具體的零點個數(shù)呢？
哈代之后，零點的計算停滯了很久（計算過于困難），直到1932年（黎曼去世66年后），一位名叫西格爾的數(shù)學家在翻閱黎曼的手稿時，發(fā)現(xiàn)黎曼雖然在論文中沒有寫，但實際上早已經(jīng)找到了比當前最好的方法更先進的計算方法，于是很快推進到了1000以上。這一發(fā)現(xiàn)讓數(shù)學界重新認識了黎曼和黎曼假設。
（一個重要原因還在于黎曼是用復變量函數(shù)——連續(xù)的——方法來解決數(shù)論中的質(zhì)數(shù)——離散的——數(shù)學問題，這兩個看似不相關的領域被黎曼緊密的聯(lián)系在一起）
之后，由于計算機的出現(xiàn)，計算速度大大提升，到2004年，計算出前1萬億，哦不，前10萬億個非平凡零點的實部a=1/2。
這是目前已知的最好的數(shù)值結果。
一般而言，我們對大一點的數(shù)并沒有什么的概念，就以10萬億為例，假如這些零點，平均每一個占用20字節(jié)（畢竟10萬億這個數(shù)本身就是14位的），還不算這個零點實際的整數(shù)部分長度和小數(shù)部分，那么10萬億個零點的存儲就需要200T也就是200,000G的存儲容量，這在2004年并不是一件輕松的事情，那時候主力硬盤還是160G。還好，實際上并不是真的需要具體算出每一個數(shù)，真正計算的是在不同范圍內(nèi)的幾百億個零點。
五、意義和對我們的影響
數(shù)學上的進展，從短期來看，對數(shù)學家以外的人來說大概“有個毛線的影響”。然而從長期來看，則始終有深刻的影響。說點關鍵的：
和錢有關
1900年，希爾伯特在數(shù)學家大會上提出了23個在他看來重要的數(shù)學問題（這些問題實際指明了20世紀數(shù)學發(fā)展的主要方向），黎曼假設是其中的第8個。
過了100年，其中相當一部分得到了解決，到了2000年，美國克雷數(shù)學研究所公布了“千禧年大獎難題”，共包含7個，其中黎曼假設又在其中。與100年前不同，希爾伯特只是認為那23個問題重要，并號召大家齊心協(xié)力攻克，只是個號召。但“千禧年大獎”，顧名思義，是有獎金的，每個問題的解決會對應有100萬美元的獎金。
考慮到數(shù)學界對最近證明事件的反應，大可以認為“我那100萬美元還是安全的”O(∩_∩)O
實際上，如果真能證明黎曼假設，獲得的獎金和榮譽遠超出100萬美元的價值，每個人都還有機會的：）
2. 與信息安全有關
由于我們的密碼使用和信息傳輸時的加密，都和質(zhì)數(shù)的性質(zhì)有關，所以黎曼假設的解決，很大可能會影響我們的密碼和信息安全。
不過誰知道呢，也許這樣就可以推進量子加密，這樣至少在信息被竊取時能發(fā)現(xiàn)盜取行為，進而產(chǎn)生警覺，嘿嘿。
3. 與個人信仰、世界觀有關
有人曾問希爾伯特如果500年后（也許是1000年）重返人間，想問的第一個問題是什么？希爾伯特說：
大概是問黎曼假設被解決了沒有
另外，真正推進了零點計算的數(shù)學家蒙哥馬利則說，如果魔鬼讓數(shù)學家用自己的靈魂交換一樣東西，那么很可能就是黎曼假設的解答。
蒙哥馬利是誰？
是他1972年在普林斯頓與物理學家戴森的一次會面，發(fā)現(xiàn)“非平凡零點的對關聯(lián)函數(shù)”與量子力學中隨機厄密矩陣的本征值分布看起來“完全一樣”，然后其他學者才根據(jù)這一特點大大改進了算法，用1年多時間，打敗了一個成千上萬計算機并行系統(tǒng)，把整個系統(tǒng)好幾年才完成的不到1萬億個零點，直接推進到了10萬億。
黎曼假設與量子力學的結合，不但顯示了算法對效率的影響，還顯示了跨學科交流的意義：
蘊藏在質(zhì)數(shù)中的未解奧秘，和微觀世界中的能級、光譜等分布之間，可能存著本質(zhì)的聯(lián)系。
而城市存在的最初意義，也是讓更多的人能有效的連接在一起，創(chuàng)造狩獵時代和農(nóng)耕時代無法比擬的價值、文化、科技。
而黎曼假設，是又一個暗示數(shù)學和其他科學在宇宙本源上緊密關系的證明。
畢竟，每個人每件事物的存在，從本質(zhì)上都遵循著基本的規(guī)律和自然的法則。
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