和新同學(xué)談?wù)劥髮W(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)
北大張順燕教授來我校作報(bào)告時(shí)，曾有同學(xué)問，在大學(xué)里應(yīng)當(dāng)怎樣學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)課，大學(xué)學(xué)習(xí)與中學(xué)有何不同，張先生因時(shí)間關(guān)系未能詳細(xì)回答。對(duì)于這些問題，我想談一些自己的體會(huì)，與同學(xué)們交流。
我是在1955年入北大數(shù)學(xué)力學(xué)系學(xué)習(xí)的。入學(xué)不久，我就發(fā)現(xiàn)同學(xué)們大體上可以分為兩類。一類同學(xué)早在中學(xué)時(shí)便偏愛數(shù)學(xué)，立下了成為數(shù)學(xué)家的志愿，甚至已經(jīng)經(jīng)過大量訓(xùn)練，例如，定期作《數(shù)學(xué)通報(bào)》上的題目。另一類同學(xué)則沒有這種思想準(zhǔn)備，他們進(jìn)入數(shù)學(xué)系大致有幾種原因：不妨一試，因?yàn)閿?shù)學(xué)在當(dāng)時(shí)算是好專業(yè)，北大的物理、數(shù)學(xué)、清華的電機(jī)，當(dāng)時(shí)都是全國名系；迫不得已，例如喜歡理工科而有色盲，大部分專業(yè)不錄取，只好到數(shù)學(xué)系；陰差陽錯(cuò)，例如因所報(bào)學(xué)?；?qū)I(yè)已滿而被分到數(shù)學(xué)系；曲線道路，想學(xué)了數(shù)學(xué)以后再去學(xué)別的，例如，我在北京工大工作時(shí)，校長朱兆雪先生就是先在法國學(xué)數(shù)學(xué)后又到比利時(shí)學(xué)建筑，終于成為著名建筑結(jié)構(gòu)學(xué)者的。我就屬于后一種。我在中學(xué)時(shí)比較喜愛文科，高考前咨詢時(shí)都是去的文科專業(yè)，報(bào)名前夕，由于受到同學(xué)的影響，覺得第一個(gè)五年計(jì)劃剛剛開始，學(xué)工科才有用武之地而改報(bào)清華電機(jī)系，因?yàn)轶w檢不合格而落榜，又經(jīng)再次體檢被分到北大數(shù)學(xué)系。但是，經(jīng)過五年學(xué)習(xí)和后來的工作實(shí)踐，我覺得自己已經(jīng)建立了對(duì)數(shù)學(xué)的感情，而數(shù)學(xué)也沒有影響我對(duì)其它方面的愛好，甚至對(duì)這些還有所幫助。
大學(xué)畢業(yè)后40年來，我除教學(xué)外主要從事數(shù)學(xué)應(yīng)用研究，我的工作主要是在地震預(yù)報(bào)、油氣勘探、遙感和生物醫(yī)學(xué)圖像處理以及環(huán)保等領(lǐng)域。但是，我充分認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的重要，也非常尊重那些從事基礎(chǔ)理論研究的同志。例如，有一次，石油地質(zhì)學(xué)者們提出了一個(gè)實(shí)際問題，涉及混沌和分叉，就是我的幾位搞基礎(chǔ)理論的同事幫助解決的；又如，我的老師王毓云先生，逝世前曾被國外同行稱為中國少數(shù)幾位通曉現(xiàn)代數(shù)理經(jīng)濟(jì)的學(xué)者之一，曾主持過黃淮海地區(qū)規(guī)劃等多個(gè)國家重點(diǎn)建設(shè)項(xiàng)目，他所用的數(shù)學(xué)也是非常深?yuàn)W的。因此，我認(rèn)為打好數(shù)學(xué)基礎(chǔ)有助于從事多方面工作。
有的同學(xué)說，分析、代數(shù)、幾何都不如敲計(jì)算機(jī)鍵盤有用，情況完全不是如此。我曾在計(jì)算機(jī)系工作十年，現(xiàn)在仍從事一些計(jì)算機(jī)類課程的教學(xué)，我對(duì)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)關(guān)系的看法有兩點(diǎn)：第一，“計(jì)算機(jī)科學(xué)正在遠(yuǎn)離它的母體數(shù)學(xué)而去”；第二，“數(shù)學(xué)基礎(chǔ)對(duì)從事計(jì)算機(jī)軟硬件及應(yīng)用系統(tǒng)的研究是十分重要的?！边@二者并不矛盾，例如，經(jīng)濟(jì)學(xué)當(dāng)然不是數(shù)學(xué)，但經(jīng)濟(jì)學(xué)家梁小民曾說：“在經(jīng)濟(jì)學(xué)中數(shù)學(xué)不是萬能的，但沒有數(shù)學(xué)是萬萬不能的。”并且引起了廣泛的贊同。順便說一句，我的以上第二點(diǎn)看法引自王選的《從事計(jì)算機(jī)研究的體會(huì)》系列論文的第一篇《數(shù)學(xué)基礎(chǔ)和跨領(lǐng)域研究是取得創(chuàng)新成果的重要因素》。我建議大家看看《王選文集》（北大出版社1997年出版），你們會(huì)感到有興趣和有收獲的。我以為，王選是當(dāng)前我國在計(jì)算機(jī)領(lǐng)域內(nèi)最有成就的學(xué)者和企業(yè)家之一：他的排版系統(tǒng)打敗了國內(nèi)外所有競爭者，直到現(xiàn)在還占領(lǐng)市場，別人誰能做到這點(diǎn)？對(duì)他的話，我們應(yīng)該充分考慮。
如果還有同學(xué)不相信我的話，我可以舉一個(gè)例子：有一道題目“在我院各班課程、課時(shí)、任課教師已知，學(xué)校分配給我系的教室也已知的條件下設(shè)計(jì)一個(gè)自動(dòng)排課表程序”，自我上計(jì)算機(jī)課以來，數(shù)學(xué)、計(jì)算機(jī)兩系同學(xué)，包括計(jì)算機(jī)水平最高的同學(xué)，沒有一個(gè)人解決過。其原因在于，解決這一問題只靠計(jì)算機(jī)編程能力是不行的，它從根本上說是一個(gè)算法問題即數(shù)學(xué)問題。我在北工大時(shí)，學(xué)校要編這類程序，教務(wù)處便把任務(wù)交給數(shù)學(xué)系。哪些同學(xué)感興趣，不妨試試解決這一問題，那時(shí)你可能會(huì)認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)的威力。
（補(bǔ)充：后來，終于有三位同學(xué)提出兩個(gè)方案，解決了這一難題。他們的研究成果發(fā)表在我校學(xué)報(bào)上）
下面，我想談一些關(guān)于學(xué)習(xí)方法的體會(huì)。
首先，要讀書。大學(xué)數(shù)學(xué)與中學(xué)數(shù)學(xué)的區(qū)別，不談目前中學(xué)教育中的各種問題，我覺得仍然是存在的。其中之一就是：在中學(xué)，會(huì)作題就基本上等于已經(jīng)學(xué)會(huì)了數(shù)學(xué)；在大學(xué)則不然，必須讀書，書上的每個(gè)定理都應(yīng)該能自己證明，書中的線索、脈絡(luò)，應(yīng)該很清楚，這才算是合格。還應(yīng)該多讀幾本書，彼此對(duì)照，看看同一個(gè)問題有哪些不同的解釋或相關(guān)的內(nèi)容。還可以看看老師們寫的關(guān)于學(xué)習(xí)的論文，例如邢富沖、胡先惠教授都寫過很好的論文。
其次，要作題。除作業(yè)外應(yīng)該多作一些題，才能達(dá)到熟練。例如，吉米多維奇的《數(shù)學(xué)分析習(xí)題集》就是學(xué)分析者必練的基本功。
第三，要培養(yǎng)自學(xué)能力。我在大學(xué)時(shí)，自習(xí)時(shí)大家都對(duì)照幾本書自己總結(jié)分析。辦討論班是一種很好的自學(xué)形式。我在一年級(jí)時(shí)就參加了一個(gè)討論班，大家讀一本較難的解析幾何，輪流報(bào)告。我的一位同學(xué)更為大膽，他在二年級(jí)時(shí)提出申請(qǐng)，要免修實(shí)變函數(shù)，平時(shí)不聽課，期末隨堂考試。我問他為什么免修最難的一門課，他說是為了考驗(yàn)和鍛煉自己的能力。這位同學(xué)后來成為我們年級(jí)最有成就的人才之一，他轉(zhuǎn)攻計(jì)算機(jī)，在可計(jì)算性方面發(fā)表的一篇論文曾經(jīng)在國際同行中引起轟動(dòng)，在閉環(huán)CAD/CAM方面的研究也達(dá)到了很高水平。
第四，要學(xué)會(huì)聽課。聽課效率與效果對(duì)學(xué)習(xí)影響很大，因?yàn)槔蠋煹闹v解往往可以起到畫龍點(diǎn)睛的作用。我在上課時(shí)曾經(jīng)做過一次試驗(yàn)：課后留下兩位同學(xué)，一位是女同學(xué)，聽課筆記記得極好；一位是男同學(xué)，不大記筆記而聽課專心。結(jié)果他們都能立刻清楚而正確地復(fù)述出我所講的內(nèi)容。顯然，他們?cè)谡n后復(fù)習(xí)時(shí)將會(huì)事半功倍。
第五，要作階段總結(jié)。有些同學(xué)平時(shí)不復(fù)習(xí)，到考試前再集中突擊，這是不對(duì)的。像分析、代數(shù)這樣的課，每一章、每一月都要作好總結(jié)。
第六，要彼此討論。討論不僅可以起交流作用，還可以培養(yǎng)表達(dá)和思辯能力。請(qǐng)看我的一位老同學(xué)的回憶錄：
誠然，快樂總不會(huì)是圓滿的，完全的，總免不了留下一些遺憾。在我的潔凈無瑕的試卷上，因?yàn)槟程帉憗G了一個(gè)1/3，而被老師用朱筆劃了一個(gè)叉。我同N談起此事，他說：“你別得意，讓我考你一下。”他要我推導(dǎo)距離空間的完備化。經(jīng)過一番思索，我用對(duì)角線法給出了一個(gè)優(yōu)美、簡潔、漂亮的證明。他無話可說了……
我被最后一道題卡住了。我百思不得其解,感到山窮水盡,心灰氣餒。忽然,閃電似的一個(gè)火花，柳暗花明,我差一點(diǎn)要跳起來。我激動(dòng)得了不得，真想擁抱一切。我奮筆疾書，一氣呵成從心靈中噴涌出來的奇情妙趣。我告訴N，這一次，他對(duì)我大加贊譽(yù)，十分賞識(shí)……
請(qǐng)看他這時(shí)是多么快樂！
第七，要有耐心和信心。不要急于詢問數(shù)學(xué)有什么用，數(shù)學(xué)給予你的是深刻，正如文學(xué)給予你的是超脫，這一切將體現(xiàn)在你的一生中。不要擔(dān)心自己總是學(xué)不好，學(xué)數(shù)學(xué)猶如學(xué)騎車或?qū)W滑冰，有一個(gè)從總是摔跟頭到突然再不摔倒的“頓悟”階段，要相信自己，耐心地等待這一時(shí)刻的到來。
最后，還要說一點(diǎn)：功夫在學(xué)外。必須切忌那種很容易彌漫在校園中的懶惰、放縱、輕佻、散漫的空氣與作風(fēng)。何偉老師曾經(jīng)感嘆：北大那么多教室總是擠滿了人，而我們那么少的教室，下午卻常?？罩?！沒有自尊、自愛、自重、自強(qiáng)精神的人、沒有跨入科學(xué)殿堂愿望的人，是不可能領(lǐng)悟數(shù)學(xué)的真諦，也不可能領(lǐng)悟任何一門科學(xué)的真諦的。在這一點(diǎn)上，我愿與同學(xué)們共勉。我也希望在我系同學(xué)中能形成一種以勤奮為榮，以懶惰散漫為恥的風(fēng)氣。
如果我還能回到高考時(shí)代，我將繼續(xù)選擇數(shù)學(xué)或中文作為學(xué)習(xí)方向。然而，這一切已經(jīng)不可能了。由于人所共知的種種原因，我們這一代人中沒有出現(xiàn)大師，我更是僅僅停留在數(shù)學(xué)的門口。我衷心希望，在同學(xué)們當(dāng)中，能出現(xiàn)一些謝絕浮躁，謝絕純功利，安下心來做一點(diǎn)大事業(yè)的人物。
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