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C++數(shù)值算法（第二版)

3.3 三次樣條插值

        給定一個(gè)列表顯示的函數(shù)

yi=y(xi),i=0,1,2,...,N-1。特別注意在xj和xj+1之間的一個(gè)特殊的區(qū)間。該區(qū)間的線性插值公式為

        (3.3.1)式和(3.3.2)式是拉格朗日插值公式(3.1.1)的特殊情況。

        因?yàn)樗?span style="font-family:'Times New Roman'">(分段)線性的，(3.3.1)式在每一區(qū)間內(nèi)的二階導(dǎo)數(shù)為零，在橫坐標(biāo)為xj處的二階導(dǎo)數(shù)不定義或無限。三次樣條插值的目的就是要得到一個(gè)內(nèi)插公式，不論在區(qū)間內(nèi)亦或其邊界上，其一階導(dǎo)數(shù)平滑，二階導(dǎo)數(shù)連續(xù)。

        做一個(gè)與事實(shí)相反的個(gè)假設(shè)，除yi的列表值之外，我們還有函數(shù)二階導(dǎo)數(shù)y"的列表值，即一系列的yi"值，則在每個(gè)區(qū)間內(nèi)，可以在(3.3.1)式的右邊加上一個(gè)三次多項(xiàng)式，其二階導(dǎo)數(shù)從左邊的yj"值線性變化到右邊的yj+1"值，這么做便得到了所需的連續(xù)二階導(dǎo)數(shù)。如果還將三次多項(xiàng)式構(gòu)造在xj和xj+1處為零，則不會(huì)破壞在終點(diǎn)xj和xj+1處與列表函數(shù)值yj和yj+1的一致性。

          進(jìn)行一些輔助計(jì)算便可知，僅有一種辦法才能進(jìn)行這種構(gòu)造，即用

        注意,(3.3.3)式和(3.3.4)式對(duì)自變量x的依賴，是完全通過A和B對(duì)x的線性依賴，以及C和D(通過A和B)對(duì)x的三次依賴而實(shí)現(xiàn)。

可以很容易地驗(yàn)證，y"事實(shí)上是該插值多項(xiàng)式的二階導(dǎo)數(shù)。使用ABCD的定義對(duì)x求(3.3.3)式的導(dǎo)數(shù)，計(jì)算dA/dx dB/dx dC/dx dD/dx,結(jié)果為一階導(dǎo)數(shù)

         因?yàn)?span style="font-family:'Times New Roman'">x=xj是A=1，x=x(i+1)時(shí)A=0，而B正相反，則(3.3.6)式表明y"恰為列表函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)。而且該二階導(dǎo)數(shù)在兩個(gè)區(qū)間(xj-1, xj)和(xj, xj+1)上是連續(xù)的。

現(xiàn)在唯一的問題是，假設(shè)yj"是已知的。而實(shí)際上并不知道。然而，仍不要求從(3.3.5)式算出的一階導(dǎo)數(shù)在兩個(gè)區(qū)間的邊界處是連續(xù)的。三次樣條的關(guān)鍵思想就在于要求這種連續(xù)性，并用它求得等式的二階導(dǎo)數(shù)yi"。

設(shè)(3.3.5)式在區(qū)間(xj-1, xj)上對(duì)x=xj求得的值，等于同一等式在區(qū)間(xj,x[j+1])上對(duì)x=xj求得的值，便可得到所求方程，是新整理得到(對(duì)j=1,......,N-2)

        這意味著有N-2個(gè)線性方程，但卻有N個(gè)未知數(shù)yi",i=0,......,N-1。因此，存在一個(gè)具有兩個(gè)參數(shù)的可能解集。為求得唯一解，需要給出兩個(gè)進(jìn)一步的條件，一般取x0和x[n-1]處的邊界條件。最常見的做法有：

        [1]設(shè)y[0"]和y[n-1]"之一或兩個(gè)都為零，得到所謂的自然三次樣條函數(shù)，其一個(gè)或兩個(gè)邊界的二次導(dǎo)數(shù)為零。

        [2]設(shè)y[n]"和y[n-1]"為(3.3.5)式計(jì)算得到的值，使得該插值函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)一個(gè)或兩個(gè)邊界處有特定的值。

        三次樣條插值特別實(shí)用的原因之一在于，有兩個(gè)附加邊界條件的方程組(3.3.7)，它不僅是線性的，而且是三對(duì)角的。每個(gè)yj"僅與其最鄰近的j+-1的值有關(guān)。因此，方程可以用三對(duì)角算法(參見2.4節(jié))在O(N)次運(yùn)算內(nèi)求解。該算法非常簡(jiǎn)明，很容易正確地構(gòu)造出樣條計(jì)算的程序。但是這使得程序不像(3.3.7)式的實(shí)現(xiàn)那樣完全透明，所以建議讀者將下面程序與 tridag程序(2.4節(jié))比較一上，仔細(xì)地研究。

        重要的是要記住，在處理數(shù)組xi和yi構(gòu)成的列表函數(shù)時(shí)，程序spline僅能調(diào)用一次。一旦調(diào)用過后，對(duì)任意的x，插值函數(shù)的值通過調(diào)用( 要多少次就調(diào)多少次)一個(gè)獨(dú)立的程序splint(spline interpolation的字頭縮寫)來得到。

Qt實(shí)現(xiàn)的Demo: