三角學(xué)是數(shù)學(xué)的一個(gè)分支，主要研究三角形，以及三角形中邊與角之間的關(guān)系。三角學(xué)定義了三角函數(shù)，可以描述三角形邊與角的關(guān)系，而且都是周期函數(shù)，可以用來(lái)描述周期性的現(xiàn)象。三角學(xué)在公元前三世紀(jì)時(shí)開(kāi)始發(fā)展，最早是幾何學(xué)的一個(gè)分支，廣泛的用在天文量測(cè)中，三角學(xué)也是測(cè)量學(xué)的基礎(chǔ)。 三角學(xué)的基礎(chǔ)是平面三角學(xué)，研究平面上的三角形中邊與角之間的關(guān)系，分為角的度量、三角函數(shù)與反三角函數(shù)、誘導(dǎo)公式、和與差的公式、倍角、半角公式、和差化積與積化和差公式、解三角形等內(nèi)容，可能會(huì)是單獨(dú)的一個(gè)科目或是在預(yù)科微積分教授，三角函數(shù)在純數(shù)學(xué)及應(yīng)用數(shù)學(xué)中的許多領(lǐng)域中出現(xiàn)，例如傅里葉分析及波函數(shù)等，是許多科技領(lǐng)域的基礎(chǔ)。 三角學(xué)也包括球面三角學(xué)，研究球面上，由大圓的弧所包圍成的球面三角形，位在曲率為正值常數(shù)的曲面上，是橢圓幾何的一部分，球面三角學(xué)是天文學(xué)及航海的基礎(chǔ)，也在測(cè)量學(xué)、制圖學(xué)、結(jié)晶學(xué)、儀器學(xué)等方面有廣泛的應(yīng)用。負(fù)曲率曲面上的三角學(xué)則是雙曲幾何中的一部分。
歷史
蘇美爾天文學(xué)家引入了角度測(cè)量，將一個(gè)圓分割為360度。他們和之后的巴比倫人都在研究相似三角形各邊之間的比例關(guān)系，并發(fā)現(xiàn)了其中一部分比例，但是并沒(méi)有將其發(fā)展為一套系統(tǒng)的方法。古代努比亞人也使用了類似的方法。古希臘人最早將三角學(xué)轉(zhuǎn)變成一套系統(tǒng)學(xué)科。
穆斯林天文學(xué)家巴塔尼引入了我們今天熟知的正弦、余弦、正切、余切等術(shù)語(yǔ)，并且提出了正切（稱為“陰影”，阿拉伯語(yǔ)：??）和余切的概念。
明代末年，由于歷法改革的需要，西學(xué)東漸中陸續(xù)引進(jìn)了幾何學(xué)、三角學(xué)等西方數(shù)學(xué)。這項(xiàng)工作仍在清朝繼續(xù)進(jìn)行，其中最重要的是由波蘭傳教士穆尼閣和薛鳳祚所介紹的對(duì)數(shù)方法。薛鳳祚所著《歷學(xué)會(huì)通》的數(shù)學(xué)部分主要是傳自穆尼閣的《比例對(duì)數(shù)表》（1653年）、《比例四線新表》和《三角算法》等各一卷。《比例對(duì)數(shù)表》和《比例四線新表》分別給出了1～10000的六位對(duì)數(shù)表和六位三角函數(shù)（正弦、余弦、正切、余切）對(duì)數(shù)表。書(shū)中把今天所說(shuō)的“對(duì)數(shù)”稱為“比例數(shù)”或“假數(shù)”，并簡(jiǎn)單解釋了把乘除運(yùn)算化為加減運(yùn)算的道理。這是對(duì)數(shù)方法在中國(guó)的首次介紹。對(duì)數(shù)是17世紀(jì)最重要的發(fā)現(xiàn)之一，它有效地簡(jiǎn)化了繁重的計(jì)算工作。在對(duì)數(shù)、解析幾何和微積分這三種當(dāng)時(shí)西方最重要的數(shù)學(xué)方法中，也只有對(duì)數(shù)比較及時(shí)地傳入了中國(guó)。《三角算法》所介紹的平面三角和球面三角知識(shí)，比《崇禎歷書(shū)》中有關(guān)三角學(xué)的內(nèi)容更豐富一些。如平面三角中包含有正弦定理、余弦定理、正切定理和半角定理等，且多是運(yùn)用三角函數(shù)的對(duì)數(shù)進(jìn)行計(jì)算。球面三角中增加半角公式、半弧公式、達(dá)朗貝爾公式和納皮爾公式等。
概述
在這個(gè)直角三角形當(dāng)中：sin A = a/c; cos A = b/c; tan A = a/b。
如果三角形的一個(gè)角為90度，而另一個(gè)角的度數(shù)已知，那么第三個(gè)角的度數(shù)也就固定下來(lái)了，這是因?yàn)槿魏我粋€(gè)三角形三個(gè)角的度數(shù)之和總是180度。這樣，兩個(gè)銳角的度數(shù)之和為90度：它們互為余角。這樣的三角形形狀已經(jīng)完全確定下來(lái)，它們是一組度數(shù)相同的相似三角形。在度數(shù)確定的情況下，每個(gè)邊之間的比例也就隨之確定，無(wú)論三角形大小。如果其中一個(gè)邊的長(zhǎng)度又為已知的話，那么其他兩條邊的長(zhǎng)度也就確定。這些比例以角A的三角函數(shù)形式表示出來(lái)，其中a、b、c分別帶指三角形中對(duì)應(yīng)三邊的長(zhǎng)度：
正弦函數(shù)（sin），定義為該角的對(duì)邊（opposite）與斜邊（hypotenuse）的比例。
余弦函數(shù)（cos），定義為該角的鄰邊（adjacent）與斜邊的比例。
正切函數(shù)（tan），定義為該角的對(duì)邊與鄰邊的比例。
其中，斜邊是指直角三角形中90度角所對(duì)的邊；它是該三角形中最長(zhǎng)的邊，也是角A的一個(gè)鄰邊。對(duì)邊是角A所對(duì)的一條邊。
這些函數(shù)的倒數(shù)分別被稱為余割（csc或cosec）、正割（sec）和余切（cot）：
它們的反三角函數(shù)分別為arcsine、arccosine和arctangent。這些函數(shù)之間存在的數(shù)學(xué)關(guān)系被稱為三角恒等式。
通過(guò)使用這些函數(shù)，可以回答有關(guān)任意三角形的所有問(wèn)題，只需使用正弦定理和余弦定理。在已知兩條邊長(zhǎng)以及它們夾角的度數(shù)，或是兩個(gè)角的度數(shù)以及一條邊長(zhǎng)，或是知道三邊長(zhǎng)度后，使用這些法則可以計(jì)算出其他角和邊。
定義的擴(kuò)展
圖1a – 使用單位圓對(duì)于角θ的正弦和余弦進(jìn)行定義。
上面的定義只是用于度數(shù)在0到90之間的角（0到π/2弧度）。使用單位圓，可以將它們擴(kuò)展到所有度數(shù)為正、負(fù)的角上（參見(jiàn)三角函數(shù)）。三角函數(shù)為周期函數(shù)，周期為360度（2π個(gè)弧度）。這意味著在這個(gè)區(qū)間內(nèi)，它們的值會(huì)反復(fù)出現(xiàn)。正切和余切函數(shù)周期較短，為180度（π個(gè)弧度）。
三角函數(shù)還可以使用非上述集合定義來(lái)描述，如使用微積分和無(wú)窮級(jí)數(shù)。采取這種定義，三角函數(shù)可以擴(kuò)展到復(fù)數(shù)。其中，復(fù)數(shù)指數(shù)函數(shù)十分有用。
參見(jiàn)歐拉公式和棣莫弗公式。
使用單位圓繪制 y = sin(x) 的過(guò)程。
使用單位圓繪制 y = tan(x) 的過(guò)程。
使用單位圓繪制 y = csc(x) 的過(guò)程。
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