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麥克斯韋、愛因斯坦、費(fèi)米、陳省身……這些偉大的名字似乎已離我們漸漸遠(yuǎn)去。不過，在大師楊振寧的演講中，這些名字，以及他自己的治學(xué)生涯，構(gòu)成了20世紀(jì)數(shù)學(xué)與物理學(xué)在糾纏、分合中不斷發(fā)展的傳奇。
撰文 楊振寧
在中國的傳統(tǒng)里大家講“書畫同源”，就是說書法跟繪畫是從一個源頭來的；那么我們也可以說，數(shù)學(xué)跟物理歷史上也是同源的。比如說微積分，當(dāng)然大家知道是數(shù)學(xué)里頭一個關(guān)鍵性的基本發(fā)展，它是從牛頓在萬有引力的研究里頭發(fā)展出來的。事實(shí)上，牛頓在研究萬有引力定律的時(shí)候，中間發(fā)生了一個數(shù)學(xué)問題，他為解決這個數(shù)學(xué)問題，花了不止十年的功夫。而解決的方法，就是后來的微積分。
數(shù)學(xué)分析（mathematical analysis），跟動力學(xué)（dynamics），也是一起發(fā)展的：在牛頓的工作以后，數(shù)學(xué)家跟物理學(xué)家要研究行星、研究衛(wèi)星（比如說月亮）、研究潮汐的規(guī)律的時(shí)候，把牛頓所發(fā)展的微積分跟萬有引力定律再發(fā)展出來。一些大數(shù)學(xué)家，像拉普拉斯（Pierre-Simon Laplace）和拉格朗日（Joseph-Louis Lagrange），發(fā)展了數(shù)學(xué)分析和動力學(xué)，所以這兩個學(xué)科也是一起成長的。
可是19世紀(jì)末以來，數(shù)學(xué)變得越來越抽象。1961年有一個有名的美國數(shù)學(xué)家，叫做馬歇爾·斯通（Marshall Stone）。我在芝加哥大學(xué)做研究生的時(shí)候，他是芝加哥大學(xué)數(shù)學(xué)系的主任，他把芝加哥大學(xué)數(shù)學(xué)系的地位給大大地提高了。所以現(xiàn)在芝加哥大學(xué)的人說，那個時(shí)候，上世紀(jì)50年代、60年代初在芝加哥是馬歇爾·斯通時(shí)代。他在1961年發(fā)表了一篇半通俗的文章，其中講了這么幾句話：“自1900年起數(shù)學(xué)跟我們對于數(shù)學(xué)的一些觀念，出現(xiàn)了非常重要的變化（他所謂出現(xiàn)了非常重要的變化，就是越來越抽象），其中最富革命性的發(fā)展是原來數(shù)學(xué)完全不涉及物理世界?！痹偾宄稽c(diǎn)說（這還是他的話），“數(shù)學(xué)與物理世界完全沒有關(guān)聯(lián)。”他講的這個話確實(shí)是當(dāng)時(shí)數(shù)學(xué)發(fā)展的整個趨勢。當(dāng)時(shí)數(shù)學(xué)發(fā)展就是要研究一些數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)之間互相的、非常美的、非常妙的關(guān)系，這是當(dāng)時(shí)數(shù)學(xué)思想的主流。所以在20世紀(jì)的中葉，數(shù)學(xué)跟物理是完全分家了。
這個半世紀(jì)以前的情形，與今天已經(jīng)大大地不一樣了。我要跟大家談的，就是這個分開的關(guān)系怎么又合了起來。要談這件事情我們要回到麥克斯韋（James Clerk Maxwell）。麥克斯韋是19世紀(jì)最偉大的理論物理學(xué)家。他在19世紀(jì)的中葉寫下了有名的麥克斯韋方程式。
他把以前關(guān)于電與磁的四個實(shí)驗(yàn)定律寫成了四個數(shù)學(xué)方程式（下圖）。這些方程式是今天電的時(shí)代，無線電時(shí)代與網(wǎng)絡(luò)通訊時(shí)代的基礎(chǔ)。沒有這些方程式，人類今天的生活不可能是今天的樣子。
△ 麥克斯韋方程式
1915年到1916年，愛因斯坦發(fā)表了廣義相對論，把引力理論變成一個幾何化的理論。文章發(fā)表了以后，他又寫出文章，說另外還有一種力量，即電磁力（electromagnetism），也必須要幾何化。
一兩年以后，有一個數(shù)學(xué)家叫做赫爾曼·魏爾（Hermann Weyl），響應(yīng)了愛因斯坦這個號召。魏爾大家公認(rèn)，是20世紀(jì)最偉大的幾個數(shù)學(xué)家之一，他的工作領(lǐng)域是純粹數(shù)學(xué)，是非常抽象的?？墒撬竽懱岢鰜硪粋€關(guān)于電磁學(xué)的理論。
我于1949年到普林斯頓高等研究院做博士后，那個時(shí)候他是高等研究院的一個教授，所以我見過他多次?？墒悄莻€時(shí)候我所發(fā)生興趣的、我同輩的物理學(xué)家們所發(fā)生興趣的領(lǐng)域，都跟當(dāng)時(shí)赫爾曼·魏爾發(fā)生興趣的數(shù)學(xué)沒有關(guān)系，所以我們跟他只是在雞尾酒會上有一些交談。在我的記憶之中，我從來沒有和他談過一些學(xué)術(shù)上的問題。
在1918年、1919年的時(shí)候，魏爾發(fā)表了幾篇文章，他認(rèn)為他想出來了一個辦法能夠把電磁學(xué)幾何化。他先討論平行移動。這是愛因斯坦的幾何中一個重要觀念。平行移動是什么意思呢？
假如我在平面上畫一個圈，從A這一點(diǎn)走回來。在A這一點(diǎn)上我畫一個向量（一個箭頭），然后當(dāng)我走的時(shí)候，盡量使得那個向量平行于自己，這樣走回來，當(dāng)然它還是在原來的方向。可是這只是因?yàn)槲沂窃谄矫嫔?。假如我是在一個曲面上，比如說在一個球面上畫一個圈，從一個原點(diǎn)A出發(fā)，在那個地方放一個向量，然后盡量使得這個向量在移動的時(shí)候跟自己平行，那么你可以想象，轉(zhuǎn)了一圈回來以后，向量就不一定跟原來的方向一樣了。所以在一個曲面上，經(jīng)過平行移動的向量未必回到它原來的方向。
于是魏爾問，“Warum nicht auch seine Lnge?”（德語：為什么長度不能也這樣？）假如是這樣，“一個向量的長短為什么不也可以改變？”也就是說，如果讓向量的長短也在移動中繼續(xù)不斷地改，那么回到原來的A點(diǎn)，既然向量的方向可以不一樣了，為什么它的長短不可以也不一樣了？這是他的關(guān)鍵想法。為了貫徹此想法他，說在下圖中，自A到B，一路上尺的長短都在繼續(xù)改，改的因子如圖上面所示，他給此因子起了一個很長的名字，翻譯出來應(yīng)是“比例因子”。他說此因子中的φμ應(yīng)為電磁勢eAμ。然后他說雖然移動一圈回來有些量改了，但是仍有一些不改的量，這些不改的量才是真正電磁現(xiàn)象，這樣他就給了電磁現(xiàn)象一個幾何意義。
魏爾把他的理論叫做Masstab Invarianz（尺度不變）理論。這個名詞后來被翻譯成Gauge Invariance（規(guī)范不變）。
他把他的文章投到德國普魯士科學(xué)院（Prussian Academy）去發(fā)表。普魯士科學(xué)院請愛因斯坦審稿。愛因斯坦一針見血地指出一個大問題。他說我在A放一樣長的兩個尺，一個尺從一個路徑走到B，另外一個尺從另外一個路徑走到B，根據(jù)魏爾的講法，到了B的地方，這兩個尺就不一定一樣長了。那么本來是標(biāo)準(zhǔn)尺，后來哪個算是標(biāo)準(zhǔn)尺呢？沒法做標(biāo)準(zhǔn)尺，就不能做任何物理實(shí)驗(yàn)，整個物理學(xué)就要垮臺。這真是一針見血的批評。
非常幸運(yùn)的是，編者們依然把魏爾的文章發(fā)表了，后面加了愛因斯坦的后記，提出他的批評。然后又請魏爾寫了一個后后記放在最后面。在這后后記里頭魏爾怎么講法呢？后后記很短，只是一段，說愛因斯坦所講的意思跟他講的不一樣?？墒撬麤]講清到底是怎么不一樣法。他以后又寫了好多文章，都是哲學(xué)討論，沒有公式。顯然，他對于他的想法仍然熱衷，可是他始終不能夠響應(yīng)愛因斯坦的反對。
6年以后，量子力學(xué)的發(fā)展把這個問題解決了。量子力學(xué)跟剛才講的發(fā)展，本來是沒有關(guān)系的。量子力學(xué)是人類歷史上一個大革命，發(fā)展以后，發(fā)現(xiàn)基本物理里頭要用到
量子力學(xué)發(fā)展于1925年~1926年。一兩年以后，弗拉基米拉·福克（Vladimir Fock）在前蘇聯(lián)，弗里茨·倫敦（Fritz London）在德國，分別指出魏爾當(dāng)初那個很長名字的因子中，得加一個i上去。
加了一個i以后，本來是一支尺的長短變化，現(xiàn)在不是長短變化，而是相位變化，所以魏爾的因子就變成了phase因子（相位因子）。加了i以后，魏爾的想法與電磁學(xué)完全符合，就變成1929年以來大家完全同意的理論。當(dāng)然有了i，Gauge Theory（規(guī)范理論）其實(shí)應(yīng)該改為新名：Phase Theory（相位理論），規(guī)范不變理論也應(yīng)改為新名：相位不變理論，可是因?yàn)闅v史關(guān)系，大家今天都仍然沿用舊名。
長短變化改為相位因子變化以后，愛因斯坦的反對理由也就不存在了。
1929年以后，大家同意以規(guī)范理論的觀點(diǎn)來看電磁現(xiàn)象是很漂亮的數(shù)學(xué)觀點(diǎn)，可是并沒有引出任何新物理結(jié)果。
1946年~1948年我是美國芝加哥大學(xué)的研究生，對魏爾的規(guī)范不變理論之美妙十分欣賞。我嘗試把它推廣，把電磁勢Aμ推廣為2x2的方陣Bμ。這個想法引出頭幾步的計(jì)算，很成功，可是推廣到電磁場Fμν時(shí)卻導(dǎo)出了冗長的丑陋的公式，使得我不得不把此想法擱置下來。
以后幾年許多新的基本粒子被發(fā)現(xiàn)，它們之間的相互作用成了熱門題目。我想規(guī)范不變性也許是一個普遍的相互作用原則，所以又回到上面提到的推廣魏爾的規(guī)范不變理論來。這次遇到了同樣的困難，同樣于嘗試以后只得再放棄。如此每一兩年重復(fù)一次，卻都沒有進(jìn)展。
1953年~1954年我在美國布魯克黑文國家實(shí)驗(yàn)室（Brookhaven National Laboratory）訪問一年，和一位年輕的物理學(xué)家羅伯特·米爾斯（Robert Mills）共享一個辦公室。我們一塊討論此問題。當(dāng)然又遇到了同樣的困難。不過這次我們沒有放棄，而嘗試將推廣電磁場Fμν時(shí)的公式稍微修改一下。這個想法果然靈，數(shù)天以后，用了下面的公式，所有冗長的計(jì)算都自然化簡了，得到了一個極美的、極簡單的理論！這就是現(xiàn)在被稱為“非阿貝爾規(guī)范理論”的雛形。
△規(guī)范理論中的一個公式
我們的理論于1954年發(fā)表，可是它不能被當(dāng)時(shí)關(guān)于新粒子的實(shí)驗(yàn)結(jié)果證實(shí)。要等到十多年以后，通過好多人的工作，引進(jìn)來了另一個新的觀念，叫做“對稱破缺”。把對稱破缺跟非阿貝爾規(guī)范理論合在一起，才跟實(shí)驗(yàn)對上口。以后幾十年，上千個實(shí)驗(yàn)，證實(shí)這個理論跟實(shí)驗(yàn)完全符合。它今天被稱為標(biāo)準(zhǔn)模型，是基礎(chǔ)物理學(xué)里頭一個重要基石。今年在瑞士日內(nèi)瓦即將建成的大加速器LHC就是最新的研究標(biāo)準(zhǔn)模型的大設(shè)備。
在70年代我總結(jié)了這一切發(fā)展的精神，說這是“對稱支配相互作用”（Symmetry Dictates Interaction）：因?yàn)橐?guī)范不變其實(shí)是一種對稱，一種與圓的對稱、晶體的對稱、左右對稱等觀念類似，但是是更深入、更抽象的對稱。
1969年我在美國紐約州立大學(xué)石溪分校教書的時(shí)候，教了一個學(xué)期廣義相對論。有一天我在黑板上寫下了廣義相對論中有名的黎曼張量公式。當(dāng)時(shí)我就想它有點(diǎn)像我所熟悉的上面那個公式。下課后把二者仔細(xì)對比，最后發(fā)現(xiàn)原來二者不只是像，而是完全相同，假如把一些數(shù)學(xué)符號正確地對應(yīng)起來的話。
△上面是規(guī)范理論公式，下面是廣義相對論中的黎曼張量公式，兩者完全相同
這個發(fā)現(xiàn)使我震驚：原來規(guī)范理論與廣義相對論的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)如此相似！我立刻到樓下數(shù)學(xué)系去找系主任吉姆·賽蒙斯（Jim Simons）。他是我的好朋友，可是那以前我們從來沒有討論過數(shù)學(xué)。那天他告訴我，不稀奇，二者都是不同的“纖維叢”，那是20世紀(jì)40年代以來數(shù)學(xué)界的熱門新發(fā)展！
后來賽蒙斯花了兩個多星期的功夫，給我們幾個物理學(xué)家講解纖維叢理論。學(xué)到了纖維叢的數(shù)學(xué)意義以后，我們知道它是很廣很美的學(xué)問，而電磁學(xué)中的許多物理觀念原來都有纖維叢的對應(yīng)觀念。于是1975年吳大峻和我合寫了一篇文章，用物理學(xué)的語言，解釋電磁學(xué)與數(shù)學(xué)家們的纖維叢理論的關(guān)系。文章中我們列出了一個表，是一個“字典”。表中左邊是電磁學(xué)（即規(guī)范理論）名詞，右邊是對應(yīng)的纖維叢名詞。
字典中左邊有一項(xiàng)“源”，右邊沒有對應(yīng)，因?yàn)橘惷伤拐f纖維叢理論中沒有這個觀念。后來美國麻省理工學(xué)院的數(shù)學(xué)家伊薩多·辛格（Isadore Singer）來紐約州立大學(xué)石溪分校訪問，我和他談了此事。他隨后去英國牛津大學(xué)，帶了吳大峻和我的文章，與邁克爾·阿提亞（Michael Atiyah）和奈杰爾·希欽（Nigel Hitchin）寫了一篇關(guān)于無“源”的文章。因?yàn)樗麄冊跀?shù)學(xué)界的名望，規(guī)范場與纖維叢的密切關(guān)系很快即傳遍數(shù)學(xué)界，從而引起了以后這些年物理與數(shù)學(xué)重新合作的高潮。
20世紀(jì)80年代開始，賽蒙斯辭了石溪分校的位置，轉(zhuǎn)而進(jìn)入華爾街，成了最成功的對沖基金主持人。2001年聶華桐和我請他夫婦到北京清華大學(xué)訪問，那是他們第一次訪問中國?；厝ズ笏麄兎驄D慨捐一百多萬美元給清華建了一座“陳賽蒙斯樓”。陳是陳省身教授（1911~2004），是數(shù)學(xué)大師，曾和賽蒙斯合寫一篇關(guān)于陳－賽蒙斯不變式（Chern-Simons Form）的文章，現(xiàn)在在物理中極有重要性。
陳省身先生在20世紀(jì)30年代曾是我父親的學(xué)生，抗戰(zhàn)時(shí)期在昆明西南聯(lián)大我又曾是他的學(xué)生。他在纖維叢理論里面曾做過重要的奠基性的工作。我在1980年發(fā)表的一篇文章里說（譯自英文）：
1975年，規(guī)范場就是纖維叢上的聯(lián)絡(luò)的事實(shí)使我非常激動。我駕車去陳省身在伯克利附近埃塞利托（El Cerrito）的家〔1940年初，當(dāng)我是國立西南聯(lián)大的學(xué)生，陳省身是年輕教授的時(shí)候，我聽過他的課。那是在陳省身推廣高斯-包乃特定理（Gauss-Bonnet Theorem）和“陳氏級”的歷史性貢獻(xiàn)之前，纖維叢在微分幾何中還不重要〕。我們談到朋友們、親戚、中國。當(dāng)我們談到纖維叢時(shí)，我告訴他我從賽蒙斯那里學(xué)到了漂亮的纖維叢理論以及深奧的陳省身-韋爾定理。我說，令我驚詫不止的是，規(guī)范場正是纖維叢上的聯(lián)絡(luò)，而數(shù)學(xué)家是在不涉及物理世界的情況下搞出來的。我又說：“這既使我震驚，也令我迷惑不解，因?yàn)椋銈償?shù)學(xué)家居然能憑空想出這些概念?！彼⒓捶磳φf：“不，不，這些概念不是憑空想出來的。它們是自然而真實(shí)的?！?br>
今天沒有人會再說“數(shù)學(xué)與物理世界完全沒有關(guān)聯(lián)”了?？墒菫槭裁础白匀欢鎸?shí)”的、與物理世界本來無關(guān)的數(shù)學(xué)觀念，是這樣的“對稱”，而且從而“支配”了宇宙間一切基本“力量”，恐怕將是永遠(yuǎn)不解之謎。
本文作者
楊振寧，著名物理學(xué)家，1957年因共同提出宇稱不守恒理論而獲得諾貝爾物理學(xué)獎。他和羅伯特·米爾斯共同提出的楊－米爾斯理論，即非阿貝爾規(guī)范理論，是粒子物理標(biāo)準(zhǔn)模型的基礎(chǔ)，對基礎(chǔ)物理學(xué)產(chǎn)生了深遠(yuǎn)的影響。他還與吳大峻合作研究了規(guī)范理論與數(shù)學(xué)上纖維叢的密切聯(lián)系。
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