應(yīng)該沒有哪個(gè)家族能夠和伯努利家族一樣，出過如此多的科學(xué)家。伯努利家族最輝煌的時(shí)候在3代人之中就產(chǎn)生了8位科學(xué)家，在微積分的發(fā)展和應(yīng)用上扮演領(lǐng)導(dǎo)角色，推動(dòng)整個(gè)世界科學(xué)史翻過劃時(shí)代的一頁(yè)。后代有 120 多人在各大領(lǐng)域都有出色的造詣。除了誕生如此多的科學(xué)家被人們所津津樂道之外，伯努利家族最為數(shù)學(xué)界知名的還是伯努利兄弟之爭(zhēng)，這場(chǎng)持續(xù)近 30 年的紛爭(zhēng)，可以說是數(shù)學(xué)界唯一的掀起如此大規(guī)模由一對(duì)兄弟發(fā)起的論戰(zhàn)。
雅各布第一·伯努利和約翰第一·伯努利（以下簡(jiǎn)稱雅各布、約翰）曾是一對(duì)非常要好的兄弟，他們的父親老尼古拉曾要大兒子雅各布學(xué)法律，要小兒子約翰去學(xué)經(jīng)商。但約翰在雅各布的帶領(lǐng)下進(jìn)行反抗，去學(xué)習(xí)醫(yī)學(xué)和古典文學(xué)。約翰于1690年獲醫(yī)學(xué)碩士學(xué)位，1694年又獲得博士學(xué)位。但他發(fā)現(xiàn)他骨子里的興趣是數(shù)學(xué)。
他跟隨自己哥哥學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，當(dāng)時(shí)雅各布已經(jīng)是非常有名的數(shù)學(xué)家，他們也曾共同完成一系列卓越的研究成果，發(fā)表于當(dāng)時(shí)有名的權(quán)威雜志，自視甚高又天性好強(qiáng)的約翰對(duì)于哥哥的光環(huán)非常嫉妒，他開始模仿哥哥的一系列行為，包括游學(xué)的路線、研究的方向等，他想要在自己哥哥所擅長(zhǎng)的領(lǐng)域超越哥哥，不想活在哥哥的風(fēng)光之下。
約翰伯努利
所以說天才家族也有自己的煩惱啊，各個(gè)都認(rèn)為自己是是天才，自然不想屈居他人之下。
大約翰 13 歲的雅各布自始至終將約翰視作自己的學(xué)生，雅各布在寫給萊布尼茨的信中，他明確聲明，約翰的全部數(shù)學(xué)基礎(chǔ)都來自他的饋贈(zèng)。
雅各布
但約翰卻并不這樣想，他覺得他們兩個(gè)人應(yīng)該是一種平等的位置，甚至自己比哥哥還更要強(qiáng)。他曾在信里說道：“你不會(huì)相信，我這個(gè)哥哥是多么名不副實(shí)。他恨我，迫害我，試圖摧毀我….他看上去對(duì)我溫和友好，心里卻暗藏毒藥?！?/p>
在這段兄弟關(guān)系中，兩個(gè)人都包含私心，當(dāng)時(shí)，創(chuàng)辦于萊比錫的德意志第一份專業(yè)科學(xué)期刊《教授學(xué)報(bào)》是兩人刊發(fā)成果的主要陣地，但約翰卻并沒有辦法與《教授學(xué)報(bào)》直接溝通，一切都要靠哥哥作中介。由此引發(fā)的不愉快接二連三：約翰把一篇文章寄給哥哥，刊發(fā)后卻發(fā)現(xiàn)哥哥在結(jié)尾自作主張地加段落，并附署名；出于難以說明的原因，哥哥有時(shí)并不會(huì)將萊比錫方面的消息轉(zhuǎn)告約翰。
教授學(xué)報(bào)
而雅各布似乎從未考慮過弟弟的感受。他曾把學(xué)術(shù)上的合作比喻為兩個(gè)人去兩個(gè)不明地點(diǎn)旅行，每個(gè)人都盡可能地帶回東西，但沒有人能拿到另一個(gè)地點(diǎn)的一切。因此，面對(duì)同樣的問題，即使兩個(gè)人都以自己的方式找到正確的解決辦法，任何人都不該得到所有榮耀。
種種的行為像火柴一樣越堆越高，最終被火星點(diǎn)燃，引發(fā)熊熊烈火。
兩個(gè)人之間的第一次分歧是因?yàn)閼益溇€問題。我們知道，達(dá)芬奇不僅僅是畫家、還是數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家和機(jī)械工程師，他的世界名畫《蒙娜麗莎》可以說是被世界人民熟知，也成為了經(jīng)典的惡搞和cosplay對(duì)象。而《蒙娜麗莎》也引發(fā)了達(dá)芬奇深深的思考，如果蒙娜麗莎戴了項(xiàng)鏈，固定項(xiàng)鏈的兩端，使其在重力的作用下自然下垂，那么項(xiàng)鏈所形成的曲線房產(chǎn)是什么？
這便是有名的懸鏈線問題。這個(gè)問題困擾了數(shù)學(xué)家們一個(gè)多世紀(jì)。即使是伽利略都沒有能夠解答出來。
時(shí)隔 170 年后，雅各布在期刊上建議數(shù)學(xué)界重新對(duì)懸鏈線問題展開研究。但是雅各布花費(fèi)了整整一年的時(shí)間，還是毫無進(jìn)展，而弟弟約翰僅僅花了一個(gè)晚上的時(shí)間，就得到了答案。
約翰成功地用微積分解決了問題，約翰將問題轉(zhuǎn)化為求解一個(gè)二階常微分方程，解此方程并適當(dāng)選取參數(shù)，即可得到懸鏈線，從而證明懸鏈線是一個(gè)雙曲余弦函數(shù)。這次證明了懸鏈線問題讓約翰成為了數(shù)學(xué)界新秀。
自己提出的問題被弟弟破解，這本已令雅各布感到尷尬，而約翰抓住這個(gè)機(jī)會(huì)，四處靠貶損哥哥來抬高自己，則激化了二人的矛盾。
不過這個(gè)時(shí)候兩個(gè)人還并沒有完全鬧掰，還經(jīng)常在一起互相討論研究，經(jīng)常一起發(fā)表論文，不過不再合著。后來，雅各布對(duì)風(fēng)中船帆的形狀問題產(chǎn)生興趣，他寄給弟弟一個(gè)曲線的微分方程 （d2x ：dx = dy3） ，并要求從中得出能表達(dá)曲線性質(zhì)的文字或代數(shù)方程。
約翰提議用懸鏈線來證明，但是被雅各布否決，他認(rèn)為還要考慮風(fēng)影響帆的多種情形，遭到了約翰的嘲笑。后來，在去巴黎游學(xué)的時(shí)候，雅各布終于發(fā)現(xiàn)，的確可以用懸鏈線來證明。
各種不同的懸鏈線
他想要戲耍一下約翰，他只寄給約翰一個(gè)方程式，并未言明曲線性質(zhì)，約翰一看就發(fā)現(xiàn)這是一個(gè)懸鏈線，他認(rèn)為自己那個(gè)愚笨的哥哥肯定沒有發(fā)現(xiàn)。
1692年4月，約翰興沖沖地表示，自己的哥哥無能，所以只能自己來代替他完成這個(gè)工作了。然而在約翰興沖沖證明的時(shí)候，雅各布其實(shí)早已經(jīng)在3月份就給期刊投稿，最終在 5 月發(fā)表。
約翰自以為這次便可以徹底把哥哥踩在腳下，哪知道最后被哥哥戲耍一通，自此，兩個(gè)人徹底決裂。
約翰認(rèn)為如果我在巴塞爾大學(xué)數(shù)學(xué)系的職位比雅各布高，那么就一定能證明，我比雅各布厲害！1695年，弟弟約翰向巴塞爾大學(xué)數(shù)學(xué)系，提交了職位申請(qǐng)，他滿心以為憑借自己在數(shù)學(xué)上的名聲，教授的職位絕對(duì)沒問題！
巴塞爾大學(xué)
誰知道巴塞爾大學(xué)無情地回應(yīng)：數(shù)學(xué)系有雅各布就夠了，不需要其他人。
這下約翰的行為更加激怒雅各布了，雅各布越想越火，他決定盤點(diǎn)他的所有首次發(fā)現(xiàn)。他還寫信給萊布尼茨，講述他和約翰的生平以及他們?cè)缒甑臄?shù)學(xué)成就。他聲稱自己才是參透萊布尼茲微積分奧秘的第一人，約翰分享了他的果實(shí)。
雅各布的行為徹底激怒了早已對(duì)哥哥牢騷滿腹的約翰，他給數(shù)學(xué)界所有大數(shù)學(xué)家發(fā)了邀請(qǐng)函，邀請(qǐng)他們公證，他們兩兄弟究竟誰能解決最速降線問題，約翰規(guī)定答案必須在1697年1月1日之前寄出，后來在萊布尼茨的建議下，將期限延長(zhǎng)至復(fù)活節(jié)。
萊布尼茨
為了制造聲勢(shì)，逼迫雅各布應(yīng)戰(zhàn)，他甚至還在街頭張貼海報(bào)。由此兩個(gè)人之間的論戰(zhàn)達(dá)到了高潮，這就是數(shù)學(xué)界有名的伯努利兄弟“最速降線問題”之爭(zhēng)。當(dāng)然，除了他們之外，其他收到邀請(qǐng)函的數(shù)學(xué)家也沒有閑著，也想試試。
最速降線也被稱為擺線，指的是一個(gè)圓沿一條直線運(yùn)動(dòng)時(shí)，圓邊界上一定點(diǎn)所形成的軌跡。最速降線問題是意大利科學(xué)家伽利略在1638年提出一個(gè)分析學(xué)的基本問題──在一個(gè)斜面上，擺兩條軌道，一條是直線，一條是曲線，起點(diǎn)高度以及終點(diǎn)高度都相同。兩個(gè)質(zhì)量、大小一樣的小球同時(shí)從起點(diǎn)向下滑落，曲線的小球反而先到終點(diǎn)。這是由于曲線軌道上的小球先達(dá)到最高速度，所以先到達(dá)。然而，兩點(diǎn)之間的直線只有一條，曲線卻有無數(shù)條，那么，哪一條才是最快的呢？這個(gè)問題的難處在于它并沒有要求你給出一個(gè)極大值極小值，而是要給你求出一個(gè)未知函數(shù)。
約翰在發(fā)出挑戰(zhàn)書時(shí)其實(shí)已經(jīng)花費(fèi)了兩個(gè)星期算出了答案，然而雅各布也不是省油的燈，他也很快算出了答案。在收到雅各布的答案之后，約翰歡喜異常，認(rèn)為雅各布的解法繁瑣異常，沒有自己的簡(jiǎn)潔明了漂亮。
約翰的解法是他借用了光學(xué)中費(fèi)馬的光程（或時(shí)間）最短原理，費(fèi)馬在1662年提出：光傳播的路徑是光程取極值的路徑。這個(gè)極值可能是最大值、最小值，甚至是函數(shù)的拐點(diǎn)。 最初提出時(shí)，又名“最短時(shí)間原理”：光線傳播的路徑是需時(shí)最少的路徑。
費(fèi)馬的光程（或時(shí)間）最短原理是最早具有變分法思想的數(shù)學(xué)原理。約翰將小球運(yùn)動(dòng)類比作光線的運(yùn)動(dòng)，那么，“最速降線”就是在光速隨高度下降而增加（加速度恒為重力加速度 g）的介質(zhì)里光線傳播的路徑。用這樣的類比思想，約翰成功地算出了這條曲線就是前面提到的擺線。
論證過程
這其實(shí)有點(diǎn)投機(jī)取巧的意思，運(yùn)用類比法。雖然漂亮表現(xiàn)出驚人的想象能力。卻無法將其推廣為抽象的規(guī)律或原理。
而雅各布的解法雖然繁復(fù)，卻蘊(yùn)涵了變分的思想，他首先假設(shè)小球沿著最速路徑下滑，然后考慮：如果在某個(gè)時(shí)刻，小球的路線稍微偏離了最速路徑，會(huì)發(fā)生什么情況？雅各布首先考慮所有微小偏離路徑中使得時(shí)間最小的那個(gè)偏離。然后，雅各布用二階導(dǎo)數(shù)的方法證明，為使小球繼續(xù)走時(shí)間最短的路，它的路線的微分偏離量應(yīng)該滿足的方程，剛好是擺線所滿足的微分方程。
雅各布的論證思路
后來歐拉從雅各布的解法中得到了啟發(fā)，開創(chuàng)了變分學(xué)，變分學(xué)如今成為了微積分理論中最強(qiáng)大的工具之一。
而雖然約翰自以為得到了勝利，可是數(shù)學(xué)界的眾位在比較了一下兩位的論證過程之后，普遍站在了雅各布這邊，因?yàn)檠鸥鞑嫉慕夥ǜ哂幸话阈?。最終，哥哥繼續(xù)坐穩(wěn)巴塞爾大學(xué)的教席，約翰卻遭到排擠，被迫遠(yuǎn)赴荷蘭。
在這場(chǎng)最速降線問題之爭(zhēng)中，最有意思的就是，因?yàn)榧s翰是萊布尼茨的學(xué)生，所以為了給老師爭(zhēng)口氣，所以想拿這個(gè)問題去挑釁牛頓。當(dāng)時(shí)的牛頓已經(jīng) 56 歲，早已不再巔峰，而且沉迷神學(xué)多年，可是依然只用了一個(gè)晚上就解答了這個(gè)問題，并且匿名寄給了約翰。
牛頓
約翰還是認(rèn)出了牛頓，說出了一句著名的話：“ 我從他的利爪認(rèn)出了這頭獅子 。
兩個(gè)人之間的最后一次論戰(zhàn)是在牛頓與萊布尼茨的微積分大戰(zhàn)中，但是兩個(gè)人都認(rèn)為自己是微積分的發(fā)現(xiàn)者，而約翰作為萊布尼茨的學(xué)生，忠實(shí)地站在了老師這邊。他編寫了第一步微積分教材，還提出了鏈?zhǔn)椒▌t以及洛必達(dá)法則。對(duì)微積分的發(fā)展做了重要的推動(dòng)作用。不過因?yàn)樗钠?，推遲了牛頓力學(xué)在歐洲大陸的傳播。
這次的較勁，裁判當(dāng)然是萊布尼茨，約翰認(rèn)為自己是萊布尼茨的學(xué)生，又為完善萊布尼茨微積分做了這么多努力，老師一定會(huì)認(rèn)為自己的貢獻(xiàn)最大。
誰知道萊布尼茨說：微積分的思路還只有少數(shù)人懂得，我還沒聽說比雅各布更懂我意思的人。
難過的約翰
萊布尼茨的話還是有一定的道理，雅各布指明了應(yīng)當(dāng)怎樣把這一技術(shù)運(yùn)用到應(yīng)用數(shù)學(xué)的廣闊領(lǐng)域中去， “積分”一詞也是1690年他首先使用的。
當(dāng)然，約翰人生最重要的一件事情還是贏過了自己的哥哥，那就是壽命。1705 年，51歲的雅各布預(yù)感自己命不久矣，在死于痛風(fēng)并發(fā)癥前，他在給雷布尼茲的信中寫道：“如果我不久后將過世，我弟弟肯定會(huì)回到巴塞爾。他不會(huì)接受其他職位，他只想接替我的位子?！?/p>
果然，在旅途中聽到哥哥死訊的約翰在回來之后辭去了荷蘭格羅寧根大學(xué)數(shù)學(xué)教授，前往巴塞爾大學(xué)擔(dān)任數(shù)學(xué)系教授。
雅各布·伯努利的墓碑，下方為雕刻師誤刻的阿基米德螺線
雅各布墓碑的含義
可以說，雅各布和約翰幾十年的論戰(zhàn)，對(duì)于微積分的完善與發(fā)展起到了重要的作用，也推動(dòng)了數(shù)學(xué)的極大進(jìn)步，不過即使在雅各布死后，約翰依然還沒有放下對(duì)自己哥哥的原因，在自己的信里和自傳里還是有意無意的詆毀自己的哥哥。比如這數(shù)次論戰(zhàn)中的唯一一次勝利，他在自傳中如此寫道：
“哥哥的努力沒有結(jié)果。而我卻幸運(yùn)得多……我花了一晚上來鉆研它……第二天早上，我滿懷喜悅地跑到哥哥那兒，他還在痛苦地思索如何解開這個(gè)戈?duì)柕僦Y(jié)。他茫無頭緒，老是像伽利略那樣認(rèn)為懸鏈線是一種拋物線。打??！打??！我對(duì)他說，不要再試圖證明懸鏈線是拋物線來折磨你自己了，因?yàn)檫@完全錯(cuò)了……這兩條曲線完全不同，一條是代數(shù)的，另一條是超越的……我向他展示我的解決方案，并發(fā)現(xiàn)了引導(dǎo)我成功的方法?！?/p>
其實(shí)約翰的很多研究成果都是沿著哥哥雅各布的路線而得到的，1700年5月雅格布在《教師學(xué)報(bào)》上發(fā)表了關(guān)于等周問題的解，指出這條曲線是一個(gè)圓．1718年，約翰繼續(xù)研究了等周問題，他沿著雅格布的思路，改進(jìn)了雅格布的解法，1728年約翰又用雅格布的方法取得了一些進(jìn)展，并且求得了另外幾類曲面的測(cè)地線。
約翰一生好斗重名利，甚至連自己的兒子，他都不愿意相讓，大約1739年或稍后，約翰出版了《水力學(xué)》，不過書的出版時(shí)間卻有意標(biāo)注為丹尼爾的《流體動(dòng)力學(xué)》的出版日期- - - -1738年之前的1732年。他這樣做的目的，似乎是要人相信丹尼爾的書是由抄襲他的書而來。
1724年，丹尼爾提交了一篇天文學(xué)論文，應(yīng)征巴黎科學(xué)院的大獎(jiǎng)。然而，他不知道，自己的父親約翰也參加了這次征文，那次比賽的結(jié)果是，父子兩人以壓倒性的優(yōu)勢(shì)，并列獲獎(jiǎng)。
如果是一般的家庭，看到自己的孩子獲獎(jiǎng)，肯定比自己還高興，然而對(duì)于兒子和自己同獲榮譽(yù)，他表現(xiàn)的怒不可遏，他把兒子趕出家門，至死不愿意原諒兒子，遭受到如此重創(chuàng)的丹尼爾為了不讓父親生氣，對(duì)于數(shù)學(xué)的熱情降低，但是約翰卻并沒有罷休，他還有意進(jìn)入丹尼爾所熟悉的流體力學(xué)領(lǐng)域，想侵奪孩子的榮譽(yù)。
作為一個(gè)重名利的人，約翰的長(zhǎng)壽也給他帶來了極大的痛苦，雖然自己的兒子已經(jīng)極力避免和父親的研究領(lǐng)域相重合，可成就還是超過了自己的父親，又連續(xù) 10 次獲得巴黎科學(xué)院的大獎(jiǎng)，給約翰的心里帶來了嚴(yán)重的打擊，這個(gè)記錄僅次于一個(gè)人。
偏偏這個(gè)人又是自己的徒弟，沒有錯(cuò)，就是數(shù)學(xué)之王歐拉，歐拉連續(xù)拿了 12 次?？吹阶约旱耐降芎蛢鹤尤〉帽茸约焊叩某删?，可以說是約翰最無法忍受的。
其實(shí)約翰的成就已經(jīng)不低，他是18世紀(jì)分析學(xué)的重要奠基者之一，提出了三維空間直角坐標(biāo)系，指出可以用以三個(gè)坐標(biāo)變量為元的，三元方程表示空間曲面。對(duì)于微積分的發(fā)展也做出了重要貢獻(xiàn)。
他還與同時(shí)代的110位學(xué)者，通過通信進(jìn)行學(xué)術(shù)討論，信件約有2500封，是重要的歷史研究和科學(xué)研究材料。
雖然和自己的哥哥雅各布成就差不多，甚至弱一些，雅各布短短的學(xué)術(shù)生涯中，對(duì)微積分及概率論作出很多貢獻(xiàn)，還是較早使用極坐標(biāo)系的數(shù)學(xué)家之一。此外，數(shù)學(xué)中有許多以伯努利命名的術(shù)語，其中十幾個(gè)都是雅各布的功勞。他的著作《猜度術(shù)》，是組合數(shù)學(xué)及概率論史中的重要經(jīng)典著作之一，對(duì)于這門學(xué)科的發(fā)展產(chǎn)生了深遠(yuǎn)的影響，他在這部著作中給出的伯努利數(shù)有很多應(yīng)用.。提出了概率論中的“伯努利定理”，這是大數(shù)定律的最早形式。然而因?yàn)榧s翰以及其他的關(guān)系，這本書直到去世 8 年后才發(fā)表。
猜度術(shù)
但是約翰的地位、名氣遠(yuǎn)勝于自己的哥哥，因?yàn)樗膬鹤拥つ釥柺菙?shù)學(xué)物理方法的奠基人、“流體力學(xué)之父”，他的學(xué)生歐拉是數(shù)學(xué)界四大天王之一，而且歐拉一脈對(duì)數(shù)學(xué)界產(chǎn)生了深遠(yuǎn)的影響，歐拉的學(xué)生是拉格朗日，拉格朗日的學(xué)生則是柯西，柯西的學(xué)生是高斯，而高斯的學(xué)生則是黎曼。。。
歐拉
雅各布哪里來的這么好的運(yùn)氣啊，不僅死得早，學(xué)生里也沒一個(gè)像樣的，兒子也沒爭(zhēng)氣的。。。當(dāng)然，雅各布有一樣?xùn)|西是約翰一生也沒有得到的，那就是父親的偏愛，正是因?yàn)楦赣H的偏愛，讓約翰重名利，性格偏激，并且一直想超越哥哥。
1701年，34歲的約翰寫信給父親，口吻像一個(gè)求愛而不得的、傷心的孩子：“我從沒收到過父親的信，這說明你更喜歡哥哥們，對(duì)我沒有感情。我真的不值得像哥哥那樣被關(guān)心么?……你不允許我過自己想過的生活，而我已經(jīng)將自己置于神的引導(dǎo)下。所以，請(qǐng)你不要來巴塞爾帶走我的名譽(yù)，并說你與之毫無關(guān)系?！?/p>
恩斯特·馬赫曾如此評(píng)價(jià)約翰與雅各布：“他們一個(gè)有藝術(shù)家一般的直覺與激情，一個(gè)有批判性的思維縱深。這是天才的兩面，如果結(jié)合在同一個(gè)人身上，就會(huì)造就偉大的科學(xué)家?？上н@兩面分開了，那么沖突就是必然?！?/p>
伯努利家族成就最輝煌的三人
