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初中數(shù)學(xué)解法研究

平臺(tái)聯(lián)盟薦文欣賞

“初中數(shù)學(xué)解法研究”公眾平臺(tái)以一些典型問(wèn)題為載體，從一題多解、多解歸因和思維調(diào)控等角度，探索解題中的巧法、通法以及方法的思路來(lái)源等，希望幫助讀者開(kāi)闊思路、優(yōu)化解法和提高解題效率，也希望能得到您的指點(diǎn)！

前言

在中考即將來(lái)臨之際，想把自己一點(diǎn)微不足道的經(jīng)驗(yàn)分享給各位同行，希望對(duì)您能有一點(diǎn)點(diǎn)的幫助，祝福學(xué)子們能不辜負(fù)老師和家長(zhǎng)的期望，考出理想的成績(jī)！由于本人水平有限，文中一定還有很多不足之處，希望得到各位高人的指點(diǎn)。

正文

中考?jí)狠S題一向是“兵家必爭(zhēng)之地”，是中考的奪分題，也是區(qū)分層次和實(shí)現(xiàn)選拔的重要題型，壓軸題的教學(xué)策略在實(shí)現(xiàn)學(xué)生對(duì)壓軸題的突破扮演者非常重要的角色。目前的中考綜合題已經(jīng)由單純的知識(shí)疊加型轉(zhuǎn)化為知識(shí)、方法和技能綜合型，這也完全符合課改的要求。由于壓軸題考查的知識(shí)點(diǎn)較多，綜合性較強(qiáng)，覆蓋面廣，關(guān)系復(fù)雜，思路難覓，解法靈活，常常令一些學(xué)生束手無(wú)策，因此需要教師在教學(xué)過(guò)程要正確引領(lǐng)學(xué)生走進(jìn)壓軸題的世界，為提高學(xué)生壓軸題的得分率，對(duì)學(xué)生解答壓軸題方法策略上的指導(dǎo)是必要的，根據(jù)課改的目標(biāo)，壓軸題的一般教學(xué)策略如下幾個(gè)方面：1.審題；2.問(wèn)題轉(zhuǎn)化；3.數(shù)學(xué)思想方法；4.一題多解；5.思維自我監(jiān)控；6.解題后的反思。

教師在教學(xué)過(guò)程中可以制定一些具體的教學(xué)策略，筆者認(rèn)為在教學(xué)過(guò)程中教師應(yīng)該注重如下幾個(gè)具體策略：

1引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)真審題挖掘隱含條件。

2引導(dǎo)學(xué)生數(shù)形結(jié)合，合理添輔助線。

3引導(dǎo)學(xué)生用識(shí)別基本圖形，關(guān)注基本圖形的特性。

4引導(dǎo)學(xué)生轉(zhuǎn)化問(wèn)題。

5引導(dǎo)學(xué)生在解題過(guò)程中思維自我調(diào)控。

6引導(dǎo)學(xué)生一題多法和多法歸因。

7引導(dǎo)學(xué)生解題后有效反思。

8引導(dǎo)學(xué)生適當(dāng)變式。

下面以一道二模壓軸題為例，談?wù)劷處焿狠S題的教學(xué)策略，原題如下：如圖，已知在△ABC中，AB=4，BC=2，以點(diǎn)B為圓心，線段BC長(zhǎng)為半徑的弧交邊AC于點(diǎn)D，且∠DBC=∠BAC，P是邊BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PQ⊥BP，交線段BD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)Q．設(shè)CP=x，DQ=y．

（1）求CD的長(zhǎng)；

（2）求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫(xiě)出它的定義域；

（3）當(dāng)∠DAQ=2∠BAC時(shí)，求CP的值．

1、引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)真審題挖掘隱含條件

美國(guó)著名數(shù)學(xué)家波利亞曾說(shuō)過(guò)：對(duì)你所不理解的問(wèn)題做出答復(fù)是愚蠢的。他在《怎樣解題》一書(shū)中把審題分為兩個(gè)階段：“熟悉題目”和“深入理解題目”。筆者認(rèn)為“深入理解題目”就是要挖掘題目中的隱含條件，教師可從兩個(gè)方面引導(dǎo)：

（1）

引導(dǎo)同學(xué)從形的角度挖掘數(shù)

通過(guò)審題，引導(dǎo)學(xué)生挖掘這三個(gè)基本圖形：共角共邊型（圖2），腰上添高型（圖4），三線合一型（圖3）。共角共邊型的特征是BC2=CD×AC，另外兩個(gè)圖形可以根據(jù)等腰三角形的特性以及勾股定理可以算出所有未知線段的長(zhǎng)度，以及所有的銳角三角比。由BC2=CD×AC可得CD=1，從而解決了第一問(wèn)。進(jìn)一步分析，如圖5發(fā)現(xiàn)∠ABF=∠Q，因?yàn)椤螦BF的三角比可求，則∠Q的三角比也知道了，易求：

這樣第（2）問(wèn)也順利解決。

（2）

引導(dǎo)同學(xué)從數(shù)的角度挖掘形

在第（3）問(wèn)中∠DAQ=2∠BAC，做∠DAQ的平分線AG，如圖6，則∠DAG=∠QAG=∠BAC=∠DBC，于是得到兩個(gè)基本圖形，一是含等腰的全等形，如圖7，易得△ABD≌AQG，GQ=2；另一個(gè)是含等腰的斜交A字相似形，如圖8，可得DG=3/2，y=2 3/2=7/2，x=45/16，這就解決了第三問(wèn)。

2、引導(dǎo)學(xué)生數(shù)形之間轉(zhuǎn)化，合理添輔助線

平時(shí)課堂教學(xué)中，教師需要引導(dǎo)學(xué)生一起總結(jié)一些小的口訣，如下：

口訣：“一二三四五”和“八句兒歌”

一連(對(duì)角線、兩中點(diǎn)、半徑、圓心和弧中點(diǎn)、圓心和切點(diǎn))，二延(延長(zhǎng)相交構(gòu)新圖形)，三作線(作平行線、角平分線、高線)，四取中點(diǎn)（用中位線或直角三角形斜邊中線），五倍（倍長(zhǎng)中線、倍角）

①三角形是等腰，底邊上快作高。

②三角形有中線，倍長(zhǎng)之后聯(lián)端點(diǎn)。

③三角形有直角，中線垂線常用著。

④特殊點(diǎn)作平行，比例線段現(xiàn)原形。

⑤三角形有中點(diǎn)，嘗試添上中位線。

⑥梯形中好添高，或引直線平行腰。

⑦已知線段證和差，截長(zhǎng)補(bǔ)短記住它。

⑧已知信息太分散，化歸集中很常見(jiàn)。

教師還可以從不同角度來(lái)和同學(xué)討論添輔助線的方法，如下：

添輔助線的角度

（1）圖形運(yùn)動(dòng)①翻折②平移③旋轉(zhuǎn)

（2）完備和構(gòu)建基本圖形

等腰三角形，包括等邊和等腰直角，直角三角形，包括含30°和45°平行四邊形，包括矩形、菱形和正方形，等腰梯形等等。

（3）構(gòu)建全等或相似形。

多

引導(dǎo)學(xué)生梳理添輔助線的來(lái)龍去脈，掌握基本的、通用的方法，結(jié)合自己的解題經(jīng)驗(yàn)，久而久之學(xué)生的能力增強(qiáng)了，輔助線的“法門(mén)”逐漸被找到，下面就從各個(gè)角度談?wù)劷處熑绾我龑?dǎo)學(xué)生添輔助線：

（1）

完備和構(gòu)建基本圖形

在第（2）中求函數(shù)解析式可以引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)建等腰三角形，如圖9，過(guò)點(diǎn)Q做QH//AC交BP延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，易得是等腰△BQH，再根據(jù)比例線段得到PH=y-x，QH=（y 2）/2,又因?yàn)閏osH=cos∠ACB=1/4，可列出等式:

（2）

構(gòu)建相似或全等

在第二問(wèn)中求函數(shù)解析式，也可以引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)作平行線構(gòu)造相似形，如圖10中作DK⊥BC，垂足為點(diǎn)K，作AI⊥BC，垂足為點(diǎn)I，可得DE∥AH，通過(guò)比例線段:

在第三問(wèn)中，除了圖6構(gòu)造全等和相似外，還可以過(guò)點(diǎn)A作AJ⊥BQ，垂足為點(diǎn)J，如圖11，因?yàn)閤 ∠3=∠2 2x，∠3=∠1 x，得∠1=∠2， AQ=AB=4，可得QJ=(y 2)/2，DJ=(y-2)/2，再由勾股定理得：

（3）

圖形的運(yùn)動(dòng)

在求解第三問(wèn)的時(shí)候，可以引導(dǎo)學(xué)生翻折構(gòu)造倍角，如圖12，作∠CBK=x，交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)K，易得∠K=β，△BDK和△ADQ相似，得DQ/DK=AD/BD=3/2，再通過(guò)外角∠BDC=∠BCD=x α=x β，得α=β，△ABD和△AKB相似，通過(guò)相似比得DK=7/3，再由DQ/DK=AD/BD=3/2，得DQ=7/2，即:

3、引導(dǎo)學(xué)生識(shí)別基本圖形，關(guān)注基本圖形的特性

在教學(xué)過(guò)程中，教師要引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)基本圖形，歸納基本圖形的特性，在解壓軸題的過(guò)程中，如果能恰當(dāng)?shù)倪\(yùn)用基本圖形的性質(zhì)，往往能一擊制勝，下面我列舉了關(guān)于本題中四個(gè)基本圖形：

4、引導(dǎo)學(xué)生轉(zhuǎn)化問(wèn)題

在解決壓軸題時(shí)，常常需要轉(zhuǎn)化成等價(jià)問(wèn)題，教師要引導(dǎo)學(xué)生變換角度思考問(wèn)題，轉(zhuǎn)化得當(dāng)能事半功倍，轉(zhuǎn)化不當(dāng)往往陷入困境，轉(zhuǎn)化問(wèn)題的時(shí)候，經(jīng)常將分析法和綜合法結(jié)合在一起，既要由果索因，也要從已知條件出發(fā)，下面是本題中的兩種轉(zhuǎn)換：

（1）

構(gòu)造相似形，實(shí)現(xiàn)線段比的轉(zhuǎn)換

第（2）問(wèn)“求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫(xiě)出它的定義域；”可轉(zhuǎn)化為：

（2）

構(gòu)造半（倍）角，實(shí)現(xiàn)角的轉(zhuǎn)換

第（3）問(wèn)“當(dāng)∠DAQ=2∠BAC時(shí)，求CP的值．”可轉(zhuǎn)化為：

5、引導(dǎo)學(xué)生在解題過(guò)程中思維的自我調(diào)控

著名解題專(zhuān)家波利亞在《怎樣解題》一書(shū)中有一個(gè)解題表，解題表上問(wèn)句或建議，都不是問(wèn)別人，而是自己給自己提問(wèn)題、提建議，這是解題者的自我詰問(wèn)、自我反思。問(wèn)題中的一部分，其對(duì)象針對(duì)具體的數(shù)學(xué)內(nèi)容，屬于認(rèn)知性的；另一部分則以解題者自身為對(duì)象，屬于元認(rèn)知性的。波利亞認(rèn)為，解題過(guò)程就是不斷和自我對(duì)話的過(guò)程，也是不斷自我調(diào)整過(guò)程，對(duì)話的有效性直接關(guān)系到解題的成敗。筆者認(rèn)為解壓軸題時(shí)，如果學(xué)生能夠自我提醒，大大提高解題的成功率，那么教師應(yīng)該怎樣引導(dǎo)學(xué)生自我對(duì)話呢？我想教師可以從引導(dǎo)學(xué)生形成自己的提示語(yǔ)方面入手。由于每個(gè)學(xué)生的性格、學(xué)習(xí)習(xí)慣和學(xué)習(xí)基礎(chǔ)的不同，他們自己的提示語(yǔ)也不同，這就要求教師要了解每個(gè)學(xué)生的特征，幫助每個(gè)學(xué)生提煉屬于他們自己的提示語(yǔ)，但是有些提示語(yǔ)是共性的，下面我列舉了幾條自我提示語(yǔ)：

（1）題目的已知條件和未知的問(wèn)題我看清楚了嗎？

（2）所有的條件我都用上了嗎？

（3）題目中還有那些基本圖形？它們的特性有沒(méi)有用上？

（4）能不能有更簡(jiǎn)單的解法和算法？

（5）能把問(wèn)題特殊化一下或者一般化一下嗎？

（6）能不能直觀猜想一下問(wèn)題的答案？

（7）我有沒(méi)有適當(dāng)檢查以下自己的解題過(guò)程呢？

（8）我最終的答案符合實(shí)際嗎？

6、引導(dǎo)學(xué)生一題多法和多法歸因

歸因理論是美國(guó)著名的理論家韋納提出來(lái)的，在各個(gè)領(lǐng)域都有著廣泛的應(yīng)用，在壓軸題的教學(xué)過(guò)程中，教師要引導(dǎo)學(xué)生從各個(gè)角度探求解決問(wèn)題的方法，以及方法的來(lái)源，開(kāi)闊學(xué)生的解題思路，引導(dǎo)學(xué)生一起歸因，梳理各種思路的來(lái)龍去脈。

第（2）問(wèn)解法梳理

第（2）問(wèn)“求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫(xiě)出它的定義域；”可梳理如下三種方法，由于前文中已經(jīng)給出解題的思路，所以這里只給出解法圖例。

解法一

思路：構(gòu)造相似的直角三角形或者應(yīng)用銳角三角比。

解法二

思路：利用三線合一和雙A字形實(shí)現(xiàn)比例線段轉(zhuǎn)化。

解法三

思路：構(gòu)造等腰三角形和A字形，再結(jié)合銳角三角比。

第（3）問(wèn)解法梳理

第（3）問(wèn)“當(dāng)∠DAQ=2∠BAC時(shí)，求CP的值．”的解法梳理如下：

解法一

思路：構(gòu)造半角，實(shí)現(xiàn)全等和相似。

解法二

思路：構(gòu)造倍角，轉(zhuǎn)化成共角共邊形和斜交8字形。

解法三

思路：構(gòu)造直角三角形和等腰三角形的三線合一，用勾股定理求解.

一題多解多解歸一

其實(shí)這六種解法的本質(zhì)就是構(gòu)造基本圖形，再轉(zhuǎn)化相似的比例線段，當(dāng)然直角三角形的相似問(wèn)題可用三角比加快解題的速度，初中階段求函數(shù)關(guān)系式，用相似或者三角比是一種通用的方法。

7、引導(dǎo)學(xué)生解題后有效反思

壓軸題的教學(xué)中，反思是非常必要的，教師可從如下幾方面引導(dǎo)學(xué)生反思：

（1）反思題目中的基本圖形及其性質(zhì)；

（2）反思各種解法的來(lái)源和優(yōu)劣；

（3）反思自己的算法是否簡(jiǎn)潔；

（3）反思自己解題中的誤區(qū)。關(guān)于這部分內(nèi)容，上文中多有涉及，這里就不展開(kāi)了，有興趣的讀者可以閱讀波利亞的《數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)》一書(shū)，上面有詳細(xì)的記載。

8、引導(dǎo)學(xué)生適當(dāng)變式

本題的第（3）問(wèn)還可以嘗試以下變式：1.當(dāng)△ADQ為等腰三角形時(shí)，求CP的值；2.當(dāng)∠DAQ=n∠BAC時(shí)，求∠ABD和∠AQD的數(shù)量關(guān)系；3.當(dāng)△ABD和△AQD相似時(shí)，求CP的值。

結(jié)束語(yǔ)

總之，在壓軸題的教學(xué)中，適合學(xué)生的策略就是最好的策略，學(xué)生不同策略也不同，總之教師切忌“以題論題”，要努力向“以題論法”和“以題論道”兩方面去轉(zhuǎn)變。雖然中考在即，學(xué)生的提升空間已經(jīng)很有限了，但我相信，只要能進(jìn)行有效的點(diǎn)撥，一些學(xué)生的壓軸題解題能力還是能夠提高的。

上面只是自己在壓軸題的教學(xué)中一點(diǎn)拙見(jiàn)，一定有很多不足之處，希望您多多指正！

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我們是一群工作在上海初中數(shù)學(xué)第一線草根教師，如同一片孕育綠色春泥，心中牢記著播撒智慧數(shù)學(xué)的責(zé)任，心向陽(yáng)光，不斷實(shí)現(xiàn)著自我的提升。我們雖都籍籍無(wú)名，然而相信通過(guò)自己的努力會(huì)感召更多同道中人，為了教好自己的學(xué)生，為了自己業(yè)務(wù)的發(fā)展，為了自己心中數(shù)學(xué)教育的夢(mèng)想而努力……

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