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再比如：

計(jì)算1+2+4+……1024

當(dāng)然，如果您的職業(yè)是程序猿的話應(yīng)該直接脫口而出2047，畢竟比起二進(jìn)制來誰也玩不過你們——就像當(dāng)年我們看著學(xué)通信的口算傅立葉變換和逆變換驚為天人的感覺一樣，這個(gè)實(shí)在是太熟悉了，都近乎爾等碼農(nóng)的本能反應(yīng)了。

但是現(xiàn)在面對(duì)的是十歲左右的小伢兒，怎么把這個(gè)解釋明白呢？

只要我們有高中數(shù)學(xué)的技巧，馬上來一句：錯(cuò)位相消，題目就做完了。這樣的鍛煉效果恐怕不會(huì)太好。就讓他自己琢磨。這一上來之后肯定是抓瞎啊，但是扭頭一看你虎視眈眈地準(zhǔn)備連他媽（爸）一塊打的樣子，不得抓耳撓腮一下？

只要他加了前幾項(xiàng)，就會(huì)發(fā)現(xiàn)永遠(yuǎn)比后一項(xiàng)少一，所以最后結(jié)果就應(yīng)該是2047.

這時(shí)候你在肯定的同時(shí)，要追問一句：為什么會(huì)是這個(gè)結(jié)果？

再抓瞎一次。

人渴的時(shí)候喝水，才能感受到那種愉悅。同樣的，你真要孩子掌握住一項(xiàng)技能，一定先要讓他吃點(diǎn)苦頭，最好是吃盡苦頭。

當(dāng)他想不出來的時(shí)候，你就問他，把整個(gè)式子乘以2變成多少？

答：2+4+……1024+2048，此時(shí)減去原來的式子得到多少？變成2048-1=2047，兩倍的整個(gè)式子減去原式，剩下的不就是原式了？

更直觀一些，設(shè)x=1+2+4+……1024，2x=2+4+……1024+2048，x=2047.

這就是錯(cuò)位相消了。

推廣一下，計(jì)算1+3+9+……6561=？

這個(gè)時(shí)候孩子就要模仿了，兩邊乘以多少合適？還是2？他會(huì)發(fā)現(xiàn)乘以2以后得到的式子和原式相比完全沒有相同的項(xiàng)，這說明乘的不好。那么該乘多少？如果孩子能發(fā)現(xiàn)乘以3，那么再進(jìn)一步引導(dǎo)：如果是1+x+x^2+……x^n是多少呢？

這些都屬于規(guī)律性比較好找的題。那么規(guī)律比較隱蔽的情況呢？

計(jì)算

直接算當(dāng)然是個(gè)辦法，但絕對(duì)不是好辦法。

我們可以看到，在這個(gè)式子里，是個(gè)常規(guī)的數(shù)字，麻煩的是后面的部分

這個(gè)怎么處理呢？

我們看到，1999的平方是分子分母共有的部分，所以關(guān)鍵在后面的怎么處理。再一看，小學(xué)沒有負(fù)數(shù)的概念??！那怎么辦呢？那就從頭開始。

所以后面這部分就等于1了。

一般情況下，我們并不建議這么做。

我們可以縮短每個(gè)階段的練習(xí)時(shí)間，但是盡量不要越過練習(xí)的階段。膨脹要不得，不管是家長還是孩子。

比如請(qǐng)計(jì)算：

所以我們還是先看看簡單的點(diǎn)的，比如從1到2008這2008個(gè)自然數(shù)的數(shù)字之和是多少？

看清楚，是數(shù)字之和，不是讓你仿照高斯大神求和。

首先我們看，一位數(shù)數(shù)字和：從1加到9；

兩位數(shù)數(shù)字和就麻煩一些，首先要考慮1打頭的，從10到19，和分別從1到10；2打頭的，從2到11，一直到9打頭的，和從9到18；

三位數(shù)呢？對(duì)于1開頭的三位數(shù)，等于一位數(shù)數(shù)字和加二位數(shù)數(shù)字和加100；2-9開頭的以此類推。

四位數(shù)呢？對(duì)于1開頭的，就是所有三位數(shù)數(shù)字和加1000；2開頭的四位數(shù)，總共就9個(gè)，窮舉也就算完了。

但是這樣看起來仍然挺麻煩。因?yàn)樗械亩粩?shù)數(shù)字和還是挺難計(jì)算的。那么有沒有更好的辦法呢？

從1到2008，最后這9個(gè)數(shù)先不考慮，那么從1到1999，個(gè)位數(shù)從0-9，大家出現(xiàn)了各200次；十位和百位也都是個(gè)200次；千位的1出現(xiàn)了1000次，所以1到1999數(shù)字和為45×200×3+1000=28000.然后加上后面2×9+1+2+……8=54，所以和為28054.

有人說了，賊老師，你不是一直提倡考試的時(shí)候用常規(guī)方法么？這不是自相矛盾？

并沒有。

平時(shí)訓(xùn)練要精益求精，是為了加大考試的時(shí)候能迅速找到巧妙解法的幾率；而考試的時(shí)候要當(dāng)機(jī)立斷，是萬一找不到巧妙解法時(shí)拿分的關(guān)鍵。所以這個(gè)分寸是要靠練的，考試，也是一門學(xué)問。