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【新智元導(dǎo)讀】很多人在學(xué)機(jī)器學(xué)習(xí)和深度學(xué)習(xí)的時候都有一個感受：所學(xué)的知識零散、不系統(tǒng)，缺乏整體感，這是普遍存在的一個問題。這篇文章對常用的機(jī)器學(xué)習(xí)和深度學(xué)習(xí)算法進(jìn)行了總結(jié)，整理出它們之間的關(guān)系，以及每種算法的核心點(diǎn)，各種算法之間的比較。由此形成了一張算法地圖，以幫助大家更好的理解和記憶這些算法。

下面先看這張圖：

理解和記憶這張圖，對你系統(tǒng)化的掌握機(jī)器學(xué)習(xí)與深度學(xué)習(xí)會非常有幫助！

我們知道，整個機(jī)器學(xué)習(xí)算法可以分為有監(jiān)督學(xué)習(xí)，無監(jiān)督學(xué)習(xí)，強(qiáng)化學(xué)習(xí)3大類。除此之外還有半監(jiān)督學(xué)習(xí)，但我們可以把它歸到有監(jiān)督學(xué)習(xí)中。算法的演變與發(fā)展大多在各個類的內(nèi)部進(jìn)行，但也可能會出現(xiàn)大類間的交叉，如深度強(qiáng)化學(xué)習(xí)就是深度神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)與強(qiáng)化學(xué)習(xí)技術(shù)的結(jié)合。

根據(jù)樣本數(shù)據(jù)是否帶有標(biāo)簽值（label），可以將機(jī)器學(xué)習(xí)算法分成有監(jiān)督學(xué)習(xí)和無監(jiān)督學(xué)習(xí)兩類。如果要識別26個英文字母圖像，我們要將每張圖像和它是哪個字符即其所屬的類型對應(yīng)起來，這個類型就是標(biāo)簽值。

有監(jiān)督學(xué)習(xí)（supervised learning）的樣本數(shù)據(jù)帶有標(biāo)簽值，它從訓(xùn)練樣本中學(xué)習(xí)得到一個模型，然后用這個模型對新的樣本進(jìn)行預(yù)測推斷。它的樣本由輸入值x與標(biāo)簽值y組成：

其中x為樣本的特征向量，是模型的輸入值；y為標(biāo)簽值，是模型的輸出值。標(biāo)簽值可以是整數(shù)也可以是實(shí)數(shù)，還可以是向量。有監(jiān)督學(xué)習(xí)的目標(biāo)是給定訓(xùn)練樣本集，根據(jù)它確定映射函數(shù)：

確定這個函數(shù)的依據(jù)是函數(shù)能夠很好的解釋訓(xùn)練樣本，讓函數(shù)輸出值f(x)與樣本真實(shí)標(biāo)簽值y之間的誤差最小化，或者讓訓(xùn)練樣本集的對數(shù)似然函數(shù)最大化。這里的訓(xùn)練樣本數(shù)是有限的，而樣本所有可能的取值集合在很多情況下是一個無限集，因此只能從中選取一部分樣本參與訓(xùn)練。

日常生活中的很多機(jī)器學(xué)習(xí)應(yīng)用，如垃圾郵件分類，手寫文字識別，人臉識別，語音識別等都是有監(jiān)督學(xué)習(xí)。這類問題需要先收集訓(xùn)練樣本，對樣本進(jìn)行進(jìn)行標(biāo)注，用標(biāo)注好的訓(xùn)練樣本訓(xùn)模型，然后根據(jù)模型對新的樣本進(jìn)行預(yù)測。

無監(jiān)督學(xué)習(xí)（unsupervised learning）對沒有標(biāo)簽的樣本進(jìn)行分析，發(fā)現(xiàn)樣本集的結(jié)構(gòu)或者分布規(guī)律。無監(jiān)督學(xué)習(xí)的典型代表是聚類和數(shù)據(jù)降維。

強(qiáng)化學(xué)習(xí)是一類特殊的機(jī)器學(xué)習(xí)算法，它根據(jù)輸入數(shù)據(jù)確定要執(zhí)行的動作，在這里。輸入數(shù)據(jù)是環(huán)境參數(shù)。和有監(jiān)督學(xué)習(xí)算法類似，這里也有訓(xùn)練過程中。在訓(xùn)練時，對于正確的動作做出獎勵，對錯誤的動作做出懲罰，訓(xùn)練完成之后就用得到的模型進(jìn)行預(yù)測。

在有監(jiān)督學(xué)習(xí)算法中，我們列出了5個分支：

分別是決策樹，貝葉斯，線性模型，kNN，LDA（線性判別分析），集成學(xué)習(xí)。LDA也可以歸類到線性模型中，但因?yàn)樗且环N有監(jiān)督的投影技術(shù)，我們單獨(dú)列出。

決策樹是一種基于規(guī)則的方法，它的規(guī)則是通過訓(xùn)練樣本學(xué)習(xí)得到的，典型的代表是ID3，C4.5，以及分類與回歸樹。

集成學(xué)習(xí)是機(jī)器學(xué)習(xí)中一類重要的算法，它通過將多個簡單的模型進(jìn)行集成，得到一個更強(qiáng)大的模型，簡單的模型稱為弱學(xué)習(xí)器。決策樹與集成學(xué)習(xí)算法相結(jié)合，誕生了隨機(jī)森林，Boosting這兩類算法（事實(shí)上，Boosting算法的弱學(xué)習(xí)器不僅可以用決策樹，還可以用其他算法）。

線性模型是最大的一個分支，從它最后衍生除了一些復(fù)雜的非線性模型。如果用于分類問題，最簡單的線性模型是線性回歸，加上L2和L1正則化項(xiàng)之后，分別得到嶺回歸和LASSO回歸。對于分類問題，最簡單的是感知器模型，從它衍生出了支持向量機(jī)，logistic回歸，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)3大分支。而神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)又衍生出了各種不同的結(jié)構(gòu)。包括自動編碼器，受限玻爾茲曼機(jī)，卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，循環(huán)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，生成對抗網(wǎng)絡(luò)等。當(dāng)然，還有其他一些類型的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，因?yàn)槭褂煤苌伲栽谶@里不列出。

kNN算法基于模板匹配的思想，是最簡單的一種機(jī)器學(xué)習(xí)算法，它依賴于距離定義，而距離同樣可以由機(jī)器學(xué)習(xí)而得到，這就是距離度量學(xué)習(xí)。

貝葉斯也是有監(jiān)督學(xué)習(xí)算法中的一個大分支，最簡單的是貝葉斯分類器，更復(fù)雜的有貝葉斯網(wǎng)絡(luò)。而貝葉斯分類器又有樸素貝葉斯和正態(tài)貝葉斯兩種實(shí)現(xiàn)。

接下來說無監(jiān)督學(xué)習(xí)，它可以分為數(shù)據(jù)降維算法和聚類算法兩大類。演變關(guān)系如下圖所示：

無監(jiān)督的降維算法可以分為線性降維和非線性降維兩大類。前者的典型代表是主成分分析（PCA），通過使用核技術(shù)，可以把它擴(kuò)展為非線性的版本。流形學(xué)習(xí)是非線性降維技術(shù)的典型實(shí)現(xiàn)，代表性的算法有局部線性嵌入（LLE），拉普拉斯特征映射，等距映射，局部保持投影，它們都基于流形假設(shè)。流形假設(shè)不僅在降維算法中有用，在半監(jiān)督學(xué)習(xí)、聚類算法中同樣有使用。

聚類算法可以分為層次距離，基于質(zhì)心的聚類，基于概率分布的距離，基于密度的聚類，基于圖的聚類這幾種類型。它們從不同的角度定義簇（cluster）?；谫|(zhì)心的聚類典型代表是k均值算法?；诟怕史植嫉木垲惖湫痛硎荅M算法?；诿芏鹊木垲惖湫痛硎荄BSCAN算法，OPTICS算法，Mean shift算法?；趫D的聚類典型代表是譜聚類算法。

強(qiáng)化學(xué)習(xí)是機(jī)器學(xué)習(xí)中的一個特殊分支，用于決策、控制問題。這類算法的演變關(guān)系如下圖所示：

整個強(qiáng)化學(xué)習(xí)的理論模型可以抽象成馬爾可夫決策過程。核心任務(wù)是求解使得回報(bào)最大的策略。如果直接用動態(tài)規(guī)劃求解，則有策略迭代和價(jià)值迭代兩類算法。他們都要求有精確的環(huán)境模型，即狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率和獎勵函數(shù)。如果做不到這一點(diǎn)，只能采用隨機(jī)算法，典型的代表是蒙特卡羅算法和時序差分算法。強(qiáng)化學(xué)習(xí)與深度學(xué)習(xí)相結(jié)合，誕生了深度強(qiáng)化學(xué)習(xí)算法，典型代表是深度Q網(wǎng)絡(luò)（DQN）以及策略梯度算法（策略梯度算法不僅可用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)作為策略函數(shù)的近似，還可以用其他函數(shù)）。

下面我們來分別介紹每種算法的核心知識點(diǎn)以及它們之間的關(guān)系。

先看有監(jiān)督學(xué)習(xí)算法，它是當(dāng)前實(shí)際應(yīng)用中使用最廣的機(jī)器學(xué)習(xí)算法。進(jìn)一步可以分為分類問題與回歸問題兩大類。前面說過，有監(jiān)督學(xué)習(xí)算法的預(yù)測函數(shù)為：

即根據(jù)輸入數(shù)據(jù)x預(yù)測出輸出數(shù)據(jù)y。如果y是整數(shù)的類別編號，則稱為分類問題；如果y是實(shí)數(shù)值，則為回歸問題。

分類問題中樣本的特征向量取值x與樣本所屬類型y具有因果關(guān)系。因?yàn)闃颖緦儆陬愋蛓，所以具有特征值x。分類器要做的則相反，是在已知樣本的特征向量為x的條件下反推樣本所屬的類別y。根據(jù)貝葉斯公式有：

只要知道特征向量的概率分布p(x)，每一類出現(xiàn)的概率p(y)，以及每一類樣本的條件概率p(x|y)，就可以計(jì)算出樣本屬于每一類的概率p(y|x)。如果只要確定類別，比較樣本屬于每一類的概率的大小，找出該值最大的那一類即可。因此可以忽略p(x)，因?yàn)樗鼘λ蓄惗际且粯拥?。簡化后分類器的判別函數(shù)為：

訓(xùn)練時的目標(biāo)是確定p(x|y)的參數(shù)，一般使用最大似然估計(jì)。如果假設(shè)樣本特征向量的各個分量之間相互獨(dú)立，則稱為樸素貝葉斯分類器。如果假設(shè)特征向量x服從多維正態(tài)分布，則稱為正態(tài)貝葉斯分類器。正態(tài)貝葉斯分類器的預(yù)測函數(shù)為：

貝葉斯分類器是一種生成模型，是非線性模型，它天然的支持多分類問題。下圖是正態(tài)貝葉斯分類器對異或問題的分類結(jié)果（來自SIGAI云端實(shí)驗(yàn)室）：

決策樹是基于規(guī)則的方法，它用一組嵌套的規(guī)則進(jìn)行預(yù)測，在樹的每個決策節(jié)點(diǎn)處，根據(jù)判斷結(jié)果進(jìn)入一個分支，反復(fù)執(zhí)行這種操作直到到達(dá)葉子節(jié)點(diǎn)，得到?jīng)Q策結(jié)果。決策樹的這些規(guī)則通過訓(xùn)練得到，而不是人工制定的。下圖是決策樹的一個例子：

決策樹是一種判別模型，也是非線性模型，天然支持多類分類問題。它既可以用于分類問題，也可以用于回歸問題，具有很好的解釋性，符合人類的思維習(xí)慣。常用的決策樹有ID3，C4.5，分類與回歸樹（CART）等。

分類樹對應(yīng)的映射函數(shù)是多維空間的分段線性劃分，即用平行于各個坐標(biāo)軸的超平面對空間進(jìn)行切分；回歸樹的映射函數(shù)是一個分段常數(shù)函數(shù)。決策樹是分段線性函數(shù)但不是線性函數(shù)，它具有非線性建模的能力。只要劃分的足夠細(xì)，分段常數(shù)函數(shù)可以逼近閉區(qū)間上任意函數(shù)到任意指定精度，因此決策樹在理論上可以對任意復(fù)雜度的數(shù)據(jù)進(jìn)行分類或者回歸。

下圖是決策樹進(jìn)行空間劃分的一個例子。在這里有紅色和藍(lán)色兩類訓(xùn)練樣本，用下面兩條平行于坐標(biāo)軸的直線可以將這兩類樣本分開（來自SIGAI云端實(shí)驗(yàn)室）：

這個劃分方案對應(yīng)的決策樹如下圖所示：

對于分類與回歸樹，訓(xùn)練每個節(jié)點(diǎn)時的目標(biāo)是要讓Gini不純度最小化，這等價(jià)于讓下面的值最大化：

決策樹訓(xùn)練求解時采用了枚舉搜索和貪婪法的思想，找到的不一定是結(jié)構(gòu)最優(yōu)的樹。如果想要了解決策樹的原理，請閱讀SIGAI之前的公眾號文章“理解決策樹”。

kNN算法基于以下思想：要確定一個樣本的類別，可以計(jì)算它與所有訓(xùn)練樣本的距離，然后找出和該樣本最接近的k個樣本，統(tǒng)計(jì)這些樣本的類別進(jìn)行投票，票數(shù)最多的那個類就是分類結(jié)果。因?yàn)橹苯颖容^樣本和訓(xùn)練樣本的距離，kNN算法也被稱為基于實(shí)例的算法，這實(shí)際上是一種模板匹配的思想。

下圖是使用k近鄰思想進(jìn)行分類的一個例子：

在上圖中有紅色和綠色兩類樣本。對于待分類樣本即圖中的黑色點(diǎn)，我們尋找離該樣本最近的一部分訓(xùn)練樣本，在圖中是以這個矩形樣本為圓心的某一圓范圍內(nèi)的所有樣本。然后統(tǒng)計(jì)這些樣本所屬的類別，在這里紅色點(diǎn)有12個，圓形有2個，因此把這個樣本判定為紅色這一類。上面的例子是二分類的情況，我們可以推廣到多類，k近鄰算法天然支持多類分類問題，它是一種判別模型，也是非線性模型。下圖是kNN算法對異或問題的分類結(jié)果（來自SIGAI云端實(shí)驗(yàn)室）：

kNN算法依賴于樣本距離值，常用的距離有歐氏距離，Mahalanobis距離等。這些距離定義中的參數(shù)可以通過學(xué)習(xí)得到，如Mahalanobis距離中的矩陣S，這稱為距離度量學(xué)習(xí)。

線性模型的預(yù)測函數(shù)是線性函數(shù)，既可以用于分類問題，也可以用于回歸問題，這是機(jī)器學(xué)習(xí)算法中的一個龐大家族。從線性模型中衍生出了多種機(jī)器學(xué)習(xí)算法，對于回歸問題問題，有嶺回歸，LASSO回歸；對于分類問題，有支持向量機(jī)，logistic回歸，softmax回歸，人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)（多層感知器模型），以及后續(xù)的各種深度神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)。

對于分類問題，線性模型的預(yù)測函數(shù)為：

其中sgn是符號函數(shù)。最簡單的線性分類器是感知器算法，它甚至無法解決經(jīng)典的異或問題，不具有太多的實(shí)用價(jià)值。

對于回歸問題，線性模型的預(yù)測函數(shù)為：

訓(xùn)練時的目標(biāo)是最小化均方誤差：

可以證明，這是一個凸優(yōu)化問題，可以得到全局極小值。求解時可以采用梯度下降法或者牛頓法。

嶺回歸是線性回歸的L2正則化版本，訓(xùn)練時求解的問題為：

如果系數(shù)

LASSO回歸是線性回歸的L1正則化版本，訓(xùn)練時求解的問題為：

同樣的，這是一個凸優(yōu)化問題，可以用梯度下降法和牛頓法求解。

線性判別分析（LDA）是一種有監(jiān)督的線性投影技術(shù)，它尋找向低維空間的投影矩陣W，樣本的特征向量x經(jīng)過投影之后得到的新向量y：

投影的目標(biāo)是同一類樣投影后的結(jié)果向量差異盡可能小，不同類的樣本差異盡可能大。直觀來看，就是經(jīng)過這個投影之后同一類的樣本進(jìn)來聚集在一起，不同類的樣本盡可能離得遠(yuǎn)。下圖是這種投影的示意圖：

訓(xùn)練時的求解目標(biāo)是最大化類間差異與類內(nèi)差異的比值：

最后歸結(jié)為求解矩陣的特征值和特征向量：

如果我們要將向量投影到c-1維，則挑選出最大的c-1個特征值以及它們對應(yīng)的特征向量，組成矩陣W。線性判別分析不能直接用于分類問題，它只是完成投影，投影之后還需要用其他算法進(jìn)行分類，如kNN。下圖是LDA降維之后用最小距離分類器分類的結(jié)果：

從這張圖可以看出，決策面是直線。LDA是一種線性模型，也是判別模型，只能用于分類問題。

logistic回歸即對數(shù)幾率回歸，它的名字雖然叫“回歸”，但卻是一種用于二分類問題的分類算法，它用sigmoid函數(shù)估計(jì)出樣本屬于某一類的概率。這種算法可以看做是對線性分類器的改進(jìn)。

預(yù)測函數(shù)為：

其中為線性映射權(quán)向量，由訓(xùn)練算法確定。訓(xùn)練時的優(yōu)化目標(biāo)是最大化對數(shù)似然函數(shù)：

這是一個凸優(yōu)化問題，可以得到全局最優(yōu)解，求解時可以采用梯度下降法或者牛頓法。分類時的判斷規(guī)則為：

logistic回歸是一種判別模型，也是線性模型，它只支持二分類問題。下圖是用logistic回歸進(jìn)行分類的結(jié)果（來自SIGAI云端實(shí)驗(yàn)室）：

從上圖可以看到，分界面是一條直線，這也說明了它是一個線性模型。

logistic回歸只能用于二分類問題，將它進(jìn)行推廣可以得到處理多類分類問題的softmax回歸。softmax回歸按照下面的公式估計(jì)一個樣本屬于每一類的概率：

模型的輸出為一個k維向量，其元素之和為1，每一個分量為樣本屬于該類的概率。訓(xùn)練時的損失函數(shù)定義為：

上式是對logistic回歸損失函數(shù)的推廣。這個損失函數(shù)是凸函數(shù)，可以采用梯度下降法求解。Softmax回歸是一種判別模型，也是線性模型，它支持多分類問題。

支持向量機(jī)是對線性分類器的改進(jìn)，加上了最大化分類間隔的約束，另外還使用了核技術(shù)，通過非線性核解決非線性問題。一般情況下，給定一組訓(xùn)練樣本可以得到不止一個可行的線性分類器，下圖就是一個例子：

在上圖中兩條直線都可以將兩類樣本分開。問題是：在多個可行的線性分類器中，什么樣的分類器是好的？為了得到好的泛化性能，分類平面應(yīng)該不偏向于任何一類，并且離兩個類的樣本都盡可能的遠(yuǎn)。這種最大化分類間隔的目標(biāo)就是支持向量機(jī)的基本思想。支持向量機(jī)在訓(xùn)練時優(yōu)化的目標(biāo)是讓訓(xùn)練樣本盡量分類正確，而且決策面離兩類樣本盡可能遠(yuǎn)。原問題帶有太多的不等式約束，一般轉(zhuǎn)化為對偶問題求解，使用拉格朗日對偶，加上核函數(shù)之后，優(yōu)化的對偶問題為：

預(yù)測函數(shù)為：

這是一個凸優(yōu)化問題，可以得到全局最優(yōu)解，求解時一般采用SMO算法，這是一種分治法，每次挑選出兩個變量進(jìn)行優(yōu)化，對這兩個變量的優(yōu)化問題求公式解。優(yōu)化變量的選擇使用了KKT條件。

支持向量機(jī)是一種判別模型，既支持分類問題，也支持回歸問題，如果使用非線性核，則是一種非線性模型，這從它的預(yù)測函數(shù)也可以看出來。標(biāo)準(zhǔn)的支持向量機(jī)只能解決二分類問題，通過多個二分類器組合，可以解決多分類問題，另外一種思路是直接構(gòu)造多類的損失函數(shù)來解決多分類問題。下圖是用支持向量機(jī)對異或問題進(jìn)行分類的結(jié)果（來自SIGAI云端實(shí)驗(yàn)室）：

人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)是一種仿生方法，受啟發(fā)于人腦的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)。從數(shù)學(xué)上看，它本質(zhì)上是一個多層復(fù)合函數(shù)。如果使用sigmoid作為激活函數(shù)，它的單個神經(jīng)元就是logistic回歸。假設(shè)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的輸入是n維向量x，輸出是m維向量y，它實(shí)現(xiàn)了如向量到向量的映射：

將這個函數(shù)記為：

神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)第層的變換寫成矩陣和向量形式為：

如果采用歐氏距離，訓(xùn)練時的優(yōu)化目標(biāo)為：

這不是一個凸優(yōu)化問題，因此不能保證得到全局極小值?？梢圆捎锰荻认陆捣ㄇ蠼?，因?yàn)槭且粋€復(fù)合函數(shù)，需要對各層的權(quán)重與偏置求導(dǎo)，采用了反向傳播算法，它從多元函數(shù)求導(dǎo)的鏈?zhǔn)椒▌t導(dǎo)出。誤差項(xiàng)的計(jì)算公式為，對于輸出層：

對于隱含層：

根據(jù)誤差項(xiàng)可以得到權(quán)重和偏置的梯度值：

然后用梯度下降法更新。神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)是一個判別模型，并且是非線性模型，它既支持分類問題，也支持回歸問題，并且支持多分類問題。下圖是用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對異或問題的分類結(jié)果（來自SIGAI云端實(shí)驗(yàn)室）：

深度神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)是對多層感知器模型的進(jìn)一步發(fā)展，它可以完成自動的特征提取，端到端的訓(xùn)練，是深度學(xué)習(xí)的核心技術(shù)。可以分為自動編碼器，受限玻爾茲曼機(jī)，卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，循環(huán)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，生成對抗網(wǎng)絡(luò)這幾種類型。

自動編碼器用一個單層或者多層神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對輸入數(shù)據(jù)進(jìn)行映射，得到輸出向量，作為從輸入數(shù)據(jù)提取出的特征。在這種框架中，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的前半部分稱為編碼器，用于從原始輸入數(shù)據(jù)中提取特征；后半部分稱為解碼器，訓(xùn)練時根據(jù)提取的特征重構(gòu)原始數(shù)據(jù)，它只用于訓(xùn)練階段。

訓(xùn)練時的做法是先經(jīng)過編碼器得到編碼后的向量，然后再通過解碼器得到解碼后的向量，用解碼后的向量和原始輸入向量計(jì)算誤差。如果編碼器的映射函數(shù)為h，解碼器的映射函數(shù)為g，訓(xùn)練時優(yōu)化的目標(biāo)函數(shù)為：

在這里同樣采用梯度下降法和反向傳播算法。自動編碼器的改進(jìn)型有去噪自動編碼器，收縮自動編碼器，變分自動編碼器，稀疏編碼等。

單個自動編碼器只能進(jìn)行一層特征提取，可以將多個自動編碼器組合起來使用，得到一種稱為層疊編碼器的結(jié)構(gòu)。層疊自動編編碼器由多個自動動編碼器串聯(lián)組成，能夠逐層提取輸入數(shù)據(jù)的特征，在此過程中逐層降低輸入數(shù)據(jù)的維度，將高維的輸入數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)化成低維的特征。

受限玻爾茲曼機(jī)由Hinton等人提出，是一種生成式隨機(jī)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，這是一種概率模型。在這種模型中，神經(jīng)元的狀態(tài)值是以隨機(jī)的方式確定的，而不像之前介紹的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)那樣是確定性的。

受限玻爾茲曼機(jī)的數(shù)據(jù)分為可見變量和隱變量兩種類型，并定義了它們之間的概率關(guān)系。可見變量是神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的輸入數(shù)據(jù)，如圖像；隱變量是從輸入數(shù)據(jù)中提取的特征。在受限玻爾茲曼機(jī)中，可見變量和隱藏變量都是二元變量，即其取值只能為0或1，整個神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)是一個二部圖。

可見節(jié)點(diǎn)用向量表示為v，隱藏節(jié)點(diǎn)用向量表示為h。任意可見節(jié)點(diǎn)和隱藏節(jié)點(diǎn)之間都有邊連接。(v, h)的聯(lián)合概率服從玻爾茲曼分布，聯(lián)合概率定義為：

訓(xùn)練時迭代更新權(quán)重參數(shù)直至網(wǎng)絡(luò)收斂，這種方法稱為Contrastive Divergence。

和自動編碼器類似，可以將多個受限玻爾茲曼機(jī)層疊加起來使用，在種結(jié)構(gòu)稱為深度玻爾茲曼機(jī)（Deep Boltzmann Machine），簡稱DBM。通過多層的受限玻爾茲曼機(jī)，可以完成數(shù)據(jù)在不同層次上的特征提取和抽象。

在DBM中，所有層的節(jié)點(diǎn)之間的連接關(guān)系是無向的，如果我們限制某些層之間的連接關(guān)系為有向的，就得到了另外一種結(jié)構(gòu)，稱為深信度網(wǎng)絡(luò)（Deep Belief Network），簡稱DBN。在DBN中，靠近輸入層的各個層之間的連接關(guān)系是有向的，是貝葉斯置信網(wǎng)；靠近輸出層的各個層之間的連接關(guān)系是無向的，是受限玻爾茲曼機(jī)。

在所有深度學(xué)習(xí)框架中，卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)應(yīng)用最為廣泛，在機(jī)器視覺等具有空間結(jié)構(gòu)的數(shù)據(jù)問題上取得了成功。標(biāo)準(zhǔn)的卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)由卷積層，池化層，全連接層構(gòu)成?？梢钥醋鍪菣?quán)重共享的全連接神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)。

訓(xùn)練時同樣采用梯度下降法和反向傳播算法。對于卷積層，根據(jù)誤差項(xiàng)計(jì)算卷積核梯度的計(jì)算公式為：

卷層誤差項(xiàng)的遞推公式為：

也可以用矩陣乘法來實(shí)現(xiàn)卷積，這種做法更容易理解，可以方便的計(jì)算出對卷積核的梯度值。

循環(huán)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)是僅次于卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的第二大深度神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，在語音識別、自然語言處理等問題上取得了成功。循環(huán)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)具有記憶功能，用于時間序列數(shù)據(jù)預(yù)測。循環(huán)層實(shí)現(xiàn)的映射為：

輸出層實(shí)現(xiàn)的映射為：

對單個樣本，訓(xùn)練時的損失函數(shù)為各個時刻的損失函數(shù)之和：

這里的反向傳播算法稱為BPTT（Back Propagation Through Time），在時間軸上進(jìn)行反向傳播。誤差項(xiàng)的遞推計(jì)算公式為：

根據(jù)誤差項(xiàng)計(jì)算權(quán)重和偏置的公式為：

生成對抗網(wǎng)絡(luò)（Generative Adversarial Network，簡稱GAN）是用機(jī)器學(xué)習(xí)的方法來解決數(shù)據(jù)生成問題的一種框架，它的目標(biāo)是生成服從某種隨機(jī)分布的數(shù)據(jù)，由Goodfellow在2014年提出。 這種模型能夠找出樣本數(shù)據(jù)內(nèi)部的概率分布規(guī)律，并根據(jù)這種規(guī)律產(chǎn)生出新的數(shù)據(jù)。

整個框架由一個生成模型和一個判別模型組成。生成模型用于學(xué)習(xí)真實(shí)數(shù)據(jù)的概率分布，并生成符合這種分布的數(shù)據(jù)；判別模型的任務(wù)是判斷一個輸入數(shù)據(jù)是來自于真實(shí)數(shù)據(jù)集還是由生成模型生成的。在訓(xùn)練時，通過兩個模型之間不斷的競爭，從而分別提高這兩個模型的生成能力和判別能力。

生成模型的輸入是隨機(jī)噪聲z，輸出是產(chǎn)生的數(shù)據(jù)G(z)。判別模型的輸入是真實(shí)樣本，或者生成網(wǎng)絡(luò)生成的數(shù)據(jù)，得到的是它們的分類結(jié)果D(x)。

訓(xùn)練的目標(biāo)是讓判別模型能夠最大程度的正確區(qū)分真實(shí)樣本和生成模型生成的樣本；同時要讓生成模型使生成的樣本盡可能的和真實(shí)樣本相似。即：判別模型要盡可能將真實(shí)樣本判定為真實(shí)樣本，將生成模型產(chǎn)生的樣本判定為生成樣本；生成模型要盡量讓判別模型將自己生成的樣本判定為真實(shí)樣本?；谝陨?個要求，對于生成模型生成的樣本，要最小化如下目標(biāo)函數(shù)：

這意味著如果生成模型生成的樣本和真實(shí)樣本越接近，被判別模型判斷為真實(shí)樣本的概率就越大，即D(G(z))的值越接近于1，目標(biāo)函數(shù)的值越小。另外還要考慮真實(shí)的樣本，對真實(shí)樣本要盡量將它判別成1。這樣要優(yōu)化的目標(biāo)函數(shù)定義為：

在這里判別模型和生成模型是目標(biāo)函數(shù)的自變量，它們的參數(shù)是要優(yōu)化的變量。求解時采用了交替優(yōu)化的策略，先固定住生成網(wǎng)絡(luò)，訓(xùn)練判別網(wǎng)絡(luò)；然后固定住判別網(wǎng)絡(luò)，訓(xùn)練生成網(wǎng)絡(luò)。每個網(wǎng)絡(luò)的訓(xùn)練都采用梯度下降法和反向傳播算法。

集成學(xué)習(xí)（ensemble learning）是一類機(jī)器學(xué)習(xí)算法，它通過多個模型的組合形成一個精度更高的模型，參與組合的模型稱為弱學(xué)習(xí)器（weak learner）。在預(yù)測時使用這些弱學(xué)習(xí)器模型聯(lián)合進(jìn)行預(yù)測；訓(xùn)練時需要用訓(xùn)練樣本集依次訓(xùn)練出這些弱學(xué)習(xí)器。隨機(jī)森林和AdaBoost算法是這類算法的典型代表。

隨機(jī)森林由多棵決策樹組成。用多棵決策樹聯(lián)合預(yù)測可以提高模型的精度，這些決策樹用對訓(xùn)練樣本集隨機(jī)抽樣構(gòu)造出樣本集訓(xùn)練得到。由于訓(xùn)練樣本集由隨機(jī)抽樣構(gòu)造，因此稱為隨機(jī)森林。隨機(jī)森林不僅對訓(xùn)練樣本進(jìn)行抽樣，還對特征向量的分量隨機(jī)抽樣，在訓(xùn)練決策樹時，每次分裂時只使用一部分抽樣的特征分量作為候選特征進(jìn)行分裂。下圖是隨機(jī)森林對異或問題的分類結(jié)果（來自SIGAI云端實(shí)驗(yàn)室）：

對應(yīng)的隨機(jī)森林如下圖所示：

隨機(jī)森林是一種判別模型，也是一種非線性模型，它既支持分類問題，也支持回歸問題，并且支持多分類問題，有很好的解釋性。

Boosting算法也是一種集成學(xué)習(xí)算法。它的分類器由多個弱分類器組成，預(yù)測時用每個弱分類器分別進(jìn)行預(yù)測，然后投票得到結(jié)果；訓(xùn)練時依次訓(xùn)練每個弱分類器，在這里和隨機(jī)森林采用了不同的策略，不是對樣本進(jìn)行隨機(jī)抽樣構(gòu)造訓(xùn)練集，而是重點(diǎn)關(guān)注被前面的弱分類器錯分的樣本。弱分類器是很簡單的分類器，它計(jì)算量小且精度不用太高。

AdaBoost算法由Freund等人提出，是Boosting算法的一種實(shí)現(xiàn)版本。在最早的版本中，這種方法的弱分類器帶有權(quán)重，分類器的預(yù)測結(jié)果為弱分類器預(yù)測結(jié)果的加權(quán)和。訓(xùn)練時訓(xùn)練樣本具有權(quán)重，并且會在訓(xùn)練過程中動態(tài)調(diào)整，被前面的弱分類器錯分的樣本會加大權(quán)重，因此算法會關(guān)注難分的樣本。

強(qiáng)分類器的計(jì)算公式為：

分類時的判定規(guī)則為：

訓(xùn)練目標(biāo)是最小化指數(shù)損失函數(shù)：

求解時采用了分階段優(yōu)化的策略，先把弱分類器的權(quán)重當(dāng)做常數(shù)，優(yōu)化弱分類器。得到弱分類器之后，再優(yōu)化它的權(quán)重。弱分類器的權(quán)重計(jì)算公式為：

樣本權(quán)重的更新公式為：

AdaBoost算法的原則是關(guān)注之前被錯分的樣本，準(zhǔn)確率高的弱分類器有更大的權(quán)重。

AdaBoost算法是一個判別模型，也是非線性模型，它只支持二分類問題。下圖是用AdaBoost算法對異或問題的分類結(jié)果（來自SIGAI云端實(shí)驗(yàn)室）：

相對于有監(jiān)督學(xué)習(xí)，無監(jiān)督學(xué)習(xí)的研究進(jìn)展更為緩慢，算法也相對較少。無監(jiān)督學(xué)習(xí)可以分為聚類和降維兩大類，下面分別介紹。

聚類屬于無監(jiān)督學(xué)習(xí)問題，其目標(biāo)是將樣本集劃分成多個類，保證同一類的樣本之間盡量相似，不同類的樣本之間盡量不同。這些類被稱為簇（cluster）。與有監(jiān)督的分類算法不同，聚類算法沒有訓(xùn)練過程，直接完成對一組樣本的劃分從而確定每個樣本的類別歸屬。我們一般將距離算法分為層次距離，基于質(zhì)心的聚類，基于密度的聚類，基于概率分布的聚類，基于圖的聚類這幾種類型，它們從不同的角度定義簇。

k均值算法是一種被廣為用于實(shí)際問題的聚類算法。它將樣本劃分成k個類，參數(shù)k由人工設(shè)定。算法將每個樣本分配到離它最近的那個類中心所屬的類，而類中心的確定又依賴于樣本的分配方案。假設(shè)樣本集有l(wèi)個樣本，給定參數(shù)k的值，算法將這些樣本劃分成k個集合：

最優(yōu)分配方案是如下最優(yōu)化問題的解：

其中

 基于概率分布的算法假設(shè)每一個簇的樣本服從相同的概率分布，這是一種生成模型。經(jīng)常使用的是多維正態(tài)分布，如果服從這種分布，則為高斯混合模型，在求解時一般采用EM算法。

EM算法是一種迭代法，其目標(biāo)是求解似然函數(shù)或后驗(yàn)概率的極值，而樣本中具有無法觀測的隱含變量z。例如有一批樣本分屬于3個類，每個類的樣本都服從正態(tài)分布，均值和協(xié)方差未知，并且每個樣本屬于哪個類也是未知的，需要在這種情況下估計(jì)出每個正態(tài)分布的均值和協(xié)方差。算法在實(shí)現(xiàn)時分為兩步：

E步，基于當(dāng)前的參數(shù)估計(jì)值

M步，求解如下極值問題，更新

實(shí)現(xiàn)時

迭代終止的判定規(guī)則是相鄰兩次函數(shù)值之差小于指定閾值。

DBSCAN算法是一種基于密度的算法，對噪聲魯棒。它將簇定義為樣本密集的區(qū)域，算法從一個種子樣本開始，反復(fù)向密集的區(qū)域生長，直至到達(dá)邊界。

算法首先找出核心點(diǎn)，即周圍樣本非常密集的那些樣本點(diǎn)。然后從某一核心點(diǎn)出發(fā)，不斷向密度可達(dá)的區(qū)域擴(kuò)張，得到一個包含核心點(diǎn)和邊界點(diǎn)的最大區(qū)域，這個區(qū)域中任意兩點(diǎn)密度相連。下圖是DBSCAN算法的聚類結(jié)果（來自SIGAI云端實(shí)驗(yàn)室）：

 OPTICS算法是對DBSCAN算法的改進(jìn)，對參數(shù)更不敏感。它不直接生成簇，而是對本進(jìn)行排序，這種排序包含了聚類信息。

均值漂移（Mean Shift）算基于核密度估計(jì)技術(shù)，是一種尋找概率密度函數(shù)極值點(diǎn)的算法。在用于聚類任務(wù)時，它尋找概率密度函數(shù)的極大值點(diǎn)，即樣本分別最密集的位置，以此得到簇。

基于圖的算法把樣本數(shù)據(jù)看成圖的頂點(diǎn)，通過數(shù)據(jù)點(diǎn)之間的距離構(gòu)造邊，形成帶權(quán)圖。通過圖的切割實(shí)現(xiàn)聚類，即將圖切分成多個子圖，這些子圖就是對應(yīng)的簇?；趫D的聚類算法典型的代表是譜聚類算法。譜聚類算法首先構(gòu)造數(shù)據(jù)的鄰接圖，得到圖的拉普拉斯矩陣。接下來對矩陣進(jìn)行特征值分解，通過特征值和特征向量構(gòu)造出簇。

在有些應(yīng)用中，向量的維數(shù)非常高。以圖像數(shù)據(jù)為例，對于高度和寬度分別為100像素的圖像，如果將所有像素值拼接起來形成一個向量，這個向量的維數(shù)是10000。另外向量的各個分量之間可能存在相關(guān)性。直接將向量送入機(jī)器學(xué)習(xí)算法中處理效率會很低，也影響算法的精度。為了可視化顯示數(shù)據(jù)，我們也需要把向量變換到低維空間中。

主成分分析（principal component analysis，簡稱PCA）是一種數(shù)據(jù)降維和去除相關(guān)性的方法，它通過線性變換將向量投影到低維空間。對向量進(jìn)行投影就是讓向量左乘一個矩陣得到結(jié)果向量，這也是線性代數(shù)中講述的線性變換：

降維要確保的是在低維空間中的投影能很好的近似表達(dá)原始向量，即重構(gòu)誤差最小化。下圖是主分量投影示意圖：

在上圖中樣本用紅色的點(diǎn)表示，傾斜的直線是它們的主要變化方向。將數(shù)據(jù)投影到這條直線上即完成數(shù)據(jù)的降維，把數(shù)據(jù)從2維降為1維。

尋找投影矩陣時要優(yōu)化的目標(biāo)是使得重構(gòu)誤差最小化：

使得該函數(shù)取最小值

矩陣W的列

雖然都是線性投影算法，但主成分分析和線性判別分析有本質(zhì)的不同，前者是無監(jiān)督的，后者是有監(jiān)督的，計(jì)算過程中使用了類別標(biāo)簽信息。

主成分分析是一種線性降維技術(shù)，對于高度非線性的數(shù)據(jù)具有局限性，而在實(shí)際應(yīng)用中很多時候數(shù)據(jù)是非線性的。此時可以采用非線性降維技術(shù)，流形學(xué)習(xí)（manifold learning）是非線性降維技術(shù)的典型代表。

流形是微分幾何中的一個概念，它是高維空間中的幾何結(jié)構(gòu)，即空間中的點(diǎn)構(gòu)成的集合，可以簡單的理解成二維空間的曲線，三維空間的曲面在更高維空間的推廣。下圖是三維空間中的一個流形，這是一個卷曲的曲面：

假設(shè)有一個N維空間中的流形M，即：

流形學(xué)習(xí)降維要實(shí)現(xiàn)的是如下映射：

其中n<>

局部線性嵌入（簡稱LLE）將高維數(shù)據(jù)投影到低維空間中，并保持?jǐn)?shù)據(jù)點(diǎn)之間的局部線性關(guān)系。其核心思想是每個點(diǎn)都可以由與它相近的多個點(diǎn)的線性組合來近似，投影到低維空間之后要保持這種線性重構(gòu)關(guān)系，并且有相同的重構(gòu)系數(shù)。

每個數(shù)據(jù)點(diǎn)和它的鄰居位于或者接近于流形的一個局部線性片段上，即可以用它鄰居點(diǎn)的線性組合來重構(gòu)，組合系數(shù)刻畫了這些局部面片的幾何特性：

權(quán)重系數(shù)通最小化下面的重構(gòu)誤差確定：

假設(shè)非線性映射將向量從D維空間的x映射為d維空間的y。每個點(diǎn)在d維空間中的坐標(biāo)由下面的最優(yōu)化問題確定：

這里的權(quán)重和上一個優(yōu)化問題的值相同，在前面已經(jīng)得到。下圖為用LLE算法將手寫數(shù)字圖像投影到3維空間后的結(jié)果（來自SIGAI云端實(shí)驗(yàn)室）：

等距映射（Isomap）使用了微分幾何中測地線的思想，它希望數(shù)據(jù)在向低維空間映射之后能夠保持流形上的測地線距離。

測地線源自于大地測量學(xué)，是指地球上任意兩點(diǎn)之間在球面上的最短路徑。在三維空間中兩點(diǎn)之間的最短距離是它們之間線段的長度，但如果要沿著地球表面走，最短距離就是測地線的長度，因?yàn)槲覀儾豢赡軓牡厍騼?nèi)部穿過去。算法計(jì)算任意兩個樣本之間的測地距離，然后根據(jù)這個距離構(gòu)造距離矩陣。最后通過距離矩陣求解優(yōu)化問題完成數(shù)據(jù)的降維，降維之后的數(shù)據(jù)保留了原始數(shù)據(jù)點(diǎn)之間的距離信息。

降維過求解如下最優(yōu)化問題實(shí)現(xiàn)：

這個目標(biāo)函數(shù)的意義是向量降維之后任意兩點(diǎn)之間的距離要盡量的接近在原始空間中這兩點(diǎn)之間的最短路徑長度，因此可以認(rèn)為降維盡量保留了數(shù)據(jù)點(diǎn)之間的測地距離信息。下圖是等距映射對手寫數(shù)字圖像降維后的結(jié)果（來自SIGAI云端實(shí)驗(yàn)室）：

強(qiáng)化學(xué)習(xí)是一類特殊的機(jī)器學(xué)習(xí)算法，如果說有監(jiān)督學(xué)習(xí)和無監(jiān)督學(xué)習(xí)是要根據(jù)預(yù)測函數(shù)來確定輸出標(biāo)簽信息或者聚類類別、降維后的向量，則強(qiáng)化學(xué)習(xí)算法是要根據(jù)當(dāng)前的狀態(tài)確定要執(zhí)行的動作。

強(qiáng)化學(xué)習(xí)與有監(jiān)督學(xué)習(xí)和無監(jiān)督學(xué)習(xí)的目標(biāo)不同，它借鑒于行為主義心理學(xué)。算法要解決的問題是智能體在環(huán)境中怎樣執(zhí)行動作以獲得最大的累計(jì)獎勵。對于自動行駛的汽車，強(qiáng)化學(xué)習(xí)算法控制汽車的動作，保證安全行駛。智能體指強(qiáng)化學(xué)習(xí)算法，環(huán)境是類似車輛當(dāng)前狀態(tài)與路況這樣的由若干參數(shù)構(gòu)成的系統(tǒng)，獎勵是我們期望得到的結(jié)果，如汽車正確的在路面上行駛而不發(fā)生事故。

很多控制、決策問題都可以抽象成這種模型。和有監(jiān)督學(xué)習(xí)不同，這里沒有標(biāo)簽值作為監(jiān)督信號，系統(tǒng)只會給算法執(zhí)行的動作一個評分反饋，這種反饋一般還具有延遲性，當(dāng)前的動作所產(chǎn)生的后果在未來才會完全得到，另外未來還具有隨機(jī)性。

強(qiáng)化學(xué)習(xí)要解決的問題可以抽象成馬爾可夫決策過程（Markov Decision Process，簡稱MDP）。馬爾可夫過程的特點(diǎn)是系統(tǒng)下一個時刻的狀態(tài)由當(dāng)前時刻的狀態(tài)決定，與更早的時刻無關(guān)。與馬爾可夫過程不同的是，在MDP中系智能體可以執(zhí)行動作，從而改變自己和環(huán)境的狀態(tài)，并且得到懲罰或獎勵。

馬爾可夫決策過程可以表示成一個五元組：

其中S和A分別為狀態(tài)和動作的集合。假設(shè)t時刻狀態(tài)為st，智能體執(zhí)行動作a，下一時刻進(jìn)入狀態(tài)st+1。下一時刻的狀態(tài)由當(dāng)前狀態(tài)以及當(dāng)前采取的動作決定，是一個隨機(jī)性變量，這一狀態(tài)轉(zhuǎn)移的概率為：

這是當(dāng)前狀態(tài)為s時行動作a，下一時刻進(jìn)入狀態(tài)的條件概率。這個公式表明下一時刻的狀態(tài)與更早時刻的狀態(tài)和動作無關(guān)，狀態(tài)轉(zhuǎn)換具有馬爾可夫性。有一種特殊的狀態(tài)叫做終止?fàn)顟B(tài)（也稱為吸收狀態(tài)），到達(dá)該狀態(tài)之后不會再進(jìn)入其他后續(xù)狀態(tài)。對于圍棋，終止?fàn)顟B(tài)是一局的結(jié)束。

執(zhí)行動作之后，智能體會收到一個立即回報(bào)：

立即回報(bào)和當(dāng)前狀態(tài)、當(dāng)前采取的動作以及下一時刻進(jìn)入的狀態(tài)有關(guān)。在每個時刻t，智能體選擇一個動作at執(zhí)行，之后進(jìn)入下一狀態(tài)st+1，環(huán)境給出回報(bào)值。智能體從某一初始狀態(tài)開始，每個時刻選擇一個動作執(zhí)行，然后進(jìn)入下一個狀態(tài)，得到一個回報(bào)，如此反復(fù)：

問題的核心是執(zhí)行動作的策略，它可以抽象成一個函數(shù)

這是確定性策略。對于確定性策略，在每種狀態(tài)下智能體要執(zhí)行的動作是唯一的。另外還有隨機(jī)性策略，智能體在一種狀態(tài)下可以執(zhí)行的動作有多種，策略函數(shù)給出的是執(zhí)行每種動作的概率：

即按概率從各種動作中選擇一種執(zhí)行。策略只與當(dāng)前所處的狀態(tài)有關(guān)，于歷史時間無關(guān)，在不同時刻對于同一個狀態(tài)所執(zhí)行的策略是相同的。

強(qiáng)化學(xué)習(xí)的目標(biāo)是要達(dá)到我們的某種預(yù)期，當(dāng)前執(zhí)行動作的結(jié)果會影響系統(tǒng)后續(xù)的狀態(tài)，因此需要確定動作在未來是否能夠得到好的回報(bào)，這種回報(bào)具有延遲性。對于圍棋，當(dāng)前走的一步棋一般不會馬上結(jié)束，但會影響后續(xù)的棋局，需要使得未來贏的概率最大化，而未來又具有隨機(jī)性，這為確定一個正確的決策帶來了困難。

選擇策略的目標(biāo)是按照這個策略執(zhí)行后，在各個時刻的累計(jì)回報(bào)值最大化，即未來的預(yù)期回報(bào)。按照某一策略執(zhí)行的累計(jì)回報(bào)定義為：

這里假設(shè)狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率以及每個時刻的回報(bào)是已知的，算法要尋找最佳策略來最大化上面的累計(jì)回報(bào)。

如果每次執(zhí)行一個動作進(jìn)入的下一個狀態(tài)是確定的，則可以直接用上面的累計(jì)回報(bào)計(jì)算公式。如果執(zhí)行完動作后進(jìn)入的下一個狀態(tài)是隨機(jī)的，則需要計(jì)算各種情況的數(shù)學(xué)期望。為此定義狀態(tài)價(jià)值函數(shù)的概念，它是在某個狀態(tài)s下，按照策略

動作價(jià)值函數(shù)是智能體按照策略

除了指定初始狀態(tài)與策略之外，還指定了在狀態(tài)s時執(zhí)行的動作a。這個函數(shù)衡量的是給定某一策略，在某一狀態(tài)時執(zhí)行各種動作的價(jià)值。

給定一個策略，可以用動態(tài)規(guī)劃算法計(jì)算它的狀態(tài)價(jià)值函數(shù)，即策略評估（Policy Evaluation）。在每種狀態(tài)下執(zhí)行的動作有多種可能，需要對各個動作計(jì)算數(shù)學(xué)期望。按照定義，狀態(tài)價(jià)值函數(shù)的計(jì)算公式為：

求解時使用迭代法，首先為所有狀態(tài)的價(jià)值函數(shù)設(shè)置初始值，然后用公式更新所有狀態(tài)的價(jià)值函數(shù)，第k次迭代時的更新公式為：

算法最后會收斂到真實(shí)的價(jià)值函數(shù)值。

策略評估的目的是為了得到更好的策略，即策略改進(jìn)。策略改進(jìn)通過按照某種規(guī)則對當(dāng)前策略進(jìn)行調(diào)整，得到更好的策略。

策略迭代是策略評估和策略改進(jìn)的結(jié)合。從一個初始策略開始，不斷的改進(jìn)這個策略達(dá)到最優(yōu)解。每次迭代時首先用策略估計(jì)一個策略的狀態(tài)價(jià)值函數(shù)，然后根據(jù)策略改進(jìn)方案調(diào)整該策略，再計(jì)算新策略的狀態(tài)價(jià)值函數(shù)，如此反復(fù)直到收斂。這一過程如下圖所示：

在策略迭代算法中，策略評估的計(jì)算量很大，需要多次掃描所有狀態(tài)并不斷的更新狀態(tài)價(jià)值函數(shù)。實(shí)際上不需要知道狀態(tài)價(jià)值函數(shù)的精確值也能迭代到最優(yōu)策略，值迭代就是其中的一種方法。

根據(jù)貝爾曼最優(yōu)化原理，如果一個策略是最優(yōu)策略，整體最優(yōu)的解局部一定也最優(yōu)，因此最優(yōu)策略可以被分解成兩部分：從狀態(tài)s到

策略迭代算法和價(jià)值迭代算法雖然都可以得到理論上的最優(yōu)解，但是它們的計(jì)算過程依賴于狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率以及回報(bào)函數(shù)。對于很多應(yīng)用場景，我們無法得到準(zhǔn)確的狀態(tài)模型和回報(bào)函數(shù)。因此前面介紹的這兩種算法在實(shí)際問題中使用價(jià)值有限。

對于無法建立精確的環(huán)境模型的問題，我們只能根據(jù)一些狀態(tài)、動作、回報(bào)值序列樣本進(jìn)行計(jì)算，估計(jì)出價(jià)值函數(shù)和最優(yōu)策略?；舅枷胧前凑漳撤N策略嘗試執(zhí)行不同的動作，觀察得到的回報(bào)，然后進(jìn)行改進(jìn)。

蒙特卡洛算法和時序差分算法是解決這這類問題的兩種方法。蒙特卡洛算法是一種隨機(jī)數(shù)值算法，它通過使用隨機(jī)數(shù)來近似解決某些難以直接求解的問題。在強(qiáng)化學(xué)習(xí)中，蒙特卡洛算法可以根據(jù)樣本得到狀態(tài)價(jià)值函數(shù)以及動作價(jià)值函數(shù)的估計(jì)值，用于近似數(shù)學(xué)期望值。

在上面的例子中，樣本是一些隨機(jī)的點(diǎn)，在用于計(jì)算強(qiáng)化學(xué)習(xí)的價(jià)值函數(shù)時，樣本是一些片段。在這里先定義片段（episode）的概念，它是從某一狀態(tài)開始，執(zhí)行一些動作，直到終止?fàn)顟B(tài)為止的一個完整的狀態(tài)和動作序列，這類似于循環(huán)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中的時間序列樣本。蒙特卡洛算法從這些片段樣本中學(xué)習(xí)，估算出狀態(tài)價(jià)值函數(shù)和動作價(jià)值函數(shù)。實(shí)現(xiàn)時的做法非常簡單：

按照一個策略執(zhí)行，得到一個狀態(tài)和回報(bào)序列，即片段。多次執(zhí)行，得到多個片段。接下來根據(jù)這些片段樣本估計(jì)出價(jià)值函數(shù)。

蒙特卡洛算法需要使用完整的片段進(jìn)行計(jì)算，這在有些問題中是不現(xiàn)實(shí)的，尤其是對于沒有終止?fàn)顟B(tài)的問題。時序差分算法（Temporal Difference learning，簡稱TD學(xué)習(xí)）在執(zhí)行一個動作之后就進(jìn)行價(jià)值函數(shù)估計(jì)，無需使用包括終止?fàn)顟B(tài)的完整片段，它結(jié)合了蒙特卡洛算法與動態(tài)規(guī)劃算法的思想。與蒙特卡洛算法一樣，TD算法無需依賴狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率，直接采樣計(jì)算。TD算法用貝爾曼方程估計(jì)價(jià)值函數(shù)的值，然后構(gòu)造更新項(xiàng)。迭代更新公式為：

算法用當(dāng)前動作的立即回報(bào)值與下一狀態(tài)當(dāng)前的狀態(tài)價(jià)值函數(shù)估計(jì)值之和構(gòu)造更新項(xiàng)，更新本狀態(tài)的價(jià)值函數(shù)：

在上式中沒有使用狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率，而是和蒙特卡洛算法一樣隨機(jī)產(chǎn)生一些樣本來進(jìn)行計(jì)算，因此稱為無模型的算法。用于估計(jì)狀態(tài)價(jià)值函數(shù)時，算法的輸入為策略，輸出為該策略的狀態(tài)值函數(shù)。

Sarsa算法用于估計(jì)給定策略下的動作價(jià)值函數(shù)，同樣是每次執(zhí)行一個動作之后就進(jìn)行更新。它的迭代更新公式為：

由于更新值的構(gòu)造使用了

Q學(xué)習(xí)算法估計(jì)每個動作價(jià)值函數(shù)的最大值，通過迭代可以直接找到價(jià)值函數(shù)的極值，從而確定最優(yōu)策略，類似于價(jià)值迭代算法的思想。

實(shí)現(xiàn)時需要根據(jù)當(dāng)前的動作價(jià)值函數(shù)的估計(jì)值為每個狀態(tài)選擇一個動作來執(zhí)行，這里有兩種方案。第一種方案是隨機(jī)選擇一個動作，這稱為探索（exploration）。第二種方案是根據(jù)當(dāng)前的動作函數(shù)值選擇一個價(jià)值最大的動作執(zhí)行：

這稱為利用（exploitation）。第三種方案是二前兩者的結(jié)合，即

前面介紹的算法只能用于狀態(tài)和動作的集合是有限的離散基且狀態(tài)和動作數(shù)量較少的情況，狀態(tài)和動作需要人工預(yù)先設(shè)計(jì)。實(shí)際應(yīng)用中的場景可能會很復(fù)雜，很難定義出離散的狀態(tài)；即使能夠定義，數(shù)量也非常大，無法用數(shù)組存儲。用一個函數(shù)來逼近價(jià)值函數(shù)或策略函數(shù)成為解決這個問題的一種思路，函數(shù)的輸入是原始的狀態(tài)數(shù)據(jù)，函數(shù)的輸出是價(jià)值函數(shù)值或策略函數(shù)值。

在有監(jiān)督學(xué)習(xí)中，我們用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)來實(shí)現(xiàn)分類或回歸函數(shù)，同樣的，也可以用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)可來擬合強(qiáng)化學(xué)習(xí)中的價(jià)值函數(shù)和策略函數(shù)，這就是深度強(qiáng)化學(xué)習(xí)的基本思想。在這里，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)被用于從原始數(shù)據(jù)如圖像中直接預(yù)測出函數(shù)值。

在Q學(xué)習(xí)中用表格存儲動作價(jià)值函數(shù)的值，如果狀態(tài)和動作太多這個表將非常大，在某些應(yīng)用中也無法列舉出所有的狀態(tài)形成有限的狀態(tài)集合。解決這個問題的方法是用一個函數(shù)來近似價(jià)值函數(shù)，深度Q學(xué)習(xí)用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)來近似動作價(jià)值函數(shù)。網(wǎng)絡(luò)的輸入是狀態(tài)，輸出是各種動作的價(jià)值函數(shù)值。下面用一個例子進(jìn)行說明。算法要實(shí)現(xiàn)自動駕駛，將當(dāng)前場景的圖像作為狀態(tài)，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的輸入是這種圖像，輸出是每個動作對應(yīng)的Q函數(shù)值，這里的動作是左轉(zhuǎn)，右轉(zhuǎn)，剎車，加油門等。顯然，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)輸出層的尺寸與動作數(shù)相等。

DeepMind提出了一種用深度Q解決Atari游戲的方法，使用卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)擬合Q函數(shù)，稱為深度Q網(wǎng)絡(luò)（簡稱DQN）。網(wǎng)絡(luò)的輸入為經(jīng)過處理后游戲圖像畫面，原始的畫面是210x160的彩色圖像，每個像素的值為[0, 255]之間的整數(shù)，所有可能的狀態(tài)數(shù)為：

這個規(guī)模的矩陣無法直接用表格存儲。網(wǎng)絡(luò)的輸出值是在輸入狀態(tài)下執(zhí)行每個動作的Q函數(shù)值，在這里有18個值，代表游戲中的18種動作。神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)用于近似最優(yōu)Q函數(shù)：

其中是網(wǎng)絡(luò)的參數(shù)。網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)如下圖所示：

關(guān)鍵問題是訓(xùn)練樣本標(biāo)簽值的與損失函數(shù)的設(shè)計(jì)。這里的目標(biāo)是逼近最優(yōu)策略的Q函數(shù)值，因此可以采用Q學(xué)習(xí)的做法。損失函數(shù)用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的輸出值與Q學(xué)習(xí)每次迭代時的更新值構(gòu)造，定義為：

在這里采用了歐氏距離損失，是神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的輸出值與Q函數(shù)估計(jì)值之間的誤差，與Q學(xué)習(xí)中的更新項(xiàng)相同。另一個問題是如何得到訓(xùn)練樣本，和Q學(xué)習(xí)類似，可以通過執(zhí)行動作來生成樣本。實(shí)現(xiàn)時，用當(dāng)前的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行預(yù)測，得到所有動作的價(jià)值函數(shù)，然后按照策略選擇一個動作執(zhí)行，得到下一個狀態(tài)以及回報(bào)值，以此作為訓(xùn)練樣本。

這里還使用了經(jīng)驗(yàn)回放（Experience Replay）技術(shù)。神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)要求訓(xùn)練樣本之間獨(dú)立同分布，而Atari游戲的訓(xùn)練樣本是一個時間序列，前后具有相關(guān)性。解決這個問題的做法是經(jīng)驗(yàn)池，將樣本存儲在一個集合中，然后從中隨機(jī)采樣得到每次迭代所用的訓(xùn)練樣本。

深度Q學(xué)習(xí)基于動作價(jià)值函數(shù)，它用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)擬合Q函數(shù)的最優(yōu)值，通過函數(shù)值間接得到最優(yōu)策略。如果動作集合是連續(xù)的或維數(shù)很高，這種方法將面臨問題。例如算法要控制機(jī)器人在和方向上移動，每個方向上的移動距離是[-1.-, +1.0]之間的實(shí)數(shù)，移動距離無法窮舉出來離散化成動作集合，因此無法使用基于價(jià)值函數(shù)的方法。此時可以讓神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)根據(jù)輸入的狀態(tài)直接輸出和方向的移動距離，從而解決連續(xù)性動作問題。

策略梯度（Policy Gradient）算法是這種思想的典型代表，策略函數(shù)網(wǎng)絡(luò)的輸入是圖像之類的原始數(shù)據(jù)。策略函數(shù)根據(jù)這個輸入狀態(tài)直接預(yù)測出要執(zhí)行的動作：

其中

這是一種更為端到端的方法，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的映射定義了在給定狀態(tài)的條件下執(zhí)行每種動作的概率，根據(jù)這些概率值進(jìn)行采樣可以得到要執(zhí)行的動作。對于離散的動作，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的輸出層神經(jīng)元數(shù)量等于動作數(shù)，輸出值為執(zhí)行每個動作的概率。對于連續(xù)型動作，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的輸出值為高斯分布的均值和方差，動作服從此分布。

這里的關(guān)鍵問題是構(gòu)造訓(xùn)練樣本和優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)，在這兩個問題解決之后剩下的就是標(biāo)準(zhǔn)的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練過程。在樣本生成問題上，策略梯度算法采用的做法和DQN類似，用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)當(dāng)前的參數(shù)對輸入狀態(tài)進(jìn)行預(yù)測，根據(jù)網(wǎng)絡(luò)的輸出結(jié)果確定出要執(zhí)行的動作，接下來執(zhí)行這個動作，得到訓(xùn)練樣本，并根據(jù)反饋結(jié)果調(diào)整網(wǎng)絡(luò)的參數(shù)。如果最后導(dǎo)致負(fù)面的回報(bào)，則更新網(wǎng)絡(luò)的參數(shù)使得在面臨這種輸入時執(zhí)行此動作的概率降低；否則加大這個動作的執(zhí)行概率。策略梯度算法在優(yōu)化目標(biāo)上和深度Q學(xué)習(xí)不同，深度Q學(xué)習(xí)是逼近最優(yōu)策略的Q函數(shù)，而策略梯度算法是通過最大化回報(bào)而逼近最優(yōu)策略。