第29計(jì) 向量開(kāi)門(mén) 數(shù)形與共
●計(jì)名釋義
非數(shù)學(xué)問(wèn)題數(shù)學(xué)化，說(shuō)的是數(shù)學(xué)建模，非運(yùn)算問(wèn)題運(yùn)算化，向量是典型的代表.
向量是近代數(shù)學(xué)的最重要和最基本的概念之一，有深刻的幾何背景，是解決幾何問(wèn)題的有力工具.同時(shí)，它又具有代數(shù)運(yùn)算的功能.因此，它像一個(gè)媒婆，牽起了一根線，一頭連著代數(shù)，另一頭連著圖形，只要經(jīng)它輕輕一拉，數(shù)形便能結(jié)合成一家人.
●典例示范)
【例1】 α,β為銳角，且sinα-sinβ=,cosα-cosβ=
，求tan(α-β)之值.
【解答】 如圖，設(shè)A(cosα,sinα),
B(cosβ,sinβ)為單位圓上兩點(diǎn)，
由條件知：0<α<β<
.
那么：
=（cosα- cosβ,sinα- sinβ）
=.
∴||=，||=||=1. 例1題解圖
△OAB中,由余弦定理：cos(α-β)= cos(β-α) =.
∴sin(α-β)=,tan(α-β)=.
【點(diǎn)評(píng)】 如果說(shuō)本例用向量求三角函數(shù)值中沒(méi)有太大的優(yōu)越性，那么利用向量
模型證明不等式則有其獨(dú)到的簡(jiǎn)便之處，再看下例.
【例2】 設(shè)a,b,c,d∈R，證明：ac+bd≤
【解答】 設(shè)m=（a,b），n=（c,d），則mn=ac+bd，|m|·|n|=
∵m·n=|m|·ncos（m,n）≤|m|·|n|. ∴ac+bd≤.
【點(diǎn)評(píng)】 難以置信的簡(jiǎn)明，這正是向量的半功偉績(jī)之一，那么，向量在解析幾
何中又能起作用嗎?
【例3】 在平行六面體ABCD—A1B1C1D1中，以頂點(diǎn)A為端點(diǎn)的三條棱長(zhǎng)都是1，且兩兩夾角均為60°，則對(duì)角線AC1之長(zhǎng)為 .
【思考】 求線段的長(zhǎng)度常用的手段是歸結(jié)為解三角形.利用勾股定理或余弦定理，顯然，這種方法需要較大的計(jì)算量，例如，確定AC1與平面ABCD所成角的大小就不是省油的燈.有無(wú)更好的方法呢？這個(gè)平行六面體的各個(gè)表面不都是邊長(zhǎng)相等且?jiàn)A銳角為60°的菱形嗎？利用向量豈不更為省事?
向量的數(shù)量積公式可以保駕護(hù)航.
對(duì)！走向量法解題的道路.
【解答】 如圖所示，
∴
=
=1+1+1+2(cos60°+ cos60°+ cos60°)=6
∴||=. 例2題解圖
【點(diǎn)評(píng)】 向量運(yùn)算的優(yōu)越性，由本例已可一覽無(wú)遺，特別是||2=的運(yùn)用奇妙.注意：與所成角等于與所成角，是60°而不是120°.
●對(duì)應(yīng)訓(xùn)練
1如圖,在棱長(zhǎng)為a的正方體
ABCD—A′B′C′D′中，E、F
分別是AB、AC上的動(dòng)點(diǎn)，滿(mǎn)足AE=BF.
(Ⅰ)求證：；
(Ⅱ)當(dāng)三棱錐B′—BEF的體積取得最大值時(shí)，
求二面角B′—EF—B的大小(結(jié)果用反三角函數(shù)表示). 第1題圖
2已知a,b∈R+，且a≠b，求證：(a3+b3)2<(a2+b2)(a4+b4).
3在雙曲線xy=1上任取不同三點(diǎn)A,B,C,證明△ABC的垂心也在該雙曲線上.
●參考答案
1.(1)如圖，以B為原點(diǎn)，直線BC,BA,BB′分別為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系，并設(shè)=x,則有:A′(0,a,a),C′(a,0,a). E(0,a-x,0)，F(x,0,0),∴=(x,-a,-a)，=(-a,a-x,-a).
∵·=(x,-a,-a)(-a,a-x,-a)=-ax-a2+ax+a2=0，
∴⊥.
(2)VB′—BEF=S△EEF·||=·(a-x)·x·a
=a(a-x)·x≤a·，
當(dāng)且僅當(dāng)a-x=a，即x=時(shí),
(VB′—BEF)max =，
此時(shí)E、F分別為AB,BC的中點(diǎn),必EF⊥BD.
設(shè)垂足為M，連B′M,∵BB′⊥平面ABCD, 第1題圖
由三垂線定理知B′M⊥EF,∠BMB′是二面角B′—EF—B的平面角,
設(shè)為θ,∵||= ∴tanθ=.
即θ=arctan2，則二面角B′—EF—B的大小為arctan2.
2設(shè)m=(a,b)，n=(a2,b2), ∵m·n≤|m|·|n|.
∴a3+b3≤，即是(a3+b3)2≤(a2+b2)(a4+b4).
3如圖,設(shè)A(x1,)，B(x2,),
C(x3，)，△ABC的垂心為H(x0，y0),
則,
, 第3題解圖
∵,∴(x0-x3)(x2-x1)+(y0-·.
∵x1≠x2，∴x0-x3.
∴x0+ (1)
同理：x0+.
∴x2-x1=y0.
∵x1≠x2，∴y0=-x1x2x3，代入 (1)：x0-=x3=0,
∴x0y0=1，即H(x0，y0)在雙曲線xy=1上.
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