一、大綱解讀
立體幾何的主要內(nèi)容是空間幾何體，點(diǎn)線面之間的位置關(guān)系，空間向量與立體幾何．其考查內(nèi)容主要是空間兩直線的位置關(guān)系、直線與平面的位置關(guān)系、兩平面的位置關(guān)系；異面直線所成的角、二面角、線面角；幾何體的表面積和體積、空間幾何體的三視圖和直觀圖等.其中線面平行與垂直判定定理與性質(zhì)定理、面面平行與垂直判定定理與性質(zhì)定理是考查的重點(diǎn).對(duì)于理科生來說，空間向量作為一種新的快捷有效的工具已被廣泛應(yīng)用于解決立體幾何綜合問題，是高考的焦點(diǎn)所在.
二、高考預(yù)測(cè)
一般來說立體幾何有兩個(gè)左右的選擇題或填空題和一道解答題，約20-25分，占整章試卷的15％. 選擇題或填空題考查的是空間幾何體和點(diǎn)線面位置關(guān)系的基本問題，與三視圖相結(jié)合考查是一種典型題型；解答題近年已成為一個(gè)較為固定的模式，以多面體（少數(shù)為旋轉(zhuǎn)題）為載體，考查點(diǎn)線面的位置關(guān)系的判斷推理，求空間角和距離，求有關(guān)最值和體積一般分步設(shè)問，難度逐漸增大，但都可以用基本方法解決，理科生要會(huì)用空間向量來解決這類問題.
三．重點(diǎn)剖析
立體幾何的重點(diǎn)內(nèi)容是柱錐臺(tái)球的表面積和體積，空間幾何體的三視圖和直觀圖，平面的基本性質(zhì)，空間線面位置關(guān)系，空間向量的基本問題，空間向量與立體幾何，特別是用空間向量解決立體幾何中的線面平行與垂直的證明，求解異面直線所成的角、二面角、線面角，以及簡(jiǎn)單的距離計(jì)算．
重點(diǎn)一：空間幾何體的三視圖、體積與表面積
【例1】 一個(gè)空間幾何體的主視圖、左視圖、俯視圖為直角三角形，邊長(zhǎng)如圖所示，那么這個(gè)幾何體的體積為（ ） A.1 B.2 C.3 D.4
【分析】根據(jù)三個(gè)試圖可以知道這個(gè)幾何體是一個(gè)一條側(cè)棱和底面垂直，底面是直角三角形的三棱錐。 【解析】該幾何體是底面兩直角邊長(zhǎng)分別是1,2的直角三角形，高為3的三棱錐，故其體積為?
11
1?2
3?1。 32
【點(diǎn)評(píng)】主試圖和側(cè)視圖的高就是實(shí)際幾何體的高。
【例2】已知一個(gè)幾何體是由上下兩部分構(gòu)成的組合體，其三視圖如下，若圖中圓的半徑為1，等腰三角形的腰長(zhǎng) （ ）
A.
4?8?10? B.2? C. D. 333
【分析】這個(gè)空間幾何體是一個(gè)圓錐和一個(gè)半球組成的組合體，把其中的數(shù)量關(guān)系找出來按照?qǐng)A錐和球的體積計(jì)
算公式計(jì)算就行．
【解析】A 這個(gè)幾何體是一個(gè)底面半徑為1，高為2的圓錐和一個(gè)半徑為1的半球組成的組合體，故其體積為
1144???12
2????13?． 3233
【點(diǎn)評(píng)】空間幾何體的三視圖是課標(biāo)高考的一個(gè)考點(diǎn)，主要考查方式之一就是根據(jù)三視圖還原到原來的空間幾何
重點(diǎn)二：空間點(diǎn)、線、面位置關(guān)系的判斷
【例3 】已知m、n是不重合的直線，?和?是不重合的平面，有下列命題： （1）若m??，n∥?，則m∥n；（2）若m∥?，m∥?，則?∥?； （3）若????n，m∥n，則m∥?且m∥?； （4）若m??，m??，則?∥? 其中真命題的個(gè)數(shù)是（ ）
Ａ．0 Ｂ．1 Ｃ．2 Ｄ．3 【 分析】（1）是假命題，如果一條直線平行于一個(gè)平面，該直線不與平面內(nèi)所有直線平行，只與部分直線平行；（2）是假命題，平行于同一直線的兩平面的位置關(guān)系不確定；（3）是假命題，因?yàn)閙可能為?和?內(nèi)的直線，則m∥
（4）是真命題，垂直于同一直線的兩平面平行。 ?且m∥?不一定成立；
【解析】選Ｂ。
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是有關(guān)線面關(guān)系命題的真假，所以通過利用定理來解決上述有關(guān)問題。 【例4】 在下列關(guān)于直線l、m與平面?和?的命題中，真命題的是（ ）
Ａ．若l??且???，，則l?
； Ｂ．若l??且?∥?，則l??； Ｃ．若l??且???，則l∥?； Ｄ．若????m且l∥m，則l∥?
【分析】高考中通常以選擇或填空的形式來考查垂直關(guān)系的判定。
A顯然是錯(cuò)誤的；C中l(wèi)可在平角?內(nèi)，故l∥?錯(cuò)誤；D中l(wèi)可在平角?內(nèi)，故l∥?錯(cuò)誤； 【解析】選B。
【點(diǎn)評(píng)】該題主要考查的是想象能力和位置關(guān)系。
【例5】正方體ABCD?A1B1C1D1中，對(duì)角線A1C?平面BDC1=O，AC和BD交于點(diǎn)M，求證：點(diǎn)C1、O、M共線。
DA1
C
【分析】要證明若干點(diǎn)共線問題，只需要證明這些點(diǎn)同在兩個(gè)相交平面內(nèi)即可。 【證明】如圖所示，由A1A∥C1C，則AA1CC1確定平面AA1C。
A1C?平面AA1C，O?A1C，?O?平面AA1C。 又A1C?平面BDC1=O，?O?平面BDC1。 ?O在平面BDC1與平面AA1C的交線上。 又AC?BD?M，?平面AA1C?平面BDC1=C1M， ?O?C1M，即O、C1、M三點(diǎn)共線。
【點(diǎn)評(píng)】該題的考向是點(diǎn)共線的問題，一般轉(zhuǎn)化為證明這些點(diǎn)是某兩個(gè)平面的公共點(diǎn)，這樣就可以根據(jù)公理2證明這些點(diǎn)都是在這兩個(gè)平面的交線上。
重點(diǎn)三：空間線面位置關(guān)系的證明和角的計(jì)算
【例6】 ABCD?A1B1C1D1是邊長(zhǎng)為a正方體，計(jì)算下列問題：（1）AD1與B1C所成角的大?。唬?）若
E、F、G、H為對(duì)應(yīng)棱的中點(diǎn)，求EF，GH所成的角。
【分析】該題可以采用平移法，即將EF，GH平移到D1B1和AB1即可。
【解析】（1）連BC1，則AD1∥BC1，所以BC1?B1C，則AD1?B1C，即AD1與B1C所成角為90； （2）連AB1，B1D1，則EF∥B1D1，GH∥AB1，?D1B1A即為EF和GH所成的角， 因?yàn)?D1B1A為正三角形，??D1B1A=600，即EF和GH所成的角為600。
A1
C
圖2
【點(diǎn)評(píng)】掌握此類基本題的解法，也是反映同學(xué)們的立體幾何基礎(chǔ)。
【例7】如圖，四棱錐P?ABCD中，PA⊥底面ABCD， PC⊥AD．底面ABCD為梯形，AB//DC，AB?BC．PA?AB?BC，點(diǎn)E在棱PB上，且PE?2EB．
（1）求證：平面PAB⊥平面PCB； （2）求證：PD∥平面EAC； （3）（理）求平面AEC和平面PBC所成銳二面角的余弦值．
【分析】（1）根據(jù)兩個(gè)平面垂直的判定定理，尋找一個(gè)面對(duì)一條直線垂直于另一個(gè)平面；（2）根據(jù)線面平行的判定定理，尋找線線平行；（3）可以利用傳統(tǒng)的方法作出二面角的平面角解決，也可以利用空間向量的方法解決。
【解析】（1）∵PA?底面ABCD，∴PA?BC．又AB?BC，PA?AB?A，∴BC⊥平面PAB． 又BC?平面PCB，∴平面PAB⊥平面PCB．
（2）∵PA?底面ABCD， ∴PA?AD,又PC?AD，∴AD?平面PAC，∴AC?AD．
在梯形ABCD中，由AB?BC，AB?BC，得?BAC?又AC?AD，故?DAC為等腰直角三角形．∴DC?
4
，∴?DCA??BAC?
4
．
2AB．
DMDCPEDM
2. 在?BPD中，??2，∴PD//EM MBABEBMB
又PD?平面EAC，EM?平面EAC， ∴PD∥平面EAC．
連接BD，交AC于點(diǎn)M，則
（3）方法一：在等腰直角中，取中點(diǎn)，連結(jié)，則．∵平面⊥平面，且平面PAB?平面PCB=PB，∴AN?平面PBC．
在平面PBC內(nèi)，過N作NH?直線CE于H，連結(jié)AH，由AN?CE、NH?CE，得CE?平面ANH，故AH?CE．∴?AHN就是二面角A?CE?P的平面角．
H
在Rt?PBC中，設(shè)CB?a，
則PB?
11，，NE?PB?
，BE?
PB?
63CE??
， 3
由NH?CE，
EB?CB可知：?NEH∽?CEB，∴在Rt?AHN中，AN
NHCB
，代入解得：NH?．
NECE
AN?，
cos?AHN?． ，∴tan?AHN??NH26
∴平面AEC和平面PBC
方法二：以A為原點(diǎn)，AB,AP所在直線分別為y軸、z軸，如圖建立空間直角坐標(biāo)系．
2aa?
設(shè)PA?AB?BC?a，則A?0,0,0?，B?0,a,0?，C?a,a,0?，P?
0,0,a?，E?0,,?．
33?
ax?ay?0,uuuruuur11?
設(shè)n1??x,y,1?為平面EAC的一個(gè)法向量，則n1?AC,n1?AE，∴?2aya，解得x?,y??，∴
22??0.?3?311
n1?(,?,1)．
22
uuuruur
設(shè)n2??x',y',1?為平面PBC的一個(gè)法向量，則n2?BC,n2?BP，
又
BC??a,0,0?
，
BP?(0,?a,a)
，∴
ax'?0,?'?ay?a?0,?
，解得x'?0,y'?1，∴
【點(diǎn)評(píng)】求二面角的平面角的方法通常有：一是根據(jù)線面垂直關(guān)系作出二面角的平面角，通過解三角形解決；二是用空間向量的方法來求解，方法是：求出兩個(gè)平面的法向量n1和n2，然后利用數(shù)量積公式計(jì)算出銳二面角，其公式
|n1?n2|
為cosn1,n2=??，當(dāng)然考慮到二面角的取值范圍是?0,??，所以，二面角的平面角?與這兩個(gè)平面的法向量
n1n2
的夾角相等或互補(bǔ)。
四 掃雷先鋒
錯(cuò)誤之一：概念理解錯(cuò)誤
【例8】空間四邊形ABCD中，AB＝CD且成60的角，點(diǎn) M、N分別為BC 、AD的中點(diǎn)，求異面直線AB和MN成的角．
【錯(cuò)解】如圖所示，取AC的中點(diǎn)P，連PM，PN，MN。
11
AB ；NP∥CD，且NP=CD。 22
又AB=CD， 且AB，CD所成的角為600， ∴MP=NP且直線MP于NP成600角，∴ ?MPN=600，即?MPN使等邊三角形， ∴?PMN=600，即直線AB和MN成的角為600．
∵ M、N分別為BC 、AD的中點(diǎn)，∴MP∥AB，且MP=
B
P M
000
【剖析】上面的解法遺漏了當(dāng)直線PM與PN成60角，而?MPN=120的情形，此時(shí)直線AB和MN所成角為30．為防止遺漏或錯(cuò)誤，在解題過程中應(yīng)正確理解定義．
【點(diǎn)評(píng)】題目中的錯(cuò)誤，是同學(xué)們最易忽視的，有時(shí)看到一例題目，似乎會(huì)做，但是，不經(jīng)過縝密的思考，就會(huì)出現(xiàn)“千里之堤，潰于蟻穴”的慨嘆．
錯(cuò)誤之二：忽視分類討論錯(cuò)誤 【例9】點(diǎn)Ｍ是線段AB的中點(diǎn)，若A、B到平面?的距離分別為4cm和6cm，則點(diǎn)M到平面?的距離為——————
【錯(cuò)解】如圖1，分別過點(diǎn)A、B、M作平面?的垂線，AA，BB，MH，垂足分別為A/,B/,H．
ＭA
B
/
/
A
Ｈ
圖１
/
/
圖２
/
/
則線段AA，BB，MH的長(zhǎng)分別為點(diǎn)，A、B、M到平面?的距離，由題設(shè)知，AA=4cm，BB=6cm，
比較多，當(dāng)然最好的辦法是用線面垂直的判定定理來證明。
【解析】（1）取FC的中點(diǎn)G , 連結(jié)OG、BG。∵O為DF的中點(diǎn), ∴OG//DC且OG= 在正方形ABCD中, M為AB中. ∴MB//DC且MB=
1
DC . 2
1
DC. ∴OG//MB且OG=MB， 2
∴四邊形OMBG為平行四邊形. ∴OM//BG , 又∵BG?平面BFC , OM?平面BFC， ∴OM//平面BCF.
F
C
（2）在直三棱柱ADE-BCF中, DC⊥平面BCF, ∴DC⊥BG , 在等腰△FBC中, ∵BF=BC, ∴G為FC的中點(diǎn), ∴BG⊥FC , ∴BG⊥平面EFCD. 又∵OM//BG , ∴OM⊥平面EFCD. 又∵OM?平面MDF, ∴平面MDF⊥平面EFCD. （3）過B作BH⊥DM交DM的延長(zhǎng)線于H , 連結(jié)FH . ∵平面EFBA⊥平面ABCD, FB⊥AB. ∴FB⊥平面ABCD .
∴BH為FN在平面ABCD上的射影. ∴FH⊥DH (三垂線定理). ∴∠FHB為二面角F-DM-C的平面角, 設(shè)AB=1 , 則BH=BMsin∠AMD=
A
M
BF111
5. ∴二面角F-DM-C的正切值為5。 ??，∴tan∠FHB=BH25
2
【點(diǎn)評(píng)】該題主要是能夠熟練應(yīng)用判定定理來證明相關(guān)的問題，因此要熟悉定理并能靈活應(yīng)用。 【例2】 如圖, 己知四棱錐P-ABCD的底面為直角梯形, AD//BC , ∠BCD=90°, PA=PB, PC=PD。 （1）證明: CD與平面PAD不垂直； （2）證明：平面PAB⊥平面ABCD； （3）（理科）如果CD=AD+BC , 二面角P-BC-A等于60°, 求二面角P-CD-A的大小。
A
C
D F
【分析】問題（1）需要利用反證法來證明，問題（2）仍用面面垂直的判定定理來證明。 【解析】（1）若CD⊥平面PAD, 則CD⊥PD, 由己知PC=PD得∠PCD=∠PDC<90°, 這與CD⊥PD矛盾,所以CD與平面QAD不垂直.
（2）取AB、CD的中點(diǎn)E、F , 連結(jié)PE、PF、EF, EF為 直角梯形的中位線, EF⊥CD.
由PA=PB , PC=PD得 PE⊥AB. 又PF∩EF=F
∴CD⊥平面PEF , 由PE?平面PEF 得 CD⊥PE , 又AB⊥PE且梯形兩腰AB、CD必相交。
∴PE⊥平面ABCD, 又PE?平面PAB , ∴平面PAB⊥平面ABCD.
（3）由（2）及二面角定義可知∠PFE為二面角P-CD-A的平面角. 作EG⊥BC于G , 連PG. ∴BC⊥PG. ∴∠PGE為二面角P-CD-A的平面角, 即∠PGE=60°.
由己知 得 EF=
111
(AD+BC)= CD. 又EG=CF=CD. ∴EF=EG。 222
易證得Rt△PEF≌Rt△PEG , ∴∠PFE=∠PGE =60°即為所求。
【例3】已知四棱錐P-ABCD的底面為直角梯形，AB∥DC，?DAB?90?,PA?底面ABCD，且PA=AD=DC=M是PB的中點(diǎn)。
（
1）證明：面PAD⊥面PCD；
（2）求AC與PB所成的角余弦值； （3）（理科）求面AMC與面BMC所成二面角的余弦值。
1
AB=1，2
【分析】本小題主要考查直線與平面垂直、直線與平面所成角和二面角的有關(guān)知識(shí)及思維能力和空間想象能力.考查應(yīng)用向量知識(shí)解決數(shù)學(xué)問題的能力。
【解析】方法一：
（1）證明：∵PA⊥面ABCD，CD⊥AD，∴由三垂線定理得：CD⊥PD。因而，CD與面PAD內(nèi)兩條相交直線AD，PD都垂直，∴CD⊥面PAD。又CD?面PCD，∴面PAD⊥面PCD.
（2）解：過點(diǎn)B作BE//CA，且BE=CA，則∠PBE是AC與PB所成的角.
連結(jié)AE，可知AC=CB=BE=AE=2，又AB=2，所以四邊形ACBE為正方形. 由PA⊥面ABCD得∠PEB=90°，在Rt△PEB中BE=2，PB=5， ?cos?PBE?
E
B
BE。 ?
PB5
（3）解：作AN⊥CM，垂足為N，連結(jié)BN。在Rt△PAB中，AM=MB，又AC=CB， ∴△AMC≌△BMC,∴BN⊥CM，故∠ANB為所求二面角的平面角.
∵CB⊥AC，由三垂線定理，得CB⊥PC，在Rt△PCB中，CM=MB，所以CM=AM。 在等腰三角形AMC中，AN·MC=CM?(
2
AC2
)?AC， 2
2
AN?2?
2
AN2?BN2?AB22
. ∴AB=2，?cos?ANB?
2?AN?BN3方法二：（理科）因?yàn)镻A⊥PD，PA⊥AB，AD⊥AB，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)AD長(zhǎng)為單位長(zhǎng)度，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則各點(diǎn)坐標(biāo)為A（0，0，0）B（0，2，0），C（1，1，0），D（1，0，0
），P（0，0，1），M（0，1，).
1
2
由題設(shè)知AD⊥DC，且AP與AD是平面PAD內(nèi)的兩條相交直線，由此得DC⊥面PAD. 又DC在面PCD上，故面PAD⊥面PCD. （2）解：因AC?(1,1,0),PB?(0,2,?1),
故||???2
,所以cos?AC,PB???.
5
（3）解：在MC上取一點(diǎn)N（x，y，z），則存在??R,使??,
11
(1?x,1?y,?z),?(1,0,?),?x?1??,y?1,z??.。
22
14
要使AN?MC,只需??0即x?z?0,解得??。
25
412
可知當(dāng)??時(shí),N點(diǎn)坐標(biāo)為(,1,),能使??0,
555
1212
此時(shí),?(,1,),?(,?1,),有??0
5555
由??0,??0得AN?MC,BN?MC.所以?ANB為所求二面角的平面角。
4?|AN|?BN|?AN?BN??.
5
AN?BN2?cos(AN,BN)???.
3|AN|?|BN|
【點(diǎn)評(píng)】建立空間直角坐標(biāo)系，通過代數(shù)計(jì)算得到幾何值，這種問題是近幾年中高考的重點(diǎn)內(nèi)容。
七、高考風(fēng)向標(biāo)
考查方向一：空間幾何體的三視圖以及面積、體積的計(jì)算
例１右圖是一個(gè)幾何體的三視圖，根據(jù)圖中數(shù)據(jù)，可得該幾何體的表面積是（ ） A．9π B．10π C．11π D．12π
俯視圖 正(主)視圖 側(cè)(左)視圖
分析：本題考查三視圖、球和圓錐的表面積等基礎(chǔ)知識(shí)，考查空間想象能力和運(yùn)算能力．三視圖是課標(biāo)高考相對(duì)于大綱高考的新增內(nèi)容，是課標(biāo)高考的一個(gè)熱點(diǎn)內(nèi)容．解題的關(guān)鍵是由這個(gè)三視圖想象出這個(gè)空間幾何體是如何構(gòu)成的．
解析：D 該幾何體下面是一個(gè)底面半徑為1，母線長(zhǎng)為3的圓柱，上面是一個(gè)半徑為1的球，其表面積是
2??1?3?2???12?4??12?12?．
點(diǎn)評(píng)：本題容易出錯(cuò)的答復(fù)有兩個(gè)，一是不能由這個(gè)三視圖想象出這個(gè)空間幾何體，二是用錯(cuò)球的表面積公式、圓柱的側(cè)面積公式或在計(jì)算圓柱的表面積時(shí)忽視了上下底面．
考查方向二：空間線面位置關(guān)系的判斷
例２（08年安徽理4）已知m,n是因?yàn)閮蓷l不同直線，?,?,?是三個(gè)不同平面，下列命題中正確的是（ ）
A．若m‖?,n‖?,則m‖n C．若m‖?,m‖?,則?‖?
B．若???,???,則?‖? D．若m??,n??,則m‖n
分析：考查空間線面位置關(guān)系的判斷．本題主要用到的是“兩條直線如果和同一個(gè)平面垂直，則這兩條直線平行”，這是空間直線和平面垂直的性質(zhì)定理，是空間線面位置關(guān)系的主要定理之一。
解析：D m,n均為直線，其中m,n平行?，m,n可以相交也可以異面，故A不正確；m??，n⊥α則同垂直于一個(gè)平面的兩條直線平行．
點(diǎn)評(píng)：對(duì)空間線面位置關(guān)系的判定定理生疏或者不會(huì)結(jié)合圖形進(jìn)行分析是本題解答錯(cuò)誤或不會(huì)解答的主要原因．在空間直線和直線的平行關(guān)系、平面和平面之間的平行關(guān)系具有傳遞性，但是直線和平面之間的平行關(guān)系沒有傳遞性，本題中A、C兩個(gè)選擇支就是針對(duì)這個(gè)問題而設(shè)計(jì)的。在平面上和同一條直線垂直的兩條直線平行，但在空間這個(gè)結(jié)論不成立，同時(shí)在空間和同一個(gè)平面垂直的兩個(gè)平面也不平行，本題的選擇支B就是針對(duì)這個(gè)問題設(shè)計(jì)的。
考查方向三：空間垂直與平行關(guān)系的證明
例3如圖，在四面體ABCD中，CB?CD,AD?BD，點(diǎn)E,F分別是AB,BD的中點(diǎn)，求證：
（1）直線EF?面ACD； （2）面EFC?面BCD．
E C A
分析：根據(jù)線面平行的判定定理和面面垂直的判定定理，尋找需要的直線。 證明：（1）∵E、F分別是AB、BD的中點(diǎn)， ∴EF是△ABD的中位線，∴EF//AD． 又∵EF?面ACD，AD?面ACD，∴直線EF//面ACD．
EF//AD?（2）??EF
AD?BD?
CB?CD??BD?面CEF?
CF?BD??面EFC?面BCD
F為BD中點(diǎn)?BD?面BCD?CF?EF?F
點(diǎn)評(píng)：本題考查空間直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系的判定，考查空間想象能力、推理論證能力．主要檢測(cè)考生對(duì)空間線面位置關(guān)系的判定和性質(zhì)定理的掌握程度．
考查方向四：全面考查立體幾何的綜合性試題 例4 如下的三個(gè)圖中，上面的是一個(gè)長(zhǎng)方體截去一個(gè)角所得多面體的直觀圖．它的正視圖和俯視圖在下面畫出（單位：cm）
（1）在正視圖下面，按照畫三視圖的要求畫出該多面體的俯視圖； （2）按照給出的尺寸，求該多面體的體積；
（3??∥面EFG．
E ?C? ?
C
分析：根據(jù)圖中的數(shù)據(jù)和圖中反應(yīng)的線面位置關(guān)系解決。
解析：（1）如圖
（側(cè)視圖）
（俯視圖）
（正視圖）
（2）所求多面體體積
1?1?
V?V長(zhǎng)方體?V正三棱錐?4?4?6????2?2??2
3?2?
284?(cm2)．
3
（3）證明：在長(zhǎng)方體ABCD?A?B?C?D?中， 連接AD?，則AD?∥BC?．
因?yàn)镋，G分別為AA?，A?D?中點(diǎn)， 所以AD?∥EG，從而EG∥BC?． 又BC??平面EFG， 所以BC?∥面EFG．
A?E C? ?C 點(diǎn)評(píng)：本題考查立體幾何初步的基本知識(shí)和方法．立體幾何初步中的主要問題是空間幾何體的三視圖、直觀圖、表面積和體積計(jì)算，空間線面位置關(guān)系的證明，本題把這些問題糅合在一起綜合檢測(cè)考生對(duì)立體幾何初步的掌握程度，這可以說是針對(duì)立體幾何初步而設(shè)計(jì)的一道典型試題。在畫俯視圖時(shí)不標(biāo)明尺寸，或是只畫一個(gè)矩形；在計(jì)算體積時(shí)沒有體積分割的思想意識(shí)，或是忽視了錐體體積公式中的之一，在復(fù)習(xí)中要認(rèn)真體會(huì)。
例4 如圖，已知四棱錐P?ABCD，底面ABCD為菱形，PA?平面ABCD，?ABC?60，
E，F(xiàn)分別是BC，PC的中點(diǎn)．
（
1）證明：AE?PD；
（2）若H為PD上的動(dòng)點(diǎn)，EH與平面PAD
分析：第一問轉(zhuǎn)化為證明線面垂直；第二問根據(jù)EH與平面PAD所成最大角的正切值為
1
，在空間幾何體的體積計(jì)算中“割補(bǔ)法”是最重要的技巧3
E?AF?C的余弦值． 2
面邊長(zhǎng)和高之間的關(guān)系，然后用傳統(tǒng)的方法作出二面角的平面角解決，或是用空間向量的方法解決。
證明：（1）由四邊形ABCD為菱形，?ABC?60，可得△ABC為正三角形． 因?yàn)镋為BC的中點(diǎn)，所以AE?BC．又BC∥AD，因此AE?AD． 因?yàn)镻A?平面ABCD，AE?平面ABCD，所以PA?AE．
而PA?平面PAD，AD?平面PAD且PA?AD?A，所以AE?平面PAD． 又PD?平面PAD，所以AE?PD．
分析問題的能力，這個(gè)地方能有效地檢測(cè)考生的思維層次，是一個(gè)設(shè)計(jì)優(yōu)秀的試題．
八、沙場(chǎng)練兵
一、選擇題
1．一條直線與一個(gè)平面所成的角等于??，另一直線與這個(gè)平面所成的角是. 則這兩條直 36
線的位置關(guān)系（ ）
A．必定相交 B．平行 C．必定異面 D．不可能平行
1.D
2．在一個(gè)錐體中，作平行于底面的截面，若這個(gè)截面面積與底面面積之比為1∶3，則錐 體被截面所分成的兩部分的體積之比為（ ）
A．1∶ B．1∶9 C．1∶33 D．1∶(3?1)
2.D
P、Q、R分別是AB、AD、B1C1的中點(diǎn)．那么，正方體的過P、Q、R的截3．正方體ABCD?A1BC11D1中，
面圖形是（ ）
A．三角形 B．四邊形 C．五邊形 D．六邊形
3.D
4．正四棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)與底面邊長(zhǎng)都是1，則側(cè)棱與底面所成的角為（ ）
A．75° B．60° C．45° D．30°
4.C
5．對(duì)于直線m、n和平面?，下面命題中的真命題是（ ）
A．如果m??,n??,m、n是異面直線，那么n//?
B．如果m??,n??,m、n是異面直線，那么n與?相交 C．如果m??,n//?,m、n共面，那么m//n
D．如果m//?,n//?,m、n共面，那么m//n
5.C
6．已知正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為a，長(zhǎng)為定值的線段EF在棱AB上移動(dòng)（EF<a），若P是A1D1上的定點(diǎn)，Q是C1D1上的動(dòng)點(diǎn)，則四面體PQEF的體積是（ ）
A．有最小值的一個(gè)變量 B．有最大值的一個(gè)變量
C．沒有最值的一個(gè)變量 D．是一個(gè)常量
6.D
7．已知平面?與?所成的二面角為80°，P為?、?外一定點(diǎn)，過點(diǎn)P的一條直線與?、? 所成的角都是30°，則這樣的直線有且僅有（ ）
A．1條 B．2條 C．3條 D．4條
7.D
8．如圖所示，在水平橫梁上A、B兩點(diǎn)處各掛長(zhǎng)為50cm的細(xì)線AM、BN、AB的長(zhǎng)度為60cm，在MN處掛長(zhǎng)為60cm的木條MN平行于橫梁，木條中點(diǎn)為O，若木條繞O的鉛垂線旋轉(zhuǎn)60°，則木條比原來升高了（ ）
A．10cm B．5cm
C．103cm D．53cm
8.A
9．如圖，棱長(zhǎng)為5的正方體無論從哪一個(gè)面看，都有兩個(gè)直通的 邊長(zhǎng)為1的正方形孔，則這個(gè)有孔正方體的表面積（含孔內(nèi)各面）是（ ）
A．258 B．234 C．222 D．210
9.C
10．設(shè)a，b為兩條直線，?，?為兩個(gè)平面，下列四個(gè)命題中，正確的命題是（ ）
A．若a，b與?所成的角相等，則a∥b
B．若a∥?，b∥?，?∥?，則a∥b
C．若a??，b??，a∥b，則?∥?
D．若a??，b??，???，則a?b
10.D 提示：A中若a，b與?所成的角相等，則a和b不一定平行，可能異面，也可能相交；B中若a∥?，b∥?，?∥?，則a和b不一定平行，也可能是異面；C中若a??，b??，a∥b，則?和?也可能平行，也可能相交。
11．底面邊長(zhǎng)為a，高為h的正三棱錐內(nèi)接一個(gè)正四棱柱（此時(shí)正四棱柱上底面有兩個(gè)頂點(diǎn)在同一個(gè)側(cè)面內(nèi)），此棱柱體積的最大值（ ）
4(4?73)2ah 9
4(4?7)2 C．a(chǎn)h 9 A．4(7?4)2ah 94(7
43)2
D．a(chǎn)h 9B．
11.B
12．將半徑都為１的４個(gè)鋼球完全裝入形狀為正四面體的容器里，這個(gè)正四面體的高的最小值為（ ）
A
．
B．2+
33C
．4+ 3D． 3
12.B
二、填空題
13．已知點(diǎn)P在正方形ABCD所在的平面外，PD?平面ABCD，PD?AD，則PA和BD所成角的度數(shù)為 。
13. 60 提示：將四棱錐P—ABCD補(bǔ)成正方體，如圖所示，則PA和BD所成角的度數(shù)即為PA和PM所成的角，而?PAM為等邊三角形，所以所求的角為60
00
14．如圖，矩形ABCD中，DC=，AD=1，在DC上截取DE=1，將△ADE
沿AE翻折到D1點(diǎn)，點(diǎn)D1在平面ABC上的射影落在AC上時(shí)，二面角D1—AE—B的平面角的余弦值是 .
14. 2?
DAB?60，E是AB中點(diǎn)，15.如圖所示，在等腰梯形ABCD中，AB?2DC?2，將?ADE與?BEC分別沿ED、
EC向上折起，使A、B重合于P點(diǎn)，則三棱錐
A15. E ? 提示：根據(jù)題意，折疊后的三棱錐P?DCE為正四面體，且棱長(zhǎng)為1，以這個(gè)正四面體來構(gòu)造正方體，8
26則此立方體的棱長(zhǎng)為，故立方體的對(duì)角線長(zhǎng)為，且立方體的外接球也為正四面體外接球，所以外接球半徑為22
6，則外接球的體積為?。 48
16. 已知平面?,?和直線，給出條件：①m//?；②m??；③m??；④???；⑤?//?。（i）當(dāng)滿足條件 時(shí)，有m//?；（ii）當(dāng)滿足條件 時(shí)，有m??。（填所選條件的序號(hào)）
16. （i）③⑤； （ii）②⑤。提示：可以分析出當(dāng)滿足條件③和⑤時(shí)，則m//?，也就是說面面平行可以推出線面平行。出當(dāng)滿足條件②和⑤時(shí)，有m??。
九、實(shí)戰(zhàn)演練
一、選擇題：在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.本大題共12小題，每小題5分，共60分.
1.
正視圖 側(cè)視圖
A．三棱錐 B．四棱錐 C．五棱錐 D．六棱錐
1.Ｃ
2.ABCD－A1B1C1D1是正方體，O是B1D1的中點(diǎn)，直線A1C交平面AB1D1于點(diǎn)M，則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是
（ ）
A．A、M、O三點(diǎn)共線 B．M、O、A1、A四點(diǎn)共面
C．A、O、C、M四點(diǎn)共面 D．B、B1、O、M四點(diǎn)共面
2.D
3.如圖所示，點(diǎn)S在平面ABC外，SB⊥AC，SB＝AC＝2，
E、F分別是SC和AB的中點(diǎn)，則EF的長(zhǎng)是（ ）
A．1 B．2 C．2 2D．1 2
3.B 提示：
且EG=1、FG=1，所以EF? 取BC的中點(diǎn)G，連接EG、FG，EG//SB,
FG//AC，SB⊥AC，故?EGF?90，?
４．已知正四面體ABCD的表面積為S，其四個(gè)面的中心分別為E、F、G、H，設(shè)四面體EFGH的表面積為T，則
A．T?（ ） S1411 B． C． D． 99434.A 提示：
長(zhǎng)的如圖，EG?21MN?BD，即四面體EFGH的棱長(zhǎng)是正四面體ABCD的棱3311，故其表面積之比為。 39
1A1B1，則多面體BC—PB1C1的體積為 （ ） 45.在棱長(zhǎng)為4的正方體ABCD—A1B1C1D1中，P是A1B1上一點(diǎn)，且PB1?
A．816 B． C．4 D．16 33
5.B 提示：多面體BC—PB1C1 ，即四棱錐P?BB1C1C，其體積為?1?16?1
316。 3
6.如下圖所示，已知棱長(zhǎng)為a的正方體（左圖），沿陰影面將它切割成兩塊，拼成右圖所示的幾何體，那么拼成的幾何體的全面積為（ ）
A、
2?22a2 B、3?2a2 C、5?22a2 D、4?22a2 ????????
6.D 提示：切割拼合后，前后左右四個(gè)面的面積沒變，上下兩個(gè)面的面積是正方體的對(duì)角面的面積。
故拼成的幾何體的全面積為4?22a2。
7.已知圓錐的底面半徑為R，高為3R，在它的所有內(nèi)接圓柱中，全面積的最大值是（ ）
22Ａ．22?R Ｂ．?R Ｃ．?R Ｄ．?R ??9
428
3522
PO1x?，PO1?3x，3RR
322圓柱的高為3R?3x，所以圓柱的為S?2?x?2?x(3R?3x)??4?x?6?Rx，當(dāng)x?R時(shí)，S取最大值，4
9Smax??R2。 47.B 提示：組合體的軸截面如圖所示，由相似三角形的比例關(guān)系
8．半徑為R的球的內(nèi)接正三棱柱的側(cè)面積（各側(cè)面面積之和）的最大值為
A．3R 2（ ） 2B．3R 2C．22R D．2R 2
8.A 提示： 如圖設(shè)球的內(nèi)接正三棱柱高的2x，則OO1?x，設(shè)球的內(nèi)接正三棱柱高的底面
A．若l//m，m//n，則l//n. B．若l??，n//?，則l?n. Ｃ．若l?m，m//n，則l?n. Ｄ．若l//?，n//?，則l//n. 11．D
12．已知平面?、?都垂直于平面?，且????a,????b.給出下列四個(gè)命題： ①若a?b,則???；②若a//b,則?//?；③若???,則a?b；④若?//?,則a//b. 其中真命題的個(gè)數(shù)為 （ ） A．4 B．3 C．2 D．1 12.A 提示：借助與正方體模型，不難發(fā)現(xiàn)4個(gè)命題都是真命題。選A。
二、填空題：本大題共4小題，每小題4分，共16分，請(qǐng)把答案直接填在題中橫線上.
13．已知ABCD是空間四邊形形，E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)，如果對(duì)角線AC＝4，BD＝2，那么EG2＋HF2的值等于 ．
13. 10 提示：易知四邊形EFGH是平行四邊形，EF=GH=2、EH=FG=1，在平行四邊形兩條對(duì)角線的平方和等于四個(gè)邊的平方和。故其和為10。 提示：．
14．如圖所示，平面M、N互相垂直，棱l上有兩點(diǎn)A、B， AC?M，BD?N，且AC⊥l，BD?l，AB＝8cm，AC＝6 cm，BD
＝24 cm，則CD＝
_________． 14. 26cm 提示： （一）（理科）
CD?CA?AB?BD?CD???26cm。
（二）補(bǔ)成一個(gè)長(zhǎng)方體，不難發(fā)現(xiàn)CD是這個(gè)長(zhǎng)方體的體對(duì)角線。 提示：．
15．現(xiàn)有正四面體ABCD，記此四面體能容納得下的最大球體半徑為R1，能容納得下此四面體的最小球體半徑為R2，則R1
R215.
1
提示：即正四面體的內(nèi)切球與外接球的問題。 3
16．已知在三棱柱
ABC?A1B1C
1中，底面為直角三角形，?ACB?90
,AC?6,BC?CC1
P是BC1上一動(dòng)點(diǎn)，則CP?PA1的
最小值為_______________．
16. 提示：計(jì)算知AB1?BC1?2，又AC11?6，故?A1BC1是?A1BC1?90
的直角三角形。鋪平平面
A1BC
1、平面BCC1，如圖
AC?CP?PA1?AC1，在?AC1C中，由余弦定理1
故(CP?PA1)min?
三、解答題：本大題共6小題，共74分，解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟. 17．（ 12分）在長(zhǎng)方體ABCD?A1B1C1D1中，已知DA?DC?4,DD1?3，求異面直線A1B與B1C所成角的余弦值．
17.法一：連接A1D，如圖
連接BD，在△A1DB中，A1B?A1D?5,
A1D//B1C,??BA1D為異面直線A1B與B1C所成的角.
BD?42，
A1B2?A1D2?BD225?25?329
則cos?
BA1D?. ??
2?A1B?A1D2?5?525
9
. 25
法二：（理科）以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以DA、DC、DD1所在直線為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系. 如圖
異面直線A1B與B1C所成角的余弦值為
則
A1(4,0,3)、B(4,4,0)、B1(4,4,3)、C(0,4,0)
， 得
A1?(0,4,?3),B1?(?4,0,?3).
設(shè)A1B與B1C的夾角為?，則cos??
99
， ? A1B與B1C的夾角余弦值為， 即異面直線A1B與B1C2525
所成角的余弦值為
9
. 25
18.（理科）（１２分）三棱錐C?OAB的底面OAB是邊長(zhǎng)為4的正三角形，CO?平面OAB且CO?2，設(shè)D、E分別是OA、AB的中點(diǎn)。
（I）求證：OB∥平面CDE；
（II）求二面角O?DE?C的余弦值． 18.解：
（I）證明：∵DE是?OAB的中位線， ∴DE∥OB， DE?平面CDE， OB?平面CDE，
∴OB∥平面CDE．
（II）以O(shè)為原點(diǎn)，OC為z軸正向，OB為y軸正向，在平面OAB內(nèi)作OF⊥y軸
并以O(shè)F為x
軸正向建立空間直角坐標(biāo)系（如圖）
則題意得:O?0,0,0?O,A2,0，B?0,4,0?，C?0,0,2?，D
設(shè)平面CDE的法向量為n??x,y,z?，DE??
0,2,0?，CD?
，E
．
2， 由n?
DE?0且n?
CD?0得
2y?0??
，令x?2得z?
n?． ?y?2z?0
取平面OAB的法向量OC??0,0,2?，
n?OC?????． cosn,OC???7n?OC
∴二面角O?DE?C的余弦值是
． 7
另一種建立坐標(biāo)系的方法是。 18.（文科）（12分）已知四棱臺(tái)上，下底面對(duì)應(yīng)邊分別是a，b，試求其中截面把此棱臺(tái)側(cè)面分成的兩部分面積之比．
18.解：設(shè)A1B1C1D1是棱臺(tái)ABCD－A2B2C2D2的中截面，延長(zhǎng)各側(cè)棱交于P點(diǎn).如圖
S?PBCa?ba2
∵BC=a，B2C2=b，∴B1C1=，∵BC∥B1C1，∴ a?b2S?PB1C1
()2
2
2
(a?b)
S?PBC． ∴S?PB1C1?2
4a
SB1C1CBS?PB1C1?S?PBCb2
同理S?PB2C2?2?S?PBC ∴ ?
aSB2C2C1B1S?PB2C2?S?PB1C1(a?b)2
12b2?2ab?3a2(b?3a)(b?a)b?3a??2?2? 22
b(a?b)(3b?a)(b?a)3b?a3b?2ab?a?a24a2
SABB1A1SDCC1D1SADD1A1b?3a
同理： ???
SA1B1B2A1SD1C1C2D2SA1D1D2A13b?a
由等比定理，得
S上棱臺(tái)側(cè)S下棱臺(tái)側(cè)
＝
3a?b
a?3b
D直徑，AD與
19.（理科）（１２分）如圖所示，AF、DE分別是圓O、圓O1的兩圓所在的平面均垂直，AD?8.BC是圓O的直徑，AB?AC?6,OE//AD.
A
(I)求二面角B?AD?F的大??；
(II)求直線BD與EF所成的角的余弦值. 19.解：(Ⅰ)∵AD與兩圓所在的平面均垂直,
∴AD⊥AB, AD⊥AF,故∠BAD是二面角B—AD—F的平面角，
依題意可知，ABCD是正方形，所以∠BAD＝45.
即二面角B—AD—F的大小為45；
(Ⅱ)以O(shè)為原點(diǎn)，BC、AF、OE所在直線為坐標(biāo)軸，建立空間直角坐標(biāo)則O（0，0，0），A（0，?2，0），B（32，0，0）,D（0，?32，F(xiàn)（0，32，0）
所以，BD?(?2,?2,8),FE?(0,?2,8)
F
系（如圖所示），8），E（0，0，8），
cos?BD,EF??
0?18?64??
10
設(shè)異面直線BD與EF所成角為?，
82 10
直線BD與EF所成的角為余弦值為．
10
則cos??|cos?,?|?
19.（文科）（12分）已知直三棱柱ABC—A1B1C1 中，AC ＝BC ＝1，∠ACB ＝90°，AA1 ＝2，D 是A1B1 中點(diǎn)． （1）求證C1D ⊥平面A1B ；
（2）當(dāng)點(diǎn)F 在BB1 上什么位置時(shí)，會(huì)使得AB1
⊥平面C1DF ？并證明你的結(jié)論．
tan∠NFE=
=22，∴二面角N-CM-B余弦值是．
3EF
解法二：（理科）（Ⅰ）取AC中點(diǎn)O，連結(jié)OS、OB.∵ SA=SC，AB=BC，∴AC⊥SO且AC⊥BO.
∵平面SAC⊥平面ABC，平面SAC∩平面ABC=AC ∴SO⊥面ABC，∴SO⊥BO.
如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz.則A（2，0，0）， B（0，23，0），C（-2，0，0），S（0，0，22）， M(1，3，0)，N(0，，2).∴=（-4，0，0），
，∵AC·SB=（-4，0，0）·（0，2，22）=0， SB=（0，2，22）∴AC⊥SB.
（Ⅱ）由（Ⅰ）得=（3，，0），=（-1，0，2）. 設(shè)n=（x，y，z）為平面CMN的一個(gè)法向量，則
CM?n?3x?3y?0
x?2z?0
取z=1，則x=2，y=－6，∴=(2，－6，1)，
又=(0，0，22)為平面ABC的一個(gè)法向量， ∴cos(n，∴二面角N-CM-B的余弦值是
1
.
3
=
1. 3
21.（12分）如圖，已知四棱錐P—ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AP = AD = 1，AB = 2，E、F分別是AB、PD的中點(diǎn)． (I) 求證：AF//平面PEC；
(II) 求PC與平面ABCD所成角的正弦值； (III) （理科）求二面角P—EC—D的余弦值．
21.解：方法一：（文科） (I) 取PC的中點(diǎn)O，連結(jié)OF、OE．
FO//DC，且FO?
1
DC. ?FO//AE. 2
又∵E是AB的中點(diǎn)，且AB = DC，∴FO = AE． ∴四邊形AEOF是平行四邊形．∴AF//OE．
又OE ?平面PEC，AF ?平面PEC，∴AF//平面PEC．
(II) 連結(jié)AC． ∵PA⊥平面ABCD，∴∠PCA是直線PC與平面ABCD所成的角．
PA1， ??.所以sin?PCA?6AC55
即直線PC與平面ABCD所成角的正弦值為
6
在RtΔPAC
中，tan?PCA
方法二：（理科）以A為原點(diǎn)，如圖建立直角坐標(biāo)系．如圖則A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(2，1，0)，D(0，1，0)，F(xiàn)(0,(I) 取PC的中點(diǎn)O，連結(jié)OE．則O(1,
11
,)，E(1，0，0)，P(0，0，1)． 22
11???11
AF?(0,,),EO?(0,,)，
2222
11
,). 22
AF//EO.
又OE ? 平面PEC，AF ? 平面PEC，∴AF//平面PEC． (II) 由題意可得?(2,1,?1)，
且PA?(0,0,?1)是平面ABCD的法向量，
cos?PA,PC??
6， 6
(III) 設(shè)m?(x,y,z)為平面PEC的法向量，PE?(1,0,?1),EC?(1,10).
x?z?0
,?m?PE?0,
則????? 可得? ?
x?y?0.???m?EC?0.
即直線PC與平面ABCD?
令
z = ? 1，則m= (? 1，1，? 1)．
PA?(0,0,?1)是平面ABCD的法向量，
m?PA?
cos?m,PA???
|m|?|PA|∴二面角P—EC—D的余弦值為
。 3
P
F
E
22.（14分）如圖
PDA＝45?，E、F分別是AB、PC的中點(diǎn)． （1）求證：EF∥平面PAD；
（2）求異面直線EF與CD所成的角；
D
BC
，已知矩形ABCD所在平面外一點(diǎn)P，PA⊥平面ABCD，AB＝2，
22.解法一：幾何法
（1） 證明：取PD的中點(diǎn)G,則FG=
11
CD且FG//CD, E為AB中點(diǎn),在矩形ABCD中,有AE//CD且AE=CD 22
∴有AE//FG且AE=FG, ∴平行四邊形EFGA,
有EF//AG ,又EF?面PAD,AG?面PAD , ∴EF//面PAD
（2）在矩形ABCD中，CD⊥AD，由PA⊥面ABCD知，PA⊥CD ∵AD、PA?面PAD，∴CD?平面PAD． ∵AG?面PAD，∴CD⊥AG，
由（1）有EF//AG，∴EF⊥CD
（3）過D作DH⊥PC，H為垂足，
由PA⊥面ABCD知，在△PAD中，PA⊥CD，已知?PDA＝45?，
B
∴△PAD為等腰直角三角形，G為PD中點(diǎn)，∴AG⊥PD 由（1）知EF//AG，∴EF⊥PD，由（2）知EF⊥CD， CD、PD?面PCD，∴EF⊥面PCD，
DH?面PCD，∴EF⊥DH，又有DH⊥PC，PC、EF?面PEF，∴DH⊥面PEF， DH即為點(diǎn)D到面PEF的距離
AD=PA=3，PA=32，CD=AB=2，CD⊥PD，PC=PD2?CD2?在直角三角形PCD中，DH=
D
22
PD?CD32?26) ??
PC1122
解法二：（理科）坐標(biāo)法
如圖，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，以AB，AD，AP所在直線分別
為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系．
∵PA⊥平面ABCD，?PDA＝45?，所以三角形PAD為等腰直角三角形， 可設(shè)B(b,0,0)，D(0,a,0)，P(0,0,a)，C(b,a,0) （1）∵E(,0,0)，F(xiàn)(,
baa
,) 222
aa1????1???EF?(0,,)?AD?AP
2222
b2
∴EF∥平面PAD
（2） ∵CD?(b,0,0)， ????????aa
∴EF?CD?(0,,)?(b,0,0)?0
22
EF?CD，異面直線EF與CD所成的角為90； （3） AD=PA=3，AB=2，∴a=3，b=2
E（1，0，0），F(xiàn)（1，3/2，3/2），EF=（0，3/2，3/2），PE?(1,0,?3)
過在作面PEF的法向量DH，設(shè)DH=（1，x，y），則 ?,?，∴??0,??0?(12分
)
1?x???3?11
(x?y)?03
即?2,解得?,=(1,?,)，
33?y?1?1?3?y?0??3?
點(diǎn)D到面PEF的距離
2?11?99
6． 11
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