主講人：鐘煒（四川省自貢市榮縣教研室書記） 時(shí)間：2014年10月9日
“初中數(shù)學(xué)講座”分為若干個(gè)專題,每個(gè)專題分為幾個(gè)版塊。本文《對初中數(shù)學(xué)教材例題習(xí)題的處理策略與二次開發(fā)》分為五個(gè)版塊：一是對(初中數(shù)學(xué))教材中例題處理的策略研究;二是淺談如何處理初中數(shù)學(xué)教材中的例題;三是淺談初中數(shù)學(xué)課本例習(xí)題的處理與學(xué)生思維品質(zhì)的培養(yǎng);四是淺談初中數(shù)學(xué)教材例題習(xí)題“二次開發(fā)”的策略;五是初中數(shù)學(xué)教材例題習(xí)題“二次開發(fā)”的策略研究。
版塊一:對(初中數(shù)學(xué))教材中例題處理的策略研究
來源:百度文庫 日期:2013年1月9日
例題教學(xué)是課堂教學(xué)的主要環(huán)節(jié),切實(shí)加強(qiáng)各種例題的教學(xué),對于學(xué)生理解和掌握好數(shù)學(xué)知識,培養(yǎng)能力,陶冶情操等都具有舉足輕重的作用.其實(shí),教材所呈現(xiàn)的很多知識都是死的,例題的處理就是為了使教材知識在教學(xué)中活起來,因此,處理好教材中的例題才能有效地引導(dǎo)學(xué)生思考,才能使教學(xué)順利進(jìn)行,才能提高課堂教學(xué)的效率.下面是我“如何處理初中數(shù)學(xué)教材中的例題”的一些做法和體會.
一、處理教材例題的原則
要處理好初中數(shù)學(xué)教材中的例題,達(dá)到自如駕馭教材,提高課堂效率的目的,就要遵循一定的原則：
1.1 目標(biāo)性原則：每一節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)是課堂教學(xué)的出發(fā)點(diǎn)和歸宿,在課堂教學(xué)中起著導(dǎo)航的作用.教師對例題的“開發(fā)”必須圍繞教學(xué)目標(biāo)進(jìn)行,開發(fā)后的內(nèi)容要體現(xiàn)目標(biāo)性原則,不同的教學(xué)目標(biāo)決定著不同的處理方法.
1.2 科學(xué)性和現(xiàn)實(shí)性原則：數(shù)學(xué)知識具有嚴(yán)格的邏輯性和高度的科學(xué)性, “開發(fā)”的例題必須具有科學(xué)性.教師選擇和創(chuàng)造的例題要與學(xué)生的生活實(shí)際相結(jié)合,對于某些陳舊的、不適合社會發(fā)展的內(nèi)容要刪除,要把某些新進(jìn)展的、具有時(shí)代性的內(nèi)容編成例題,從而充實(shí)學(xué)生的學(xué)習(xí)生活,充實(shí)教材內(nèi)容.
1.3 主體性原則：教師處理例題必須根據(jù)學(xué)生的具體情況,在內(nèi)容的呈現(xiàn)形式上要適合學(xué)生的年齡特點(diǎn),滿足學(xué)生的需要,不同地區(qū)、不同基礎(chǔ)的學(xué)生應(yīng)該采用不同的處理方式,做到因材施教.處理例題時(shí)還要注意培養(yǎng)他們解題的技能技巧,提高他們的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力,使學(xué)生學(xué)會學(xué)習(xí).
二、處理教材例題的方法
首先要尊重教材,畢竟專家在編寫教材時(shí)是經(jīng)過從理論到實(shí)踐的多重思考與驗(yàn)證的,教材中有許許多多現(xiàn)成的例題,它們能很好地實(shí)現(xiàn)教學(xué)目標(biāo),很好地促進(jìn)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí),對于這類例題,我們可以根據(jù)以往積累的成功經(jīng)驗(yàn)直接傳授給學(xué)生.當(dāng)然,在牢牢把握課時(shí)教學(xué)目標(biāo)的前提下,可對教材中的某些例題作出合理 “開發(fā)”.處理后的例題是教師心中的教材,這教材不是原教材的復(fù)印,而是根據(jù)教學(xué)的目標(biāo)任務(wù)、教材內(nèi)容以及學(xué)生的實(shí)際情況、運(yùn)用恰當(dāng)?shù)慕虒W(xué)方法與教學(xué)策略進(jìn)行優(yōu)化整合的.只有這樣經(jīng)過優(yōu)化整合的教材,才能使它有效地內(nèi)化為學(xué)生的知識、能力與觀念.例題的再次“開發(fā)”,往往能促使學(xué)生的學(xué)習(xí)由“重結(jié)論輕過程”轉(zhuǎn)向“過程與結(jié)論并重”的方向發(fā)展,從而使學(xué)生達(dá)到“舉一反三”效果. 我們就如何“開發(fā)”例題方面總結(jié)出以下幾種方法：
2.1 不改變例題改變教學(xué)方法與教學(xué)策略
在平時(shí)的的教學(xué)中不但要積累成功的經(jīng)驗(yàn),還要總結(jié)失敗的教訓(xùn),并以此為鑒,才能使自已的教育教學(xué)水平得到提高.有時(shí)即使不改變例題而改變教學(xué)方法與教學(xué)策略,也能使我們的課堂教學(xué)起到事半功倍的效果.
2.2 利用教材中的例題改動一些小知識點(diǎn)
這是教師在上課時(shí)常用的方法,成特別是在講解計(jì)算型的題目時(shí),如：合并同類項(xiàng)時(shí),舉例2a+3a,我們給改成5a+6a或7b+2b,繼而再改成-2a+3b,然后再總結(jié)合并同類項(xiàng)的規(guī)律,這對教學(xué)效果是沒有任何影響的,同時(shí)這樣隨意改動,自已也覺得得心應(yīng)手,會給自已增加自信心,自然也就提高了課堂教學(xué)效果.
2.3 改變題目的背景
有時(shí)為了激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣,活躍課堂氣氛,不要忽視了課堂情感的投入,在上課時(shí)可以對題目的背景進(jìn)行適當(dāng)更改.教師有意識地進(jìn)行題目背景的更換,使知識溶入在不同的背景中,選擇的背景是學(xué)生熟悉的事物和情景,這會讓數(shù)學(xué)教學(xué)因貼近生活而變得更加可親.讓學(xué)生在數(shù)學(xué)的世界里開拓出可供他們思索、探討和發(fā)展的用武之地,使數(shù)學(xué)課程更具現(xiàn)實(shí)性.
2.4 拓展例題的知識范圍
有的例題僅僅針對一個(gè)知識點(diǎn),解決一個(gè)問題,但在實(shí)際教學(xué)時(shí)有時(shí)可能會根據(jù)實(shí)際情況,需要“借題發(fā)揮”,對例題的知識范圍進(jìn)行拓展.例如在學(xué)習(xí)“變化中的三角形”這節(jié)課時(shí),分析了三角形的面積公式S＝ah÷2中,“高h(yuǎn)為6不變,底a變化時(shí),有S＝ah÷2＝6a÷2＝3a,點(diǎn)明變量S怎樣隨著自變量a的變化而變化.在學(xué)生掌握了這個(gè)例題之后及時(shí)滲透行程等常用公式中因變量怎樣隨著自變量的變化而變化的例子,教學(xué)效果非常好.
2.5 創(chuàng)造全新的例題
教材處理過程中不能只盯著課本中的題目,應(yīng)選擇和創(chuàng)造一些與學(xué)生的生活實(shí)際相結(jié)合的例題,增加一些書本上沒有但是今后又要用到的知識,以促進(jìn)學(xué)生今后的發(fā)展.如在上因式分解時(shí)可增加“十字相乘法”等的相關(guān)例題,二次函數(shù)補(bǔ)充“交點(diǎn)式”等等.
三、“處理例題”的實(shí)踐階段
要開展好“處理例題”這項(xiàng)活動,就要關(guān)注好以下幾個(gè)階段：
3.1 例題的選取階段
題目涉及的知識要點(diǎn)應(yīng)覆蓋本節(jié)課的內(nèi)容,有一定的代表性；所選例題要能體現(xiàn)“通法通用”, 遵循思維的認(rèn)知規(guī)律,從易到難,循序漸進(jìn).所以所選例題不要一心追求偏、怪、難題,也不要貪多,要重視一題多解、一題多變,注重培養(yǎng)學(xué)生解題的能力.
3.2 指導(dǎo)學(xué)生分析階段
教師引導(dǎo)學(xué)生研讀例題,啟發(fā)學(xué)生積極思考例題中的有關(guān)問題,包括看懂例題、理解概念、分析問題、得出解題思路、完善解題步驟.
3.3 教師的講解階段
數(shù)學(xué)例題的講解分計(jì)算題、作圖題、證明題等,對不同類型的題目一般采用不同的方法,即使是同一種類型的題目也可以用多種思考的方法,
3.4 提高總結(jié)階段
例題解答之后,要引導(dǎo)學(xué)生反思解題過程,總結(jié)解題的經(jīng)驗(yàn)教訓(xùn),對一些常用的教學(xué)方法,解題策略予以歸納概括,提示學(xué)生今后注意運(yùn)用.對于學(xué)生易錯(cuò)又不容易改正的習(xí)題要引導(dǎo)學(xué)生做好用好錯(cuò)題集.
版塊二:淺談如何處理初中數(shù)學(xué)教材中的例題
作者:江蘇省興化市臨城中心校初中部 王愛榮
來源:百度文 日期:2013年10月31日
摘要：例題教學(xué)是初中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的重要環(huán)節(jié)。不少教師對教材的認(rèn)識和理解不夠，往往忽略例題的典型性和示范性。例題教學(xué)教法單一，講解刻板，缺乏變通、創(chuàng)新，失去了例題教學(xué)應(yīng)有的功能。切實(shí)加強(qiáng)各種例題的教學(xué)研究,處理好教材中的例題才能有效地引導(dǎo)學(xué)生思考,才能使教學(xué)順利進(jìn)行,才能有效提高課堂教學(xué)的效率。
關(guān)鍵詞：例題教學(xué) 教學(xué)研究 開發(fā)改編 題后反思 提高效率
眾所周知，例題教學(xué)是初中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的重要環(huán)節(jié)。不但為學(xué)生提供解決數(shù)學(xué)問題的范例，揭示數(shù)學(xué)方法，規(guī)范思考過程，而且為其數(shù)學(xué)方法體系的構(gòu)建提供了基石。對于學(xué)生理解和掌握好數(shù)學(xué)知識,培養(yǎng)能力,具有舉足輕重的作用。然而，不少教師對教材的理解不夠，往往忽略例題的典型性和示范性，輕描淡寫，一帶而過，盲目選擇一些難題、偏題，進(jìn)行題海戰(zhàn)術(shù)，導(dǎo)致學(xué)生恐懼、厭惡數(shù)學(xué)，適得其反。也有不少教師例題教學(xué)教法單一，照本宣科，講解刻板，缺乏變通、創(chuàng)新，失去了例題教學(xué)應(yīng)有的功能。切實(shí)加強(qiáng)各種例題的教學(xué)研究, 處理好教材中的例題才能有效地引導(dǎo)學(xué)生思考,才能使教學(xué)順利進(jìn)行,才能提高課堂教學(xué)的效率。下面談?wù)勎覍Α叭绾翁幚沓踔袛?shù)學(xué)教材中的例題”的一些做法和體會。
一、要尊重初中數(shù)學(xué)教材
教材的編寫時(shí)是經(jīng)過從理論到實(shí)踐的多重思考與驗(yàn)證的，凝聚專家學(xué)者的經(jīng)驗(yàn)與智慧。教材中有許許多多現(xiàn)成的例題,它們能很好地體現(xiàn)教學(xué)目標(biāo),促進(jìn)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)。對于這類例題, 不能簡單的模仿、記憶，追求解題的難度和技巧，應(yīng)著重讓學(xué)生體會例題蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)基本思想和方法，與本節(jié)課教學(xué)目標(biāo)之間的內(nèi)在聯(lián)系。不僅要讓學(xué)生知其然，還要知其所以然。
二、將初中數(shù)學(xué)教材中的例題進(jìn)行適當(dāng)?shù)摹伴_發(fā)”
有些例題的背景比較抽象，缺乏生活氣息，如果將例題進(jìn)行適當(dāng)?shù)摹伴_發(fā)”，改編成與學(xué)生密切相關(guān)的生活情境，不僅可以激發(fā)學(xué)生的參與熱情，還能發(fā)揮學(xué)生的創(chuàng)新意識和創(chuàng)造能力．處理后的例題是根據(jù)教學(xué)的目標(biāo)任務(wù)、教材內(nèi)容以及學(xué)生的實(shí)際情況、運(yùn)用恰當(dāng)?shù)慕虒W(xué)方法與教學(xué)策略進(jìn)行優(yōu)化整合的新教材。只有這樣經(jīng)過優(yōu)化整合的教材,才能使它有效地內(nèi)化為學(xué)生的知識、能力與觀念。例題的再次“開發(fā)”,往往能促使學(xué)生的學(xué)習(xí)由“重結(jié)論輕過程”轉(zhuǎn)向“過程與結(jié)論并重”的方向發(fā)展,從而使學(xué)生達(dá)到“舉一反三”效果。以下是我在例題“開發(fā)”方面做了一些嘗試：
1、改變教學(xué)方法與教學(xué)策略
在平時(shí)的的教學(xué)中不但要積累成功的經(jīng)驗(yàn),還要總結(jié)失敗的教訓(xùn),并以此為鑒,才能使自已的教育教學(xué)水平得到提高。有時(shí)即使不改變例題而改變教學(xué)方法與教學(xué)策略,也能使我們的課堂教學(xué)起到事半功倍的效果。
2、利用學(xué)生的典型錯(cuò)誤，分析例題考查知識和技能，自我設(shè)計(jì)同類問題
在先學(xué)后教模式下，學(xué)生自主學(xué)習(xí)的過程中，在自我的認(rèn)知和理解的基礎(chǔ)上完成相應(yīng)的例題和習(xí)題，學(xué)生往往會出現(xiàn)一些典型錯(cuò)誤。引導(dǎo)學(xué)生分析錯(cuò)誤產(chǎn)生的原因，運(yùn)用相應(yīng)知識可能存在的問題，要求學(xué)生自我設(shè)計(jì)同類題目，加深了對這類問題的認(rèn)識和理解。長期以往學(xué)生就會覺得得心應(yīng)手,提高了自主學(xué)習(xí)的能力，增加自信心,自然也就提高了課堂教學(xué)效果。
3、改變題目的背景
有時(shí)為了激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣,活躍課堂氣氛,不要忽視了課堂情感的投入,在上課時(shí)可以對題目的背景進(jìn)行適當(dāng)更改。教師有意識地進(jìn)行題目背景的更換,使知識溶入在不同的背景中,選擇的背景是學(xué)生熟悉的事物和情景,這會讓數(shù)學(xué)教學(xué)因貼近生活而變得更加可親。如數(shù)據(jù)集中趨勢中的例題，過于陳舊，缺乏典型性。2008年北京奧運(yùn)會射擊比賽中埃蒙斯的真實(shí)案例，最后一槍射到鄰座的槍靶上，第10發(fā)成績?yōu)?，如何評價(jià)這位運(yùn)動員的射擊水平？情景真實(shí)，離學(xué)生生活很近，例題的改編激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，收到了良好的教學(xué)效果。
4、拓展例題的知識范圍，觸類旁通，舉一反三
有的例題僅僅針對一個(gè)知識點(diǎn),解決一個(gè)問題,但在實(shí)際教學(xué)時(shí)有時(shí)可能會根據(jù)實(shí)際情況,需要“借題發(fā)揮”,對例題的知識范圍進(jìn)行拓展。例如在學(xué)習(xí)方程、不等式和函數(shù)知識，如何理解三者之間的關(guān)系，可以結(jié)合具體的例題，配合圖像讓學(xué)生理解函數(shù)的對應(yīng)的本質(zhì)，函數(shù)是整個(gè)過程中的對應(yīng)，不等式是某個(gè)范圍內(nèi)的對應(yīng)，而方程式是某個(gè)瞬間的對應(yīng)，加深學(xué)生對三者之間的關(guān)系的理解。
三、注重初中數(shù)學(xué)教材例題教學(xué)的解后反思
注重題后反思，積累經(jīng)驗(yàn)，總結(jié)規(guī)律。葉圣陶先生說過:“什么是教育？簡單地說教育就是培養(yǎng)習(xí)慣?！比欢?，教師常常把例題解答完就了事，不對例題進(jìn)一步挖掘，題后不引導(dǎo)學(xué)生對例題題型、思想方法、表述等進(jìn)行反思，學(xué)生得不到解題反思的熏陶，沒有題后反思的意識，無法養(yǎng)成題后反思的習(xí)慣。所以例題教學(xué)的解后反思應(yīng)該成為例題教學(xué)的一個(gè)重要內(nèi)容。可以從以下兩個(gè)方面進(jìn)行嘗試：
1、在解題的方法規(guī)律處反思。善于作解題后的反思、方法的歸類、規(guī)律的小結(jié)和技巧的揣摩，再進(jìn)一步作一題多變，一題多問，一題多解，挖掘例題的深度和廣度，擴(kuò)大例題的輻射面，無疑對能力的提高和思維的發(fā)展是大有裨益的。通過例題解法多變的教學(xué)則有利于幫助學(xué)生形成思維定勢，而又打破思維定勢；有利于培養(yǎng)思維的變通性和靈活性。
2、在學(xué)生易錯(cuò)處反思。學(xué)生的知識背景、思維方式、情感體驗(yàn)往往和成人不同，而其表達(dá)方式可能又不準(zhǔn)確，這就難免有“錯(cuò)”。例題教學(xué)若能從此切入，進(jìn)行解后反思，則往往能找到“病根”，進(jìn)而對癥下藥，常能收到事半功倍的效果! 如果我們的例題教學(xué)能抓住這一契機(jī)，并就此展開討論、反思，無疑比講十道、百道乃至更多的例題來鞏固法則要好得多，而這一點(diǎn)恰恰容易被我們所忽視。
總而言之，數(shù)學(xué)題型千變?nèi)f化，教師所選的例題題型也應(yīng)隨之變化多端。例題的恰當(dāng)與否直接關(guān)系到學(xué)生對一節(jié)課的吸收程度，并且對他本身思維的培養(yǎng)，智力開發(fā)都是非常重要的，作為數(shù)學(xué)教師，切不能簡單粗暴的處理例題，隨意的亂舉偏題、難題進(jìn)行教學(xué)的拓展。教師應(yīng)認(rèn)真?zhèn)湔n，選好例題，為例題教學(xué)作好充分準(zhǔn)備，發(fā)揮例題應(yīng)有的功能，去引導(dǎo)學(xué)生，去挖掘?qū)W生的潛能，從而開發(fā)他們的智力，提高學(xué)生學(xué)習(xí)的效率。
版塊三:淺談初中數(shù)學(xué)課本例習(xí)題的處理與學(xué)生思維品質(zhì)的培養(yǎng)
來源:中學(xué)數(shù)學(xué)天地新浪博客 日期:2012年1月30日
初中數(shù)學(xué)新課改的目的就是提高數(shù)學(xué)教學(xué)的質(zhì)量，要提高數(shù)學(xué)教學(xué)的質(zhì)量，必須使學(xué)生擁有一個(gè)清醒和善于思維的頭腦.在課堂教學(xué)中，教師若能對課本例習(xí)題進(jìn)行適當(dāng)?shù)纳罨透母?，恰?dāng)?shù)剡M(jìn)行引深與推廣，通過對問題的思考、推理、論證、變換等，不僅能開拓學(xué)生的解題思路，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，而且還能有效地訓(xùn)練學(xué)生的思維能力，培養(yǎng)學(xué)生的思維品質(zhì)，提高數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的質(zhì)量，把教改推向深入.下面結(jié)合自己的教學(xué)實(shí)踐談?wù)剮c(diǎn)粗淺認(rèn)識.
一、一題多解，培養(yǎng)學(xué)生思維的發(fā)散性
“一題多解”有利于引導(dǎo)學(xué)生沿著不同的途徑去思考問題，由此可以產(chǎn)生多種解題思路.通過“多解”并比較，找出既新穎、獨(dú)特，又省時(shí)、省工的“最佳解”時(shí)，才能調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性和主動性，激發(fā)學(xué)生的求知欲，才能培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散性思維.
例如，證明等腰梯形的判定定理：在同一底上的兩個(gè)底角相等的梯形是等腰梯形.（蘇科版九上）
我在講解時(shí)，引導(dǎo)學(xué)生從以下四個(gè)方面分析：（1）平移一腰，轉(zhuǎn)化為平行四邊形和等腰三角形（2）過上底的兩個(gè)端點(diǎn)作高線，轉(zhuǎn)化為兩個(gè)全等的直角三角形和一個(gè)矩形（3）延長兩腰，轉(zhuǎn)化為兩個(gè)等腰三角形.這幾種證法分別用到了全等三角形的對應(yīng)邊相等、等角對等邊、平行四邊形的性質(zhì)、等式的性質(zhì)等，體現(xiàn)了知識的縱向、橫向的結(jié)合；輔助線的添設(shè)也各有特色，展示了解決梯形問題的一般規(guī)律.這樣，對強(qiáng)化學(xué)生的解題技能、優(yōu)化學(xué)生的思維品質(zhì)具有重要的意義.
二、一題多變，培養(yǎng)學(xué)生思維的廣闊性
思維的廣闊性，也稱思維的廣度，是指思路寬廣，富有想象力，善于從多角度、多方位、多層次去思考問題，認(rèn)識問題和解決問題.教師在對例題進(jìn)行分析和解答后，若注意發(fā)揮例題以點(diǎn)帶面的功能，有意識地在例題基礎(chǔ)上進(jìn)一步引伸擴(kuò)充，挖掘問題的內(nèi)涵和外延，指導(dǎo)學(xué)生對新問題的探討，這對培養(yǎng)學(xué)生思維的廣闊性是大有裨益的.
例如，我在評講蘇科版九上《圓》復(fù)習(xí)題9時(shí)，我又把該題改編了化為：
已知：MN是⊙O的切線，切點(diǎn)為C，AB是⊙O的直徑.求證：點(diǎn)A、B到MN的距離之和等于⊙O的直徑.
此題看似一道很普通的習(xí)題，但經(jīng)過一番探索，不能發(fā)現(xiàn)它有豐富的內(nèi)涵.
（一）挖掘證明
思路1：連OC，證明半徑OC是直角梯形ABED的中位線.
思路2：連AC、BC，過C作CG⊥AB，證明△ADC≌△ACG，△BCG≌△BEC，得到AD＝AG，BE＝BG.
（二）挖掘聯(lián)系
從圖中不難發(fā)現(xiàn)：OD＝OE，AC、BC分別平分∠DAB、∠EBA，因此，本例實(shí)質(zhì)上是下面習(xí)題的再現(xiàn)：
（1）求證：直角梯形的兩個(gè)直角頂點(diǎn)到對腰中點(diǎn)的距離相等
（2）設(shè)AB為⊙O的直徑，C為⊙O上一點(diǎn)，AD和⊙O在點(diǎn)C的切線垂直，垂足為D，求證：AC平分∠DAB.
又因?yàn)锳B＝AD＋BE，所以它是下面習(xí)題的一種特殊形式：
（3）已知：梯形ABED中，AD∥BE，AB＝AD＋BE，C為DE的中點(diǎn)，
求證：AC、BC分別平分∠DAB和∠EBA.
這樣通過典型范例的思路剖析，使學(xué)生牢固掌握了基本題型及解題規(guī)律，揭示了知識間的內(nèi)在聯(lián)系，前后貫通，引伸拓寬，使學(xué)生的思維活動始終處于一種由淺入深，由表及里，由一題到一路的“動態(tài)”進(jìn)程之中，形成了一條較為完成的知識鏈，而且能充分調(diào)動學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性和主動性，激發(fā)學(xué)生探求知識的欲望，發(fā)展了學(xué)生思維的廣闊性.
三、一題帶類，培養(yǎng)學(xué)生思維的深刻性
根據(jù)考查同一知識點(diǎn)的需要，可以從不同的角度、結(jié)合不同的數(shù)學(xué)模型作出多種命題.因此，在大量的習(xí)題中，有不少題目存在共同的解題規(guī)律.我在處理這類習(xí)題時(shí)，不僅僅滿足于具體的方法，而是透過現(xiàn)象抓住本質(zhì)，講一個(gè)例題得一種方法，達(dá)到解一題得一法、明一類的目的，從而培養(yǎng)學(xué)生深刻性思維的能力.
四、留因探果，培養(yǎng)學(xué)生思維的獨(dú)創(chuàng)性
課本上習(xí)題具有很大的潛在價(jià)值.我在評講時(shí)，常常創(chuàng)設(shè)新穎情景，展示思維的時(shí)間和空間，使學(xué)生在積極的探究中學(xué)到知識，發(fā)展學(xué)生思維的獨(dú)創(chuàng)性.
例如：教學(xué)蘇科版九上“切線長定理”時(shí)，我設(shè)計(jì)了如下的問題：已知PA、PB是⊙O的切線，A、B為切點(diǎn)，AB與OP相交與點(diǎn)C，根據(jù)已知的條件，寫出四個(gè)或四個(gè)以上不同類型的結(jié)論.
綜上所述，課本上的不少例習(xí)題內(nèi)涵豐富，對強(qiáng)化雙基，開發(fā)智力，培養(yǎng)能力有極大的潛在價(jià)值.在課本例習(xí)題的教學(xué)中，教師若能根據(jù)題目的特點(diǎn)，挖掘其豐富的內(nèi)涵，多給學(xué)生創(chuàng)設(shè)思維活動的空間，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行適當(dāng)?shù)挠^察、比較、猜測、引伸、拓寬等思維訓(xùn)練，這不僅能把已學(xué)知識點(diǎn)串成線，線聯(lián)成網(wǎng)組成知識面，使學(xué)生解一題明一路，提高學(xué)習(xí)的效率；而且還可以有助于發(fā)展學(xué)生思維的廣闊性、培養(yǎng)學(xué)生思維的深刻性、提高學(xué)生思維的敏捷性、形成思維的創(chuàng)造性，能使學(xué)生形成良好的思維品質(zhì).
版塊四:淺談初中數(shù)學(xué)教材例題習(xí)題“二次開發(fā)”的策略
作者：admin 來源：中國原創(chuàng)論文網(wǎng) 日期：2014年3月2日
在新的課改程理念下，數(shù)學(xué)教材不再被看成像“圣經(jīng)”一樣，是教師上課誦讀、宣講的對象，而是看成教學(xué)的材料和學(xué)生主動建構(gòu)意義的對象。這就要求教師在教學(xué)設(shè)計(jì)中，結(jié)合學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)和心理規(guī)律，有效地分析教材、整合教材、創(chuàng)生教材，對教材進(jìn)行再加工、再創(chuàng)造，使教材發(fā)揮其課程資源的應(yīng)有功能，以提高課堂教學(xué)實(shí)效。二次開發(fā)教材的重要原則是，做到既尊重教材又超越教材，促使教材真正成為師生共同成長的有效載體。
如何進(jìn)行例習(xí)題再利用教學(xué)，真正發(fā)揮例習(xí)題應(yīng)有的教學(xué)價(jià)值呢？我在課堂教學(xué)中，注重課本例習(xí)題的探究，在探究課本例習(xí)題的過程中讓學(xué)生去發(fā)現(xiàn)、思考、釋疑?，F(xiàn)例舉例習(xí)題常見設(shè)計(jì)進(jìn)行說明：
1、增加或改變知識點(diǎn)，把結(jié)論適當(dāng)延伸。
例題1：如圖⊙o1和⊙o2外切于點(diǎn)A，BC是⊙o1和⊙o2的公切線，B、C是切點(diǎn)，求證：AB⊥AC。
分析：講解例題時(shí)，可啟發(fā)學(xué)生用多種方法進(jìn)行求證，特別強(qiáng)調(diào)“切線與過切點(diǎn)的半徑垂直”，為解決問題做好知識準(zhǔn)備。
再利用設(shè)計(jì)1：如圖，延長例題1中的BA交⊙o2于E，延長CA交⊙o1于D，連BD、CE。
求證BD2=DA·DC。
分析：本題實(shí)際上是例題1的延伸。這道題的設(shè)計(jì)源于課本又高于課本，有助于考查學(xué)生運(yùn)用所學(xué)知識分析問題、解決問題的能力。本題的結(jié)論可啟發(fā)學(xué)生利用例題結(jié)論結(jié)合切線的性質(zhì)通過相似三角形求證。
再利用設(shè)計(jì)2：如圖，在上題基礎(chǔ)上，過點(diǎn)D作⊙o2的切線DF，切點(diǎn)為F，求證：DB=DF。
分析：對于這一問學(xué)生可能不易找到正確的解題途徑，但通過分析，利用第一問結(jié)論再結(jié)合切割線定理便可得到證法。并由此歸納：證明兩條線段相等除運(yùn)用全等三角形、等腰三角形的有關(guān)知識外，還可以運(yùn)用比例線段的知識進(jìn)行分析求證。
從不變中求變化，從變化中求規(guī)律，可以培養(yǎng)學(xué)生探究數(shù)學(xué)問題的能力。
2、變換例題中的條件或結(jié)論
例題2，如圖所示，某校小農(nóng)場要蓋一排三間長方形的羊圈，打算一面利用一堵舊墻，其余各面用木棍圍成柵欄，該校計(jì)劃用木棍圍出總長為24m的柵欄.設(shè)每間羊圈的長為x（m），三間羊圈總面積S；
（1）寫出S與X之間的函數(shù)關(guān)系及自變量x的取值范圍。
（2）請計(jì)算，x取何時(shí)，面積S最大，最大面積是多少？
分析：本題求解時(shí)，學(xué)生很容易根據(jù)題目中的條件寫出S與X之間的二次函數(shù)關(guān)系及自變量的取值范圍，并根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)得出面積S的最大值。
再利用設(shè)計(jì)1：在上題基礎(chǔ)上，增加舊墻的長度為8m，所求解的問題不變。
分析：本題中自變量X的取值范圍因舊墻長度限制，由原來的0<X<6變化為4≤X
再利用設(shè)計(jì)2：已知二次函數(shù)y=x2+2x+a（0≤x≤1）最大值為3，求a的值。
3、改求證題為探索題。
例題3，已知如圖，BE、CD為△ABC的高，連結(jié)DE。
求證：∠ADE=∠ACB。
分析：本題欲證的結(jié)論為兩角相等，學(xué)生很自然去證兩角所在的兩個(gè)三角形相似，證明過程中，學(xué)生往往難以找到相似的條件——夾公共角的兩邊對應(yīng)成比例。
再利用設(shè)計(jì)：把原題的結(jié)論開放，讓學(xué)生探究圖中共有幾對相似三角形，并寫出這幾對相似三角形。
分析：學(xué)生在探究圖中相似三角形過程中，啟發(fā)學(xué)生去發(fā)現(xiàn)過程中的結(jié)論，從而有助于學(xué)生歸納運(yùn)用相似三角形證明兩角相等、線段成比例等結(jié)論時(shí)的常規(guī)解題思路。
4、代數(shù)與幾何知識相互滲透。
例題4：如圖，要在河邊修建一個(gè)水泵站，分別向張村、李莊送水。修在河邊什么地方，可使所用的水管最短？
分析：這是一道重要的基本題，其解答并不難，如果對其進(jìn)行引申和綜合，可加大其廣度和深度。
再利用設(shè)計(jì)：如圖，在直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（4，— ），且在x軸上截得線段長AB=6。
（1）求二次函數(shù)的解析式。
（2）在y軸上作出一點(diǎn)（不寫作法）使PA+PC最小，并求P點(diǎn)的坐標(biāo)。
分析：本題的第（2）題由已知A、C兩點(diǎn)在直線Y軸的同側(cè)，利用課本例題的思想方法，求出點(diǎn)A關(guān)于Y軸的對稱點(diǎn)A/，再求得直線A/C的解析式，直線A/C與Y軸的交點(diǎn)即為所求點(diǎn)P，從而求解。
版塊五:初中數(shù)學(xué)教材例題習(xí)題“二次開發(fā)”的策略研究
作者:浙江省富陽市新登鎮(zhèn)中學(xué) 盧華偉 來源:百度快照 日期:2011年8月21日
(注:本文在轉(zhuǎn)發(fā)中丟失了一些數(shù)據(jù)和圖表,各位讀者可到網(wǎng)上查閱原文)
摘要:以數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)為依據(jù)，就初中數(shù)學(xué)例題、習(xí)題教學(xué)的現(xiàn)狀，進(jìn)行列舉和分析，并結(jié)合教學(xué)實(shí)踐中的相關(guān)案例，緊緊圍繞教材例題、習(xí)題 “二次開發(fā)”的策略研究，運(yùn)用例題、習(xí)題題目背景 “二次開發(fā)”的策略，例題、習(xí)題題目條件與結(jié)論 “二次開發(fā)”的策略，例題、習(xí)題題目基本圖形 “二次開發(fā)”的策略進(jìn)行引導(dǎo)，尋求改進(jìn)例題、習(xí)題處理的方法，以發(fā)揮其潛能．
關(guān)鍵詞:初中數(shù)學(xué) 例題習(xí)題 教學(xué)現(xiàn)狀 二次開發(fā) 策略研究
一、問題的提出
教材的“二次開發(fā)”，主要是指依據(jù)課程標(biāo)準(zhǔn)對教材內(nèi)容進(jìn)行適度增刪、調(diào)整和加工，從而使之更好地適應(yīng)具體的教育教學(xué)情景和學(xué)生的學(xué)習(xí)需求。教材的“二次開發(fā)”一方面服務(wù)于教師本人個(gè)性化的教學(xué)需求，體現(xiàn)出教師對教材內(nèi)容的理解與闡釋;另一方面也使原有的教材更適合于具體的教育教學(xué)情景，服務(wù)于學(xué)生的需要，有利于學(xué)生將教材內(nèi)容轉(zhuǎn)化為自己知識結(jié)構(gòu)的組成部分. 教材的例題、習(xí)題是教材的重要組成部分，因此，對例題、習(xí)題的“二次開發(fā)”也就成為教材“二次開發(fā)”的重要部分. 筆者認(rèn)為教材例題、習(xí)題的“二次開發(fā)”可以重點(diǎn)對題目背景、題目條件與結(jié)論、題目的解法、題目中的基本圖形進(jìn)行“二次開發(fā)”.
現(xiàn)實(shí)教學(xué)過程中，教師對教材例題、習(xí)題 “二次開發(fā)”的意識不強(qiáng)，在備課中不能對例題、習(xí)題進(jìn)行深層次的挖掘、拓展、再創(chuàng)造，在授課時(shí)也往往出現(xiàn)一筆帶過、草草了事的教學(xué)現(xiàn)狀，根本沒有很好的利用例題、習(xí)題的所潛在的價(jià)值，而教材例題、習(xí)題的“二次開發(fā)”能促使學(xué)生的學(xué)習(xí)方式由“重結(jié)論輕過程”向“過程與結(jié)果”并重的方向發(fā)展，使學(xué)生挖掘隱含問題的本質(zhì)屬性，從而達(dá)到“做一題，通一類，會一片”的解題境界．正如數(shù)學(xué)教育家波利亞指出的：“一個(gè)有責(zé)任性的教師窮于應(yīng)付繁瑣的數(shù)學(xué)內(nèi)容和過量的題目，還不如適當(dāng)選擇某些有意義但有不太復(fù)雜的題目去幫助學(xué)生發(fā)掘題目的各個(gè)方面，在指導(dǎo)學(xué)生的解題過程中，提高他們的才智和解題能力．”為此，筆者予以關(guān)注并參閱對例題、習(xí)題處理的相關(guān)知識“借題發(fā)揮”，結(jié)合案例分析，緊緊圍繞新課程標(biāo)準(zhǔn)標(biāo)的要求進(jìn)行探究，以期促進(jìn)學(xué)生學(xué)會從多層次、廣視角，全方位的認(rèn)識、研究問題，從而提高課堂教學(xué)的有效性．
二、數(shù)學(xué)課本例題、習(xí)題的教學(xué)現(xiàn)狀及歸因分析
數(shù)學(xué)課本上例題、習(xí)題是編者根據(jù)新課標(biāo)的要求，進(jìn)過深思熟慮安排的，具有很強(qiáng)的探究價(jià)值．教師對例題、習(xí)題進(jìn)行“二次開發(fā)”，能提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)和解決問題的能力．
(一)數(shù)學(xué)課本例題、習(xí)題的教學(xué)現(xiàn)狀
在數(shù)學(xué)教學(xué)中，例題與習(xí)題的教學(xué)是教學(xué)環(huán)節(jié)中的不可缺少的部分，這就要求教師能很好的處理例題、習(xí)題的教學(xué)，以促進(jìn)學(xué)生更好的發(fā)展．可是在通常的教學(xué)中教師是否真正加以體現(xiàn)和落實(shí)呢？首先看一節(jié)數(shù)學(xué)課例題、習(xí)題教學(xué)片段實(shí)錄：
有一塊三角形余料ABC，它的邊長BC=120mm，高AD=80mm，要把它加工成正方形零件，使正方形的一邊在BC上，其余兩個(gè)頂點(diǎn)分別在AB 、AC上，問加工成的正方形零件的邊長為多少mm？（浙教版《數(shù)學(xué)》九（上）P118頁4．4相似三角形的性質(zhì)）
師：請把題目讀一遍．
生：看題目，讀內(nèi)容．
師：哪位同學(xué)來講講？
生：同學(xué)們在思考中．
師：既然大家沒有思路，那我給大家講講．
生：抬頭聽老師講解．
師：講解完畢后，問：“懂了嗎？”
生：懂了．
師：好，那我們看下一個(gè)題目．
………………
師：課后把課本后面的習(xí)題完成，到時(shí)我們來對答案．
生：嗯．
………………
在講解例題時(shí)，教師經(jīng)常采用的幾種教學(xué)方法：（1）老師讀題，讀好后開始分析，然后問學(xué)生聽懂了沒有，在學(xué)生部分肯定，部分無語中結(jié)束例題的講解．（2）教師讀題后，給學(xué)生時(shí)間思考，由有思路的學(xué)生講解思路，在老師幫助下完成解答．（3）教師認(rèn)為例題太過簡單，所以用其他的題目代替，要求學(xué)生課后自己去看一下例題．（4）用別人做好的課件，根本不知道哪個(gè)是例題． 教師對課本習(xí)題更加容易忽視，通常的方法是（1）布置習(xí)題，沒有下文（2）布置習(xí)題，之后快速校對答案．
教師在教學(xué)的過程中注重了教學(xué)環(huán)節(jié)的“流暢”，教學(xué)成為低效或無效的“走馬觀花”式的逛街場．長此以往，課堂教學(xué)模式基本上是灌輸—接受．教師往往會比較注重教學(xué)的結(jié)果，強(qiáng)調(diào)題海戰(zhàn)術(shù)。所以在數(shù)學(xué)教學(xué)課堂中經(jīng)常聽到教師一言堂的聲音，能聽到學(xué)生的聲音也無非是：“嗯”、“對”、“懂了”“知道了”等一些簡單的字詞，教學(xué)的效果可想而知：教師教的累，學(xué)生學(xué)得苦，難于拓寬學(xué)生的視野、貫通學(xué)生的思想，容易抑制學(xué)生主動性和創(chuàng)造性的發(fā)展．教師對例題、習(xí)題簡單操作也給學(xué)生起了一個(gè)示范作用，學(xué)生不會去重視課本例題和習(xí)題，僅僅把它們當(dāng)成自己在完成眾多題目中的一個(gè)，不會去設(shè)疑、提煉、再創(chuàng)造，學(xué)生在平時(shí)面對的每一個(gè)題目都是那么的陌生，感悟不到題目之間的緊密聯(lián)系，只能在苦學(xué)、苦練中學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)．教師沒有給學(xué)生提供較多的思考、動手和交流的機(jī)會，這對學(xué)生的發(fā)展是不利的．
（二）例題、習(xí)題教學(xué)現(xiàn)狀的歸因分析
1．新課改下，教師角色轉(zhuǎn)變不到位
《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》指出數(shù)學(xué)課堂學(xué)生的學(xué)習(xí)方式開始逐步多樣化，樂于探究、主動參與勤于動手成為教學(xué)過程中教師的共識．課堂的組織形式也在一定程度上發(fā)生了變化，盡可能多地組織學(xué)生運(yùn)用合作、小組合作等方式，在培養(yǎng)學(xué)生合作與交流能力的同時(shí)，調(diào)動每一個(gè)學(xué)生的參與意識和學(xué)習(xí)積極性．新課程標(biāo)準(zhǔn)指出：教師應(yīng)引導(dǎo)和幫助學(xué)生主動去從事觀察、猜想、實(shí)驗(yàn)、驗(yàn)證、推理、交流等數(shù)學(xué)活動．從而使學(xué)生自己形成對數(shù)學(xué)知識的理解和有效地學(xué)習(xí)策略．教師充當(dāng)?shù)慕巧墙M織者、合作者、引導(dǎo)者.正因?yàn)榻處煂π抡n程下的角色轉(zhuǎn)變不到位，才會出現(xiàn)一言堂的教學(xué)方式，忽略學(xué)生的主體地位，只要求把例題講完，布置好習(xí)題就算完成教學(xué)任務(wù).
2．教師對課本例題、習(xí)題的“二次開發(fā)”意識不強(qiáng)
雖然在傳統(tǒng)的課堂教學(xué)情境中，教師對教材也不是完全的照搬照抄，為了達(dá)到有效傳遞學(xué)科內(nèi)容的目的，他們對教材內(nèi)容總是作或多或少的處理，但是，這種處理往往局限于數(shù)量的增減或局部內(nèi)容的處理.教師只是外在于他們的課程的執(zhí)行者，是“工匠”。在教學(xué)中對例題、習(xí)題多少也有點(diǎn)動作，但是，這種動作只是基于經(jīng)驗(yàn)和直覺，遠(yuǎn)未達(dá)到理性和自覺的認(rèn)識。新課程倡導(dǎo)教師創(chuàng)造性地和個(gè)性化地運(yùn)用教材，這意味著教師不再是外部課程的被動消費(fèi)者，而是積極的開發(fā)者。教師對教材重要組成部分的例題與習(xí)題的“二次開發(fā)”，就能不斷豐富著自己的課程知識，創(chuàng)造著新的課程經(jīng)驗(yàn)，成為自己專業(yè)生活的主人，同時(shí)才能真正體現(xiàn)新課標(biāo)的要求.
三、初中數(shù)學(xué)教材例題、習(xí)題 “二次開發(fā)”的策略研究
數(shù)學(xué)課本中的例題、習(xí)題是課本內(nèi)容的重要組成部分，既是對課本知識的詮釋，也是對某些方法的演示，所以進(jìn)行課本的例題、習(xí)題的“二次開發(fā)”，對于理解課本知識的內(nèi)涵，掌握基本解題方法有著重要的意義．筆者結(jié)合平時(shí)對例題、習(xí)題的“二次開發(fā)”提出策略
(一)例題、習(xí)題題目背景“二次開發(fā)”的策略研究
【案例】
如圖，小亮欲測量一電線桿AB的高度，他站在該電線桿的影子上前后移動，直到他身體影子的頂端正好與電線桿影子的頂端重疊，此時(shí)同伴測出小亮與電線桿距離BE=12m，小亮的影子長CE=4m．已知小亮的身高DE=1．7m
（1) 圖中△CDE和△CAB是否相似？請說明理由;
（2） 求電線桿AB的高度．（浙教版九年級上冊4．4-2作業(yè)本29頁第3題）
【分析】本題知識點(diǎn)（1）相似三角形的判定；（2）相似三角形的性質(zhì)．
1.改變遮擋物
（1）遮擋物為豎直的平面
小亮和他的同學(xué)利用影長測量旗桿高度如圖，1m長的直立竹竿的影長為1．5m．測量旗桿落在地上的影子為21m，落在墻上的影長為2m．求旗桿的高度．
【分析】通過把太陽光看成是平行光的原理,構(gòu)造相似三角形解決這類問題．
（2）遮擋物為斜坡
小亮在下午實(shí)踐活動課時(shí), 測量西教學(xué)樓的旗桿高度．如圖,當(dāng)太陽從西照射過來時(shí),旗桿AB的頂端A的影子落在教學(xué)樓前的斜坡E處,測得在地面上的影長BD=20米,DE=2米,坡面與水平地面的夾角為30°．同一時(shí)刻一根長為1米的直立竹竿的影長為2．6米，根據(jù)這些數(shù)據(jù)求旗桿AB的高度（結(jié)果
保留兩個(gè)有效數(shù)）
【分析】增加三角函數(shù)和勾股定理的知識,使學(xué)生把相關(guān)知識貫穿在一起,及時(shí)鞏固．
（3）遮擋物的面數(shù)增加
小亮在下午實(shí)踐活動課后, 測量西教學(xué)樓的旗桿高度．如圖,當(dāng)太陽從西照射過來時(shí),旗 桿AB的頂端A的影子落在教學(xué)樓前的平地C處,測得在平地上EC=2米,地面上的影長BD=20米,DE=4米,坡面與水平地面的夾角為30°． 同一時(shí)刻一根長為1米的直立竹竿的影長為3．2米，根據(jù)這些數(shù)據(jù)求旗桿AB的高度（結(jié)果保留兩個(gè)有效數(shù)）
【分析】增加難度,原理不變,熟練地應(yīng)用知識和技能,準(zhǔn)確
把握解題方向．
（4）無遮擋物
小亮在下午實(shí)踐活動課, 測量東教學(xué)樓前水杉樹的高度．如圖,當(dāng)太陽從西照射過來時(shí),小樹AB的頂端A的影子落在司令臺的斜坡處,測得在地面上的影長BD=2米,坡面上影長DE=4米;同一時(shí)刻一根長為1米的直立竹竿的在平地上影長為2．6米，在坡面上影長3米為根據(jù)這些數(shù)據(jù)求樹的高度．（精確到0．1米）
【分析】本題利用地面影子在物高上找對應(yīng)點(diǎn)把物高分成幾部分，構(gòu)造相似三角形解決問題．這樣的解決方法比較貼貼近生活實(shí)際，使思路非常明確．
2．移動參照物
（1）參照物的移動（1）
晚上，小亮晚自修結(jié)束回寢室途中，走到C處時(shí)，發(fā)現(xiàn)在點(diǎn)B上方的路燈A照得自己的影子CD的長為2米；繼續(xù)往前走4米到達(dá)E處時(shí)，這時(shí)自己的影子EF長為4米 ,已知小亮的身高為1．6米 ，路燈的高度等于多少？
【分析】這類題目有變量和不變的量，注意挖掘里面的等量關(guān)系．根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例，并利用等量代換求解．
（2）參照物的移動（2）
小亮探究影子長度的變化規(guī)律，當(dāng)他走到離路燈2米處時(shí)，其影子的頂點(diǎn)標(biāo)記為H1，此時(shí) 影長為 米；當(dāng)他繼續(xù)走到H1時(shí)，其影子的頂點(diǎn)標(biāo)記為H2，此時(shí)影長為 米；當(dāng)他繼續(xù)走到H2時(shí)，其影子的頂點(diǎn)標(biāo)記為H3，此時(shí)影長為 米；…按這樣的規(guī)律繼續(xù)走當(dāng)他走到Hn,其影子的頂點(diǎn)標(biāo)記為Hn+1,此時(shí)影長為 米．
【分析】對題設(shè)條件進(jìn)行變化，克服學(xué)生思維定勢．充分滲透數(shù)學(xué)猜想和歸納法，培養(yǎng)學(xué)生探究能力和發(fā)散思維能力．
教師有意識的進(jìn)行題目背景的更換，將知識融入在不同的背景中，選擇的背景是學(xué)生熟悉的事物和具體的情景，讓學(xué)生在數(shù)學(xué)的世界里開拓出可供他們思索、探討和發(fā)展的用武之地，是數(shù)學(xué)課程更具現(xiàn)實(shí)性．
(二)例題、習(xí)題題目條件、結(jié)論“二次開發(fā)”的策略研究
【案例】試題來源（浙教版九年級上冊練習(xí)題）
已知在圓O中，A為優(yōu)弧BC的中點(diǎn)，且AB=BC,E為弧BC上的一點(diǎn)，求AE=BE+CE．
【分析】本題知識點(diǎn)（1）等邊三角形和全等的相關(guān)知識；（2）利用截長補(bǔ)短的解題方法．
1.一題多解
（1）利用截長方法的方法解題
解析：在AE上取點(diǎn)F，使得AF=BE,
≌ (SAS)
∴CF=CE
∴ 是等邊三角形
∴EF=EC
AE=AF+EF
∴AE=BE+CE
（2）利用補(bǔ)短的方法解題
解析：延長EB至點(diǎn)F,使BF=EC,
≌ (SAS)
∴ AE=AF
∴
∴ 是等邊三角形
∴AE=EF=BE+BF
即AE=BE+CE
（3）利用旋轉(zhuǎn)的方法解題
解析：將 順時(shí)針旋轉(zhuǎn) ，則 ≌
∴ 是等邊三角形，
(圓內(nèi)接四邊形對角互補(bǔ))
∴
即點(diǎn)F、B、E三點(diǎn)共線
∴AE=EB+BF
即：AE=EB+EC
（4）利用平行的方法解題
解析：過點(diǎn)C作AE的平行線CF交圓于點(diǎn)F，連接AF.
（5）利用托勒密定理解題
解析：利用托勒密定理可得
是等邊三角形
∴AB=AC=BC
∴BE+EC=AE
新課程標(biāo)準(zhǔn)中提倡“通過解決問題的反思，獲得解決問題的經(jīng)驗(yàn)”．在數(shù)學(xué)教學(xué)中離不開習(xí)題講解，通過一題多解使學(xué)生加深知識的理解與內(nèi)化，培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性、創(chuàng)新性，提高學(xué)生解決實(shí)際問題的能力．
2.一題多變
變式1：在學(xué)習(xí)了《圓的基本性質(zhì)》后，小健為小康準(zhǔn)備了如下問題：已知在圓O中，A為優(yōu)弧BC的中點(diǎn)，且AB=BC,E為圓上不同于A、EB、C的任意一點(diǎn)，求AE=BE+CE．
【分析】本題關(guān)鍵是E點(diǎn)位置的不確定性，故在解決此題時(shí)
必須進(jìn)行點(diǎn)E位置的討論，用到分類討論的思想．
變式2：已知如圖， 是等邊三角形， ,求AE=BE+CE
【分析】把圓的條件去掉后，還是可以用截長補(bǔ)短的方法解決．
變式3：已知如圖， 是等邊三角形， ，A,B,E,C四點(diǎn)共圓嗎？
變式4 |
變式3 |
變式4：在學(xué)習(xí)了《圓的基本性質(zhì)》后，小健為小康準(zhǔn)備了如下問題：已知在圓O中，A為優(yōu)弧BC的中點(diǎn)，且AB=BC,E為圓上不同于A、B、C的任意一點(diǎn)，，請你寫出AE、BE、CE之間的數(shù)量關(guān)系？
解析：設(shè) ,
變式5 |
【分析】通過探究我們可以發(fā)現(xiàn) 是一個(gè)定值．
解析：連結(jié)AC, , ，同理可得
所以 ,而d等于正方形邊長的 倍，即為定值．
變式6：由變式5、變式6你能得出一個(gè)什么結(jié)論？
結(jié)論：圓內(nèi)接正多邊形各頂點(diǎn)到圓上任意一點(diǎn)的距離的平方和為定值．
數(shù)學(xué)“變式”練習(xí)是為了讓學(xué)生更加準(zhǔn)確地掌握數(shù)學(xué)解題方法而采取的變換方式．在數(shù)學(xué)教學(xué)中進(jìn)行數(shù)學(xué)“變式”練習(xí)幫助學(xué)生多角度地理解數(shù)學(xué)方法、化歸數(shù)學(xué)方法，使學(xué)生從“知識性”向“智力型”轉(zhuǎn)換“教師講例題，學(xué)生仿例題”的公式化的教學(xué)，阻止了學(xué)生思維的發(fā)展．所以在平時(shí)的例題和習(xí)題的教學(xué)中，應(yīng)緊密結(jié)合例題、習(xí)題進(jìn)行有目的、多角度的變式訓(xùn)練.
教學(xué)中要善于“借題發(fā)揮”，進(jìn)行一題多解，一題多變．同時(shí)引導(dǎo)學(xué)生去探索數(shù)學(xué)問題的規(guī)律性，能夠在生活中學(xué)以致用，增強(qiáng)學(xué)習(xí)的信心和興趣．
（三）例題、習(xí)題題目基本圖形 “二次開發(fā)”的策略研究
任何一個(gè)復(fù)雜的幾何圖形都是由若干個(gè)基本圖形組合而成的，將一個(gè)復(fù)雜的圖形中的基本圖形“離析”出來，是解決問題必須具備的重要功能之一，而這種“離析”是在真正理解基本圖形的基礎(chǔ)上才能進(jìn)行的．
1．重視基本圖形
（1）基本圖形的識別與性質(zhì)
【案例】試題來源（浙教版《數(shù)學(xué)》九（上）P118頁4．4相似三角形的性質(zhì)）
有一塊三角形余料ABC，它的邊長BC=120mm，高AD=80mm，要把它加工成正方形零件，使正方形的一邊在BC上，其余兩個(gè)頂點(diǎn)分別在AB 、AC上，問加工成的正方形零件的邊長為多少mm？
【分析】此題涉及的知識點(diǎn)為三角形的相似，以及三角形相似的性質(zhì)．基本圖形為：三角形里面有一個(gè)正方形，且正方形的四個(gè)頂點(diǎn)分別在三角形的三邊上．性質(zhì)：相似三角形對應(yīng)邊上的高線之比等于相似比
解析:設(shè)正方形邊長為x,△APN∽△ABC， , ，得x=48
（2）基本圖形在純數(shù)學(xué)題中應(yīng)用
如圖，在Rt △ ABC中， ,AC=4,BC=3．
（1）如圖1，四邊形DEFG為△ ABC的內(nèi)接正方形，求正方形的邊長．
（2）如圖2，三角形內(nèi)有并排的兩個(gè)相等的正方形，它們組成的矩形內(nèi)接于△ ABC，求正方形的邊長．
(3)如圖3，三角形內(nèi)有并排的三個(gè)相等的正方形，它們組成的矩形內(nèi)接于△ ABC，求正方形的邊長．
(4)如圖4，三角形內(nèi)有并排的n個(gè)相等的正方形，它們組成的矩形內(nèi)接于△ ABC，求正方形的邊長．
圖1 |
圖2 |
圖3 |
圖4 |
【分析】此題主要還是考查基本圖形及其性質(zhì)，第4小題變成了一個(gè)探究規(guī)律的題目．
（3）基本圖形的在生活題中應(yīng)用
小明在出墻報(bào)時(shí)，需要長48cm、寬4cm的彩色紙條鑲邊，現(xiàn)有如圖一張三角形彩色紙零件，其中BC=25cm,BC邊上的高為20cm，給出一種裁紙方法：將AB、AC分為五等分，然后如圖連接兩邊的對應(yīng)的點(diǎn)，并以這些連接線為一邊作矩形，剪出這些小矩形紙條，用來為墻報(bào)鑲邊，問：這種方法能滿足鑲邊需要嗎？請說明理由．
【分析】此題為生活實(shí)際題，但圖形是基本圖形
2．重視對基本圖形的變式
【案例】已知：如圖，在Rt△CAB和Rt△ECD中，AC=CE,點(diǎn)D在邊BC的延長線上，且∠ACE=∠B=∠D=90°．求證： △CAB≌ △ECD． （選自七年級下 1．5全等三角形（3）作業(yè)題 ）
【分析】此題所涉及的知識點(diǎn)為：三角形的全等．
解析：
∴△CAB≌ △ECD
（1）對基本圖形變式1
弱化條件：AC=CE（線段相等）……結(jié)論由三角形全等弱化為三角形相似
如圖，在Rt△CAB和Rt△ECD中，點(diǎn)D 在邊BC的延長線上，且∠ACE=∠B=∠D=90°． 求證： △CAB∽ △ECD．
解析：
∴△CAB∽ △ECD
應(yīng)用：如圖,正方形ABCD的邊長為4cm，點(diǎn)P是BC邊上不與點(diǎn)B,C重合的任意一點(diǎn)，連接AP，過點(diǎn)P作PQ⊥AP交DC于點(diǎn)Q，設(shè)BP的長為xcm,CQ的長為ycm．(1)求點(diǎn)P在BC上運(yùn)動的過程中y的最大值；(2)當(dāng) cm時(shí)，求x的值．
【分析】此題能夠在復(fù)雜圖形中找出基本圖形，則解決就不成問題了．
（2）對基本圖形變式2
弱化條件：“直角”
如圖：在△ABC和△CDE中，點(diǎn)D在邊BC的延長線上，AC=CE,∠ACE=∠B=∠D,則△ABC≌△CDE．
解析：
∴△ABC≌△CDE
應(yīng)用： 如圖，△ABC為等邊三角形，點(diǎn)D,E,F分別在邊BC,CA,AB上，且△DEF也為等邊三角形．除已知等邊三角形的邊相等以外，請你猜想還有哪些線段相等，并證明你的結(jié)論；
解析：
∴△BDF≌△CED
∴BF=CD,BD=CE
（3）對基本圖形變式3
同時(shí)弱化條件：“線段相等”和“直角”
如圖，在△ABC和△CDE中，點(diǎn)D在邊BC的延長線上，∠ACE=∠B=∠D，則△ABC∽△CDE．
解析：
∴△ABC∽ △CDE
應(yīng)用：如圖，在Rt△CAB中，∠CAB=90°，AB=AC=2,點(diǎn)D在BC上運(yùn)動（不能到達(dá)點(diǎn)B,C）,過點(diǎn)D作∠ADE=45°，DE交AC于點(diǎn)E．
(1)求證：△ABD∽△DEC;(2)設(shè)BD=x,AE=y,求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式．
解析：可證明△ABD∽△DEC（AA），利用相似三角形對應(yīng)邊成比例得出
在基本圖形的變式中，學(xué)生往往難以理解變式后的圖形與基本圖形之間的關(guān)系，嘗嘗會將基本圖形的本質(zhì)特征與所給問題的個(gè)別特征相混淆．為了排除非本質(zhì)屬性的干擾，在教學(xué)的起始階段，除利用基本圖形外，還應(yīng)有意識地運(yùn)用變式圖形，讓學(xué)生理解．
四、結(jié)論
1．教材例題、習(xí)題的“二次開發(fā)”有利于提高數(shù)學(xué)教學(xué)的有效性
蘇霍姆林斯基說過：“如果你追求的只是那種表面的，顯而易見的刺激，以引起學(xué)生對學(xué)習(xí)和上課的興趣，那你就永遠(yuǎn)不能培養(yǎng)起學(xué)生對腦力勞動的真正熱愛”．研究表明，大量的題型復(fù)制、繁難的習(xí)題求解演示和解題術(shù)的記憶與重復(fù)等活動并不能讓學(xué)生有效地進(jìn)行學(xué)習(xí)．教師對數(shù)學(xué)課本例題、習(xí)題的“二次開發(fā)”將大大提高數(shù)學(xué)教學(xué)的有效性．雖然我們經(jīng)常一節(jié)課只研究一個(gè)問題（進(jìn)行一題多解和一題多變），有時(shí)到下課了還沒有研究結(jié)束，但這樣的教學(xué)效果特別好，學(xué)生得到的是思想方法，是情感體驗(yàn)，是個(gè)性發(fā)展，學(xué)生會學(xué)，樂學(xué)，對數(shù)學(xué)知識理解深刻，獨(dú)立性高，知識遷移能力強(qiáng)．愛因斯坦說過：“學(xué)校教給學(xué)生什么樣的知識最有價(jià)值？那就是學(xué)生離開學(xué)校許多年之后，還留在學(xué)生大腦中的那一部分東西．”而這樣的教學(xué)，學(xué)生所形成的能力，是不會隨著時(shí)間而消逝的．
2．為最大限度地對例題、習(xí)題進(jìn)行“二次開發(fā)”的研究，教師還需加強(qiáng)自身業(yè)務(wù)素質(zhì)的提高
以前我們常說：“要給學(xué)生一杯水，首先教師應(yīng)該有一桶水．”但就眼前學(xué)生的發(fā)展來看，這一桶水顯然是不夠的．新《課程標(biāo)準(zhǔn)》對教學(xué)內(nèi)容、教學(xué)方法、教學(xué)模式、教學(xué)評價(jià)體系等方面都作了較大調(diào)整，對教師的基本素質(zhì)提出了新的要求．教師要努力提高自己靈活運(yùn)用和開發(fā)教材的能力，加強(qiáng)自己探究性、創(chuàng)造性的指導(dǎo)能力，形成教學(xué)反思的習(xí)慣等，當(dāng)教師自身業(yè)務(wù)素質(zhì)提高了，對數(shù)學(xué)課本例題、習(xí)題的“二次開發(fā)”就會游刃有余，也能充分發(fā)揮學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的主動性、創(chuàng)造性，很好的培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神和實(shí)踐能力．
總之，對數(shù)學(xué)課本例題、習(xí)題的“二次開發(fā)”，一方面教師的自身素養(yǎng)會在研究的過程沖不斷提高，數(shù)學(xué)課堂的會更加有效．另一方面在這樣的教學(xué)模式下能充分激起學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，并能主動地、自覺地去探究數(shù)學(xué)問題，有利于促進(jìn)學(xué)生的發(fā)展．
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