眾所周知，銀行住房貸款的分期付款方式分為等額本息付款和等額本金方式付款兩種方式。兩種付款方式的月付款額各不相同，計算方式也不一樣。網(wǎng)上分別有著兩種還款方式的計算公式。然而，對于這兩個公式的來源卻很少有解釋，或者解釋是粗略的或錯誤的。本人經(jīng)過一段時間的思考，終于整明白了其中的原理，并且運用高中數(shù)學(xué)理論推導(dǎo)出了這兩個計算公式。本文將從原理上解釋一下著兩種還款方式的原理及計算公式的推導(dǎo)過程。
無論哪種還款方式，都有一個共同點，就是每月的還款額（也稱月供）中包含兩個部分：本金還款和利息還款：
月還款額=當(dāng)月本金還款+當(dāng)月利息 式1
其中本金還款是真正償還貸款的。每月還款之后，貸款的剩余本金就相應(yīng)減少：
當(dāng)月剩余本金=上月剩余本金-當(dāng)月本金還款
直到最后一個月，全部本金償還完畢。
利息還款是用來償還剩余本金在本月所產(chǎn)生的利息的。每月還款中必須將本月本金所產(chǎn)生的利息付清：
當(dāng)月利息=上月剩余本金×月利率 式2
其中月利率=年利率÷12。據(jù)傳工商銀行等某些銀行在進行本金等額還款的計算方法中，月利率用了一個挺孫子的算法，這里暫且不提。
由上面利息償還公式中可見，月利息是與上月剩余本金成正比的，由于在貸款初期，剩余本金較多，所以可見，貸款初期每月的利息較多，月還款額中償還利息的份額較重。隨著還款次數(shù)的增多，剩余本金將逐漸減少，月還款的利息也相應(yīng)減少，直到最后一個月，本金全部還清，利息付最后一次，下個月將既無本金又無利息，至此，全部貸款償還完畢。
兩種貸款的償還原理就如上所述。上述兩個公式是月還款的基本公式，其他公式都可由此導(dǎo)出。下面我們就基于這兩個公式推導(dǎo)一下兩種還款方式的具體計算公式。
1.等額本金還款方式
等額本金還款方式比較簡單。顧名思義，這種方式下，每次還款的本金還款數(shù)是一樣的。因此：
當(dāng)月本金還款=總貸款數(shù)÷還款次數(shù)
當(dāng)月利息=上月剩余本金×月利率
=總貸款數(shù)×（1－（還款月數(shù)-1）÷還款次數(shù)）×月利率
當(dāng)月月還款額=當(dāng)月本金還款＋當(dāng)月利息
=總貸款數(shù)×（1÷還款次數(shù)＋（1－（還款月數(shù)-1）÷還款次數(shù)）×月利率）
總利息＝所有利息之和
=總貸款數(shù)×月利率×（還款次數(shù)－（１＋２＋３＋。。。＋還款次數(shù)－1）÷還款次數(shù)）
其中1+2+3+…+還款次數(shù)－１是一個等差數(shù)列，其和為（1＋還款次數(shù)－１）×（還款次數(shù)－１）／2＝還款次數(shù)×（還款次數(shù)－１）／２
所以，經(jīng)整理后可以得出：
總利息=總貸款數(shù)×月利率×（還款次數(shù)＋1）÷2
由于等額本金還款每個月的本金還款額是固定的，而每月的利息是遞減的，因此，等額本金還款每個月的還款額是不一樣的。開始還得多，而后逐月遞減。
2.等額本息還款方式
等額本息還款方式的公式推導(dǎo)比較復(fù)雜，不過也不必擔(dān)心，只要具備高中數(shù)列知識就可以推導(dǎo)出來了。
等額本金還款，顧名思義就是每個月的還款額是固定的。由于還款利息是逐月減少的，因此反過來說，每月還款中的本金還款額是逐月增加的。
首先，我們先進行一番設(shè)定：
設(shè)：總貸款額＝Ａ
還款次數(shù)＝Ｂ
還款月利率＝Ｃ
月還款額＝Ｘ
當(dāng)月本金還款＝Ｙｎ（ｎ＝還款月數(shù)）
先說第一個月，當(dāng)月本金為全部貸款額＝Ａ，因此：
第一個月的利息＝Ａ×Ｃ
第一個月的本金還款額
Ｙ１＝Ｘ－第一個月的利息
＝Ｘ－Ａ×Ｃ
第一個月剩余本金＝總貸款額－第一個月本金還款額
＝Ａ－（Ｘ－Ａ×Ｃ）
＝Ａ×（１＋Ｃ）－Ｘ
再說第二個月，當(dāng)月利息還款額＝上月剩余本金×月利率
第二個月的利息＝（Ａ×（１＋Ｃ）－Ｘ）×Ｃ
第二個月的本金還款額
Ｙ２＝Ｘ－第二個月的利息
＝Ｘ－（Ａ×（１＋Ｃ）－Ｘ）×Ｃ
第二個月剩余本金＝第一個月剩余本金－第二個月本金還款額
＝Ａ×（１＋Ｃ）－Ｘ－（Ｘ－（Ａ×（１＋Ｃ）－Ｘ）×Ｃ）
＝Ａ×（１＋Ｃ）－Ｘ－Ｘ＋（Ａ×（１＋Ｃ）－Ｘ）×Ｃ
＝Ａ×（１＋Ｃ）×（１＋Ｃ）－［Ｘ＋（１＋Ｃ）×Ｘ］
＝Ａ×（１＋Ｃ）^２－［Ｘ＋（１＋Ｃ）×Ｘ］
(1+C)^2表示(1+C)的2次方
第三個月，
第三個月的利息＝第二個月剩余本金×月利率
第三個月的利息＝（Ａ×（１＋Ｃ）^２－［Ｘ＋（１＋Ｃ）×Ｘ］）×Ｃ
第三個月的本金還款額
Ｙ３＝Ｘ－第三個月的利息
＝Ｘ－（Ａ×（１＋Ｃ）^２－［Ｘ＋（１＋Ｃ）×Ｘ］）×Ｃ
第三個月剩余本金＝第二個月剩余本金－第三個月的本金還款額
＝Ａ×（１＋Ｃ）^２－［Ｘ＋（１＋Ｃ）×Ｘ］
－（Ｘ－（Ａ×（１＋Ｃ）^２－［Ｘ＋（１＋Ｃ）×Ｘ］）×Ｃ）
＝Ａ×（１＋Ｃ）^２－［Ｘ＋（１＋Ｃ）×Ｘ］
－（Ｘ－（Ａ×（１＋Ｃ）^２×Ｃ＋［Ｘ＋（１＋Ｃ）×Ｘ］）×Ｃ）
＝Ａ×（１＋Ｃ）^２×（１＋Ｃ）
－（Ｘ＋［Ｘ＋（１＋Ｃ）×Ｘ］×（１＋Ｃ））
＝Ａ×（１＋Ｃ）^３?。郏兀ǎ保茫粒兀ǎ保茫２×Ｘ］
上式可以分成兩個部分
第一部分：Ａ×（１＋Ｃ）^３。
第二部分：［Ｘ＋（１＋Ｃ）×Ｘ＋（１＋Ｃ）^２×Ｘ］
＝Ｘ×［１＋（１＋Ｃ）＋（１＋Ｃ）^２］
通過對前三個月的剩余本金公式進行總結(jié)，我們可以看到其中的規(guī)律：
剩余本金中的第一部分＝總貸款額×（１＋月利率）的ｎ次方，（其中ｎ＝還款月數(shù)）
剩余本金中的第二部分是一個等比數(shù)列，以（１＋月利率）為比例系數(shù)，月還款額為常數(shù)系數(shù)，項數(shù)為還款月數(shù)ｎ。
推廣到任意月份：
第ｎ月的剩余本金＝Ａ×（１＋Ｃ）^ｎ?。亍粒樱睿ǎ樱顬椋ǎ保茫┑牡缺葦?shù)列的前ｎ項和）
根據(jù)等比數(shù)列的前ｎ項和公式：
１＋Ｚ＋Ｚ２＋Ｚ３＋．．．＋Ｚｎ－１＝（１－Ｚ^ｎ）／（１－Ｚ）
可以得出
Ｘ×Ｓｎ＝Ｘ×（１－（１＋Ｃ）^ｎ）／（１－（１＋Ｃ））
＝Ｘ×（（１＋Ｃ）^ｎ－１）／Ｃ
所以，第ｎ月的剩余本金＝Ａ×（１＋Ｃ）^ｎ－Ｘ×（（１＋Ｃ）^ｎ－１）／Ｃ
由于最后一個月本金將全部還完，所以當(dāng)ｎ等于還款次數(shù)時，剩余本金為零。
設(shè)ｎ＝Ｂ（還款次數(shù)）
剩余本金＝Ａ×（１＋Ｃ）^Ｂ－Ｘ×（（１＋Ｃ）^Ｂ－１）／Ｃ＝０
從而得出
月還款額
Ｘ＝Ａ×Ｃ×（１＋Ｃ）^Ｂ÷（（１＋Ｃ）^Ｂ－１）
＝ 總貸款額×月利率×（１＋月利率）^還款次數(shù)÷[（?000保呂剩還款次數(shù)－１]
將Ｘ值帶回到第ｎ月的剩余本金公式中
第ｎ月的剩余本金＝Ａ×（１＋Ｃ）^ｎ－［Ａ×Ｃ×（１＋Ｃ）^Ｂ／（（１＋Ｃ）^Ｂ－１）］×（（１＋Ｃ）^ｎ－１）／Ｃ
＝Ａ×［（１＋Ｃ）^ｎ－（１＋Ｃ）^Ｂ×（（１＋Ｃ）^ｎ－１）／（（１＋Ｃ）^Ｂ－１）］
＝Ａ×［（１＋Ｃ）^Ｂ－（１＋Ｃ）^ｎ］／（（１＋Ｃ）^Ｂ－１）
第ｎ月的利息＝第ｎ－１月的剩余本金×月利率
＝Ａ×Ｃ×［（１＋Ｃ）^Ｂ－（１＋Ｃ）^(ｎ－１)］／（（１＋Ｃ）^Ｂ－１）
第ｎ月的本金還款額＝Ｘ－第ｎ月的利息
＝Ａ×Ｃ×（１＋Ｃ）^Ｂ／（（１＋Ｃ）^Ｂ－１）－Ａ×Ｃ×［（１＋Ｃ）^Ｂ－（１＋Ｃ）^(ｎ－１)］／（（１＋Ｃ）^Ｂ－１）
＝Ａ×Ｃ×（１＋Ｃ）^(ｎ－１)／（（１＋Ｃ）^Ｂ－１）
總還款額＝Ｘ×Ｂ
＝Ａ×Ｂ×Ｃ×（１＋Ｃ）^Ｂ÷（（１＋Ｃ）^Ｂ－１）
總利息＝總還款額－總貸款額＝Ｘ×Ｂ－Ａ
＝Ａ×［（Ｂ×Ｃ－１）×（１＋Ｃ）^Ｂ＋１］／（（１＋Ｃ）^Ｂ－１）
等額本息還款，每個月的還款額是固定的。由于還款初期利息較大，因此初期的本金還款額很小。相對于等額本金方式，還款的總利息要多。
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