幾何開始于最簡單的圖形－直線和圓。
約公元前350年，梅內(nèi)克繆斯發(fā)現(xiàn)了圓錐曲線。
在約公元前250年，佩爾加的阿波羅尼奧斯對圓錐曲線進(jìn)行首次定義分析。阿波羅尼奧斯對圓錐曲線的構(gòu)造始于圓和圓心正上方的一個點，用直線連接圓周上的每個點與該懸點，得到的面就是圓錐面。
用一個平面去截一個二次錐面，得到的交線就稱為圓錐曲線（conic sections）。
圓錐曲線包括橢圓、拋物線、雙曲線和圓，通過直角坐標(biāo)系，它們又與二次方程對應(yīng)，所以，圓錐曲線又叫做二次曲線。
1 橢圓
圓錐面是最簡單的三維圖形之一。但是一些復(fù)雜的二維曲線包含于圓錐面內(nèi)。阿波羅尼奧斯的問題是：假設(shè)你用一個平面截取那個圓錐圓，截線是什么樣？一種可能是，如果正好平行截在恰當(dāng)?shù)牡胤?，你可以重新得到起初的圓。高一點或低一點，也可得到小一點或大一點的圓。但是當(dāng)不是平行截取時，出現(xiàn)的圖形看起來像是被拉伸或壓扁的圓。這就是最常見的圓錐曲線－橢圓。
我們生活的地球每時每刻都在環(huán)繞太陽的橢圓軌跡上運行，太陽系其他行星也如此，太陽則位于橢圓的一個焦點上。如果這些行星運行速度增大到某種程度，它們就會沿拋物線或雙曲線運行。人類發(fā)射人造地球衛(wèi)星或人造行星就要遵照這個原理。相對于一個物體，按萬有引力定律受它吸引的另一物體的運動，不可能有任何其他的軌道了。因而，圓錐曲線在這種意義上講，它構(gòu)成了我們宇宙的基本形式。
從橢圓一個焦點發(fā)出的光，經(jīng)過橢圓反射后，反射光線都匯聚到橢圓的另一個焦點上。
2 拋物線
用一個平行于圓錐的邊的平面來截圓錐面，這樣生成一條不封閉的“U”形線－拋物線。
我們周圍到處是拋物線。如果你向空中斜拋出一塊石頭，劃出的那條軌跡就是拋物線（忽略空氣阻力的影響）。拋物線也出現(xiàn)在宇宙中。一些彗星，如哈雷彗星，可預(yù)測地、規(guī)律性地出現(xiàn)在夜空。也有其它的一些只出現(xiàn)一次的彗星，通常在繞太陽的拋物軌道上運行。
從拋物線的焦點發(fā)出的光，經(jīng)過拋物線反射后，反射光線都平行于拋物線的對稱軸。
一束平行光垂直于拋物線的準(zhǔn)線，向拋物線的開口射進(jìn)來，經(jīng)拋物線反射后，反射光線匯聚在拋物線的焦點。
3 雙曲線
通過垂直地切割對頂圓錐使得平面與兩個半平面相交來構(gòu)造這種圖形，使得雙曲線有兩個獨立的分支，這兩個分支不相交但完全對稱－雙曲線。
哈勃太空望遠(yuǎn)鏡中的鏡面形狀就是雙曲線，可能讓天文學(xué)家來觀測宇宙。
從雙曲線一個焦點發(fā)出的光，經(jīng)過雙曲線反射后，反射光線的反向延長線都匯聚到雙曲線的另一個焦點上。
4 圓錐曲線比較
圓錐曲線橢圓雙曲線拋物線
標(biāo)準(zhǔn)方程x2/a2+y2/b2=1 (a>b>0)x2/a2-y2/b2=1 (a>0,b>0)y2=2px (p>0)
范圍x∈[-a,a]y∈[-b,b]x∈(-∞，-a]∪[a,+∞)y∈Rx∈[0,+∞)y∈R
對稱性關(guān)于x軸，y軸，原點對稱關(guān)于x軸，y軸，原點對稱關(guān)于x軸對稱
頂點(a,0),(-a,0),(0,b),(0,-b)(a,0),(-a,0)(0,0)
焦點(c,0),(-c,0)【其中c2=a2-b2】(c,0),(-c,0)【其中c2=a2+b2】(p/2,0)
準(zhǔn)線x=±a2/cx=±a2/cx=-p/2
漸近線——————y=±(b/a)x[4]—————
離心率e=c/a,e∈（0,1)e=c/a,e∈（1,+∞）e=1
焦半徑∣PF?∣=a+ex∣PF?∣=a-ex∣PF?∣=∣ex+a∣∣PF?∣=∣ex-a∣∣PF∣=x+p/2
焦準(zhǔn)距p=b2/cp=b2/cp
通徑2b2/a2b2/a2p
