昨天公眾號里分析了G.波利亞的《怎樣解題》，今天我們來看一道解析幾何題，剖析一只麻雀，看一下如何用問題鏈的方式引導我們思考。
題目如下：
【例題】：
一、理解題目，必須問自己以下問題。
(1)已知數(shù)據(jù)是什么？條件是什么？
是已知橢圓方程：
已知一個圓R，圓心在橢圓上
過原點的直線OP,OQ，與圓R相切。
第一小問附加條件為：OP，OQ相互垂直
第二小問直接要證明：
(2)所求的是什么？
第一小問求圓的方程，即求圓心坐標。
第二小問直接要證明：
(3)條件是否足以確定未知量？如何確定。
第一小問需要確定點R的坐標
第二小問需要找到一個OP，OQ的斜率
的方程
二、擬定方案
問自己以下問題：
(1)你以前見過類似的題目嗎？
第一小題對于切線相互垂直以前我們是做過的。
第二小題好像沒有見過。
(2)做過類似的題目后，你能利用做過題目的方法嗎？
以前第一小題我們是用正方形的方法去解題的，由于切線本身與半徑是垂直的，而切線有是垂直和相等，所以假設切點坐標為S，T，那么ORST這個四邊形是正方形，由于半徑是
，所以OR距離為4. 所以R點既在橢圓上，R點到O的距離等于4，所以根據(jù)此方案就可以求出R點坐標.
(3)第二小問沒有做過，但問自己如下問題：你能從已知條件中來找到方程確定未知量嗎？你用到了全部條件嗎？能用代數(shù)式或者圖形表示條件嗎？能把題目特殊化或是一般化嗎？想到以前的什么方法嗎？
用代數(shù)式表達過原點的直線
條件1是：直線和圓相切即
條件2是：圓心在橢圓上
目的是求證切線斜率乘積為定值，即證明
聯(lián)想到是二次方程的兩根積
所以要構(gòu)造
的一個二次方程，當然只能用直線和圓相切去構(gòu)造（條件1）使用。
在二次方程化簡后必然會用到條件（2），圓心在橢圓上。代入消元。
所以條件都用完了，應該能證明。
如果我把圓心動到長軸端點處，那么這個特殊位置的
是否能計算呢？
三、執(zhí)行方案
（1）設圓心坐標為
那么由于R在橢圓上，正方形OR=4，所以有如下方程組：
解得:
,
故圓方程為：
共有四個不同的圓。
（2）設直線方程為,因為直線與以為圓心，
為半徑的圓相切。
故圓心距等于半徑有方程：
整理，注意化簡為關(guān)于
的一個二次方程。
此時條件（1）已經(jīng)使用。
由韋達定理：
再用
代入消元，此時條件（2）以用。
得到：
所以就證明了。
回顧反思
（1）你能清楚地看出每一步都正確嗎？你能檢驗這個結(jié)果嗎？
我檢查了每一步的推導過程，確定應該沒有問題!
第一小題我把所求的圓代入題目條件，都符合題目要求，應該沒問題。
第二小題我取當
在長軸端點時（即圓運動到長軸端點時），即
時直線斜率正好為
符合結(jié)論，驗證成功。
（2）你可以用不同的方式推導嗎？
（3）你能在其他不同的題目中利用這個結(jié)論或是方法嗎？
總結(jié)
著名的數(shù)學教育專家羅增儒講過：解題過程就像是在一間漆黑的房間里尋找電燈開關(guān)，剛進入時只能摸到自己手邊的物件（題目初始條件），必須通過自己的主觀能動性不斷探尋，摸索，可以嘗試不同的路徑，可以返回，可以試探，可以探索，可以猜想，在行進中不斷構(gòu)建房間的輪廓（解題思路），直到最終找到開關(guān)。開燈的一瞬間，不要忘了再看一下房間（回顧），原來不過如此，感覺自己真的很厲害（成功的喜悅）。
希望大家在都能順利找到每一間黑房子的開關(guān)！
公眾號：不學無數(shù)
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