這個(gè)題目口氣大得像假裝學(xué)霸要指點(diǎn)江山，其實(shí)只是一個(gè)學(xué)渣遲到的反省，為了找到辦法激勵(lì)青春期的娃學(xué)數(shù)學(xué)。他每天聽(tīng)完數(shù)學(xué)課一道題都不做，然后直接裸奔期中期末考場(chǎng)，拿到成績(jī)單垂頭喪氣，回家讓我看看人家的爸爸。我只好每天晚上發(fā)奮圖強(qiáng)補(bǔ)習(xí)數(shù)學(xué)，好給他講明白什么是數(shù)學(xué)，怎么學(xué)數(shù)學(xué)。
正好過(guò)去這幾個(gè)月瘟疫沒(méi)完戰(zhàn)爭(zhēng)又開(kāi)始，社交媒體和輿論空間到處都是聲嘶力竭的爭(zhēng)吵。發(fā)現(xiàn)柯朗的《什么是數(shù)學(xué)》，波利亞的《怎樣解題》，小平邦彥的《惰者集》寫(xiě)得真好，一走進(jìn)去，整個(gè)世界都清凈了。
一
小平邦彥是第一個(gè)獲得菲爾茲獎(jiǎng)的日本數(shù)學(xué)家，有一種出奇不意的冷幽默，亞洲人身上少有。我發(fā)現(xiàn)他是意外驚喜，因?yàn)橐槐尽稁缀问澜绲难?qǐng)》，日語(yǔ)是『幾何への誘い』，被我誤看成制服誘惑，否則根本沒(méi)法注意到。他有一些關(guān)于學(xué)習(xí)的洞察力，非常打動(dòng)我。他引用愛(ài)因斯坦：“我認(rèn)為語(yǔ)言在思考結(jié)構(gòu)中沒(méi)有發(fā)揮任何作用。在思考中發(fā)揮作用的要素，是某種自我生成、結(jié)合的形象。這種形象的結(jié)合游戲 – 早于語(yǔ)言和符號(hào)構(gòu)成的邏輯性結(jié)構(gòu)的結(jié)合游戲—是創(chuàng)造性思考的特征?！?/strong>上來(lái)就當(dāng)頭一棒，我原以為語(yǔ)言才是思維的工具。
小平邦彥輔導(dǎo)自己女兒學(xué)數(shù)學(xué)，我不知道是不是也痛不欲生，反正他把日本文部省和美國(guó)的新數(shù)學(xué)運(yùn)動(dòng)教學(xué)方法罵成一坨狗屎，認(rèn)為完全不顧及孩子天性和成長(zhǎng)歷程。一怒之下，大數(shù)學(xué)家自己編寫(xiě)了平面幾何，中小學(xué)數(shù)學(xué)教材，看得我心花怒放。他用復(fù)數(shù)證明平面幾何歐拉線和九點(diǎn)共圓，幾句話就說(shuō)得清清楚楚，佩服得五體投地。他認(rèn)為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的進(jìn)程，應(yīng)當(dāng)遵循人類數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的天然演化過(guò)程，而不是遵循數(shù)學(xué)家后來(lái)建構(gòu)出來(lái)的邏輯關(guān)系，從集合開(kāi)講其他數(shù)學(xué)概念。這就好比是基本粒子是構(gòu)成物質(zhì)世界的基礎(chǔ)，難道物理課就需要給初中生先講粒子物理？
《惰者集》是他對(duì)數(shù)學(xué)教育的反思。開(kāi)篇就簡(jiǎn)明講了他學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的方法和經(jīng)歷。數(shù)學(xué)書(shū)對(duì)小平邦彥也是晦澀難懂，幾百頁(yè)的書(shū)要讀完難于上青天，經(jīng)常一個(gè)月最多艱難地讀一章。他一般看定理，試圖自己先證明；如果證明不出來(lái)，就參考書(shū)里的證明；如果書(shū)里的證明還是看不明白，就試圖抄下來(lái)書(shū)里的證明，一步一步琢磨。發(fā)現(xiàn)不盡人意的地方，自己去改進(jìn)證明方法。很多時(shí)候無(wú)路可走油盡燈枯才作罷。一個(gè)月下來(lái)，前面的就忘記了，然后折返回去從頭開(kāi)始。做筆記的目的不是去背誦證明過(guò)程，而是花時(shí)間理解定理所要表達(dá)的數(shù)學(xué)事實(shí)的結(jié)構(gòu)。聰明人下笨功夫。
我娃知道了頂級(jí)數(shù)學(xué)家原來(lái)跟他一樣，學(xué)數(shù)學(xué)也有痛不欲生的時(shí)候，頓時(shí)感覺(jué)痛苦減輕了很多?？吹叫∑桨顝┮恍┯袥_擊力的認(rèn)知方式，我也第一次感受到和數(shù)學(xué)家離得這么近：
1、 反對(duì)美國(guó)的快樂(lè)寬松教育，認(rèn)為學(xué)數(shù)學(xué)和練鋼琴是相似的，需要一定數(shù)量的練習(xí)，才能培養(yǎng)出感覺(jué)。對(duì)數(shù)感的敏銳類似聽(tīng)覺(jué)的敏銳，和聰明無(wú)關(guān)。證明定理的過(guò)程，不僅是驗(yàn)證是否正確的手段，而是有更深刻的價(jià)值培養(yǎng)感覺(jué)。
2、 數(shù)學(xué)和邏輯沒(méi)多大關(guān)系，在本質(zhì)上不同。邏輯對(duì)數(shù)學(xué)的作用，相當(dāng)于語(yǔ)法對(duì)于文學(xué)的作用。邏輯可以往任何方向走，還能走進(jìn)死胡同，數(shù)學(xué)需要方向感。
3、 數(shù)學(xué)的公理體系，可以有完全不同的假設(shè)，得到完全不同的理論體系。好比是圍棋棋盤(pán)上的游戲，規(guī)則不同，則會(huì)演化成圍棋，五子棋，兩種朝鮮圍棋。公理體系必須不包含矛盾，還需要有豐富性。如果四子棋，一開(kāi)始先手必勝，則索然無(wú)趣。如果六子以上，永遠(yuǎn)分不出勝負(fù)。所以公理體系是自由的，但自由選擇范圍有限。
4、 人用圖形思考，人臉識(shí)別是潛意識(shí)模式識(shí)別，平面幾何幫助培養(yǎng)創(chuàng)造力。
5、 人類是用胃這樣的本能做決定，腦袋只是在為胃的決定做合理化辯解。
6、 國(guó)家完全是被本能支配的產(chǎn)物。很多“觀念”是帶著理性面具的人類本能。
7、 最諷刺的是，人類最擅長(zhǎng)的其實(shí)是科學(xué)技術(shù)，最不擅長(zhǎng)的是政治。
小平邦彥太有趣了，他說(shuō)自己只會(huì)算術(shù)，其他都不會(huì)。其實(shí)不是這樣。他沒(méi)有亞洲人普遍把自己過(guò)于當(dāng)回事的毛病，喜歡自嘲，非常通透，對(duì)很多問(wèn)題都有與眾不同的洞察力。漢語(yǔ)和英語(yǔ)讓他學(xué)得痛苦不堪，他外公教他中文用“白文素讀”方法，就是只背不講，反復(fù)誦讀自然慢慢理解。他父親是農(nóng)商省次官，在偽滿洲國(guó)做過(guò)三年參議員。小時(shí)候他家狗生了六只小狗，如果把小狗全藏起來(lái)，狗媽媽會(huì)哭泣四處尋找。如果藏五只，留一只在身邊，她不會(huì)發(fā)現(xiàn)有不對(duì)勁的地方。小平邦彥那時(shí)還是小孩，但他意識(shí)到狗可能沒(méi)有數(shù)量的概念。二戰(zhàn)期間他在東京大學(xué)上學(xué)教書(shū)，文科生都被送上戰(zhàn)場(chǎng)做了炮灰，理工男留在學(xué)校。戰(zhàn)爭(zhēng)后期東京開(kāi)始被轟炸，糧食短缺，出門(mén)長(zhǎng)途旅行必須自己背一袋大米，否則就算支付了房費(fèi)，旅館也會(huì)拒絕入住。1945年8月，日本輸了這場(chǎng)人人高喊“必勝”的戰(zhàn)爭(zhēng)，居然在當(dāng)初無(wú)限狂熱的民眾中沒(méi)有引起任何波瀾。
小平邦彥英語(yǔ)爛得一塌糊涂，在普林斯頓高級(jí)研究所鬧了很多笑話，連同事請(qǐng)他去家里吃飯這樣簡(jiǎn)單的英語(yǔ)都聽(tīng)不明白。他和朝永振一郎每次在普林斯頓的酒會(huì)上都很難跟人搭話，只好悶頭吃飯，說(shuō)反正回去再做一頓挺麻煩的。這個(gè)故事把我笑翻了，每個(gè)笑話我都心有戚戚，于是我找來(lái)了他所有的書(shū)讀了一遍，包括他的自傳《我只會(huì)算術(shù)》。警告一下，小平邦彥那本《微積分入門(mén)》有相當(dāng)難度，不是入門(mén)水平。微積分講得淺顯易懂的，推薦大衛(wèi)艾奇遜的《微積分的故事》The Calculus Story: A Mathematical Adventure
二、
以前讀不下去《什么是數(shù)學(xué)》，每次看兩三頁(yè)就放棄了。接近600頁(yè)的厚度讓人望而生畏，為了孩子就咬咬牙啃下去，但其實(shí)不需要全讀完，選幾章就可以。戰(zhàn)爭(zhēng)疫情封城眾聲鼎沸，這次終于靜下心來(lái)認(rèn)真讀進(jìn)去了，可能就是為了找一個(gè)清凈的避難所。意外理解了這本書(shū)為什么是經(jīng)典。
孩子學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的一個(gè)巨大挑戰(zhàn)，常常不知道數(shù)學(xué)究竟是什么東西。公式變來(lái)變?nèi)ゾ烤挂墒裁?，輔助線一會(huì)兒畫(huà)在這里一會(huì)兒畫(huà)在那里究竟要畫(huà)在哪里，像是在一個(gè)巨大叢林里轉(zhuǎn)來(lái)轉(zhuǎn)去，除了知道必須應(yīng)付考試外，為誰(shuí)而學(xué)為何而學(xué)，都搞不清楚，很沮喪?？吕试谶@本書(shū)從很高的視角給了一個(gè)非常簡(jiǎn)潔全面的初等數(shù)學(xué)的鳥(niǎo)瞰，把數(shù)學(xué)發(fā)展的邏輯講明白了。
柯朗說(shuō)數(shù)學(xué)是人類思維的表達(dá)方式，反映了人類積極進(jìn)取的意志，審慎的邏輯，和對(duì)完美的追求。是通過(guò)intuition and logic, analysis and construction, generality and individuality的相互作用一起構(gòu)成數(shù)學(xué)的用途生命和價(jià)值。古希臘人的的歐幾里得幾何，在公理基礎(chǔ)上通過(guò)演繹推理建立了一個(gè)完美的理論體系。但是，這套理論是靜止的，面對(duì)運(yùn)動(dòng)、連續(xù)、無(wú)窮這些概念束手無(wú)策。用培根更激烈的話，演繹推理不增加任何新知識(shí)，在希臘公理體系里原地打轉(zhuǎn)了兩千年。十七十八世紀(jì)，人們拋棄了這個(gè)方法，開(kāi)始研究變化，發(fā)明了函數(shù)這個(gè)工具，指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、三角函數(shù)應(yīng)運(yùn)而生，微積分和解析幾何開(kāi)始蓬勃發(fā)展。數(shù)學(xué)在追求純粹性和追求應(yīng)用價(jià)值之間不斷搖擺，有時(shí)候來(lái)源于應(yīng)用并產(chǎn)生巨大應(yīng)用價(jià)值，比如對(duì)數(shù)的發(fā)明就是因?yàn)樘煳挠^測(cè)數(shù)據(jù)計(jì)算量太可怕了才發(fā)明的。有時(shí)候看不到任何應(yīng)用前景，比如早年的數(shù)論。到了十九世紀(jì)，數(shù)學(xué)家們發(fā)現(xiàn)自己無(wú)法說(shuō)清楚“點(diǎn)”“線”“面”“數(shù)”這些實(shí)在的thing in itself 究竟是什么， “可驗(yàn)證的事實(shí)”只有結(jié)構(gòu)和關(guān)系，數(shù)學(xué)研究的是結(jié)構(gòu)和關(guān)系，不是實(shí)體本身。
柯朗的缺點(diǎn)是非常簡(jiǎn)潔，簡(jiǎn)潔得如剃須刀一般鋒利，讓我每一段都要讀很多遍，這就是為什么當(dāng)初屢屢放棄。一旦毛塞頓開(kāi)，就產(chǎn)生了興趣。他的書(shū)需要耐心，需要一個(gè)定理一個(gè)定理讀過(guò)來(lái)，可能會(huì)很慢，但是值得。他把初等數(shù)學(xué)所有重要的內(nèi)容都用簡(jiǎn)潔的語(yǔ)言推演陳述了一遍，而且介紹它們出現(xiàn)的背景和原因。他講到羅馬計(jì)數(shù)法沒(méi)法運(yùn)算，進(jìn)制之間轉(zhuǎn)化，有理數(shù)的發(fā)明是因?yàn)闇y(cè)量需要。設(shè)置一個(gè)單位量，然后測(cè)量（measuring）的動(dòng)作就變成了數(shù)數(shù)（counting），數(shù)一共有幾個(gè)單位量就行了，但是最后剩余那部分?jǐn)?shù)不足一個(gè)單位怎么辦，就需要更小單位，于是分?jǐn)?shù)產(chǎn)生。然后不可公度的情形出現(xiàn)，無(wú)理數(shù)登場(chǎng)。小朋友開(kāi)始理解了貌似抽象的數(shù)學(xué)，一步一步演化過(guò)來(lái)的過(guò)程和邏輯。未必都能完全明白，但數(shù)學(xué)至少不再是莫名其妙轉(zhuǎn)不出去的一個(gè)叢林。傳統(tǒng)中學(xué)教育比較急于讓孩子們?nèi)プ鲱}，可能認(rèn)為數(shù)學(xué)發(fā)展脈絡(luò)內(nèi)在邏輯無(wú)足重輕。在應(yīng)試教育的壓力下，可以理解，家長(zhǎng)和老師都認(rèn)為考試又不考何必浪費(fèi)時(shí)間整那些沒(méi)用的。而我恰恰認(rèn)為，這一部分是培養(yǎng)孩子們對(duì)數(shù)學(xué)興趣最有效的內(nèi)容，能幫助孩子見(jiàn)木也見(jiàn)林，至少我家喜歡故事的娃是這樣。
三、
《怎樣解題》是一本好書(shū)，核心意思是，你別光告訴我解題技巧和方法，能不能告訴我這個(gè)這個(gè)技巧和方法你是怎么想到的？啟發(fā)式思考，究竟怎么啟發(fā)，啟發(fā)什么？這個(gè)問(wèn)題是元問(wèn)題，對(duì)孩子更重要，而且不局限于數(shù)學(xué)題，其實(shí)是解任何題，包括語(yǔ)文題，物理題，還有人生的難題。
波利亞教授無(wú)與倫比的優(yōu)點(diǎn)就是啰嗦，同一個(gè)意思顛三倒四翻來(lái)覆去地講。二戰(zhàn)前一大群匈牙利的天才投奔美國(guó)，他們包括馮諾伊曼，馮卡門(mén)，波利亞，據(jù)說(shuō)他們的共同特點(diǎn)是說(shuō)話都聽(tīng)不懂，被美國(guó)人取個(gè)外號(hào)叫“火星人”。
我毫無(wú)抱怨，暗自竊喜，跟娃說(shuō)，你看看，別總對(duì)我不耐煩，大數(shù)學(xué)家跟你爹一樣啰嗦，你能不能再忍受一下。這些方法我總結(jié)在下面一張表里，和孩子講完之后，需要在實(shí)踐中不斷練習(xí)，反復(fù)強(qiáng)化提醒，其實(shí)要害不是這些建議，要害是怎樣內(nèi)化養(yǎng)成解題好習(xí)慣。比如我娃一半以上的錯(cuò)題，都是因?yàn)轭}都沒(méi)讀明白，就急于開(kāi)做，然后基本上都算錯(cuò)。
這幾本書(shū)讀完，是不是娃的數(shù)學(xué)成績(jī)能獲得立竿見(jiàn)影的提高呢？答案是肯定不會(huì)。最終，還是要靠一個(gè)問(wèn)題一個(gè)問(wèn)題理解過(guò)來(lái)，有的孩子理解得多，有的理解的少，有的快一些，有的慢一點(diǎn)。但是，先種一粒種子，讓它慢慢生根，潛移默化為孩子培養(yǎng)一點(diǎn)大局觀，還是有價(jià)值的。他只要不再害怕數(shù)學(xué)，我的目標(biāo)就實(shí)現(xiàn)了。至于會(huì)不會(huì)做很多難題考很高的分?jǐn)?shù)，對(duì)我來(lái)說(shuō)是個(gè)something nice to have, but次要問(wèn)題。
小平邦彥曾經(jīng)針對(duì)日本文部省的教學(xué)大綱問(wèn)，你們急著給孩子塞這么多東西，急什么呢？我心有戚戚，看到烏克蘭俄羅斯北約美國(guó)全世界都在瞎折騰，人類真不知道會(huì)把自己怎么作死。所有人終點(diǎn)都奔向墳?zāi)?，急什么呢?/span>
