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2023年9月25日，著名數(shù)學(xué)家尤金尼奧·卡拉比（Eugenio Calabi）教授逝世，享年100歲。特此轉(zhuǎn)載丘成桐先生曾為卡拉比教授百歲生辰撰寫(xiě)的文章，以表懷念。

撰文 | 丘成桐（清華大學(xué)講席教授，清華大學(xué)丘成桐數(shù)學(xué)科學(xué)中心主任，求真書(shū)院院長(zhǎng)）

卡拉比（Eugenio Calabi，1923年5月11日出生于意大利米蘭) | 圖源：Simons Center for Geometry and Physics

2023年5月11日是尤金尼奧·卡拉比（Eugenio Calabi）教授的百歲生辰。我的老朋友 Jean-Pierre Bourguignon 特意替他編了文集，里面有不少朋友和弟子的文章。可惜這半年來(lái)，我正忙于籌備在北京舉辦的國(guó)際基礎(chǔ)科學(xué)大會(huì)，實(shí)在無(wú)法坐下來(lái)寫(xiě)東西。現(xiàn)在 Bourguignon 的文集已經(jīng)完成，我稍稍有空，還是想寫(xiě)一些感想，表達(dá)我的心意。

我第一次見(jiàn)到卡拉比是在1970年的春天。當(dāng)時(shí)勞森（Blaine Lawson）剛剛在斯坦福畢業(yè)，來(lái)到伯克利當(dāng)講師，我修讀他的初等微分幾何，并且和他合作，寫(xiě)了一篇論文。他告訴我，他的博士論文得到卡拉比的指點(diǎn)，獲益良多。又說(shuō)卡拉比是富有創(chuàng)意的幾何學(xué)家，我必須抓緊機(jī)會(huì)，趁他訪問(wèn)伯克利時(shí)，去見(jiàn)見(jiàn)他。

我花了點(diǎn)工夫?qū)ふ铱ɡ?，終于在伯克利數(shù)學(xué)系 Campbell Hall 的一個(gè)小小的休息室找到他。當(dāng)時(shí)他架著一副深度近視的厚眼鏡，正抽著煙斗，悠然自得地和年輕學(xué)生交流。他在一張紙巾上，密密麻麻地寫(xiě)下一堆公式，我跑過(guò)去細(xì)看，才知道這些都是描述極小子流形的公式。我和卡拉比接觸更多后，才知道這是他的拿手好戲。他往往能從復(fù)雜的幾何現(xiàn)象中，找到解析的答案。他的博士論文就是研究黎曼曲面的度量如何等距地嵌入復(fù)歐氏空間中的。

卡拉比教授的導(dǎo)師是普林斯頓大學(xué)的博克納（Solomon Bochner）。博克納教授在微分幾何上的工作對(duì)我影響甚大。他退休后，搬到德州休斯頓的萊斯大學(xué)。1978年，博克納很想聘請(qǐng)我，邀請(qǐng)我到休斯頓作了一系列的冠名講座。先生和我很談得來(lái)，他告訴我卡拉比是他的博士生，由于表現(xiàn)出色，當(dāng)時(shí)同事 Don Spencer 企圖游說(shuō)卡拉比轉(zhuǎn)為跟隨他，他知道后，便讓卡拉比趕快畢業(yè)?？ɡ仍谒牟┦空撐闹幸肓撕芏嘀匾拍?。

1970年5月，我對(duì)廣義相對(duì)論中的一個(gè)課題發(fā)生興趣，那就是如何構(gòu)造完備的帶有曲率的真空空間。這課題不容易，在圖書(shū)館翻閱書(shū)本時(shí)，無(wú)意中看到一篇卡拉比1954 年的文章，我覺(jué)得美妙極了。他在世界數(shù)學(xué)家大會(huì)中提出了一個(gè)猜想：在所有緊的凱勒空間（K?hler space）之中，這種空間的存在有個(gè)簡(jiǎn)單的充要條件，那就是它的第一陳類等于零。這個(gè)猜想可以歸結(jié)為求解一條非線性偏微分方程。1973年夏天，我在斯坦福的微分幾何大會(huì)再見(jiàn)到他，并告訴他我在考慮他的猜測(cè)。他告訴我，當(dāng)時(shí)最偉大的數(shù)學(xué)家韋伊（André Weil）看了他的猜想以后，認(rèn)為以當(dāng)時(shí)對(duì)非線性偏微分方程認(rèn)知之膚淺，并不足以解這條偏微分方程。

其實(shí)，1970年春季，我修讀了莫里（Charles Morrey）偏微分方程的課，他是這方面的大師。那時(shí)，美國(guó)支持越南侵入柬埔寨，伯克利很多師生都罷課抗議。最后班上只剩下我一個(gè)學(xué)生，但莫里教授還是繼續(xù)上課，只不過(guò)轉(zhuǎn)移到他的辦公室而已。因此我學(xué)到了不少偏微分方程的知識(shí)?？v然如此，面對(duì)這方程，還是束手無(wú)策！

這是一條在復(fù)數(shù)上的蒙日—安培（Monge-Ampère）方程，有關(guān)文獻(xiàn)基本空白。不過(guò)，實(shí)數(shù)上具有兩個(gè)變量的蒙日—安培方程卻有豐富多彩的歷史。古典的閔可夫斯基（Minkowski）問(wèn)題及外爾（Weyl）問(wèn)題都由這類方程以不同的方式描述。在兩個(gè)變量時(shí)，它和復(fù)分析有密切關(guān)系。在一般的情況下，則和仿射幾何中的仿射球理論關(guān)系匪淺。

我從1970年開(kāi)始就對(duì)卡拉比猜想懷著無(wú)比的熱情，我認(rèn)為它揭示了凱勒流形最深刻的地方，也是研究曲率的核心問(wèn)題。長(zhǎng)河大流，遇到崇山巨石阻擋，必須要移開(kāi)阻礙，水流始能順暢，才會(huì)浩蕩。當(dāng)時(shí)微分幾何的發(fā)展，對(duì)于曲率的研究，主要局限在截面及比較定理，對(duì)最重要的里奇（Ricci）曲率茫然無(wú)所知。里奇曲率是微分幾何和物理學(xué)的主要橋梁，卻沒(méi)有任何有意義的例子來(lái)觀察。我認(rèn)為微分幾何必須和理論物理并流，沒(méi)有好的例子成為兩門(mén)偉大學(xué)科合流的主要障礙，必須要移除。當(dāng)時(shí)陳先生要我攻克黎曼猜想，我反而提不起很大的興趣，但是對(duì)這個(gè)幾何猜想，卻有如劉半農(nóng)的歌曲，有「教我如何不想她」的感覺(jué)！

有了熱情，卻不知道如何入手。既然不知如何入手，就找快捷方式吧。附和著當(dāng)時(shí)的看法，我著手找反例。當(dāng)時(shí)大家認(rèn)為這猜想過(guò)于完美，因此不可能成立。人們花了幾十年的努力，這樣的空間連一個(gè)也找不到，而這個(gè)猜想?yún)s閑閑地給出一大堆。現(xiàn)在回想起來(lái)，這樣的想法其實(shí)是避重就輕，不敢正面面對(duì)方程估值遇到的困難。無(wú)論如何，我殫精竭慮地去找反例，也自以為成功了。1973年夏天在斯坦福開(kāi)會(huì)，我告訴卡拉比找到了反例。他一面吸著煙斗，一面和其他學(xué)者仔細(xì)聆聽(tīng)我的敘述，他不斷的點(diǎn)頭，我十分高興，以為行了。

可是幾個(gè)月后，卡拉比寫(xiě)了一封信給我，對(duì)我的反例提出一些問(wèn)題，我一看到信，就知道大事不妙，于是花了兩個(gè)禮拜，出盡法寶，都補(bǔ)不了反例的漏洞，同時(shí)也找不到其他反例。苦思之余，覺(jué)今是而昨非，猜想應(yīng)是對(duì)的！不過(guò)話說(shuō)回來(lái)，這三年尋找反例的努力沒(méi)有白費(fèi)，用來(lái)找反例的思路其后導(dǎo)出代數(shù)幾何學(xué)中重要的定理。這個(gè)猜想和代數(shù)幾何的深入聯(lián)系，亦由此而來(lái)。

求解偏微分方程的一個(gè)已知方法是所謂“先驗(yàn)估值”，從低階到高階，一步一步的往上提升。一般的微分方程學(xué)者不會(huì)在流形上做分析，而我在1970年春天就開(kāi)始研究流形上的分析問(wèn)題了，當(dāng)時(shí)研究的對(duì)象是調(diào)和函數(shù)和調(diào)和映射。我第一個(gè)估值是調(diào)和函數(shù)的梯度估值，這個(gè)方法影響了我以后在幾何分析的發(fā)展，但是表面上這和蒙日—安培方程關(guān)系不大。我需要學(xué)習(xí)蒙日—安培方程的理論。考慮到函數(shù)為凸時(shí)比較容易處理，戰(zhàn)略是先了解實(shí)數(shù)上的蒙日—安培方程。又，面對(duì)的是一般維空間，復(fù)變函數(shù)的方法用不上。我當(dāng)時(shí)在斯坦福，鄭紹遠(yuǎn)在伯克利還沒(méi)有畢業(yè)，常來(lái)找我。他正在修讀陳先生仿射幾何的課，課中精華是卡拉比的某些定理。鄭紹遠(yuǎn)和我一起學(xué)習(xí)卡拉比在仿射幾何的偉大工作。

仿射幾何中一個(gè)重要的問(wèn)題是仿射球的分類。其中一類仿射球是拋物曲面的推廣，一般的猜想是：improper affine sphere 就是拋物面。這個(gè)問(wèn)題可以看作實(shí)蒙日—安培方程的核心問(wèn)題。德國(guó)數(shù)學(xué)家 Konrad J?rgens 在 1950 年左右用復(fù)函數(shù)理論證明了二維的情形。1960年初，卡拉比證明了在維數(shù)不超過(guò) 5 時(shí)，猜想也是對(duì)的。鄭紹遠(yuǎn)和我發(fā)現(xiàn)我的梯度估計(jì)可以用在這個(gè)問(wèn)題上，完全的解決了這個(gè)猜想。正當(dāng)我們沉醉于攻克難題的快樂(lè)時(shí)，赫然發(fā)現(xiàn)蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家波戈列洛夫（Aleksei Pogorelov）比我們?cè)缌艘徊浇鉀Q了同一個(gè)猜想。他的論文用了與我們完全不同的方法，以后叫作波戈列洛夫估值。我和鄭紹遠(yuǎn)的方法，用幾何的語(yǔ)言敘述，不容易了解，但是方法其實(shí)更為一般，例如它可以用來(lái)解決卡拉比有關(guān)雙曲仿射球的猜想，這是一項(xiàng)重要的工作，也可以看作是蒙日—安培方程的估值。不料以后有個(gè)中國(guó)學(xué)者在我們文章中找到一個(gè)小小的筆誤，想將這工作據(jù)為己有。

我們隨即發(fā)現(xiàn)卡拉比在一篇論文中，證明了維數(shù)小于 5 時(shí)，在閔可夫斯基空間中的最大類空超曲面只能是平面。我和鄭紹遠(yuǎn)將他結(jié)果推廣到任意維數(shù)。以后我的學(xué)生 Robert Bartnik 又將它推廣到更一般的時(shí)空，在廣義相對(duì)論有重要的貢獻(xiàn)。五十年后，重新閱讀這些文章，覺(jué)得它們還有歷史上的價(jià)值，都是拜卡拉比教授工作之賜。

在1974年初，陳省身先生告訴我，尼倫伯格（Louis Nirenberg）要于夏天在溫哥華召開(kāi)的世界數(shù)學(xué)家大會(huì)中宣布他和卡拉比關(guān)于蒙日—安培方程邊值問(wèn)題的結(jié)果，但他們發(fā)現(xiàn)了證明有錯(cuò)誤，陳先生建議我們看一下。鄭紹遠(yuǎn)和我以為我們的方法可以成功的解決問(wèn)題，剛開(kāi)始時(shí)，遇到和他們同樣的困難，幸好修正后得到正確的答案，只不過(guò)對(duì)邊界正則性的要求不夠完美。因?yàn)楹蛶缀蔚年P(guān)系不大，我也不大在乎，很少人知道我們這個(gè)工作。十年后，Luis Caffereli、尼倫伯格和 Joel Spruck 將邊界的正則性弄清楚。

除了偏微分方程的知識(shí)外，還需要對(duì)黎曼幾何有足夠的認(rèn)識(shí)，和卡拉比猜想有關(guān)的主要是流形上里奇曲率的性質(zhì)。一般來(lái)說(shuō)，都是考慮里奇曲率有下界的情形。1974 年我利用幾何分析的方法證明了：里奇曲率為正時(shí)，一個(gè)完備而又非緊流形的體積是無(wú)窮而且線性增長(zhǎng)的。

投稿以后，才看到最新一期的美國(guó)數(shù)學(xué)學(xué)會(huì)出版的公布上，卡拉比發(fā)表有和我的文章類似的結(jié)果。在伯克利做報(bào)告的時(shí)候，格羅莫夫（M. Gromov）不相信我的分析證明，我花了一天工夫，用更幾何的方式向他解釋清楚。他弄明白后，過(guò)了幾年和 Jeff Cheeger 合作，用我當(dāng)天口述的方法寫(xiě)了一篇文章，推廣了我和卡拉比的結(jié)果。

經(jīng)過(guò)了這樣的準(zhǔn)備階段，從1975年開(kāi)始，我得到一連串的估值，已經(jīng)可以證明負(fù)的凱勒—愛(ài)因斯坦度量的存在性。到了1976年9月，我以Sloan Fellowship 訪問(wèn) UCLA 期間，完成了對(duì)卡拉比猜想的全部證明。

我用了好幾個(gè)不同的寫(xiě)法來(lái)驗(yàn)證證明的正確性，并由此推導(dǎo)出重要的代數(shù)幾何上的結(jié)果。但是我還是不放心，決定11月到費(fèi)城和卡拉比討論我的證明。討論了幾天，大家認(rèn)為無(wú)誤。我應(yīng)辛格（I. M. Singer）教授邀請(qǐng)，在 MIT 待了一個(gè)月。那時(shí)辛格正在離婚，吃了一次晚飯，討論他和阿蒂亞（M. Atiyah）及希欽（N. Hitchin）的文章后，就無(wú)暇再長(zhǎng)談了。不過(guò)，這次討論對(duì)我以后和 Karen Uhlenbeck 在規(guī)范場(chǎng)的工作影響很大。

我住在 MIT 旁邊的公寓，開(kāi)始將猜想證明完整地寫(xiě)出來(lái)。有幾天，窗外大雪紛飛，鴉雀無(wú)聲，房?jī)?nèi)心馳神會(huì)，奮筆直書(shū)。空檔時(shí)跑到哈佛找人聊天，我告訴 David Mumford 教授，用卡拉比猜想的結(jié)果，加上 Mostow 剛性定理，可以證明球的商空間是剛性的，他很欣賞這個(gè)結(jié)果。我在哈佛大學(xué)演講，課堂擠滿了聽(tīng)眾，他們對(duì)我把非線性微分方程應(yīng)用到代數(shù)幾何上十分興奮。

我獨(dú)自在劍橋的查爾斯河（Charles River）上散步，看著小橋流水，鳥(niǎo)兒飛翔，細(xì)雨綿綿，芳草芊芊，意境令人陶醉。以后媒體訪問(wèn)，問(wèn)我證明卡拉比猜想時(shí)的心情，我就以兩句宋詞來(lái)回答：“落花人獨(dú)立，微雨燕雙飛”。

在回 UCLA 的路上，我決定到紐約去找尼倫伯格，他是非線性微分方程的權(quán)威?？ɡ纫瞾?lái)，我們約好在紐約大學(xué)見(jiàn)面。那天是圣誕節(jié)，他們都是猶太人，不過(guò)圣誕的。

1975年，我在威廉斯敦（Williamstown）的多復(fù)變函數(shù)大會(huì)上演講，指出可利用復(fù)流形的曲率來(lái)研究復(fù)流形的單值化，蕭蔭堂很感興趣，提議合作，所以從波士頓南下，經(jīng)過(guò)紐黑文（New Haven）時(shí)，和他一起工作了幾天。我指出，我用卡拉比猜想證明了球的商空間的剛性，同一方法應(yīng)該可以推廣到一般負(fù)曲率的代數(shù)流形上，空間維數(shù)必須大于一。我建議用調(diào)和映射的方法來(lái)完成這猜測(cè)。在此之前，我已經(jīng)和孫理察（Richard Schoen）用調(diào)和映射證明了不少幾何定理。但是蕭蔭堂堅(jiān)決反對(duì)這想法，認(rèn)為這應(yīng)該是凝聚層（coherent sheaf）對(duì)偶的結(jié)果。兩年后，我說(shuō)服斯坦福聘請(qǐng)蕭蔭堂，又重新討論這個(gè)問(wèn)題。剛好 Eric Bedford 提供了一條線索，在強(qiáng)負(fù)曲率的代數(shù)流形和映射在適當(dāng)?shù)那闆r下，調(diào)和映射確實(shí)可以證明為全純或是反全純，解決了我的猜想的一部分。證明其實(shí)相當(dāng)簡(jiǎn)單，可以說(shuō)是微分方程慣用方法的推廣。蕭蔭堂卻沒(méi)有征求我的同意下，決定自己發(fā)表這篇文章，并且洋洋灑灑的寫(xiě)了有關(guān)的文章，我當(dāng)時(shí)正忙著卡拉比猜想的推論，直到八零年代才和 Jürgen Jost 繼續(xù)。

圣誕節(jié)一早，我就到了尼倫伯格的辦公室。我花了四個(gè)鐘頭向他和卡拉比詳細(xì)解釋猜想的證明，尼倫伯格終于同意證明無(wú)誤，并表示贊賞。（以后他在世界數(shù)學(xué)家大會(huì)強(qiáng)烈推薦我得到菲爾茲獎(jiǎng)。）

從他的辦公室出來(lái)，發(fā)覺(jué)整座大樓空無(wú)一人，路上也是如此，餐館也都關(guān)了門(mén)。結(jié)果決定步行到唐人街尼倫伯格常去的中國(guó)餐館吃飯。

這次旅行收獲良多，可是拋下新婚妻子，離家兩月，歸心似箭，是回家的時(shí)候了。

回到洛杉磯后，發(fā)現(xiàn)自己已經(jīng)一舉成名。但我處之泰然，仍然專注科研。沒(méi)有想到的是，辛格開(kāi)車子從伯克利到洛杉磯來(lái)看我，討論學(xué)問(wèn)。他是大教授，陳先生的好朋友，當(dāng)時(shí)正在伯克利訪問(wèn)。他問(wèn)我要不要考慮留在伯克利，這使我受寵若驚。

接著卡拉比也來(lái)了，他的到訪使我十分高興。我視陳省身、莫里、尼倫伯格、辛格和卡拉比為師，但思想上與卡拉比最為接近，交流最無(wú)拘束。所以每次見(jiàn)到他，都會(huì)上天下地，無(wú)所不談。他喜歡在吃飯時(shí)，在紙巾上密密麻麻地寫(xiě)下有趣的公式，這些紙巾我都留了下來(lái)，放在抽屜里。直到十多年前，我在哈佛大學(xué)當(dāng)系主任，辦公室里書(shū)和文件堆積如山，秘書(shū)們大力抗議，認(rèn)為我不必保留這些網(wǎng)上可以找到的事物。在我勉強(qiáng)同意下，一舉清理干凈。朋友看到清理過(guò)的辦公室，都高高興興，大概他們認(rèn)為是“守得云開(kāi)見(jiàn)月明”吧。但是我每次想起這些有意義的事物都不見(jiàn)了，始終心有戚戚然。

這次卡拉比到訪，也帶上他的兄弟，我兩夫妻招待他們，十分愉快。由于卡拉比猜想的證明說(shuō)明了存在大量的里奇曲率為零的凱勒流形，很多學(xué)者因此得到信心，試圖將這些度量具體寫(xiě)出來(lái)。（其實(shí)用數(shù)值計(jì)算，我本來(lái)的證明已經(jīng)足夠，但是要克服高維空間的計(jì)算問(wèn)題。）物理學(xué)家霍金（Stephen Hawking）和 Gary Gibbons 通過(guò)相對(duì)論中的古典解，用所謂 wick rotation 的方法得到所謂引力瞬子（gravitational instanton）的解，而卡拉比則用纖維束的方法構(gòu)造了不少這樣的度量，不過(guò)這些具體的解都不是緊的空間。

我在寫(xiě)證明卡拉比猜想的論文時(shí)，已經(jīng)考慮過(guò)凱勒—愛(ài)因斯坦度量的退化和帶奇點(diǎn)的情形，因?yàn)橛懻撃？臻g的時(shí)候，必須容許這樣的度量。事實(shí)上，文章的后半部就討論并完成了帶有奇異點(diǎn)的度量的存在定理。開(kāi)始時(shí)，大家的注意力集中在不帶奇異點(diǎn)的度量，但是這二十年來(lái)，研究帶奇異點(diǎn)的度量成為一個(gè)重要的方向，不過(guò)大家都忘記了我早期在這方面的工作了。1978年，我在赫爾辛基的世界數(shù)學(xué)家大會(huì)上的演講也提到完備而非緊空間的構(gòu)造，這些結(jié)果推廣了上述卡拉比的構(gòu)造方法。十年后，我讓學(xué)生田剛把部分結(jié)果的細(xì)節(jié)寫(xiě)出來(lái)，成為我們合作的文章。

1977 年冬，美國(guó)數(shù)學(xué)學(xué)會(huì)在猶他州開(kāi)了一個(gè)幾何會(huì)議，我和卡拉比又見(jiàn)面了。我在會(huì)中講述和孫理察的工作，如何利用調(diào)和影射來(lái)構(gòu)造極小子流形。我指出，這個(gè)影射的能量可以視為 Teichmüller 空間上一個(gè)莫爾斯（Morse）函數(shù)，從而證明空間是可縮的。同樣的思路也可以應(yīng)用到高維空間的模以及其他幾何結(jié)構(gòu)上去。

那天雪下得大，很多人都滑雪去了?？ɡ群臀覀儙讉€(gè)年輕搞幾何的圍著火爐聊天。我告訴他調(diào)和映射和 harmonic 1 form 很相似，因此消滅定理（vanishing theorem）很有用。我一直對(duì)松島與三（Yozo Matsushima）在局部對(duì)稱空間上的消滅定理很感興趣，但是這理論只局限于對(duì)稱空間?？ɡ群芨吲d地說(shuō)出他的看法，用單純的微分幾何方法推導(dǎo)出 Matsushima 定理確是漂亮。十多年后，Jost 和我才知道如何將卡拉比的公式應(yīng)用到調(diào)和映射上，并用來(lái)重新證明 Grigory Margulis 的超剛性定理。

這次交談以后，再見(jiàn)已是 1979-1980 年在高等研究院的幾何年，那是由我和 Armand Borel 教授主持的。當(dāng)時(shí)幾何分析正熱得火紅，大量文章涌現(xiàn)，很多重要的問(wèn)題給破解了，牽動(dòng)著整個(gè)數(shù)學(xué)界。高等研究院決定主辦幾何年，廣發(fā)英雄帖，邀請(qǐng)?zhí)煜潞澜?，了解幾何分析的前沿，并且探索發(fā)展的方向。大致上，所有幾何分析的學(xué)者都被邀請(qǐng)，應(yīng)邀而來(lái)的住在研究院的宿舍，可謂群賢畢至，少長(zhǎng)咸集，砥礪攻錯(cuò)，盛況空前。

現(xiàn)在記憶所及的訪客包括：卡拉比夫婦，孫理察夫婦，Leon Simon 一家，李偉光夫婦，Karen Uhlenbeck 和她男友Robert Williams，在普林斯頓大學(xué)的鄭紹遠(yuǎn)夫婦，年輕學(xué)者包括 Robert Bryant，Michael Anderson，一群理論物理學(xué)者 Malcolm Perry，Alan Lapedes 等，以及定時(shí)間來(lái)訪問(wèn)的尼倫伯格，Arthur Jaffe 和 Cliff Taubes，Enrico Giusti 和彭羅斯（Roger Penrose）等人。

由于妻子在圣迭戈（San Diego）上班，我把三房一廳公寓中的房間騰出來(lái)，安置了從斯坦福帶來(lái)的一個(gè)研究生。此君喜歡活動(dòng)，七九年圣誕節(jié)，他趁我回香港照顧兄長(zhǎng)的空檔，在公寓搞了個(gè)圣誕舞會(huì)。我回來(lái)后，他得意洋洋地炫耀舞會(huì)開(kāi)得多成功，卡拉比夫婦在跳舞，Uhlenbeck 喝醉了。惹得高等研究院向我抱怨，說(shuō)我的公寓太吵了。

卡拉比夫婦請(qǐng)我吃了兩次晚飯，一次在高等研究院，一次在他費(fèi)城家中。在高等研究院，我組織了好幾個(gè)討論班，他做了多個(gè)演講，我們私下也多次交流切磋。我和他討論過(guò)極值度量，很有意思。但是我的注意力始終在愛(ài)因斯坦度量的一般性質(zhì)和應(yīng)用，并沒(méi)有花太多工夫在極值度量上。

今天回顧，高等研究院的幾何年辦得十分成功，當(dāng)時(shí)的參與者大部分還健在，大家對(duì)當(dāng)年的種種光景，都留下珍貴的回憶。Borel 早已仙逝，猶幸卡拉比巋然健在，可喜可賀。（編者注：卡拉比后于2023年9月25日逝世。）

這一年，我接受了高等研究院的聘書(shū)，在普林斯頓安頓下來(lái)。1981 年時(shí)，大兒子出生了，妻子和岳父母在圣迭戈照顧。1982 年秋天，友云請(qǐng)假，帶明誠(chéng)到東岸來(lái)和我相聚半年，我們決定在費(fèi)城落腳。房子就在卡拉比家不遠(yuǎn)。搬家時(shí)，照顧一歲小孩頗費(fèi)周章，卡拉比比我能干得多，他把家中不用的小床弄來(lái)，還親自將小床搭起，那時(shí)他已經(jīng)六十多歲了，但還是興致勃勃，這使我很感動(dòng)。在這段日子，他和夫人 Juliana 常來(lái)我家聊天，我很珍惜他們的友誼。

1979年我回國(guó)訪問(wèn)，在桂林認(rèn)識(shí)了一位姓黃的畫(huà)家，他的女兒畫(huà)畫(huà)很有天分，想到美國(guó)學(xué)畫(huà)。Borel 夫人介紹她到費(fèi)城的畫(huà)院學(xué)習(xí)，但是需要人照顧，我介紹她認(rèn)識(shí)卡拉比夫婦。卡拉比把任務(wù)交給他的學(xué)生楊大江，想不到近水樓臺(tái)先得月，他們很快便結(jié)了婚！

這年以后，我們見(jiàn)面比較少了。直到我去了哈佛，他們的女兒住在附近，有時(shí)候會(huì)見(jiàn)到他們夫婦。九零年代中，他做了心臟搭橋手術(shù)，我特意飛去費(fèi)城看望他。這次手術(shù)十分成功，至今都沒(méi)有問(wèn)題。

1984年后，物理學(xué)家發(fā)展的弦論，建基于卡拉比猜想找出來(lái)的空間，他們叫它做卡拉比—丘空間?？ɡ劝耸畾q時(shí)，我在哈佛大學(xué)的 Faculty Club 替他祝壽。我開(kāi)了個(gè)玩笑：大家叫卡拉比—丘叫得這么起勁，我還以為卡拉比是我的名字呢！

這二十年來(lái)，我們見(jiàn)面時(shí)間不多，但是我總惦記著我的老師和朋友卡拉比先生。他一生追求學(xué)問(wèn)，不慕名利，樂(lè)于教人，受到同行的尊敬，晚輩的仰望。他的數(shù)學(xué)成就斐然，早已銘刻在科學(xué)史的豐碑上。今天他壽晉期頤，我謹(jǐn)以楚辭的句子祝賀：

與天地兮比壽！
與日月兮齊光！

2007 年，作者與卡拉比在巴黎綜合理工學(xué)院（école Polytechnique）丨照片來(lái)源：Jean-Fran?ois Dars

尤金尼奧 · 卡拉比

尤金尼奧·卡拉比（Eugenio Calabi，1923-2023），美國(guó)國(guó)家科學(xué)院院士，賓夕法尼亞大學(xué)名譽(yù)教授，因在微分幾何、幾何流、弦理論研究以及其他復(fù)雜數(shù)學(xué)概念方面的開(kāi)創(chuàng)性工作享譽(yù)世界。1991年，憑借在整體微分幾何（global differential geometry）方面的基礎(chǔ)性工作，獲得美國(guó)數(shù)學(xué)會(huì)頒發(fā)的“斯蒂爾獎(jiǎng)（Steele Prizes）”。2022年，獲得意大利最高榮譽(yù)——意大利共和國(guó)功績(jī)勛章（Order of Merit of the Italian Republic）?？ɡ冉淌诘拿峙c數(shù)十個(gè)定理、猜想、特征和原理關(guān)聯(lián)在一起，其中最富盛名的是卡拉比-丘流形（Calabi-Yau manifolds）。他與世界上最偉大的科學(xué)家、數(shù)學(xué)家合作，并培養(yǎng)了一批偉大的學(xué)者?？ɡ冉淌谠f(shuō)，能夠?qū)?ài)好作為職業(yè)，是一生中無(wú)與倫比的幸運(yùn)。

本文經(jīng)授權(quán)轉(zhuǎn)載自微信公眾號(hào)“數(shù)理人文”，原標(biāo)題《祝賀卡拉比先生百歲生辰》。

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