有沒有什么數(shù)學(xué)理論不僅對數(shù)學(xué)本身影響廣泛深刻同時(shí)又積極的對物理起重要作用呢？我想李群一定是其中之一。李群對于微分幾何和理論物理等學(xué)科的研究都有至關(guān)重要的作用，當(dāng)然，它所發(fā)揮作用的地方還遠(yuǎn)不止這些。但可惜的是，由于各種各樣的原因，例如數(shù)學(xué)思想的超前，李群的締造者索福斯·李生前并未有幸看見這一理論的蓬勃發(fā)展，可謂一大憾事。
索福斯·李(Sophus Lie,1842—1899)是著名挪威數(shù)學(xué)家。在索福斯·李之前，他有一個(gè)非常出名的挪威前輩，那就是阿貝爾。應(yīng)當(dāng)說從阿貝爾時(shí)代起，挪威數(shù)學(xué)便有了很好的傳統(tǒng)，20世紀(jì)也有挪威數(shù)學(xué)家獲得數(shù)學(xué)最高獎菲爾茲獎或沃爾夫獎。
不過需要注意的是，索福斯·李所生活的年代里，挪威的國運(yùn)可謂艱難坎坷。16世紀(jì)初，挪威反抗丹麥的殘酷壓迫失敗后，論為丹麥的附屬國，名義上僅僅是一個(gè)州。17世紀(jì)初，丹麥在和瑞典的海戰(zhàn)中失利，又被迫將挪威割讓給瑞典。19世紀(jì)初，挪威意圖獨(dú)立 但未完全實(shí)現(xiàn)，形成挪威—瑞典同盟，直到1905年才完全獨(dú)立。整個(gè)19世紀(jì)，挪威的經(jīng)濟(jì)發(fā)展都比較困難，饑荒橫行，據(jù)統(tǒng)計(jì)，1840～1914年挪威對外移民高達(dá)75萬人，按人口比例算是當(dāng)時(shí)僅次于愛爾蘭的世界第二大移民國家。
李的父親是教會牧師，而他則是家中六個(gè)孩子中最小的一個(gè)。中學(xué)的時(shí)候，李決心參軍，但由于近視的原因未能如愿，之后來到克里斯蒂安尼亞大學(xué)（也就是如今的奧斯陸大學(xué)）學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)和科學(xué)。畢業(yè)后李做過一段時(shí)間家庭教師，這期間他對自己所想從事的職業(yè)感到很迷茫，天文學(xué)家和物理學(xué)家他都考慮過，甚至植物學(xué)家和動物學(xué)家他也考慮過。最終在1867年，他興奮地告訴朋友們，他找到了真正的靈感，他要做一名數(shù)學(xué)家。我們可以很肯定，他做了一個(gè)對世界來說非常正確的決定。
這期間他對彭賽列（Poncelet）和普呂克（Plucker）的幾何學(xué)非常著迷，尤其是射影空間這樣全新的數(shù)學(xué)概念。射影空間打破了過去對“空間”的傳統(tǒng)認(rèn)識，不將點(diǎn)看作基本元素，而是把過原點(diǎn)的直線看作一個(gè)“點(diǎn)”，也就是構(gòu)成射影空間的基本元素。正是由于對空間的著迷，李早期的興趣都集中在微分幾何領(lǐng)域，這也為李群的創(chuàng)立奠定了幾何基礎(chǔ)。
李的第一篇論文便是關(guān)于他對空間的思考，之后又寫了一篇更為詳細(xì)的論文來解釋他的思想。但數(shù)學(xué)界對他超前的思想非常謹(jǐn)慎，遲遲不愿意發(fā)表他的論文，這又讓李對自己的前途感到十分擔(dān)憂。但如同自己的同胞阿貝爾那樣，他這匹千里馬還是遇到了伯樂，非常著名的數(shù)學(xué)期刊克萊爾（Crelle）雜志非常樂意刊登他的結(jié)果，值得一提的是，正是克萊爾雜志在幾十年前連續(xù)刊發(fā)了阿貝爾的論文才使得阿貝爾的成果為世人所知。不得不說兩位挪威數(shù)學(xué)家遇到了同樣的“救世主”。
不僅如此，李憑借這篇出眾的論文獲得了一筆獎金，這使得他有幸訪問了德國，結(jié)識了克萊因這樣當(dāng)時(shí)的頂級數(shù)學(xué)家。這次德國之行也成了李數(shù)學(xué)事業(yè)的轉(zhuǎn)折點(diǎn)。
1869年底，李來到柏林，見到了克羅內(nèi)克、庫默爾、魏爾斯特拉斯以及克萊因等當(dāng)時(shí)德國數(shù)學(xué)界的名流。雖然自己也算是分析學(xué)家，但與魏爾斯特拉斯相比，李確更喜歡與克萊因這樣的代數(shù)學(xué)家交往，因?yàn)橄窨巳R因這樣敏銳的數(shù)學(xué)家才能真正看到李的工作所蘊(yùn)含的價(jià)值。李與克萊因之后幾十年的友誼不僅使得他們各自有了知心朋友，實(shí)際上對數(shù)學(xué)的發(fā)展也起了相當(dāng)大的促進(jìn)作用。
李在德國不僅結(jié)識了不少數(shù)學(xué)大家，更重要的是這次經(jīng)歷使得他終于對自己非凡的數(shù)學(xué)才能有了清楚的認(rèn)識。在寫給朋友的信中，他興奮地說道：“過去幾年間，我的確低估了自己頭腦的才能”。
1870年，李與克萊因來到巴黎，訪問了法國數(shù)學(xué)大家達(dá)布和若爾當(dāng)?shù)热?，這使得他們意識到了群論可能會對幾何有重要意義。于是李的頭腦中有了變換群的靈感，而克萊因也有了日后著名的埃爾朗根綱領(lǐng)的雛形。而李關(guān)于切觸變換的理論也是在巴黎期間完成的。
回到奧斯陸大學(xué)后，李以論文《關(guān)于一類幾何變換》獲得博士學(xué)位并得到一筆獎金，但直到一年后他才在大學(xué)里獲得職位，這期間他又建立了偏微分方程的積分理論。實(shí)際上由于李的工作在挪威顯得太出色，奧斯陸大學(xué)不得不專門為他特設(shè)了一個(gè)教授席位。
1872年，克萊因提出了非常著名的埃爾朗根綱領(lǐng)，認(rèn)為幾何學(xué)是研究空間在變換群下保持某些性質(zhì)不變的學(xué)科。受克萊因的影響，李也開始考慮變換群的問題，不過他所想的是空間中依賴于有限個(gè)參數(shù)的光滑映射所構(gòu)成的群，并且稱之為有限連續(xù)群。于是李群理論便從此誕生了，值得注意的是，“李群”這個(gè)稱呼是嘉當(dāng)在1930年才提出來的，以表達(dá)對索福斯-李的敬意。同時(shí)，在研究微分方程求解的伽羅瓦理論的過程中，李也發(fā)展起了如今被稱為“李代數(shù)”的學(xué)科。后來基靈(Killing)在研究剛體的運(yùn)動時(shí)，也獨(dú)立建立起了李代數(shù)的理論，與李殊途同歸。
如今我們所定義的李群既有群結(jié)構(gòu)，也有微分流形結(jié)構(gòu)，但在李所處的時(shí)代，微分流形的概念并沒有被嚴(yán)格地定義，所以實(shí)際上，李所研究的李群是局部李群。他首先建立了局部李群和它的李代數(shù)之間的基本定理，也就是李代數(shù)完全決定了李群的局部性質(zhì)。從這個(gè)基本理論出發(fā)，就可以把局部李群的問題轉(zhuǎn)化為相對簡單的代數(shù)問題。李的工作對于李群和李代數(shù)而言，完全是奠基性的，是當(dāng)之無愧的創(chuàng)始人。
但李群這樣一門新興的數(shù)學(xué)學(xué)科在當(dāng)時(shí)卻并未引起數(shù)學(xué)界太多關(guān)注。當(dāng)時(shí)數(shù)學(xué)研究的主流主要是代數(shù)，例如群論，而李的思想大多被隱藏在復(fù)雜的算式里，很難引起學(xué)生的興趣。所以在奧斯陸大學(xué)的十多年里，李顯得十分孤立無援，只能與克萊因等人通過書信交流數(shù)學(xué)。
終于在1886年，李在克萊因的極力推薦下，來到德國萊比錫大學(xué)出任講座教授。畢竟德國是當(dāng)時(shí)的數(shù)學(xué)強(qiáng)國，更多的人能理解李群論的價(jià)值，于是更多的學(xué)生在克萊因以及龐加萊的推薦下跟隨李進(jìn)行學(xué)習(xí)研究，進(jìn)而他的思想被更廣泛的研究了。
然而天有不測風(fēng)云，人有旦夕禍福。1889年，李不幸患上了神經(jīng)衰弱的毛病，這很可能與他長期的不被理解和勞累有關(guān)。李不得不停止手中的工作，住進(jìn)精神病院進(jìn)行治療。他的治療過程是怎么樣的，如今早已無人得知，但1890年李出院后性情大變，變得非常敏感而多疑。1898年，在挪威眾多朋友的邀請下，李毅然放棄德國優(yōu)厚的工作條件，回到母校奧斯陸大學(xué)任職。但僅僅一年后，李便因惡性貧血而不幸去世，至死沒有看見自己的工作發(fā)揚(yáng)光大的那一天。
直到嘉當(dāng)在微分幾何上利用李群獲得重要成就之后，李群的威力才為眾多數(shù)學(xué)家所知。如今李群李代數(shù)已經(jīng)成為數(shù)學(xué)中重要的分支，繼續(xù)發(fā)揮著它在數(shù)學(xué)內(nèi)外的建設(shè)性作用。
聯(lián)系客服
