數(shù)學(xué)家的思維已經(jīng)大大領(lǐng)先我們常人。事實(shí)上，我們甚至理解不了數(shù)學(xué)家?guī)装倌昵鞍l(fā)表的論文，這也是其它學(xué)科比較少見(jiàn)的。而且這個(gè)差距還越來(lái)越大，我們這個(gè)時(shí)代的數(shù)學(xué)家不知道要過(guò)多少年才能真正使普通人理解他們證明了什么，怎么證明的。21世紀(jì)的今天，雖然資訊發(fā)達(dá)，資料的獲得比較容易。但似乎大家的數(shù)學(xué)水平不但沒(méi)有提高，反倒有下降的趨勢(shì)。大家沉迷于花邊新聞，娛樂(lè)八卦，能夠發(fā)財(cái)?shù)慕?jīng)濟(jì)觀點(diǎn)，或者似是而非的所謂勵(lì)志雞湯，就是對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)不愿意花功夫和腦力。多數(shù)人都幻想著無(wú)腦的歲月靜好，只可惜很多人的歲月靜好往往被無(wú)情的現(xiàn)實(shí)撕得粉碎。如果大家都勤于思考，也許我們這個(gè)社會(huì)會(huì)完美得多，而數(shù)學(xué)是鍛煉人思考能力的重要工具。
大家好，偉崗今天跟大家聊聊關(guān)于黎曼那篇小論文的一些數(shù)學(xué)知識(shí)，這些數(shù)學(xué)知識(shí)都非常深?yuàn)W，不過(guò)我們稍微動(dòng)動(dòng)腦筋還是可以掌握其中的一些精髓。我們并不追求一下子達(dá)到數(shù)學(xué)家的水平，但是平時(shí)動(dòng)動(dòng)腦筋，思考思考一些數(shù)學(xué)問(wèn)題對(duì)我們的精神和身體都有非常大的好處。
文章開(kāi)始前，還是感謝朋友同學(xué)的鼓勵(lì)打賞，這讓偉崗的寫(xiě)作越來(lái)越有洞察力。
我們前面講過(guò)，黎曼那篇小論文被譽(yù)為歷史上最偉大的數(shù)論論文。它只有短短的10頁(yè)（很多文章說(shuō)黎曼的這篇論文是8頁(yè)，估計(jì)那是指德語(yǔ)原文。偉崗手上有這篇論文的英文版，有10頁(yè)。不過(guò)第一頁(yè)是封面，所以正文是9頁(yè)）。黎曼是德國(guó)人，當(dāng)然原文是德語(yǔ)，不過(guò)網(wǎng)上有英文翻譯版，似乎沒(méi)有中文版。
說(shuō)實(shí)話，偉崗這篇論文也讀不懂。后來(lái)在網(wǎng)上找了很多分析這篇論文的資料，才慢慢了解了一些關(guān)于這篇論文的信息，當(dāng)然離讀懂這篇論文還差很遠(yuǎn)，不過(guò)還是可以從中學(xué)到一些數(shù)學(xué)知識(shí)。
黎曼這篇論文的名稱叫：關(guān)于小于一個(gè)固定量的素?cái)?shù)個(gè)數(shù)（英文名叫：On the Number of Prime Numbers less than
a Given Quantity）。從這個(gè)標(biāo)題我們可以看出這篇文章是想計(jì)算出小于某個(gè)正整數(shù)的素?cái)?shù)的數(shù)量，我們前面講過(guò)就是計(jì)算π（x）的值。
黎曼的思路是通過(guò)zeta函數(shù)來(lái)估算π（x）。由于zeta函數(shù)的收斂范圍有限，所以第一步黎曼就對(duì)zeta函數(shù)做了解析延拓，這個(gè)就差不多用了兩頁(yè)，也就是整篇論文的4分之一，所以是很重要的一步。
解析延拓是復(fù)分析的重要內(nèi)容。復(fù)分析在數(shù)學(xué)家眼里甚至比微積分還重要。復(fù)分析也就是復(fù)變函數(shù)論，它被稱為19世紀(jì)的數(shù)學(xué)享受，甚至被認(rèn)為是抽象科學(xué)中最和諧的理論之一。法國(guó)數(shù)學(xué)家阿達(dá)瑪有句名言：實(shí)數(shù)域中兩個(gè)真理之間的最短路程是通過(guò)復(fù)域。黎曼更是復(fù)分析的高手，他在黎曼幾何中用了很多復(fù)分析手段，這些手段都是黎曼的首創(chuàng)，所以后人為了紀(jì)念黎曼的貢獻(xiàn)，把常規(guī)積分命名為黎曼積分。
把復(fù)分析用到數(shù)論上，從高斯就開(kāi)始了。不過(guò)公認(rèn)的鼻祖是黎曼和狄利克雷。黎曼和狄利克雷創(chuàng)立了一門(mén)嶄新的數(shù)學(xué)學(xué)科：分析數(shù)論，就是用分析手段解決數(shù)論問(wèn)題。而黎曼這篇小小的論文可以說(shuō)是分析數(shù)論的起點(diǎn)之一。
復(fù)分析中的解析延拓是為了擴(kuò)展函數(shù)的定義域，也就是說(shuō)當(dāng)出現(xiàn)函數(shù)在某些點(diǎn)無(wú)法計(jì)算甚至不存在時(shí)，數(shù)學(xué)家改變函數(shù)的計(jì)算方法，使得這些點(diǎn)上的函數(shù)值仍然可以計(jì)算。當(dāng)然這些改變是有條件的。第一條就是單一性，也就是說(shuō)，函數(shù)值是唯一的。另一條就是保持函數(shù)的解析性能不變。這一條是關(guān)鍵，也是解析延拓的難點(diǎn)。
我們普通人首先要理解什么是函數(shù)的解析性。這個(gè)也有難度。粗略地講，所謂解析都是跟微積分有關(guān)的運(yùn)算，函數(shù)在一個(gè)點(diǎn)可微性是函數(shù)能夠解析的起點(diǎn)。所以解析延拓要保證整個(gè)函數(shù)的解析性能，必須在任何點(diǎn)上都是可微的（也就是可以求微分）。其次解析延拓要保證函數(shù)的解析性能，就必須滿足所謂的柯西-黎曼方程，這也是必要條件。我們一般人沒(méi)必要去深究什么是柯西-黎曼方程，我們只要知道解析延拓必須有一些微積分方面的限制就可以了。
按照偉崗的理解，數(shù)學(xué)家的思維比我們普通人要深遠(yuǎn)很多。微積分運(yùn)算就是一個(gè)很好的例子。我們普通人一般只能理解簡(jiǎn)單四則運(yùn)算關(guān)系，而數(shù)學(xué)家把數(shù)于數(shù)的關(guān)系上升到微積分這個(gè)層次，在那個(gè)層次上體現(xiàn)的性質(zhì)有其獨(dú)特的地方，這也是解析延拓的一大意義。
一般復(fù)分析中解析延拓是以gamma函數(shù)為起點(diǎn)介紹的。Gamma函數(shù)簡(jiǎn)單地講就是階乘的擴(kuò)展。我們知道，階乘運(yùn)算只對(duì)正整數(shù)有效，也就是說(shuō)4的階乘（一般用4！表示）等于4X3X2X1，6的階乘（一般用6！表示）等于6X5X4X3X2X1，正整數(shù)n的階乘（一般用n！表示）等于nx(n-1)x(n-2)……x2x1。但是分?jǐn)?shù)或者負(fù)數(shù)甚至復(fù)數(shù)的階乘就沒(méi)有定義了，這時(shí)gamma函數(shù)就出現(xiàn)了。不太準(zhǔn)確地說(shuō)，gamma函數(shù)就是階乘運(yùn)算的解析延拓。因?yàn)橄啾容^zeta函數(shù)，gamma函數(shù)稍微簡(jiǎn)單一些，所以數(shù)學(xué)家喜歡拿它做例子。
無(wú)論是gamma函數(shù)還是zeta函數(shù)，它們的解析延拓在我們普通人眼中都會(huì)產(chǎn)生一些奇怪的結(jié)論。比如分?jǐn)?shù)的階乘是負(fù)數(shù)，全體自然數(shù)的和是負(fù)數(shù)等。這個(gè)現(xiàn)象還不好解釋。
按照偉崗的理解，所謂解析延拓改變了函數(shù)的計(jì)算公式，這包含兩層意思，第一層意思是由于定義域的擴(kuò)展，原來(lái)不能計(jì)算的定義域，現(xiàn)在可以用新公式計(jì)算了，比如原來(lái)分?jǐn)?shù)的階乘不能計(jì)算，現(xiàn)在經(jīng)過(guò)解析延拓后可以計(jì)算了。第二層意思就是原來(lái)的分?jǐn)?shù)階乘也不是嚴(yán)格定義的分?jǐn)?shù)階乘，也就是說(shuō)對(duì)分?jǐn)?shù)的階乘運(yùn)算只是階乘運(yùn)算的解析延拓，而不是直接階乘運(yùn)算?；蛘哒f(shuō)，只是解析性質(zhì)得到保持，而不是階乘運(yùn)算的一切都保持。這樣分?jǐn)?shù)的階乘等于負(fù)數(shù)，意味著等于負(fù)數(shù)的不是嚴(yán)格意義的分?jǐn)?shù)階乘。用zeta函數(shù)為例的話，解析延拓后全體自然數(shù)的求和，也不是我們想象中自然數(shù)的求和，是自然數(shù)求和經(jīng)過(guò)了延拓變換，這樣等于負(fù)數(shù)，也就是可能的了。
當(dāng)然這個(gè)解釋不是特別有說(shuō)服力。畢竟階乘運(yùn)算的解析延拓本質(zhì)還是階乘運(yùn)算，計(jì)算出現(xiàn)異常，里面肯定有什么玄機(jī)，不過(guò)現(xiàn)在數(shù)學(xué)家還沒(méi)有參透里面的奧秘，所以暫時(shí)被擱置。
我們?cè)倩氐嚼杪恼撐纳?。黎曼?duì)zeta函數(shù)做了個(gè)解析延拓，目的是為了利用歐拉公式，而這個(gè)歐拉公式把zeta函數(shù)的求和運(yùn)算跟素?cái)?shù)的連乘運(yùn)算聯(lián)系起來(lái)，這是黎曼把zeta函數(shù)用到素?cái)?shù)研究的基礎(chǔ)。
上圖就是歐拉公式，雖然這里把zeta函數(shù)的求和用素?cái)?shù)的乘積來(lái)表示了，但是離計(jì)算素?cái)?shù)的個(gè)數(shù)還有十萬(wàn)八千里的距離。黎曼從這里出發(fā)，得出了素?cái)?shù)估算公式，其中用了很多微積分的變換，這些都超過(guò)了偉崗的理解范圍。
不過(guò)經(jīng)后人總結(jié)，黎曼這篇論文有以下幾個(gè)思路。最關(guān)鍵地是，黎曼通過(guò)微積分演算，找到了這樣一個(gè)函數(shù)的計(jì)算方法（說(shuō)得準(zhǔn)確一點(diǎn)是估算方法）。這個(gè)函數(shù)黎曼命名為J（x）。這個(gè)J（x）跟素?cái)?shù)個(gè)數(shù)有了關(guān)系，它是一個(gè)階梯函數(shù)。也就是說(shuō)取一個(gè)一個(gè)的間斷的數(shù)值。當(dāng)x跨過(guò)一個(gè)素?cái)?shù)，J（x）就增加1，x跨過(guò)一個(gè)素?cái)?shù)的平方，J（x）就增加二分之一，以此類推，當(dāng)x跨過(guò)一個(gè)素?cái)?shù)的n次方，J（x）就增加1/n。這樣素?cái)?shù)個(gè)數(shù)就跟J（x）掛上鉤。而J（x）通過(guò)黎曼的運(yùn)算，跟zeta函數(shù)有了一些積分級(jí)的運(yùn)算公式。
有了積分級(jí)的運(yùn)算公式，通過(guò)一些逼近的計(jì)算手段，我們就可以估算出素?cái)?shù)的個(gè)數(shù)，這就是黎曼論文的主要目的。不過(guò)后來(lái)數(shù)學(xué)家從黎曼的字里行間中找到了黎曼猜想，這才是黎曼這篇論文成為歷史上最偉大的論文的主要原因。
說(shuō)老實(shí)話，一般人還很難從黎曼這篇論文中找到黎曼猜想（偉崗就沒(méi)有找到）。論文有個(gè)地方，黎曼令零點(diǎn)的實(shí)部為二分之一，這是偉崗能夠發(fā)現(xiàn)跟黎曼猜想有關(guān)的全部?jī)?nèi)容?？赡芤斫饬死杪恼撐牟拍軓恼撐闹姓业嚼杪孪?。
數(shù)學(xué)家找到了黎曼猜想，就開(kāi)始分頭行動(dòng)。一部分人埋頭找零點(diǎn)，一部分人試圖證明黎曼猜想。而更多的數(shù)學(xué)家是假設(shè)黎曼猜想成立，去尋找可以證明的定理，據(jù)說(shuō)這些定理個(gè)數(shù)已經(jīng)上萬(wàn)了?？梢?jiàn)黎曼猜想的威力。
總體講，黎曼借助自己強(qiáng)大的分析能力，硬生生的從zeta函數(shù)出發(fā)，通過(guò)一系列的積分微分運(yùn)算，終于得到了一些關(guān)于素?cái)?shù)個(gè)數(shù)估算公式的結(jié)果，同時(shí)找到了黎曼猜想這樣有深遠(yuǎn)意義的數(shù)學(xué)規(guī)律（當(dāng)然還有待證明）。本來(lái)zeta函數(shù)是歐拉定義的，主要是為了求級(jí)數(shù)的和。黎曼把歐拉的zeta函數(shù)解析延拓后，變成黎曼zeta函數(shù)。從這一點(diǎn)出發(fā)，通過(guò)復(fù)分析手段，最終得到素?cái)?shù)個(gè)數(shù)的估算公式。黎曼甚至還用到了傅里葉展開(kāi)式，可見(jiàn)黎曼數(shù)學(xué)知識(shí)的博大精深。
數(shù)學(xué)在19世紀(jì)末，可以說(shuō)是復(fù)分析的黃金時(shí)代。數(shù)學(xué)家慢慢認(rèn)識(shí)到復(fù)數(shù)的威力。一個(gè)小小的根號(hào)負(fù)一竟然能引起數(shù)學(xué)上的革命，這也是任何古代數(shù)學(xué)家不可想象的。從幾何上講，復(fù)數(shù)把實(shí)數(shù)軸擴(kuò)展到了復(fù)平面，這樣的跨度非常大。尤其是對(duì)微積分這個(gè)工具來(lái)講?？梢哉f(shuō)有了復(fù)平面，數(shù)學(xué)家眼中的世界大大地不同了，微積分的運(yùn)算也有了很多全新的規(guī)則和思路。解析延拓就是其中的一項(xiàng)。我們僅僅從解析延拓中，就可以了解到復(fù)分析的復(fù)雜和現(xiàn)代數(shù)學(xué)向深?yuàn)W進(jìn)軍的步伐。我們普通人想不想，要不要，能不能跟上數(shù)學(xué)家的思維，也慢慢成為大家思考的嚴(yán)肅問(wèn)題。
好了，今天篇幅也夠長(zhǎng)了，暫時(shí)寫(xiě)到這里，文章結(jié)尾，還是要感謝朋友同學(xué)的鼓勵(lì)打賞，多謝了！！
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